概率习题及答案

1、(12x)n展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.

12

2

、已知)n(nN*)展开式中常数项是Cn，则n的值为x

3.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+„+a6x6且a1+a2+„+a6=63,则实数m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. -3 D. 1或-3

4. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2X4)=0.6826，则p（X>4）=（ ）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

5. 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为p1和p2，则（ ）

A. p1=p2 B. p1p2 D。以上三种情况都有可能

6、已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，

命中7环的概率为0.12．

（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.

7、已知函数：

，其中：

，记函数

满足条件：

的事件为A，求事件A发生的概率。

8、甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4）玩游戏20们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （1）．设

分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．

（2）．若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）．甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

9、同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，两颗骰子向上的点数之和记为.

（Ⅰ）求

的概率;（Ⅱ）求的概率.

10、某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.

（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数的数学期望；

（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

11、某射手每次射击击中目标的概率是

2

，且各次射击的结果互不影响。 3

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。

12、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

（用最小二乘法求线性回归方程系数

，.）

565566

1、解：依题意有Cn∴n=8.则(12x)nT51Cn(2x)5,T61Cn(2x)6，2Cn2，4展开式中二项式系数最大的项为T5C8(2x)41120x.设第r+1项系数的绝对

C8r2rC8r12r1值最大，则有rr5r6,又rZ,r5或r6. r1r1

C82C82则系数绝对值最大项为T61792x5,T71792x6. 2、解：展开式的通项为Tr1C(x)

rn

1

2nr

(x)Cx

1

1r

rn

n3r2

，若要其表示常数项，须

nn-3r1112

=0，有即r=n，又由题设知Cn=Cn3，\2=n或n-2=n，\n=62333或n=3.

3、答案：D

4．B．P(3X4)

1

P(2X4)=0.3413， 2

P(X4)0.5P(2X4)=0.5-0.3413=0.1587．

5、B考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。方法一：每箱的选中的概率为

，总概率为1C10(0.1)0(0.9)10；同理，方法二：每箱的选中的概率为

1

10

1

，总事件的概率为5

14

1C50()0()5，作差得p1

55

6、解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件

由于在一次射击中，

与

，“甲射击一次，命中7环”为事件

与，

．

是互斥事件，

，

不可能同时发生，故

（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为由互斥事件的概率加法公式，

答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．

，∴=1－0.1＝0.9．

7、解：

由，可得

：，知满足事件A的区域的面积为

：

10，而满足所有条件的区域的面积：

从而，得：， 答：满足事件A的概率为

8解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：

（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、

（4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4），共12种不同情况． （2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为1/3；（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ，2）、（4，3）5种

甲胜的概率

，乙获胜的概率为．∵＜，∴此游戏不公平

9解: (Ⅰ

:

显然，的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

点数和为5出现4次, (Ⅱ)

. 答：的概率是.

点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,

.答：

10解：（Ⅰ）由题意知甲取球次数的取值为1，2，3，4

概率是.

323331333

；P(2)；P(3)；

65420626510

32131

 P(4)

654320

13317

34 则甲取球次数的数学期望为 E12

21020204

P(1)

11

（Ⅱ）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C6C636(种) 不同的情形

111111

C3C3C2C2C1C171

每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则P(A) 11

C6C6182

所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平。

11、本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B5,.在5次射击中，恰

23

4022

有2次击中目标的概率P(X2)C51

33243

2

22

（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则

P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)

82112112

= =

813333333

（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6

32323

11

P(0)P(A1A2A3)

327

21121122

P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)=

33333339

P(2)P(A1A2A3)

2124 33327

2

22

2

3

82111

P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

33332782

P(6)P(A1A2A3)

327

所以的分布列是 略

12、【解析】(1)画出散点图.

3

(2), , ,

由所提供的公式可得 (3)

吨.

,故所求线性回归方程为

1、(12x)n展开式中第6项与第7项的系数的绝对值相等，求展开式中系数最大的项和系数绝对值最大的项.

12

2

、已知)n(nN*)展开式中常数项是Cn，则n的值为x

3.(江苏省启东中学2008年高三综合测试一)若(1+mx)6=a0+a1x+a2x2+„+a6x6且a1+a2+„+a6=63,则实数m的值为（ ） A. 1 B. -1 C. -3 D. 1或-3

4. 已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且P(2X4)=0.6826，则p（X>4）=（ ）

A、0.1588 B、0.1587 C、0.1586 D0.1585

5. 一位国王的铸币大臣在每箱100枚的硬币中各掺入了一枚劣币，国王怀疑大臣作弊，他用两种方法来检测。方法一：在10箱子中各任意抽查一枚；方法二：在5箱中各任意抽查两枚。国王用方法一、二能发现至少一枚劣币的概率分别为p1和p2，则（ ）

A. p1=p2 B. p1p2 D。以上三种情况都有可能

6、已知射手甲射击一次，命中9环（含9环）以上的概率为0.56，命中8环的概率为0.22，

命中7环的概率为0.12．

（1）求甲射击一次，命中不足8环的概率； （2）求甲射击一次，至少命中7环的概率.

7、已知函数：

，其中：

，记函数

满足条件：

的事件为A，求事件A发生的概率。

8、甲乙二人用4张扑克牌（分别是红桃2 红桃3 红桃4 方片4）玩游戏20们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张． （1）．设

分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况．

（2）．若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

（3）．甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜．你认为此游戏是否公平，说明你的理由．

9、同时掷两颗质地均匀的骰子(六个面分别标有数字1，2，3，4，5，6的正方体)，两颗骰子向上的点数之和记为.

（Ⅰ）求

的概率;（Ⅱ）求的概率.

10、某甲有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子；某乙也有一个放有3个红球、2个白球、1个黄球共6个球的箱子.

（Ⅰ）若甲在自己的箱子里任意取球，取后不放回，每次只取一个球，直到取到红球为止，求甲取球次数的数学期望；

（Ⅱ）若甲、乙两人各从自己的箱子里任取一球比颜色，规定同色时为甲胜，异色时为乙胜，这个游戏规则公平吗？请说明理由.

11、某射手每次射击击中目标的概率是

2

，且各次射击的结果互不影响。 3

（Ⅰ）假设这名射手射击5次，求恰有2次击中目标的概率

（Ⅱ）假设这名射手射击5次，求有3次连续击中目标。另外2次未击中目标的概率； （Ⅲ）假设这名射手射击3次，每次射击，击中目标得1分，未击中目标得0分，在3次射击中，若有2次连续击中，而另外1次未击中，则额外加1分；若3次全击中，则额外加3分，记为射手射击3次后的总的分数，求的分布列。

12、下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x(吨)与相应的生产能耗Y(吨标准煤)的几组对照数据

(1)请画出上表数据的散点图；

(2)请根据上表提供的数据，崩最小二乘法求出Y关于x的线性回归方程Y=bx+a； (3)已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤．试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?

（用最小二乘法求线性回归方程系数

，.）

565566

1、解：依题意有Cn∴n=8.则(12x)nT51Cn(2x)5,T61Cn(2x)6，2Cn2，4展开式中二项式系数最大的项为T5C8(2x)41120x.设第r+1项系数的绝对

C8r2rC8r12r1值最大，则有rr5r6,又rZ,r5或r6. r1r1

C82C82则系数绝对值最大项为T61792x5,T71792x6. 2、解：展开式的通项为Tr1C(x)

rn

1

2nr

(x)Cx

1

1r

rn

n3r2

，若要其表示常数项，须

nn-3r1112

=0，有即r=n，又由题设知Cn=Cn3，\2=n或n-2=n，\n=62333或n=3.

3、答案：D

4．B．P(3X4)

1

P(2X4)=0.3413， 2

P(X4)0.5P(2X4)=0.5-0.3413=0.1587．

5、B考查不放回的抽球、重点考查二项分布的概率。方法一：每箱的选中的概率为

，总概率为1C10(0.1)0(0.9)10；同理，方法二：每箱的选中的概率为

1

10

1

，总事件的概率为5

14

1C50()0()5，作差得p1

55

6、解：记“甲射击一次，命中7环以下”为事件

由于在一次射击中，

与

，“甲射击一次，命中7环”为事件

与，

．

是互斥事件，

，

不可能同时发生，故

（1）“甲射击一次，命中不足8环”的事件为由互斥事件的概率加法公式，

答：甲射击一次，命中不足8环的概率是0.22． （2）∵“甲射击一次，至少命中7环”为事件答：甲射击一次，至少命中7环的概率为0.9．

，∴=1－0.1＝0.9．

7、解：

由，可得

：，知满足事件A的区域的面积为

：

10，而满足所有条件的区域的面积：

从而，得：， 答：满足事件A的概率为

8解：(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4 ’表示)为：

（2，3）、（2，4）、（2，4 ’）、（3，2）、（3，4）、（3，4 ’）、

（4，2）、（4，3）、（4，4 ’）、（ 4 ’，2）、（4 ’，3）（4 ’，4），共12种不同情况． （2）甲抽到3，乙抽到的牌只能是2，4，4．因此乙抽到的牌的数字大于3的概率为1/3；（3）由甲抽到牌比乙大有（3，2）、（4，2）、（4，3）、（4 ，2）、（4，3）5种

甲胜的概率

，乙获胜的概率为．∵＜，∴此游戏不公平

9解: (Ⅰ

:

显然，的取值有11种可能，它们是2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12.

点数和为5出现4次, (Ⅱ)

. 答：的概率是.

点数和为2出现1次, 点数和为3出现2次, 点数和为4出现3次,

.答：

10解：（Ⅰ）由题意知甲取球次数的取值为1，2，3，4

概率是.

323331333

；P(2)；P(3)；

65420626510

32131

 P(4)

654320

13317

34 则甲取球次数的数学期望为 E12

21020204

P(1)

11

（Ⅱ）由题意，两人各自从自己箱子里任取一球比颜色共有C6C636(种) 不同的情形

111111

C3C3C2C2C1C171

每种情形都是等可能的，记甲获胜为事件A，则P(A) 11

C6C6182

所以甲获胜的概率小于乙获胜的概率，这个游戏规则不公平。

11、本小题主要考查二项分布及其概率计算公式、离散型随机变量的分布列、互斥事件和相互独立事件等基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力，满分12分。

（1）解：设X为射手在5次射击中击中目标的次数，则X~B5,.在5次射击中，恰

23

4022

有2次击中目标的概率P(X2)C51

33243

2

22

（Ⅱ）解：设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A,则

P(A)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)P(A1A2A3A4A5)

82112112

= =

813333333

（Ⅲ）解：由题意可知，的所有可能取值为0,1,2,3,6

32323

11

P(0)P(A1A2A3)

327

21121122

P(1)P(A1A2A3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)=

33333339

P(2)P(A1A2A3)

2124 33327

2

22

2

3

82111

P(3)P(A1A2A3)P(A1A2A3)

33332782

P(6)P(A1A2A3)

327

所以的分布列是 略

12、【解析】(1)画出散点图.

3

(2), , ,

由所提供的公式可得 (3)

吨.

,故所求线性回归方程为