一．课题：正、余弦函数的单调性、奇偶性
二．教学目标：1. 会判断正、余弦函数的奇偶性，并能从图象特征上说明它们的对称性；
2. 能说明正弦、余弦函数的单调性和单调区间；
3. 能用正、余弦函数的单调性比较两个同名的正弦、余弦函数值的大小。
三．教学重点：正弦、余弦函数的奇偶性及单调性的有关概念。 四．教学难点：如何指出正弦、余弦函数的单调性和单调区间。 五．教学过程： （一）复习：
1．函数周期性的定义及最小正周期的定义；
2．正、余弦函数的周期性及y =A sin(ωx +ϕ) （A ≠0, ω≠0）型函数的周期。 （二）新课讲解：
1．正、余弦函数的奇偶性
) =-sin x ，cos(-x ) =cos x 可知： 由诱导公式sin(-x 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
所以，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称。 2．对称轴和对称中心 正弦函数的对称轴方程为x =
π
2
+k π, k ∈Z ，对称中心坐标为(k π,0) ；
余弦函数的对称轴方程为x =k π, k ∈Z ，对称中心坐标为(例1．判断下列函数的奇偶性：
π
2
+k π,0) ．
tan x -sin x cos 2x
-1． （1）f (x ) =；（2）f (x ) =
x 1-sin x ⎧x ≠0⎪
解：（1）定义域为⎨，关于原点对称。 π
x ≠+k π(k ∈Z ) ⎪⎩2
tan(-x ) -sin(-x ) tan x -sin x
f (-x ) ===f (x ) ，
-x x
所以，函数f (x ) 是偶函数。
（2）∵1-sin x ≠0 得sin x ≠1，
∴定义域为{x |x ∈R 且x ≠
π
2
+2k π, k ∈Z }，不关于原点对称。
所以，原函数是非奇非偶函数。
3．正、余弦函数的单调性 ①正弦函数的单调性： 正弦函数在每一个闭区间[- 在每一个闭区间[
π
2
+2k ,
π
2
+2k π]（k ∈Z ）上，其值从-1增大到1，是增函数；
π
2
+2k ,
3π
+2k π]（k ∈Z ）上，其值从1减小到-1，是减函数。 2
②余弦函数的单调性：
余弦函数在每一个闭区间[(2k -1) π,2k π]（k ∈Z ）上，其值从-1增大到1，是增函数；
在每一个闭区间[2k π,(2k +1) π]（k ∈Z ）上，其值从1增大到-1，是减函数。
正、余弦函数的单调性、奇偶性
例2．不求值，试指出下列各式大于0，还是小于0？ （1）sin(-
π
18
) -sin(-
π
10
) ； （2）cos(-
23π17π
) -cos(-) ． 54
解：（1）∵-∴sin(-
π
2
π
10
π
18
π
2
，且函数y =sin x ，x ∈[-
ππ
, ]是增函数，
22
π
18
)
π
10
) ，
所以，sin(-
π
18
) -sin(-
π
10
)
23π23π3π17π17ππ
) =cos =cos ) =cos =cos ， ，cos(-555444π3π
453ππ
)
) -cos(-)
（2）∵cos(-
说明：此类题目解题的关键是把角化至同一单调区间，然后利用函数单调性判断大小。
例3．求下列函数的单调递增区间： （1）y =2sin(x +解：（1）令t =x +
π
) ； （2）y =-cos 2x ； （3）y =sin(-2x ) ．
44
，则y =sin t 在区间[-
π
+2k π]（k ∈Z ）上递增， 422
πππππ
∴-+2k π≤t ≤+2k π，-+2k π≤x +≤+2k π，
222423ππ
+2k π≤x ≤+2k π，k ∈Z ， ∴-44
3ππ
+2k π, +2k π](k ∈Z ) ． 所以，函数单调增区间为[-44
（2）由题意知：求原函数的单调增区间即为求y =cos 2x 的递减区间， 令t =2x ，则y =cos t 在区间[2k π, π+2k π]（k ∈Z ）上递减， ∴2k π≤t ≤π+2k π，2k π≤2x ≤π+2k π， ∴k π≤x ≤所以，函数y =-cos 2x 的单调递增区间是[k π,
ππ
+2k π,
π
π
2
+k π，
π
2
+k π](k ∈Z ) ．
正、余弦函数的单调性、奇偶性
（3）∵y =sin(
π
-2x ) =-sin(2x -) ， 44
π
∴求原函数的递增区间即为求函数y =sin(2x -令t =2x -
π
4
) 的递减区间，
3π
+2k π](k ∈Z ) 上递减，
422ππ3π3π7π
+2k π，+k π≤x ≤+k π， ∴+2k π≤2x -≤
24288
3π7π+k π, +k π](k ∈Z ) ． 所以，原函数的递增区间是[88
例4
．求函数y =．
π
，则y =sin t 在区间[
π
+2k π,
解：函数定义域为[- ∵y =cos x 在[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z ) ，
+2k π, 2k π](k ∈Z ) 上单调递增，在[2k π, 2k π+](k ∈Z ) 上单调递减，
22ππ
所以，原函数在[-+2k π,2k π](k ∈Z ) 上单调递增，在[2k π,2k π+](k ∈Z ) 上单调递减。
22
2
例5
．已知函数f (x ) =5sin x cos x -x （其中x ∈R ），
求：（1）函数f (x ) 的最小正周期； （2）函数f (x ) 的单调区间；
（3）函数f (x ) 图象的对称轴和对称中心。
解：f (x ) =5sin x cos x -x （1）周期为T =（2）由2k π-
2
ππ
π
=5sin(2x -) ， 3
2π
=π． 2≤2x -
π
2
π
3
≤2k π+
π
2
(k ∈Z ) ， 得k π-5π
](k ∈Z ) ， 12
π
12
≤x ≤k π+
5π
(k ∈Z ) ， 12
∴函数的单调递增区间为[k π-
π
12
ππ3π5π11π
≤x ≤k π+(k ∈Z ) ， 得k π+(k ∈Z ) ， 又由2k π+≤2x -≤2k π+
2321212
5π11π, k π+](k ∈Z ) ． ∴函数的单调递增区间为[k π+1212
ππk π5πk π5π
++(k ∈Z ) ，∴对称轴方程为x =(k ∈Z ) ，（3）由2x -=k π+，得x =
32212212πk ππ
+(k ∈Z ) ， 又由2x -=k π(k ∈Z ) ，得x =
326
k ππ
+,0) (k ∈Z ) ． 所以，对称中心的坐标为(
26
正、余弦函数的单调性、奇偶性
, k π+
五．练习：求下列函数的单调递减区间：（1）y =cos(
π
2
-2x ) ； （2
）y
六．小结：1．正、余弦函数的奇偶性及对称性；
2．正、余弦函数的单调性及单调区间及y =A sin(ωx +ϕ) （y =A cos(ωx +ϕ) ）型函数单调区间的求法；
七．作业：P 57第8题，P 58第6题，复习参考题：P 89第29题，P 91第11题， 补充：1．比较大小（写出过程）
（1）sin1,sin 2,sin3,sin 4； （2）cos1,cos 2,cos3,cos 4． 2．求下列函数的单调递减区间：
（1）y =log 2sin 2x ； （2
）y = （3）y =sin x -cos x ． 正、余弦函数的单调性、奇偶性
一．课题：正、余弦函数的单调性、奇偶性
二．教学目标：1. 会判断正、余弦函数的奇偶性，并能从图象特征上说明它们的对称性；
2. 能说明正弦、余弦函数的单调性和单调区间；
3. 能用正、余弦函数的单调性比较两个同名的正弦、余弦函数值的大小。
三．教学重点：正弦、余弦函数的奇偶性及单调性的有关概念。 四．教学难点：如何指出正弦、余弦函数的单调性和单调区间。 五．教学过程： （一）复习：
1．函数周期性的定义及最小正周期的定义；
2．正、余弦函数的周期性及y =A sin(ωx +ϕ) （A ≠0, ω≠0）型函数的周期。 （二）新课讲解：
1．正、余弦函数的奇偶性
) =-sin x ，cos(-x ) =cos x 可知： 由诱导公式sin(-x 正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数。
所以，正弦曲线关于原点对称，余弦曲线关于y 轴对称。 2．对称轴和对称中心 正弦函数的对称轴方程为x =
π
2
+k π, k ∈Z ，对称中心坐标为(k π,0) ；
余弦函数的对称轴方程为x =k π, k ∈Z ，对称中心坐标为(例1．判断下列函数的奇偶性：
π
2
+k π,0) ．
tan x -sin x cos 2x
-1． （1）f (x ) =；（2）f (x ) =
x 1-sin x ⎧x ≠0⎪
解：（1）定义域为⎨，关于原点对称。 π
x ≠+k π(k ∈Z ) ⎪⎩2
tan(-x ) -sin(-x ) tan x -sin x
f (-x ) ===f (x ) ，
-x x
所以，函数f (x ) 是偶函数。
（2）∵1-sin x ≠0 得sin x ≠1，
∴定义域为{x |x ∈R 且x ≠
π
2
+2k π, k ∈Z }，不关于原点对称。
所以，原函数是非奇非偶函数。
3．正、余弦函数的单调性 ①正弦函数的单调性： 正弦函数在每一个闭区间[- 在每一个闭区间[
π
2
+2k ,
π
2
+2k π]（k ∈Z ）上，其值从-1增大到1，是增函数；
π
2
+2k ,
3π
+2k π]（k ∈Z ）上，其值从1减小到-1，是减函数。 2
②余弦函数的单调性：
余弦函数在每一个闭区间[(2k -1) π,2k π]（k ∈Z ）上，其值从-1增大到1，是增函数；
在每一个闭区间[2k π,(2k +1) π]（k ∈Z ）上，其值从1增大到-1，是减函数。
正、余弦函数的单调性、奇偶性
例2．不求值，试指出下列各式大于0，还是小于0？ （1）sin(-
π
18
) -sin(-
π
10
) ； （2）cos(-
23π17π
) -cos(-) ． 54
解：（1）∵-∴sin(-
π
2
π
10
π
18
π
2
，且函数y =sin x ，x ∈[-
ππ
, ]是增函数，
22
π
18
)
π
10
) ，
所以，sin(-
π
18
) -sin(-
π
10
)
23π23π3π17π17ππ
) =cos =cos ) =cos =cos ， ，cos(-555444π3π
453ππ
)
) -cos(-)
（2）∵cos(-
说明：此类题目解题的关键是把角化至同一单调区间，然后利用函数单调性判断大小。
例3．求下列函数的单调递增区间： （1）y =2sin(x +解：（1）令t =x +
π
) ； （2）y =-cos 2x ； （3）y =sin(-2x ) ．
44
，则y =sin t 在区间[-
π
+2k π]（k ∈Z ）上递增， 422
πππππ
∴-+2k π≤t ≤+2k π，-+2k π≤x +≤+2k π，
222423ππ
+2k π≤x ≤+2k π，k ∈Z ， ∴-44
3ππ
+2k π, +2k π](k ∈Z ) ． 所以，函数单调增区间为[-44
（2）由题意知：求原函数的单调增区间即为求y =cos 2x 的递减区间， 令t =2x ，则y =cos t 在区间[2k π, π+2k π]（k ∈Z ）上递减， ∴2k π≤t ≤π+2k π，2k π≤2x ≤π+2k π， ∴k π≤x ≤所以，函数y =-cos 2x 的单调递增区间是[k π,
ππ
+2k π,
π
π
2
+k π，
π
2
+k π](k ∈Z ) ．
正、余弦函数的单调性、奇偶性
（3）∵y =sin(
π
-2x ) =-sin(2x -) ， 44
π
∴求原函数的递增区间即为求函数y =sin(2x -令t =2x -
π
4
) 的递减区间，
3π
+2k π](k ∈Z ) 上递减，
422ππ3π3π7π
+2k π，+k π≤x ≤+k π， ∴+2k π≤2x -≤
24288
3π7π+k π, +k π](k ∈Z ) ． 所以，原函数的递增区间是[88
例4
．求函数y =．
π
，则y =sin t 在区间[
π
+2k π,
解：函数定义域为[- ∵y =cos x 在[-
π
2
+2k π,
π
2
+2k π](k ∈Z ) ，
+2k π, 2k π](k ∈Z ) 上单调递增，在[2k π, 2k π+](k ∈Z ) 上单调递减，
22ππ
所以，原函数在[-+2k π,2k π](k ∈Z ) 上单调递增，在[2k π,2k π+](k ∈Z ) 上单调递减。
22
2
例5
．已知函数f (x ) =5sin x cos x -x （其中x ∈R ），
求：（1）函数f (x ) 的最小正周期； （2）函数f (x ) 的单调区间；
（3）函数f (x ) 图象的对称轴和对称中心。
解：f (x ) =5sin x cos x -x （1）周期为T =（2）由2k π-
2
ππ
π
=5sin(2x -) ， 3
2π
=π． 2≤2x -
π
2
π
3
≤2k π+
π
2
(k ∈Z ) ， 得k π-5π
](k ∈Z ) ， 12
π
12
≤x ≤k π+
5π
(k ∈Z ) ， 12
∴函数的单调递增区间为[k π-
π
12
ππ3π5π11π
≤x ≤k π+(k ∈Z ) ， 得k π+(k ∈Z ) ， 又由2k π+≤2x -≤2k π+
2321212
5π11π, k π+](k ∈Z ) ． ∴函数的单调递增区间为[k π+1212
ππk π5πk π5π
++(k ∈Z ) ，∴对称轴方程为x =(k ∈Z ) ，（3）由2x -=k π+，得x =
32212212πk ππ
+(k ∈Z ) ， 又由2x -=k π(k ∈Z ) ，得x =
326
k ππ
+,0) (k ∈Z ) ． 所以，对称中心的坐标为(
26
正、余弦函数的单调性、奇偶性
, k π+
五．练习：求下列函数的单调递减区间：（1）y =cos(
π
2
-2x ) ； （2
）y
六．小结：1．正、余弦函数的奇偶性及对称性；
2．正、余弦函数的单调性及单调区间及y =A sin(ωx +ϕ) （y =A cos(ωx +ϕ) ）型函数单调区间的求法；
七．作业：P 57第8题，P 58第6题，复习参考题：P 89第29题，P 91第11题， 补充：1．比较大小（写出过程）
（1）sin1,sin 2,sin3,sin 4； （2）cos1,cos 2,cos3,cos 4． 2．求下列函数的单调递减区间：
（1）y =log 2sin 2x ； （2
）y = （3）y =sin x -cos x ． 正、余弦函数的单调性、奇偶性