16.1 二次根式教案
第一课时二次根式的概念
教学目标
知识与技能 1 理解二次根式的概念
2
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法 从具体实例中建立二次根式模型 ，探索二次根式被开方数中字母的取植范围
情感 态度与价值观 经历观察 比较 总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键
1
a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
3
问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的
x
坐标是___________．
问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以
，
． 问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得
二、探索新知
.
，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平
a≥0）•的式子叫做二次根式，
”称为二次根号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a
老师点评:
有意义的条件
1
例1．下列式子，哪些是二次根式，
x>0）
、
x
、
、
1
x≥0，y•≥0）． x
y
分析
正数或0．
”；第二，被开方数是
x>0）
、
x≥0，y≥0）；不是二
、
11
、．
xyx
例2．当x是多少时，x2在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0x2•才能有意义．
解：由x-2≥0，得：x≥2
当x≥2时，x2在实数范围内有意义． 三、巩固练习
教材练习1、2、3． 四、应用拓展
1
例3．当x
分析
1
在实数范围内有意义？ x1
1
在实数范围内有意义，必须同时满足0和1
A．5 B C． D．以上皆不对
5
二、填空题
x
1
1
x1
中的x+1≠0． 解：依题意，得2x30
x10
由①得：x≥-
32
由②得：x≠-1
当x≥-32且x≠-1
1
x1
在实数范围内有意义．
例4(1)已知
，求x
y
的值．(答案:2)
(2)
+=0，求a2004+b2004的值．(答案:
2
5
) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）
1
a≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
七 板书设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A B．
1x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x+x2
在实数范围内有意义？ 3． 4.x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．
2
16..1 二次根式教案
教学内容 1
．
a≥0）是一个非负数；
22
）=______
；）=_______
；）2
=_______．
是4的算术平方根，是一个平方等于4
）2=4．
同理可得：）
2=2，2
=9，）2=3，
2
2．
2=a（a≥0）． 教学目标
知识与技能
a≥0
2=a（a≥0），并利用它们进行计
算和化简．
过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程
情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键
1
a≥0）是一个非负数；
2=a（a≥0）及其运用．
2127
）=，
）=，）32
=0，所以
例1 计算
1．（.5）
2 2．（
2 3．2
2
4．（）2
分析：我们可以直接2=a（a≥0
）的结论解题．
2
a≥0）是一个非负数；•用探究的方
2=a（a≥0）． 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0
a
老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空：
）
2=_______；
2=_______；2=______
；2=_______；
3
解：（.5）
2 =1.5，（2 =22
·2=22×5=20，
2522
7
=，（）=2．
2246
三、巩固练习
计算下列各式的值：
2
22
2
） （）
）2
（）4
22
四、应用拓展
例2 计算
1．
2（x
≥0） 2．2 3．
2
2 4．分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a≥0；（3）a+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
2
2
2
所以上面的4题都可以
=a（a≥0）的重要结论解题．
2
_______数． 三、综合提高题 1．计算
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2
=x+1
（2）∵a2≥0
2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0
2+2a+1 （4）∵4x2
-12x+9=（2x）2
-2·2x·3+32
=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0
2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结 本节课应掌握：
1
a≥0）是一个非负数；
2．
2=a（a≥0）;反之:a=
2（a≥0）． 六、布置作业
1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．
七 板书设计
第二课时作业设计 一、选择题
1
个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a
1．（
2=________．
4
（1）
2 （2）-
）2 （3）（1
2
）2 （4）（
）2
(5)
．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3）1
6
（4）x（x≥0）
3
=0，求xy的值． ．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
2 4
16.1 二次根式教案第三课时
教学内容
a（a≥0） 教学目标
知识与技能
（a≥0），
（a≥0）
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
231=
=．
10
3
7
并利用它进行计算和化简．
过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想 情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力 教学重难点关键
1
a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0
a才成立． 教学过程 一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容； 1
a≥0）的式子叫做二次根式； 2
a≥0）是一个非负数； 3．
2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0
是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知
（学生活动）填空：
；
=________
=_______．
例1
化简
（1
（2
（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，
（3）25=52，
（4）（-3）2=32
（a
≥0）•去化简． 解：（1
（2
（3
（4 三、巩固练习 教材P
7练习2． 四、应用拓展
例2
填空：当a≥0；当a
，•并根据这一性质回答下列问题．
（1
，则a可以是什么数？ （2
，则a可以是什么数？
（3
，则a可以是什么数？（学生讨论）
分析：（
a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“
（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a
5
解：（1
，所以a≥0； （2
，所以a≤0；
A．0 B．
22
C．4 D．以上都不对 33
2．a≥0
它们的结果，下面四个选项中正确的是
（3）因为当a≥0
时，
，即使a>a所以a不存在；当a
，
，即使-a>a，a
（ ）．
A
例3当x>2
C
分析：(略) 五、归纳小结
1
（a≥0）及其运用，同时理解当a
a的应用
2
拓展．
六、布置作业
1
板书设计
第三课时作业设计 一、选择题
1
的值是（ ）．
6
．
-
二、填空题
．
=________．
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
．先化简再求值：当a=9时，求
如下： 甲的解答为：原式
=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式
=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│
，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
+
16.1 二次根式教案
第一课时二次根式的概念
教学目标
知识与技能 1 理解二次根式的概念
2
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法 从具体实例中建立二次根式模型 ，探索二次根式被开方数中字母的取植范围
情感 态度与价值观 经历观察 比较 总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键
1
a≥0）的式子叫做二次根式的概念；
2．
a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：
3
问题1：已知反比例函数y=，那么它的图象在第一象限横、•纵坐标相等的点的
x
坐标是___________．
问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________．
问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评：
问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以
，
． 问题2：由勾股定理得
问题3：由方差的概念得
二、探索新知
.
，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平
a≥0）•的式子叫做二次根式，
”称为二次根号．
（学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a
老师点评:
有意义的条件
1
例1．下列式子，哪些是二次根式，
x>0）
、
x
、
、
1
x≥0，y•≥0）． x
y
分析
正数或0．
”；第二，被开方数是
x>0）
、
x≥0，y≥0）；不是二
、
11
、．
xyx
例2．当x是多少时，x2在实数范围内有意义？
分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0x2•才能有意义．
解：由x-2≥0，得：x≥2
当x≥2时，x2在实数范围内有意义． 三、巩固练习
教材练习1、2、3． 四、应用拓展
1
例3．当x
分析
1
在实数范围内有意义？ x1
1
在实数范围内有意义，必须同时满足0和1
A．5 B C． D．以上皆不对
5
二、填空题
x
1
1
x1
中的x+1≠0． 解：依题意，得2x30
x10
由①得：x≥-
32
由②得：x≠-1
当x≥-32且x≠-1
1
x1
在实数范围内有意义．
例4(1)已知
，求x
y
的值．(答案:2)
(2)
+=0，求a2004+b2004的值．(答案:
2
5
) 五、归纳小结（学生活动，老师点评）
1
a≥0）的式子叫做二次根式，
2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数．
七 板书设计
一、选择题
1．下列式子中，是二次根式的是（ ） A． B C．x 2．下列式子中，不是二次根式的是（ ）
A B．
1x
3．已知一个正方形的面积是5，那么它的边长是（ ）
1．形如________的式子叫做二次根式． 2．面积为a的正方形的边长为________． 3．负数________平方根． 三、综合提高题
1．某工厂要制作一批体积为1m3的产品包装盒，其高为0.2m，按设计需要，•底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？
2．当x+x2
在实数范围内有意义？ 3． 4.x有（ ）个． A．0 B．1 C．2 D．无数
5.已知a、b为实数，且=b+4，求a、b的值．
2
16..1 二次根式教案
教学内容 1
．
a≥0）是一个非负数；
22
）=______
；）=_______
；）2
=_______．
是4的算术平方根，是一个平方等于4
）2=4．
同理可得：）
2=2，2
=9，）2=3，
2
2．
2=a（a≥0）． 教学目标
知识与技能
a≥0
2=a（a≥0），并利用它们进行计
算和化简．
过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生从简单到复杂从一般到特殊的思 维过程
情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣 教学重难点关键
1
a≥0）是一个非负数；
2=a（a≥0）及其运用．
2127
）=，
）=，）32
=0，所以
例1 计算
1．（.5）
2 2．（
2 3．2
2
4．（）2
分析：我们可以直接2=a（a≥0
）的结论解题．
2
a≥0）是一个非负数；•用探究的方
2=a（a≥0）． 教学过程
一、复习引入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？
2．当a≥0
a
老师点评（略）． 二、探究新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答）
a≥0）是一个什么数呢？
老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出
做一做：根据算术平方根的意义填空：
）
2=_______；
2=_______；2=______
；2=_______；
3
解：（.5）
2 =1.5，（2 =22
·2=22×5=20，
2522
7
=，（）=2．
2246
三、巩固练习
计算下列各式的值：
2
22
2
） （）
）2
（）4
22
四、应用拓展
例2 计算
1．
2（x
≥0） 2．2 3．
2
2 4．分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a≥0；（3）a+2a+1=（a+1）≥0； （4）4x2-12x+9=（2x）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0．
2
2
2
所以上面的4题都可以
=a（a≥0）的重要结论解题．
2
_______数． 三、综合提高题 1．计算
解：（1）因为x≥0，所以x+1>0 2
=x+1
（2）∵a2≥0
2=a2 （3）∵a2+2a+1=（a+1）2
又∵（a+1）2≥0，∴a2+2a+1≥0
2+2a+1 （4）∵4x2
-12x+9=（2x）2
-2·2x·3+32
=（2x-3）2
又∵（2x-3）2≥0
∴4x2-12x+9≥0
2=4x2-12x+9 例3在实数范围内分解下列因式:
（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3 五、归纳小结 本节课应掌握：
1
a≥0）是一个非负数；
2．
2=a（a≥0）;反之:a=
2（a≥0）． 六、布置作业
1．教材P8 复习巩固2．（1）、（2） P9 7．
七 板书设计
第二课时作业设计 一、选择题
1
个数是（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
2．数a没有算术平方根，则a的取值范围是（ ）． A．a>0 B．a≥0 C．a
1．（
2=________．
4
（1）
2 （2）-
）2 （3）（1
2
）2 （4）（
）2
(5)
．把下列非负数写成一个数的平方的形式:
（1）5 （2）3.4 （3）1
6
（4）x（x≥0）
3
=0，求xy的值． ．在实数范围内分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5
2 4
16.1 二次根式教案第三课时
教学内容
a（a≥0） 教学目标
知识与技能
（a≥0），
（a≥0）
（老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到：
231=
=．
10
3
7
并利用它进行计算和化简．
过程与方法 经历探索二次根式的性质的过程，培养学生分类的数学思想 情感 态度与价值观 通过学生自主探索合作交流体会学习数学的乐趣及发散思维能力 教学重难点关键
1
a（a≥0）． 2．难点：探究结论．
3．关键：讲清a≥0
a才成立． 教学过程 一、复习引入
老师口述并板收上两节课的重要内容； 1
a≥0）的式子叫做二次根式； 2
a≥0）是一个非负数； 3．
2＝a（a≥0）．
那么，我们猜想当a≥0
是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知
（学生活动）填空：
；
=________
=_______．
例1
化简
（1
（2
（3（4分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，
（3）25=52，
（4）（-3）2=32
（a
≥0）•去化简． 解：（1
（2
（3
（4 三、巩固练习 教材P
7练习2． 四、应用拓展
例2
填空：当a≥0；当a
，•并根据这一性质回答下列问题．
（1
，则a可以是什么数？ （2
，则a可以是什么数？
（3
，则a可以是什么数？（学生讨论）
分析：（
a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“
（ ）2”中的数是正数，因为，当a≤0-a≥0．
（1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2│a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a
5
解：（1
，所以a≥0； （2
，所以a≤0；
A．0 B．
22
C．4 D．以上都不对 33
2．a≥0
它们的结果，下面四个选项中正确的是
（3）因为当a≥0
时，
，即使a>a所以a不存在；当a
，
，即使-a>a，a
（ ）．
A
例3当x>2
C
分析：(略) 五、归纳小结
1
（a≥0）及其运用，同时理解当a
a的应用
2
拓展．
六、布置作业
1
板书设计
第三课时作业设计 一、选择题
1
的值是（ ）．
6
．
-
二、填空题
．
=________．
是一个正整数，则正整数m的最小值是________．
三、综合提高题
．先化简再求值：当a=9时，求
如下： 甲的解答为：原式
=a+（1-a）=1；
乙的解答为：原式
=a+（a-1）=2a-1=17．
两种解答中，_______的解答是错误的，错误的原因是__________． 2．若│1995-a│
，求a-19952的值．
（提示：先由a-2000≥0，判断1995-a•的值是正数还是负数，去掉绝对值） 3. 若-3≤x≤2时，试化简│x-2│
+