课时作业(五十八)B [第58讲 排列、组合]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n }，则a 19＝( )
A ．2 014 B ．2 034 C ．1 432 D ．1 430
2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法种数是( )
A ．1 136 B ．1 600 C ．2 736 D ．1 120
3．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是( )
828
A ．C 280C 20 B ．A 80A 20
282
C ．A 880C 20 D ．C 80C 20
4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资项目不超过2个，则他不同的投资方案有( )
A ．60种 B ．70种 C ．100种 D ．120种 能力提升
5．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )
A ．120 B ．98 C ．63 D ．56
6．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )
A ．252个 B ．300个 C ．324个 D ．228个 7．[2011·哈尔滨二模] 2011年，哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 8．[2011·安徽江南十校联考] 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7
中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )
A ．576 B ．720 C ．864 D ．1152 9．[2011·哈尔滨三模] 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为________(用数字作答) ．
10．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答) ．
11．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种．
12．(13分) 一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？
难点突破
13．(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？
(2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中，异面直线有多少对？
课时作业(五十八)B
【基础热身】
2
1．A [解析] 千位是1的四位偶数有C 13A 3＝18，故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2 014.
2．A [解析] 方法一：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一
221
等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C 116C 4＋C 16C 4＋3C 16＝1 136(种) ．
3
方法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 4＝1 136(种) ． 3．D [解析] 由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关，与顺序无关，是
2
组合问题．分步计数，先选8名教师再选2名职员，共有C 880C 20种选法．
4．D [解析] 在五个城市中的三个城市各投资一个，有方法数A 35＝60，将三个项目分
12
为两组投资到五个城市中的两个，有方法数C 3A 5＝60，故不同的投资方案有120种．
【能力提升】
2
5．B [解析] 分两类：(1)不包含A ，B ，C 的有C 3C 17种选法；(2)包含A ，B ，C 的有C 7·3
321
种选法．所以共有C 7＋C 7·C 3＝98(种) 选法，故应选B.
1213
6．B [解析] (1)若仅仅含有数字0，则选法是C 23C 4，可以组成四位数C 3C 4A 3＝12×6＝72个；
2123
(2)若仅仅含有数字5，则选法是C 13C 4，可以组成四位数C 3C 4A 3＝18×6＝108个；
13
(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C 13C 4，排法是若0在个位，有A 3＝6种，若5
11
在个位，有2×A 22＝4种，故可以组成四位数C 3C 4(6＋4) ＝120个．
根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．
1322C 1C 1C C C C 3
7．D [解析] 分组法是(1,1,3)，(1,2,2)，共有25，再分配，乘以A 3，A 2A 2
即得总数150.
8．C [解析] 先让数字1,3,5,7作全排列，有A 44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有
42
3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A 24种排法，共有A 4×3×A 4＝864种，故选C.
2C 122⎛9．8 [解析] 总的分法是⎝C 4A A 若仅仅甲、乙分到一个班级，则分法是A 2＝14，2＝22
2，若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到3名学生，则分法是C 12A 2＝4，故总数是14－2－4＝8.
10．72 [解析] 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法
22C 1C C 313
总数是C 3A 3＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是A 3＝
A 2
90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．
11．222 [解析] 总数是C 2若有两个学校名额相同，则可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,1123＝253，
2
个名额，此时有10C 3＝30种可能，若三个学校名额相同，即都是8个名额，则只有1种情况，故不同的分配方法数是253－30－1＝222.
12．[解答] 依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：
4
(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有C 26C 5＝75种情况；
3
(2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有C 36C 5＝200种情况；
2
(3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有C 46C 5＝150种情况；
1
(4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有C 56C 5＝30种情况；
(5)代数题全对，几何题全错，此时有C 66C 5＝1种情况． 由分类计数原理得所有可能的答题情况有456种． 【难点突破】
13．[解答] (1)由于是10个名额，故名额和名额之间是没有区别的，我们不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空当，10个名额之间就出现了9个空当，我们的目的是把这10个名额分成6份，每份至少一个，那我
们只要把这9个空当中的5个空当上各放上一个隔板，两端的隔板外面的2部分，隔板和隔板之间的4部分，这样就把这10个指标从左到右分成了6份，且满足每份至少一个名额，我们把从左到右的6份依次给1,2,3,4,5,6班就解决问题了．这里的在9个空当上放5个隔板的不同方法数，就对应了符合要求的名额分配方法数．这个数不难计算，那就是从9个空当中选出5个空当放隔板，不同的放法种数是C 59＝126.
(2)方法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有C 48种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件，去掉．因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有(C48－12) 种．不共面的4点可构成四面体，而每个四面
4
体有3对异面直线，故共有3(C8－12) ＝174对．
方法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条
2
有C 228种情况，除去其中共面的情况：(1)6个表面，每个面上有6条线共面，共有6C 6条；(2)6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有6C 26条；(3)从同一顶点出发有3条面对角
2
线，任意两条线都共面，共有8C 3条，
222
故共有异面直线C 228－6C 6－6C 6－8C 3＝174对．
课时作业(五十八)B [第58讲 排列、组合]
[时间：35分钟 分值：80分]
基础热身
1．由0,1,2,3,4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n }，则a 19＝( )
A ．2 014 B ．2 034 C ．1 432 D ．1 430
2．有20个零件，其中16个一等品，4个二等品，若从20个零件中任意取3个，那么至少有1个一等品的不同取法种数是( )
A ．1 136 B ．1 600 C ．2 736 D ．1 120
3．某学校有教职工100人，其中教师80人，职员20人．现从中选取10人组成一个考察团外出学习考察，则这10人中恰好有8名教师的不同选法的种数是( )
828
A ．C 280C 20 B ．A 80A 20
282
C ．A 880C 20 D ．C 80C 20
4．某外商计划在5个候选城市投资3个不同的项目，且在同一城市投资项目不超过2个，则他不同的投资方案有( )
A ．60种 B ．70种 C ．100种 D ．120种 能力提升
5．某校开设10门课程供学生选修，其中A ，B ，C 三门由于上课时间相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修三门，则每位同学不同的选修方案种数是( )
A ．120 B ．98 C ．63 D ．56
6．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )
A ．252个 B ．300个 C ．324个 D ．228个 7．[2011·哈尔滨二模] 2011年，哈三中派出5名优秀教师去大兴安岭地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )
A ．80种 B ．90种 C ．120种 D ．150种 8．[2011·安徽江南十校联考] 在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7
中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )
A ．576 B ．720 C ．864 D ．1152 9．[2011·哈尔滨三模] 将甲、乙、丙、丁四名学生分到两个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同的分法的总数为________(用数字作答) ．
10．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答) ．
11．将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有________种．
12．(13分) 一次数学考试的第一大题有11道小题，其中第(1)～(6)小题是代数题，答对一题得3分；第(7)～(11)题是几何题，答对一题得2分．某同学第一大题对6题，且所得分数不少于本题总分的一半，问该同学有多少种答题的不同情况？
难点突破
13．(12分)(1)10个优秀指标名额分配给6个班级，每个班至少一个，共有多少种不同的分配方法？
(2)在正方体的过任意两个顶点的所有直线中，异面直线有多少对？
课时作业(五十八)B
【基础热身】
2
1．A [解析] 千位是1的四位偶数有C 13A 3＝18，故第19个是千位数字为2的四位偶数中最小的一个，即2 014.
2．A [解析] 方法一：将“至少有1个是一等品的不同取法”分三类：“恰有1个一
221
等品”，“恰有2个一等品”，“恰有3个一等品”，由分类计数原理有：C 116C 4＋C 16C 4＋3C 16＝1 136(种) ．
3
方法二：考虑其对立事件：“3个都是二等品”，用间接法：C 320－C 4＝1 136(种) ． 3．D [解析] 由于结果只与选出的是哪8名教师和哪两名职员有关，与顺序无关，是
2
组合问题．分步计数，先选8名教师再选2名职员，共有C 880C 20种选法．
4．D [解析] 在五个城市中的三个城市各投资一个，有方法数A 35＝60，将三个项目分
12
为两组投资到五个城市中的两个，有方法数C 3A 5＝60，故不同的投资方案有120种．
【能力提升】
2
5．B [解析] 分两类：(1)不包含A ，B ，C 的有C 3C 17种选法；(2)包含A ，B ，C 的有C 7·3
321
种选法．所以共有C 7＋C 7·C 3＝98(种) 选法，故应选B.
1213
6．B [解析] (1)若仅仅含有数字0，则选法是C 23C 4，可以组成四位数C 3C 4A 3＝12×6＝72个；
2123
(2)若仅仅含有数字5，则选法是C 13C 4，可以组成四位数C 3C 4A 3＝18×6＝108个；
13
(3)若既含数字0，又含数字5，选法是C 13C 4，排法是若0在个位，有A 3＝6种，若5
11
在个位，有2×A 22＝4种，故可以组成四位数C 3C 4(6＋4) ＝120个．
根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．
1322C 1C 1C C C C 3
7．D [解析] 分组法是(1,1,3)，(1,2,2)，共有25，再分配，乘以A 3，A 2A 2
即得总数150.
8．C [解析] 先让数字1,3,5,7作全排列，有A 44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有
42
3种排法，最后排数字2,4，在剩下的4个空隙中排上2,4，有A 24种排法，共有A 4×3×A 4＝864种，故选C.
2C 122⎛9．8 [解析] 总的分法是⎝C 4A A 若仅仅甲、乙分到一个班级，则分法是A 2＝14，2＝22
2，若甲、乙分到同一个班级且这个班级分到3名学生，则分法是C 12A 2＝4，故总数是14－2－4＝8.
10．72 [解析] 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法
22C 1C C 313
总数是C 3A 3＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是A 3＝
A 2
90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．
11．222 [解析] 总数是C 2若有两个学校名额相同，则可能是1,2,3,4,5,6,7,9,10,1123＝253，
2
个名额，此时有10C 3＝30种可能，若三个学校名额相同，即都是8个名额，则只有1种情况，故不同的分配方法数是253－30－1＝222.
12．[解答] 依题意可知本题的总分的一半是14分，某同学在11题中答对了6题，则至少答对两道代数题，至多答对4道几何题，因此有如下答题的情况：
4
(1)代数题恰好对2道，几何题恰好对4道，此时有C 26C 5＝75种情况；
3
(2)代数题恰好对3道，几何题恰好对3道，此时有C 36C 5＝200种情况；
2
(3)代数题恰好对4道，几何题恰好对2道，此时有C 46C 5＝150种情况；
1
(4)代数题恰好对5道，几何题仅对1道，此时有C 56C 5＝30种情况；
(5)代数题全对，几何题全错，此时有C 66C 5＝1种情况． 由分类计数原理得所有可能的答题情况有456种． 【难点突破】
13．[解答] (1)由于是10个名额，故名额和名额之间是没有区别的，我们不妨把这10个名额在桌面上从左到右一字摆开，这样在相邻的两个名额之间就出现了一个空当，10个名额之间就出现了9个空当，我们的目的是把这10个名额分成6份，每份至少一个，那我
们只要把这9个空当中的5个空当上各放上一个隔板，两端的隔板外面的2部分，隔板和隔板之间的4部分，这样就把这10个指标从左到右分成了6份，且满足每份至少一个名额，我们把从左到右的6份依次给1,2,3,4,5,6班就解决问题了．这里的在9个空当上放5个隔板的不同方法数，就对应了符合要求的名额分配方法数．这个数不难计算，那就是从9个空当中选出5个空当放隔板，不同的放法种数是C 59＝126.
(2)方法一：连成两条异面直线需要4个点，因此在正方体8个顶点中任取4个点有C 48种取法．每4个点可分共面和不共面两种情况，共面的不符合条件，去掉．因为在6个表面和6个体对角面中都有四点共面，故有(C48－12) 种．不共面的4点可构成四面体，而每个四面
4
体有3对异面直线，故共有3(C8－12) ＝174对．
方法二：一个正方体共有12条棱、12条面对角线、4条体对角线，计28条，任取两条
2
有C 228种情况，除去其中共面的情况：(1)6个表面，每个面上有6条线共面，共有6C 6条；(2)6个体对角面，每个面上也有6条线共面，共有6C 26条；(3)从同一顶点出发有3条面对角
2
线，任意两条线都共面，共有8C 3条，
222
故共有异面直线C 228－6C 6－6C 6－8C 3＝174对．