第七届华中地区大学生数学建模邀请赛
承 诺 书
我们仔细阅读了第七届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
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我们的参赛报名号为：
参赛队员 (签名) ：
队员1： 沈炳杰
队员2：
队员3： 赵钧钧
武汉工业与应用数学学会
第七届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
编 号 专 用 页
选择的题号： A
参赛的编号：
（以下内容参赛队伍不需要填写）
竞赛评阅编号：
题目： 加速度检测仪数据校正
【摘 要】
本文研究的是加速度检测仪数据校正的问题。首先我们根据加速度检测仪所测得的加速度数据求得了加速度检测仪的速度及位移随时间的变化关系，根据仿真的结果，我们得出定性的结论：该加速度监测仪存在明显的误差，包括随机误差和系统误差。其次，我们分别从系统误差和随机误差两个方面对加速度检测仪进行数据校正。对于系统误差，我们首先运用了统计与回归模型，求解出三个不同的测量过程中无脉动风情境下的系统误差，并对不同的测量过程中的系统误差不同这一现象给出了合理的解释。其次，我们发现在有脉动风和无脉动风情况下系统误差的差异性，求解出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们根据机理分析建立了两个模型进行求解理论上的加速度，模型二建立在模型一的基础上，并对模型一进行了改进。我们采用模型二对加速度监测仪进行随机误差分析，校正了因随机误差产生的错误数据。最后我们对我们建立的加速度检测仪的数据校正模型进行了验证，检验结果表明我们建立的模型是实际可用的，具有推广价值。
针对问题一，我们根据加速度-速度和加速度-位移物理公式，建立了求声屏障振动的速度和位移的模型。求解模型的方法如下：我们用公式v t =a t +a t +1T 和公式
2
x t =
v t +v t +1
T 2
分别求出速度随时间的变化关系，位移随时间的变化关系。根据求出的速
度和位移的数据我们作出速度-时间图像和位移-时间图像，由图我们可以定性的看出声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差，说明该声屏障检测仪系统存在误差。接着我们分别从系统误差和随机误差两个角度进行定量的误差分析：对于系统误差，我们根据速度-时间图像上直线段部分求解出在无脉动风的情境下的系统误差。接着，在脉动风的作用下，我们发现速度零点下漂这一规律，求出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们运用机理分析建立了两个模型进行求解加速度。模型一是简谐振动模型，通过对数据的拟合，我们发现原数据受随机误差的影响。考虑到实际情况，我们对模型一进行了改进，在模型一的基础上建立了模型二阻尼振动模型。同理，通过对数据的拟合，我们可看出该加速度监测仪产生了随机误差。
针对问题二，对于系统误差，我们根据问题一所求解出的系统误差模型对原数据进行处理，减小了原数据中的系统误差。对于随机误差，我们采用模型二对原数据进行了合理的剔除，最终绘出消除误差后的波形。
针对问题三，我们将建立的数据处理方法和模型进行推广，所改进过的加速度检测仪在医学领域如胎儿心率检测仪和能源领域如油井示功图位移测量技术的应用作出了相应的推广。
关键词：随机误差 系统误差 曲线拟合 数值积分 机理分析 脉动风 阻尼振动
一、 问题的重述
声屏障是一种控制铁路、公路、高速铁路等各种道路行车对周围环境的噪声污染有效措施之一。正常状态下，声屏障的摆动应当在一定的范围内，当超过正常范围则需要对其进行加固维修。由于声屏障维修或重建费用高昂，故需声屏障检测仪对声屏障的工作状态进行检测，有针对性的对声屏障进行维修。然而声屏障检测仪在试验中，测得的数据通常会存在误差，误差包括系统误差、随机误差。由于误差的存在，在使用数值积分方法计算振动位移的过程中，就会累积较多的干扰，故而在测得数据后，需要经过系统误差校正、随机误差数据滤波等对数据进行校正。请建立数学模型解决如下问题： 1. 建立适当的数学模型，基于加速度-速度和加速度-位移物理公式，通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差，从随机误差、系统误差2个角度对数据进行误差分析； 2. 基于速度和位移的数值积分计算模型和误差分析结果，建立数学模型来对加速度数据进行校正，要求能尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实；
3. 对你所建立的数据处理方法和模型进行推广，所改进过的加速度检测仪除了可以用于声屏障监测以外，还可以应用于哪些场景，请结合改进方案阐述理由。
二、 问题的分析
本文主要解决的是加速度检测仪数据校正的问题。本文在声屏障检测仪对声屏障的工作状态进行检测的实际背景下，根据已知的加速度检测仪数据建立相关模型进行研究。
对于问题一，我们采用的数值积分的方法如下：
v t =
v +v a t +a t +1
T x t =t t +1T ，
22
其中，a t 为t 时刻测得的加速度，a t +1 为相邻T 时间间隔测得的加速度，T 为采
v t 为t 时刻求得的速度，v t +1 为相邻T 时间间隔求得的速度，x t 为t 时样的时间间隔，
刻求得的位移。
由于该题中的采样频率很大为1000Hz ，我们用这一方法求速度和位移会产生很小的误差，可以忽略不计，所以该求速度和位移的方法具有一定的合理性。根据求出的速度和位移的数据我们作出速度-时间图像和位移-时间图像，由图我们可以看出声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差，说明了该声屏障检测仪系统存在误差。我们需要从系统误差和随机误差两个角度对数据进行误差分析：对于系统误差，我们首先根据速度-时间图像上直线段部分求解出在无脉动风的情境下的系统误差。其次，在脉动风的作用下，我们发现速度零点下漂这一规律，所以还需要求出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们首先需要运用机理分析，建立模型推导出理论上加速度随时间的变化关系。根据脉动风对物体运动的作用，我们建立了两个模型。模型一是简谐振动模型，不考虑阻力等影响因素。由于实际的振动总要受到阻力的影响，振动的能量会产生损失，基于这一实际情况，我们所建立的模型一并不完善，我们对模型一进行了改进，建立了模型二阻尼振动模型。通过对数据的拟合，我们可看出该加速度监测仪产生了随机误差。
对于问题二，我们将从系统误差和随机误差两个方面对加速度检测仪所测得的原始数据进行校正。在系统误差方面，我们可根据问题一所求解出的系统误差模型对原数据进行处理，校正了原数据中的系统误差。在随机误差方面，我们采用模型二对原数据进行了合理的剔除，对随机误差数据进行滤波。滤波之后的波形基本符合实际情况，说明我们的模型是实际可用的。
对于问题三，我们将问题一中所建立的求解随机误差的模型运用于加速度检测仪的校正，对于校正后的加速度检测仪不仅可以运用于声屏障监测，我们还将其推广到医学和能源等领域。
三、 模型的假设与符号的说明
3.1模型的假设：
3.1.1计算声屏障的速度、位移的模型假设
1、假设在误差允许的范围内，声屏障在某一时刻的运动速度可用相邻的时间间隔内的平均加速度和单位时间间隔的乘积来近似计算。
2、假设在误差允许的范围内，声屏障在某一时刻的运动位移可用相邻的时间间隔内的平均速度和单位时间间隔的乘积来近似计算。 3.1.2计算系统误差模型的假设
1、假设在无脉动风的情境下不考虑环境因素如温度，气候对加速度监测仪的影响 2、假设在无脉动风的情境下的系统误差为一常数
3、假设在有脉动风的情境下的系统误差只出现在屏障减速的过程中，即由于系统本身的原因，只在屏障减速过程中产生误差。 3.1.3计算随机误差模型一的假设
1、假设不考虑空气阻力等其他因素对屏障振动的影响，屏障的振动符合三角函数变化 3.1.4计算随机误差模型二的假设
1、假设考虑空气阻力对屏障振动的影响，屏障的振动有能量的损失
2、假设空气阻力的方向与屏障振动的方向相反，大小满足等式f =-Cv （其中C 为阻尼振动系数，v 为屏障的振动速度）
四、 模型的建立与求解
4.1问题一的模型建立与求解 4.1.1 问题一的提出 已知：车的单方向运动从A-B 的过程中屏障在时间1.395s 内每隔0.001s 的加速度的值，车双向运动从C-D ，再从D-C 的过程中屏障在时间3.134s 内每隔0.001s 的加速度的值，车从E 点到F 点，再由F 到E ，并再重复一次的过程中屏障在时间2.397s 内每隔0.001s 的加速度的值。
要求：通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差，从随机误差、系统误差2个角度对数据进行误差分析。
4.1.2计算声屏障的速度，位移的模型的建立
我们根据公式v t =
a t +a t +1v +v
T 和 x t =t t +1T ，利用原始的加速度数据求解出每一时22
刻的屏障的振动速度和位移，并根据求解出的数据作出A-B ，C-D 再从D-C ，从E 点到
F 点再由F 到E 并再重复一次这三段过程的速度和位移随时间的变化图。 4.1.3计算声屏障的速度，位移模型的求解
我们运用模型中的公式，利用matlab 编程求解并作出A-B,C-D 再从D-C ，从E 点到F 点再由F 到E 并再重复一次这三段过程中的速度-时间，位移-时间图像，具体的matlab 程序见附录一，绘出的图形如下：
声屏障的加速度
单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度
50
-50
200
[1**********]200采样次数
单方向从A 点运动至B 点声屏障的速度
400
1400
声屏障的速度
200
6008001000
采集次数
单方向从A 点运动至B 点声屏障的位移
[1**********]
声屏障的位移
采集次数
图一
声屏障的加速度
从C-D 再从D-C 声屏障的加速度
50
-50
500
1000
[1**********]0采样次数
从C-D 再从D-C 声屏障的速度
3000
3500
声屏障的速度
500
1000
[1**********]0采集次数
从C-D 再从D-C 声屏障的位移
3000
3500
声屏障的位移
500
1000
15002000采集次数
2500
3000
3500
图二
声屏障的加速度
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度100
-100
[**************]0
采样次数
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的速度
500
声屏障的速度
[**************]0
采集次数
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的位移
500
声屏障的位移
500
10001500
采集次数
2000
2500
图三
由图分析可知: 声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差。根据经验可知，在图一的速度随时间变化的图像中A-B 段和D-E 段为没有车经过时系统所测出的速度的值理论上应该为0，在图一的位移随时间变化的图像中A-B 段和D-E 段理论上位移应该固定在某个数值。而从图上我们可以看到存在明显的误差，所以我们给出定性的分析：该系统具有明显的系统误差。图二，图三中我们亦可以得出类似的结论，这里不再一一赘述。对于随机误差，我们也可从图一，图二，图三中加速度随时间的变化关系图中定性的分析所记录的数据存在随机误差。下面我们将建立模型定量的分析出加速度检测仪的系统误差和随机误差。
4.1.4计算系统误差模型的建立
分析：根据对速度-时间和位移-时间图的观察，以图一为例进行分析，我们可以看到速度-时间图像中AB 段和DE 段呈线性变化，在位移随时间变化的曲线图中， AB 段和DE 段为一近似的抛物线，这符合我们的直观判断，在无脉动风的情境下系统误差为一常数。在速度-时间图像中的曲线段BC 和CD 段，我们可观察到在脉动风的作用下，速度下降段都会有一个零漂，这反映了在有脉动风时，系统还有一个系统误差，且只有在速度减小时才会产生。
建立：我们设在无脉动风的情境下系统误差为一常数
k 1运用统计与回归知识，建
k 2，运用
立了一元线性回归模型，在排除随机误差的影响后可最终求得系统误差。假设在有脉动风的情境下系统误差只在屏障减速的过程中出现，设这一系统误差为一常数
统计与回归知识，建立一元线性回归模型，在排除随机误差的影响后可最终求得系统误差。
4.1.5计算系统误差模型的求解
4.1.5.1无脉动风时系统误差模型的求解 A-B 过程中系统误差
用matlab 中regress 命令进行线性回归，程序如下： clear
load abxitong.txt; %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(abxitong); t=1:n;
a=abxitong; T=[ones(n,1) t'];
T(450,:)=[];a(450,:)=[];T(445,:)=[];a(445,:)=[];T(440,:)=[];a(440,:)=[];T(436,:)=[];a(436,:)=[];T(432,:)=[];a(432,:)=[];
T(430,:)=[];a(430,:)=[];T(426,:)=[];a(426,:)=[]; T(424,:)=[];a(424,:)=[];T(420,:)=[];a(420,:)=[]; T(400,:)=[];a(400,:)=[];T(399,:)=[];a(399,:)=[]; T(438,:)=[];a(438,:)=[];T(372,:)=[];a(372,:)=[]; T(284,:)=[];a(284,:)=[];
T(164,:)=[];a(164,:)=[];T(158,:)=[];a(158,:)=[];
T(321,:)=[];a(321,:)=[];T(319,:)=[];a(319,:)=[]; %剔除数据 [b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint)
经过多次的残差分析，剔除随机误差产生的数据后我们得出 b =
0.0280 -0.0000
bint =
0.0210 0.0350 -0.0001 -0.0000
其中b=0.0280为系统的系统误差
C-D 再从D-C 过程中系统误差的求解过程和从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中系统误差的求解过程见附录二，最终由线性回归得到的结果是：从A-B 过程中的系统误差为0.0257，从C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.0133，从E 点到F 点再由F 到E 过程中系统误差为0.036。下面我们具体分析一下三段过程中系统在无脉动风时的系统误差：考虑到三段过程中的系统误差偏差较大，我们不能直接取平均值当做系统误差，这从一个侧面反映了这可能不是一个系统，或说屏障上安装的加速度监测仪在不同时间其系统误差发生了变化。下面我们对这一现象作出解释，由于该系统安装在声屏障上，而声屏障大多运用在室外的环境，所以外界环境的变化可能会影响加速度检测仪的系统误差，所以对不同的时间段用加速度监测仪测出的数据其系统误差会有偏差。基于环境因素的影响，我们可以合理的解释不同过程中系统在无脉动风时的系统误差不同这一现象。
4.1.5.2有脉动风时系统误差模型的求解
观察上图一、二、三的速度波形，可以看出波降段均明显长于波升段，使得速度的波形更加偏离理论值曲线，由此我们可以看出在速度下降波段系统还存在系统误差。根据这一现象，我们在排除掉无脉动风时的系统误差后假设在有脉动风时只在速度下降时
存在系统误差，并设该系统误差为k 2，则我们将速度-时间模型改进为
v t =
a t +a t +1
T (1-k 2) 2
注意：这里模型改进只在速度下降所针对的时间段内
在A-B 的过程中，理论上AB 的速度波形需要下降到0，我们最终求得：k 2=0.1 AB 段有脉动风时，去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形如图四所示：
图四
根据去除系统误差后的加速度数据我们运用matlab 编程求出相应的速度，并作出速度-时间图像如图五所示：
图五
同理，用matlab 根据位移模型求解得出相应的位移数据，并作出位移-时间图像如图六所示：
图六
类似的，我们可以求解出从C-D 再从D-C 过程中有脉动风时的系统误差为0.2，从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中有脉动风时的系统误差为0.2 ,作出的去除有脉动风时速度减小段系统误差后相应的加速度-时间，速度-时间，位移-时间波形见附录四。
下面我们对有脉动风时只在速度减小段产生系统误差作出一定的解释：当出现脉动
风时，屏障在脉动风的作用下产生振动，当振动速度达到最大后，在空气阻力等因素的影响下速度开始减小，而该加速度监测仪系统由于内在结构的原因在测量的加速度为负值时就会产生一定的偏差，这种可能性是有的，该系统误差的存在具有一定的合理性。 4.1.6计算随机误差模型一的建立
模型一：根据物理规律，我们建立模型一，不考虑空气阻力等影响因素，我们将屏障的运动看作是理想化的简谐运动。x =Acos(ωt) 则v =-Aωsin(ωt) ，a =-A ω2cos(ωt) 根据我们建立的模型可以对数据进行拟合。 4.1.7计算随机误差模型一的求解
我们运用统计与回归中的非线性回归模型，通过matlab 编程作出理论上的加速度随时间的变化波形如图所示：
[1**********]250
图七
根据图七，我们可以看出原始的加速度数据存在随机误差 Matlab 程序见附录五
4.1.8计算随机误差模型二的建立
对于模型一我们所讨论的简谐运动的模型，在振动过程中系统的机械能是守恒的，是一种无阻尼的自由振动，然而实际的振动总是要受到阻力的影响，由于克服阻力做功，振动的能量不断地减少。同时，由于振动系统与其周围弹性介质的相互作用而向外传播形成波，随着波的传播振动系统的能量也不断地减少，所以在模型一的基础上我们对其进行改进，建立了模型二：把屏障的运动看作是受阻力的阻尼振动[1]。由实验指出，当物体以不太大的速率在粘性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动的速率成正比，即F r =-Cv 式中比例系数C 叫做阻力系数，负号表示阻力与速度方向相反。对弹簧振子，在弹性力
F =-k x 及阻力r F =-C v 的作用下，根据牛顿第二定律有-kx -Cv =ma 即
d 2x dx -δt
+C +kx =0x =Ae cos(ωt+θ)
其中ωω0δ=C /2m 化简得：2d t dt
该物理模型为屏障受到脉动风的作用进行振动的模型，随着时间的推移，屏障在空气阻力的作用下最终速度会下降为0，屏障静止。 4.1.9计算随机误差模型二的求解 根据阻尼振动模型x =Ae
-δt
cos(ωt+θ) ，我们可以发现屏障随时间变化的模型是在三
角函数振动的条件下加上随时间变化的衰减因子，则加速度随时间变化的模型类似，也是基于三角函数振动形式下添上衰减因子。理论上来说在时间t 趋于无穷大时屏障的振动才减为0，但我们根据实际的加速度波形可以看出经过一定的时间后，屏障的振动几乎趋于0，其振动幅度足够小，我们可近似将其看成已经停止了振动。我们利用傅里叶变换，将指数形式的随时间变化的衰减因子转化成三角函数形式。利用matlab 中的曲线拟合工具箱，对原加速度数据进行傅里叶拟合，并分别作出不同过程中的拟合曲线如图所示：
图八
图九
图十
图八为A-B 过程中的加速度拟合曲线，图九为C-D 再从D-C 过程中的加速度拟合曲线，图十为E 点到F 点再由F 到E 并再重复一次过程中的加速度拟合曲线。其拟合曲线的表达式见附录三。
4.2问题二的模型建立与求解
已知：问题一我们运用数值积分的方法计算出的速度和位移随时间的变化关系，问题一中所建立的求解系统误差和随机误差的模型
要求：基于速度和位移的数值积分计算模型和误差分析结果，建立数学模型来对加速度数据进行校正，要求能尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实
分析：由题意我们要尽量消除系统误差和随机误差。根据我们在问题一中建立的求解系统误差和随机误差的模型，我们可以从系统误差和随机误差两个角度对加速度数据进行校正。
4.2.1对加速度进行系统误差校正
根据问题一中建立的求解系统误差的模型，在无脉动风时A-B 过程中的系统误差为0.028，C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.0133，E-F 再从F-E 并再重复一次的过程中系统误差为0.036，在有脉动风时在屏障减速时A-B 过程中的系统误差为0.1，C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.2，E-F 再从F-E 并再重复一次的过程中系统误差为0.2。对A-B ，C-D 再从D-C ，E-F 再从F-E 并再重复一次这三段过程进行系统误差校正后的波形图如下所示：
图十一
图十二
图十三
4.2.2对加速度进行随机误差校正 根据问题一，我们建立了两个求解随机误差的模型，模型二建立在模型一的基础上，并对模型一进行了改进，由于模型二更符合实际情况，下面我们利用模型二对原加速度数据进行随机误差数据的滤波校正，得出如下的波形：
加速度(g *m /s 2)
(a)消除误差前加速度-时间关系图
50-50
500
1000
[1**********]0时间(ms)
(b)消除误差后速度-时间关系图
3000
3500
瞬时速度(m m /s )
2000-200
500
1000
[1**********]0时间(ms)
(c)消除误差后位移-时间关系图
3000
3500
位移(m m )
2000-200
500
1000
15002000时间(ms)
2500
3000
3500
4.3问题三的求解
本文主要运用到的方法及理论知识是统计与回归和机理分析，以此建立的模型可以较好的消除加速度检测仪的误差。所改进后的加速度检测仪在加速度测量方面有较为广泛的应用，可以将该检测仪推广到各种不同情况下的加速度测量中，例如：
1、 胎儿心率检测仪[2]。其原理是利用加速度检测仪将胎儿心率转换成模拟电压信号，经放大器实现差值放大，然后进行滤波等一系列中间信号处理，将模拟电压信号转换成数字信号进行分析处理，最后输出处理结果。由于胎儿心率很快，在每分钟120～160次之间，且其主要是靠手持进行测量，加速度检测仪在检测过程中会产生较大误差甚至冗余数据，利用我们模型改进后的加速度检测仪就可以较好的消除这些因素的干扰，使得到的数据更接近实际值；
2、 油井示功图位移测量技术研究[3]。其原理是加速度传感器负责采集油杆上下运动的加速度信号，通过积分算法而得到位移和冲程。考虑到采用的是对加速度信号进行双重积分算法得到位移和冲程，但加速度信号会由于电源纹波和信号干扰的影响引起波形的微小畸变，经过双重积分后冲程累积误差增大，可以利用本例模型对加速度信号进行处理，对加速度检测仪进行改进，使得数据更具有真实性。
五、 模型的评价与改进
5.1模型的评价 5.1.1模型的优点
对于问题一，在根据原加速度数据求解速度和位移的过程中我们采用了简化法，考虑到加速度监测仪采样频率为1000HZ 求速度和位移会产生很小的误差，可以忽略不计，该求速度和位移的方法既具有合理性又简化了模型，避免了繁琐的数值积分过程。在求解系统误差的模型中，我们从定性分析和定量计算两个方面分析了该加速度检测仪的系统误差。不仅考虑到了无脉动风时的系统误差，我们还发现在有脉动风和无脉动风情况下系统误差的差异性，较全面的分析了该加速度监测仪的系统误差。系统误差的分析结果也较符合声屏障在实际运用中的情形。在求解随机误差的模型中，我们根据机理分析建模，模型建立在一定的理论基础上，具有很强的说服力和可靠性。针对该题的随机误差，我们建立了两个模型来拟合原数据，我们对模型不断改进，使其更贴近实际生活，模型二基本上符合屏障振动的实际情况，模型十分合理。
对于问题二，我们通过在问题一中所建立的求解系统误差和随机误差的模型对原始的加速度数据进行误差校正。校正后的结果显示，我们建立的加速度检测仪数据校正模型是合理可用的，能较好的对加速度数据进行校正。
对于问题三，对问题一和问题二中建立的数据处理方法和模型可以推广应用到许多生产生活中，可以看出我们的数据处理方法和模型应用性较强，具有一般性和普适性。 5.1.2模型的缺点
1、减少了系统误差和随机误差之后所得到的一些数据还是会产生一定的不可避免的误差。
2、本文中曲线拟合时所用傅立叶级数较为复杂，不适合应用在数据量很大的问题中。
5.2模型的改进
基于已给定数据，只能判断很小的一小段时间内声屏障的状态，在这段很短的时间内我们可以采用阻尼振动模型，脉动风作用的时间因素我们可以不需考虑，但是在很多情况下我们可能需要考虑长时间脉动风对风屏障的持续性的作用，这时我们需要对模型
进行改进，建立受迫振动模型，将脉动风对风屏障作用的时间及屏障振动的周期性考虑进去，使其更符合实际风屏障的振动情况，对此我们可以进行更加深入的研究与讨论。
六、 模型的应用与推广
本文主要运用到的方法及理论知识是统计与回归和机理分析。统计与回归分析法在对数据的处理和统计问题中有广泛的应用，可以将该方法推广到各种不同情况下的数据处理和统计中，例如各地区电信业务量的处理和统计、公司年度销售量与成本的处理和统计等等。而机理分析的应用更是广泛，例如研究商品包装大小和成本利润间的问题、电气系统控制问题[4]、马铃薯收获机的效率问题[5]等等。
参考文献：
[1] 马文蔚，物理学，高等教育出版社，2006。 [2]方尼中等，基于MEMS 传感器的胎儿心率检测
http://wenku.baidu.com/link?url=_vLXdfHPteXphvBXTMF-C2UiDhOUVD_dKvE3bpPchej0-wK58ZjLIqyf_bi0jHWO-7QDjHLcCEjVojSB0NUiFrx5cSSmAxMOex-WHrx1vi，2014年5月2日.
[3]于云华等，基于加速度传感器的油井示功图位移测量技术研究[J],2009.
[4]赵才先，基于机理分析的FCCU 控制模型建立与建模软件的开发[D]，2010. [5]刘宝等，马铃薯收获机主要问题机理分析及其对策[J]，农机化研究，2009. 附件： 附录1：
单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系 Matlab 编程如下： load abspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(abspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(abspeed(i,1)+abspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(abspeed,'r-');
title('单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('单方向从A 点运动至B 点声屏障的速度'); load abv.txt t=0.001;
[n,p]=size(abv);
x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(abv(i,1)+abv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('单方向从A 点运动至B 点声屏障的位移'); gtext('A') gtext('B') gtext('C') gtext('D')
从C-D 再从D-C 声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系 Matlab 编程如下： load cdspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(cdspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(cdspeed(i,1)+cdspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(cdspeed,'r-');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的速度'); load cdv.txt t=0.001;
[n,p]=size(cdv); x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(cdv(i,1)+cdv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的位移');
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系
Matlab 编程如下： load efspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(efspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(efspeed(i,1)+efspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(efspeed,'r-');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的速度'); load efv.txt t=0.001;
[n,p]=size(efv); x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(efv(i,1)+efv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的位移'); 附录二：
C-D 再从D-C 过程中系统误差 clear
load cdxitong.txt %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(cdxitong); t=1:n;
a=cdxitong; T=[ones(n,1) t'];
T(16,:)=[];a(16,:)=[];T(21,:)=[];a(21,:)=[];T(16,:)=[];a(16,:)=[]; T(20,:)=[];a(20,:)=[];T(1258,:)=[];a(1258,:)=[];T(19,:)=[];a(19,:)=[];
T(1256,:)=[];a(1256,:)=[];T(1255,:)=[];a(1255,:)=[];T(501,:)=[];a(501,:)=[]; T(796,:)=[];a(796,:)=[];T(4,:)=[];a(4,:)=[];T(795,:)=[];a(795,:)=[]; T(794,:)=[];a(794,:)=[];T(121,:)=[];a(121,:)=[];T(50,:)=[];a(50,:)=[]; T(4,:)=[];a(4,:)=[];T(1248,:)=[];a(1248,:)=[];T(1246,:)=[];a(1246,:)=[]; T(194,:)=[];a(194,:)=[];T(318,:)=[];a(318,:)=[];T(3,:)=[];a(3,:)=[]; T(48,:)=[];a(48,:)=[];T(40,:)=[];a(40,:)=[]; %剔除数据
[b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint) b =
0.0133 0.0000 bint =
0.0897 0.0185 -0.0000 0.0000
其中 b=0.0133为系统误差
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中系统误差 clear
load efxitong.txt; %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(ef); t=1:n; a=ef;
T=[ones(n,1) t'];
T(663,:)=[];a(663,:)=[];T(663,:)=[];a(663,:)=[]; T(661,:)=[];a(661,:)=[];T(655,:)=[];a(655,:)=[]; T(689,:)=[];a(689,:)=[];T(650,:)=[];a(650,:)=[]; T(660,:)=[];a(660,:)=[];T(648,:)=[];a(648,:)=[]; T(657,:)=[];a(657,:)=[];T(650,:)=[];a(650,:)=[]; T(655,:)=[];a(655,:)=[];T(655,:)=[];a(655,:)=[]; T(657,:)=[];a(657,:)=[];T(656,:)=[];a(656,:)=[]; T(649,:)=[];a(649,:)=[];T(648,:)=[];a(648,:)=[]; T(652,:)=[];a(652,:)=[];T(652,:)=[];a(652,:)=[]; T(710,:)=[];a(710,:)=[];T(651,:)=[];a(651,:)=[]; T(692,:)=[];a(692,:)=[];T(703,:)=[];a(703,:)=[]; T(701,:)=[];a(701,:)=[];T(65,:)=[];a(65,:)=[]; T(705,:)=[];a(705,:)=[];T(912,:)=[];a(912,:)=[];
T(921,:)=[];a(921,:)=[];T(1152,:)=[];a(1152,:)=[]; %剔除数据 [b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint) b =
0.0367 0.0000
bint =
0.0321 0.0413 -0.0000 0.0000
其中b=0.0367为系统误差 附录三
A-B 段的利用傅里叶拟合的曲线的表达式
f(x) =a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) +a2*cos(2*x*w) + b2*sin(2*x*w) + a3*cos(3*x*w) + b3*sin(3*x*w) + a4*cos(4*x*w) + b4*sin(4*x*w) + a5*cos(5*x*w) + b5*sin(5*x*w) +a6*c
os(6*x*w) + b6*sin(6*x*w) + a7*cos(7*x*w) + b7*sin(7*x*w) + a8*cos(8*x*w) + b8*sin(8*x*w)
a0=-0.05306 (-0.113, 0.006876) a1=0.5306 (0.3369, 0.7243) b=1.857 (1.735, 1.98)
a2=-0.2267 (-0.3117, -0.1418) b2=0.2363 (0.138, 0.3346) a3=-0.2138 (-0.3198, -0.1077) b3=-0.1076 (-0.1939, -0.02122) a4=-0.09714 (-0.1888, -0.005517) b4=0.07539 (-0.01109, 0.1619) a5=-0.03903 (-0.1306, 0.05252) b5=0.06851 (-0.02036, 0.1574) a6=-0.1095 (-0.1974, -0.02162) b6=0.01959 (-0.06634, 0.1055) a7=-0.01687 (-0.1017, 0.06794) b7=-0.01741 (-0.1188, 0.08402) a8=-0.05697 (-0.1738, 0.05983) b8=-0.1157 (-0.2066, -0.0247) w=0.0303 (0.02914, 0.03145)
Goodness of fit: SSE: 36.64
R-square: 0.9178
Adjusted R-square: 0.9105 RMSE: 0.438
C-D 再从D-C 段的利用傅里叶拟合的曲线的表达式 General model Fourier8:
f(x)=a0 + a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)+a2*cos(2*x*w)+b2*sin(2*x*w)+a3*cos(3*x*w)+b3*sin(3*x*w)+a4*cos(4*x*w)+b4*sin(4*x*w)+a5*cos(5*x*w)+b5*sin(5*x*w)+a6*cos(6*x*w)+b6*sin(6*x*w)+a7*cos(7*x*w)+b7*sin(7*x*w)+a8*cos(8*x*w)+b8*sin(8*x*w) Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 =-0.11 (-0.1955, -0.02438) a1 =1.653 (0.4172, 2.888) b1 =-0.2489 (-2.038, 1.54) a2 =-0.4731 (-3.24, 2.294) b2 =-0.4089 (-2.218, 1.4) a3 =-1.378 (-3.91, 1.155) b3 =0.6368 (-4.37, 5.644) a4 =0.2626 (-2.262, 2.787) b4 =0.2252 (-1.698, 2.149) a5 =0.0442 (-0.6031, 0.6915) b5 =0.02113 (-1.363, 1.406)
a6 =0.1958 (-1.955, 2.347) b6 =-0.3049 (-1.839, 1.229)
a7 =-0.09569 (-0.1771, -0.01427) b7 =0.04391 (-1.102, 1.189) a8 =-0.007071 (-0.1272, 0.113) b8 =-0.001662 (-0.131, 0.1277) w =0.01457 (0.009462, 0.01967)
Goodness of fit: SSE: 135.1
R-square: 0.9017
Adjusted R-square: 0.8975 RMSE: 0.5841
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程利用傅里叶拟合的曲线的表达式 General model Fourier8:
f(x)=a0+a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)+a2*cos(2*x*w)+b2*sin(2*x*w)+a3*cos(3*x*w)+b3*sin(3*x*w)+a4*cos(4*x*w)+b4*sin(4*x*w)+a5*cos(5*x*w)+b5*sin(5*x*w)+a6*cos(6*x*w)+b6*sin(6*x*w)+a7*cos(7*x*w)+b7*sin(7*x*w)+a8*cos(8*x*w)+b8*sin(8*x*w) Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 =-1.403 (-3.831, 1.025) a1 =-1.57 (-5.284, 2.144) b1 =1.073 (-1.86, 4.005) a2 =-0.3438 (-1.911, 1.223) b2 =1.102 (-3.271, 5.474) a3 =-0.2114 (-2.995, 2.573) b3 =2.815 (-1.387, 7.017) a4 =1.173 (-2.427, 4.774) b4 =1.536 (0.6075, 2.465) a5 =1.749 (-1.283, 4.781) b5 =1.046 (-1.346, 3.438) a6 =0.8547 (0.09087, 1.619) b6 =-0.4937 (-2.642, 1.655) a7 =-0.1342 (-1.377, 1.108) b7 =-0.6345 (-1.015, -0.2539) a8 =0.1383 (-0.006855, 0.2834) b8 =-0.08624 (-0.266, 0.0935) w =0.00607 (0.005426, 0.006715)
Goodness of fit: SSE: 460.7
R-square: 0.7997
Adjusted R-square: 0.7957 RMSE: 0.7379 附录四
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形
图七
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的速度波形
图十四
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的位移波形
图十五
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形
图十六
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的速度波形
图十七
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的位移波形
图十八
附录五：
求解随机误差模型一的matlab 程序 建立m-文件
function a=model(beta,t) a=beta(1)*sin(beta(2).*t) matlab 编程 clear
load aba.txt; t=1:209; a=aba;
beta0=[2.3 pi/100];
[beta,r,J]=nlinfit(t',a,'model',beta0);
[YY,DELTA]=nlpredci('model',t,beta,r,J); plot(t,a,'k+',t,YY,'r')
第七届华中地区大学生数学建模邀请赛
承 诺 书
我们仔细阅读了第七届华中地区大学生数学建模邀请赛的竞赛细则。
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们的参赛报名号为：
参赛队员 (签名) ：
队员1： 沈炳杰
队员2：
队员3： 赵钧钧
武汉工业与应用数学学会
第七届华中地区大学生数学建模邀请赛组委会
编 号 专 用 页
选择的题号： A
参赛的编号：
（以下内容参赛队伍不需要填写）
竞赛评阅编号：
题目： 加速度检测仪数据校正
【摘 要】
本文研究的是加速度检测仪数据校正的问题。首先我们根据加速度检测仪所测得的加速度数据求得了加速度检测仪的速度及位移随时间的变化关系，根据仿真的结果，我们得出定性的结论：该加速度监测仪存在明显的误差，包括随机误差和系统误差。其次，我们分别从系统误差和随机误差两个方面对加速度检测仪进行数据校正。对于系统误差，我们首先运用了统计与回归模型，求解出三个不同的测量过程中无脉动风情境下的系统误差，并对不同的测量过程中的系统误差不同这一现象给出了合理的解释。其次，我们发现在有脉动风和无脉动风情况下系统误差的差异性，求解出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们根据机理分析建立了两个模型进行求解理论上的加速度，模型二建立在模型一的基础上，并对模型一进行了改进。我们采用模型二对加速度监测仪进行随机误差分析，校正了因随机误差产生的错误数据。最后我们对我们建立的加速度检测仪的数据校正模型进行了验证，检验结果表明我们建立的模型是实际可用的，具有推广价值。
针对问题一，我们根据加速度-速度和加速度-位移物理公式，建立了求声屏障振动的速度和位移的模型。求解模型的方法如下：我们用公式v t =a t +a t +1T 和公式
2
x t =
v t +v t +1
T 2
分别求出速度随时间的变化关系，位移随时间的变化关系。根据求出的速
度和位移的数据我们作出速度-时间图像和位移-时间图像，由图我们可以定性的看出声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差，说明该声屏障检测仪系统存在误差。接着我们分别从系统误差和随机误差两个角度进行定量的误差分析：对于系统误差，我们根据速度-时间图像上直线段部分求解出在无脉动风的情境下的系统误差。接着，在脉动风的作用下，我们发现速度零点下漂这一规律，求出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们运用机理分析建立了两个模型进行求解加速度。模型一是简谐振动模型，通过对数据的拟合，我们发现原数据受随机误差的影响。考虑到实际情况，我们对模型一进行了改进，在模型一的基础上建立了模型二阻尼振动模型。同理，通过对数据的拟合，我们可看出该加速度监测仪产生了随机误差。
针对问题二，对于系统误差，我们根据问题一所求解出的系统误差模型对原数据进行处理，减小了原数据中的系统误差。对于随机误差，我们采用模型二对原数据进行了合理的剔除，最终绘出消除误差后的波形。
针对问题三，我们将建立的数据处理方法和模型进行推广，所改进过的加速度检测仪在医学领域如胎儿心率检测仪和能源领域如油井示功图位移测量技术的应用作出了相应的推广。
关键词：随机误差 系统误差 曲线拟合 数值积分 机理分析 脉动风 阻尼振动
一、 问题的重述
声屏障是一种控制铁路、公路、高速铁路等各种道路行车对周围环境的噪声污染有效措施之一。正常状态下，声屏障的摆动应当在一定的范围内，当超过正常范围则需要对其进行加固维修。由于声屏障维修或重建费用高昂，故需声屏障检测仪对声屏障的工作状态进行检测，有针对性的对声屏障进行维修。然而声屏障检测仪在试验中，测得的数据通常会存在误差，误差包括系统误差、随机误差。由于误差的存在，在使用数值积分方法计算振动位移的过程中，就会累积较多的干扰，故而在测得数据后，需要经过系统误差校正、随机误差数据滤波等对数据进行校正。请建立数学模型解决如下问题： 1. 建立适当的数学模型，基于加速度-速度和加速度-位移物理公式，通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差，从随机误差、系统误差2个角度对数据进行误差分析； 2. 基于速度和位移的数值积分计算模型和误差分析结果，建立数学模型来对加速度数据进行校正，要求能尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实；
3. 对你所建立的数据处理方法和模型进行推广，所改进过的加速度检测仪除了可以用于声屏障监测以外，还可以应用于哪些场景，请结合改进方案阐述理由。
二、 问题的分析
本文主要解决的是加速度检测仪数据校正的问题。本文在声屏障检测仪对声屏障的工作状态进行检测的实际背景下，根据已知的加速度检测仪数据建立相关模型进行研究。
对于问题一，我们采用的数值积分的方法如下：
v t =
v +v a t +a t +1
T x t =t t +1T ，
22
其中，a t 为t 时刻测得的加速度，a t +1 为相邻T 时间间隔测得的加速度，T 为采
v t 为t 时刻求得的速度，v t +1 为相邻T 时间间隔求得的速度，x t 为t 时样的时间间隔，
刻求得的位移。
由于该题中的采样频率很大为1000Hz ，我们用这一方法求速度和位移会产生很小的误差，可以忽略不计，所以该求速度和位移的方法具有一定的合理性。根据求出的速度和位移的数据我们作出速度-时间图像和位移-时间图像，由图我们可以看出声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差，说明了该声屏障检测仪系统存在误差。我们需要从系统误差和随机误差两个角度对数据进行误差分析：对于系统误差，我们首先根据速度-时间图像上直线段部分求解出在无脉动风的情境下的系统误差。其次，在脉动风的作用下，我们发现速度零点下漂这一规律，所以还需要求出有脉动风时的系统误差。对于随机误差，我们首先需要运用机理分析，建立模型推导出理论上加速度随时间的变化关系。根据脉动风对物体运动的作用，我们建立了两个模型。模型一是简谐振动模型，不考虑阻力等影响因素。由于实际的振动总要受到阻力的影响，振动的能量会产生损失，基于这一实际情况，我们所建立的模型一并不完善，我们对模型一进行了改进，建立了模型二阻尼振动模型。通过对数据的拟合，我们可看出该加速度监测仪产生了随机误差。
对于问题二，我们将从系统误差和随机误差两个方面对加速度检测仪所测得的原始数据进行校正。在系统误差方面，我们可根据问题一所求解出的系统误差模型对原数据进行处理，校正了原数据中的系统误差。在随机误差方面，我们采用模型二对原数据进行了合理的剔除，对随机误差数据进行滤波。滤波之后的波形基本符合实际情况，说明我们的模型是实际可用的。
对于问题三，我们将问题一中所建立的求解随机误差的模型运用于加速度检测仪的校正，对于校正后的加速度检测仪不仅可以运用于声屏障监测，我们还将其推广到医学和能源等领域。
三、 模型的假设与符号的说明
3.1模型的假设：
3.1.1计算声屏障的速度、位移的模型假设
1、假设在误差允许的范围内，声屏障在某一时刻的运动速度可用相邻的时间间隔内的平均加速度和单位时间间隔的乘积来近似计算。
2、假设在误差允许的范围内，声屏障在某一时刻的运动位移可用相邻的时间间隔内的平均速度和单位时间间隔的乘积来近似计算。 3.1.2计算系统误差模型的假设
1、假设在无脉动风的情境下不考虑环境因素如温度，气候对加速度监测仪的影响 2、假设在无脉动风的情境下的系统误差为一常数
3、假设在有脉动风的情境下的系统误差只出现在屏障减速的过程中，即由于系统本身的原因，只在屏障减速过程中产生误差。 3.1.3计算随机误差模型一的假设
1、假设不考虑空气阻力等其他因素对屏障振动的影响，屏障的振动符合三角函数变化 3.1.4计算随机误差模型二的假设
1、假设考虑空气阻力对屏障振动的影响，屏障的振动有能量的损失
2、假设空气阻力的方向与屏障振动的方向相反，大小满足等式f =-Cv （其中C 为阻尼振动系数，v 为屏障的振动速度）
四、 模型的建立与求解
4.1问题一的模型建立与求解 4.1.1 问题一的提出 已知：车的单方向运动从A-B 的过程中屏障在时间1.395s 内每隔0.001s 的加速度的值，车双向运动从C-D ，再从D-C 的过程中屏障在时间3.134s 内每隔0.001s 的加速度的值，车从E 点到F 点，再由F 到E ，并再重复一次的过程中屏障在时间2.397s 内每隔0.001s 的加速度的值。
要求：通过数值积分的方法计算声屏障的速度、位移，并基于给定数据对模型进行仿真计算，判断声屏障检测仪是否存在明显误差，从随机误差、系统误差2个角度对数据进行误差分析。
4.1.2计算声屏障的速度，位移的模型的建立
我们根据公式v t =
a t +a t +1v +v
T 和 x t =t t +1T ，利用原始的加速度数据求解出每一时22
刻的屏障的振动速度和位移，并根据求解出的数据作出A-B ，C-D 再从D-C ，从E 点到
F 点再由F 到E 并再重复一次这三段过程的速度和位移随时间的变化图。 4.1.3计算声屏障的速度，位移模型的求解
我们运用模型中的公式，利用matlab 编程求解并作出A-B,C-D 再从D-C ，从E 点到F 点再由F 到E 并再重复一次这三段过程中的速度-时间，位移-时间图像，具体的matlab 程序见附录一，绘出的图形如下：
声屏障的加速度
单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度
50
-50
200
[1**********]200采样次数
单方向从A 点运动至B 点声屏障的速度
400
1400
声屏障的速度
200
6008001000
采集次数
单方向从A 点运动至B 点声屏障的位移
[1**********]
声屏障的位移
采集次数
图一
声屏障的加速度
从C-D 再从D-C 声屏障的加速度
50
-50
500
1000
[1**********]0采样次数
从C-D 再从D-C 声屏障的速度
3000
3500
声屏障的速度
500
1000
[1**********]0采集次数
从C-D 再从D-C 声屏障的位移
3000
3500
声屏障的位移
500
1000
15002000采集次数
2500
3000
3500
图二
声屏障的加速度
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度100
-100
[**************]0
采样次数
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的速度
500
声屏障的速度
[**************]0
采集次数
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的位移
500
声屏障的位移
500
10001500
采集次数
2000
2500
图三
由图分析可知: 声屏障的速度和位移与实际情况存在明显的偏差。根据经验可知，在图一的速度随时间变化的图像中A-B 段和D-E 段为没有车经过时系统所测出的速度的值理论上应该为0，在图一的位移随时间变化的图像中A-B 段和D-E 段理论上位移应该固定在某个数值。而从图上我们可以看到存在明显的误差，所以我们给出定性的分析：该系统具有明显的系统误差。图二，图三中我们亦可以得出类似的结论，这里不再一一赘述。对于随机误差，我们也可从图一，图二，图三中加速度随时间的变化关系图中定性的分析所记录的数据存在随机误差。下面我们将建立模型定量的分析出加速度检测仪的系统误差和随机误差。
4.1.4计算系统误差模型的建立
分析：根据对速度-时间和位移-时间图的观察，以图一为例进行分析，我们可以看到速度-时间图像中AB 段和DE 段呈线性变化，在位移随时间变化的曲线图中， AB 段和DE 段为一近似的抛物线，这符合我们的直观判断，在无脉动风的情境下系统误差为一常数。在速度-时间图像中的曲线段BC 和CD 段，我们可观察到在脉动风的作用下，速度下降段都会有一个零漂，这反映了在有脉动风时，系统还有一个系统误差，且只有在速度减小时才会产生。
建立：我们设在无脉动风的情境下系统误差为一常数
k 1运用统计与回归知识，建
k 2，运用
立了一元线性回归模型，在排除随机误差的影响后可最终求得系统误差。假设在有脉动风的情境下系统误差只在屏障减速的过程中出现，设这一系统误差为一常数
统计与回归知识，建立一元线性回归模型，在排除随机误差的影响后可最终求得系统误差。
4.1.5计算系统误差模型的求解
4.1.5.1无脉动风时系统误差模型的求解 A-B 过程中系统误差
用matlab 中regress 命令进行线性回归，程序如下： clear
load abxitong.txt; %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(abxitong); t=1:n;
a=abxitong; T=[ones(n,1) t'];
T(450,:)=[];a(450,:)=[];T(445,:)=[];a(445,:)=[];T(440,:)=[];a(440,:)=[];T(436,:)=[];a(436,:)=[];T(432,:)=[];a(432,:)=[];
T(430,:)=[];a(430,:)=[];T(426,:)=[];a(426,:)=[]; T(424,:)=[];a(424,:)=[];T(420,:)=[];a(420,:)=[]; T(400,:)=[];a(400,:)=[];T(399,:)=[];a(399,:)=[]; T(438,:)=[];a(438,:)=[];T(372,:)=[];a(372,:)=[]; T(284,:)=[];a(284,:)=[];
T(164,:)=[];a(164,:)=[];T(158,:)=[];a(158,:)=[];
T(321,:)=[];a(321,:)=[];T(319,:)=[];a(319,:)=[]; %剔除数据 [b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint)
经过多次的残差分析，剔除随机误差产生的数据后我们得出 b =
0.0280 -0.0000
bint =
0.0210 0.0350 -0.0001 -0.0000
其中b=0.0280为系统的系统误差
C-D 再从D-C 过程中系统误差的求解过程和从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中系统误差的求解过程见附录二，最终由线性回归得到的结果是：从A-B 过程中的系统误差为0.0257，从C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.0133，从E 点到F 点再由F 到E 过程中系统误差为0.036。下面我们具体分析一下三段过程中系统在无脉动风时的系统误差：考虑到三段过程中的系统误差偏差较大，我们不能直接取平均值当做系统误差，这从一个侧面反映了这可能不是一个系统，或说屏障上安装的加速度监测仪在不同时间其系统误差发生了变化。下面我们对这一现象作出解释，由于该系统安装在声屏障上，而声屏障大多运用在室外的环境，所以外界环境的变化可能会影响加速度检测仪的系统误差，所以对不同的时间段用加速度监测仪测出的数据其系统误差会有偏差。基于环境因素的影响，我们可以合理的解释不同过程中系统在无脉动风时的系统误差不同这一现象。
4.1.5.2有脉动风时系统误差模型的求解
观察上图一、二、三的速度波形，可以看出波降段均明显长于波升段，使得速度的波形更加偏离理论值曲线，由此我们可以看出在速度下降波段系统还存在系统误差。根据这一现象，我们在排除掉无脉动风时的系统误差后假设在有脉动风时只在速度下降时
存在系统误差，并设该系统误差为k 2，则我们将速度-时间模型改进为
v t =
a t +a t +1
T (1-k 2) 2
注意：这里模型改进只在速度下降所针对的时间段内
在A-B 的过程中，理论上AB 的速度波形需要下降到0，我们最终求得：k 2=0.1 AB 段有脉动风时，去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形如图四所示：
图四
根据去除系统误差后的加速度数据我们运用matlab 编程求出相应的速度，并作出速度-时间图像如图五所示：
图五
同理，用matlab 根据位移模型求解得出相应的位移数据，并作出位移-时间图像如图六所示：
图六
类似的，我们可以求解出从C-D 再从D-C 过程中有脉动风时的系统误差为0.2，从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中有脉动风时的系统误差为0.2 ,作出的去除有脉动风时速度减小段系统误差后相应的加速度-时间，速度-时间，位移-时间波形见附录四。
下面我们对有脉动风时只在速度减小段产生系统误差作出一定的解释：当出现脉动
风时，屏障在脉动风的作用下产生振动，当振动速度达到最大后，在空气阻力等因素的影响下速度开始减小，而该加速度监测仪系统由于内在结构的原因在测量的加速度为负值时就会产生一定的偏差，这种可能性是有的，该系统误差的存在具有一定的合理性。 4.1.6计算随机误差模型一的建立
模型一：根据物理规律，我们建立模型一，不考虑空气阻力等影响因素，我们将屏障的运动看作是理想化的简谐运动。x =Acos(ωt) 则v =-Aωsin(ωt) ，a =-A ω2cos(ωt) 根据我们建立的模型可以对数据进行拟合。 4.1.7计算随机误差模型一的求解
我们运用统计与回归中的非线性回归模型，通过matlab 编程作出理论上的加速度随时间的变化波形如图所示：
[1**********]250
图七
根据图七，我们可以看出原始的加速度数据存在随机误差 Matlab 程序见附录五
4.1.8计算随机误差模型二的建立
对于模型一我们所讨论的简谐运动的模型，在振动过程中系统的机械能是守恒的，是一种无阻尼的自由振动，然而实际的振动总是要受到阻力的影响，由于克服阻力做功，振动的能量不断地减少。同时，由于振动系统与其周围弹性介质的相互作用而向外传播形成波，随着波的传播振动系统的能量也不断地减少，所以在模型一的基础上我们对其进行改进，建立了模型二：把屏障的运动看作是受阻力的阻尼振动[1]。由实验指出，当物体以不太大的速率在粘性的介质中运动时，物体受到的阻力与其运动的速率成正比，即F r =-Cv 式中比例系数C 叫做阻力系数，负号表示阻力与速度方向相反。对弹簧振子，在弹性力
F =-k x 及阻力r F =-C v 的作用下，根据牛顿第二定律有-kx -Cv =ma 即
d 2x dx -δt
+C +kx =0x =Ae cos(ωt+θ)
其中ωω0δ=C /2m 化简得：2d t dt
该物理模型为屏障受到脉动风的作用进行振动的模型，随着时间的推移，屏障在空气阻力的作用下最终速度会下降为0，屏障静止。 4.1.9计算随机误差模型二的求解 根据阻尼振动模型x =Ae
-δt
cos(ωt+θ) ，我们可以发现屏障随时间变化的模型是在三
角函数振动的条件下加上随时间变化的衰减因子，则加速度随时间变化的模型类似，也是基于三角函数振动形式下添上衰减因子。理论上来说在时间t 趋于无穷大时屏障的振动才减为0，但我们根据实际的加速度波形可以看出经过一定的时间后，屏障的振动几乎趋于0，其振动幅度足够小，我们可近似将其看成已经停止了振动。我们利用傅里叶变换，将指数形式的随时间变化的衰减因子转化成三角函数形式。利用matlab 中的曲线拟合工具箱，对原加速度数据进行傅里叶拟合，并分别作出不同过程中的拟合曲线如图所示：
图八
图九
图十
图八为A-B 过程中的加速度拟合曲线，图九为C-D 再从D-C 过程中的加速度拟合曲线，图十为E 点到F 点再由F 到E 并再重复一次过程中的加速度拟合曲线。其拟合曲线的表达式见附录三。
4.2问题二的模型建立与求解
已知：问题一我们运用数值积分的方法计算出的速度和位移随时间的变化关系，问题一中所建立的求解系统误差和随机误差的模型
要求：基于速度和位移的数值积分计算模型和误差分析结果，建立数学模型来对加速度数据进行校正，要求能尽量消除系统误差与随机误差，使得速度和位移的计算结果基本符合物体运动事实
分析：由题意我们要尽量消除系统误差和随机误差。根据我们在问题一中建立的求解系统误差和随机误差的模型，我们可以从系统误差和随机误差两个角度对加速度数据进行校正。
4.2.1对加速度进行系统误差校正
根据问题一中建立的求解系统误差的模型，在无脉动风时A-B 过程中的系统误差为0.028，C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.0133，E-F 再从F-E 并再重复一次的过程中系统误差为0.036，在有脉动风时在屏障减速时A-B 过程中的系统误差为0.1，C-D 再从D-C 过程中的系统误差为0.2，E-F 再从F-E 并再重复一次的过程中系统误差为0.2。对A-B ，C-D 再从D-C ，E-F 再从F-E 并再重复一次这三段过程进行系统误差校正后的波形图如下所示：
图十一
图十二
图十三
4.2.2对加速度进行随机误差校正 根据问题一，我们建立了两个求解随机误差的模型，模型二建立在模型一的基础上，并对模型一进行了改进，由于模型二更符合实际情况，下面我们利用模型二对原加速度数据进行随机误差数据的滤波校正，得出如下的波形：
加速度(g *m /s 2)
(a)消除误差前加速度-时间关系图
50-50
500
1000
[1**********]0时间(ms)
(b)消除误差后速度-时间关系图
3000
3500
瞬时速度(m m /s )
2000-200
500
1000
[1**********]0时间(ms)
(c)消除误差后位移-时间关系图
3000
3500
位移(m m )
2000-200
500
1000
15002000时间(ms)
2500
3000
3500
4.3问题三的求解
本文主要运用到的方法及理论知识是统计与回归和机理分析，以此建立的模型可以较好的消除加速度检测仪的误差。所改进后的加速度检测仪在加速度测量方面有较为广泛的应用，可以将该检测仪推广到各种不同情况下的加速度测量中，例如：
1、 胎儿心率检测仪[2]。其原理是利用加速度检测仪将胎儿心率转换成模拟电压信号，经放大器实现差值放大，然后进行滤波等一系列中间信号处理，将模拟电压信号转换成数字信号进行分析处理，最后输出处理结果。由于胎儿心率很快，在每分钟120～160次之间，且其主要是靠手持进行测量，加速度检测仪在检测过程中会产生较大误差甚至冗余数据，利用我们模型改进后的加速度检测仪就可以较好的消除这些因素的干扰，使得到的数据更接近实际值；
2、 油井示功图位移测量技术研究[3]。其原理是加速度传感器负责采集油杆上下运动的加速度信号，通过积分算法而得到位移和冲程。考虑到采用的是对加速度信号进行双重积分算法得到位移和冲程，但加速度信号会由于电源纹波和信号干扰的影响引起波形的微小畸变，经过双重积分后冲程累积误差增大，可以利用本例模型对加速度信号进行处理，对加速度检测仪进行改进，使得数据更具有真实性。
五、 模型的评价与改进
5.1模型的评价 5.1.1模型的优点
对于问题一，在根据原加速度数据求解速度和位移的过程中我们采用了简化法，考虑到加速度监测仪采样频率为1000HZ 求速度和位移会产生很小的误差，可以忽略不计，该求速度和位移的方法既具有合理性又简化了模型，避免了繁琐的数值积分过程。在求解系统误差的模型中，我们从定性分析和定量计算两个方面分析了该加速度检测仪的系统误差。不仅考虑到了无脉动风时的系统误差，我们还发现在有脉动风和无脉动风情况下系统误差的差异性，较全面的分析了该加速度监测仪的系统误差。系统误差的分析结果也较符合声屏障在实际运用中的情形。在求解随机误差的模型中，我们根据机理分析建模，模型建立在一定的理论基础上，具有很强的说服力和可靠性。针对该题的随机误差，我们建立了两个模型来拟合原数据，我们对模型不断改进，使其更贴近实际生活，模型二基本上符合屏障振动的实际情况，模型十分合理。
对于问题二，我们通过在问题一中所建立的求解系统误差和随机误差的模型对原始的加速度数据进行误差校正。校正后的结果显示，我们建立的加速度检测仪数据校正模型是合理可用的，能较好的对加速度数据进行校正。
对于问题三，对问题一和问题二中建立的数据处理方法和模型可以推广应用到许多生产生活中，可以看出我们的数据处理方法和模型应用性较强，具有一般性和普适性。 5.1.2模型的缺点
1、减少了系统误差和随机误差之后所得到的一些数据还是会产生一定的不可避免的误差。
2、本文中曲线拟合时所用傅立叶级数较为复杂，不适合应用在数据量很大的问题中。
5.2模型的改进
基于已给定数据，只能判断很小的一小段时间内声屏障的状态，在这段很短的时间内我们可以采用阻尼振动模型，脉动风作用的时间因素我们可以不需考虑，但是在很多情况下我们可能需要考虑长时间脉动风对风屏障的持续性的作用，这时我们需要对模型
进行改进，建立受迫振动模型，将脉动风对风屏障作用的时间及屏障振动的周期性考虑进去，使其更符合实际风屏障的振动情况，对此我们可以进行更加深入的研究与讨论。
六、 模型的应用与推广
本文主要运用到的方法及理论知识是统计与回归和机理分析。统计与回归分析法在对数据的处理和统计问题中有广泛的应用，可以将该方法推广到各种不同情况下的数据处理和统计中，例如各地区电信业务量的处理和统计、公司年度销售量与成本的处理和统计等等。而机理分析的应用更是广泛，例如研究商品包装大小和成本利润间的问题、电气系统控制问题[4]、马铃薯收获机的效率问题[5]等等。
参考文献：
[1] 马文蔚，物理学，高等教育出版社，2006。 [2]方尼中等，基于MEMS 传感器的胎儿心率检测
http://wenku.baidu.com/link?url=_vLXdfHPteXphvBXTMF-C2UiDhOUVD_dKvE3bpPchej0-wK58ZjLIqyf_bi0jHWO-7QDjHLcCEjVojSB0NUiFrx5cSSmAxMOex-WHrx1vi，2014年5月2日.
[3]于云华等，基于加速度传感器的油井示功图位移测量技术研究[J],2009.
[4]赵才先，基于机理分析的FCCU 控制模型建立与建模软件的开发[D]，2010. [5]刘宝等，马铃薯收获机主要问题机理分析及其对策[J]，农机化研究，2009. 附件： 附录1：
单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系 Matlab 编程如下： load abspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(abspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(abspeed(i,1)+abspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(abspeed,'r-');
title('单方向从A 点运动到B 点声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('单方向从A 点运动至B 点声屏障的速度'); load abv.txt t=0.001;
[n,p]=size(abv);
x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(abv(i,1)+abv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('单方向从A 点运动至B 点声屏障的位移'); gtext('A') gtext('B') gtext('C') gtext('D')
从C-D 再从D-C 声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系 Matlab 编程如下： load cdspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(cdspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(cdspeed(i,1)+cdspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(cdspeed,'r-');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的速度'); load cdv.txt t=0.001;
[n,p]=size(cdv); x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(cdv(i,1)+cdv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('从C-D 再从D-C 声屏障的位移');
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度，速度，位移随时间的变化关系
Matlab 编程如下： load efspeed.txt t=0.001;
[n,p]=size(efspeed); v=zeros(n-1,p); v(1,1)=0;
for i=2:1:n-1;
v(i,1)=0.5*(efspeed(i,1)+efspeed(i+1,1)).*t+v(i-1,1); end
subplot(3,1,1),plot(efspeed,'r-');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的加速度'); xlabel('采样次数');
ylabel('声屏障的加速度'); subplot(3,1,2),plot(v,'b.'); xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的速度');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的速度'); load efv.txt t=0.001;
[n,p]=size(efv); x=zeros(n-1,p); for i=2:1:n-1;
x(i,1)=0.5*(efv(i,1)+efv(i+1,1)).*t+x(i-1,1); end
subplot(3,1,3),plot(x,'b.') xlabel('采集次数'); ylabel('声屏障的位移');
title('从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中声屏障的位移'); 附录二：
C-D 再从D-C 过程中系统误差 clear
load cdxitong.txt %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(cdxitong); t=1:n;
a=cdxitong; T=[ones(n,1) t'];
T(16,:)=[];a(16,:)=[];T(21,:)=[];a(21,:)=[];T(16,:)=[];a(16,:)=[]; T(20,:)=[];a(20,:)=[];T(1258,:)=[];a(1258,:)=[];T(19,:)=[];a(19,:)=[];
T(1256,:)=[];a(1256,:)=[];T(1255,:)=[];a(1255,:)=[];T(501,:)=[];a(501,:)=[]; T(796,:)=[];a(796,:)=[];T(4,:)=[];a(4,:)=[];T(795,:)=[];a(795,:)=[]; T(794,:)=[];a(794,:)=[];T(121,:)=[];a(121,:)=[];T(50,:)=[];a(50,:)=[]; T(4,:)=[];a(4,:)=[];T(1248,:)=[];a(1248,:)=[];T(1246,:)=[];a(1246,:)=[]; T(194,:)=[];a(194,:)=[];T(318,:)=[];a(318,:)=[];T(3,:)=[];a(3,:)=[]; T(48,:)=[];a(48,:)=[];T(40,:)=[];a(40,:)=[]; %剔除数据
[b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint) b =
0.0133 0.0000 bint =
0.0897 0.0185 -0.0000 0.0000
其中 b=0.0133为系统误差
从E 点到F 点，再由F 到E 并再重复一次过程中系统误差 clear
load efxitong.txt; %导入的数据为速度-时间图上直线段对应的加速度数据 [n,p]=size(ef); t=1:n; a=ef;
T=[ones(n,1) t'];
T(663,:)=[];a(663,:)=[];T(663,:)=[];a(663,:)=[]; T(661,:)=[];a(661,:)=[];T(655,:)=[];a(655,:)=[]; T(689,:)=[];a(689,:)=[];T(650,:)=[];a(650,:)=[]; T(660,:)=[];a(660,:)=[];T(648,:)=[];a(648,:)=[]; T(657,:)=[];a(657,:)=[];T(650,:)=[];a(650,:)=[]; T(655,:)=[];a(655,:)=[];T(655,:)=[];a(655,:)=[]; T(657,:)=[];a(657,:)=[];T(656,:)=[];a(656,:)=[]; T(649,:)=[];a(649,:)=[];T(648,:)=[];a(648,:)=[]; T(652,:)=[];a(652,:)=[];T(652,:)=[];a(652,:)=[]; T(710,:)=[];a(710,:)=[];T(651,:)=[];a(651,:)=[]; T(692,:)=[];a(692,:)=[];T(703,:)=[];a(703,:)=[]; T(701,:)=[];a(701,:)=[];T(65,:)=[];a(65,:)=[]; T(705,:)=[];a(705,:)=[];T(912,:)=[];a(912,:)=[];
T(921,:)=[];a(921,:)=[];T(1152,:)=[];a(1152,:)=[]; %剔除数据 [b,bint,r,rint,stats]=regress(a,T) rcoplot(r,rint) b =
0.0367 0.0000
bint =
0.0321 0.0413 -0.0000 0.0000
其中b=0.0367为系统误差 附录三
A-B 段的利用傅里叶拟合的曲线的表达式
f(x) =a0 + a1*cos(x*w) + b1*sin(x*w) +a2*cos(2*x*w) + b2*sin(2*x*w) + a3*cos(3*x*w) + b3*sin(3*x*w) + a4*cos(4*x*w) + b4*sin(4*x*w) + a5*cos(5*x*w) + b5*sin(5*x*w) +a6*c
os(6*x*w) + b6*sin(6*x*w) + a7*cos(7*x*w) + b7*sin(7*x*w) + a8*cos(8*x*w) + b8*sin(8*x*w)
a0=-0.05306 (-0.113, 0.006876) a1=0.5306 (0.3369, 0.7243) b=1.857 (1.735, 1.98)
a2=-0.2267 (-0.3117, -0.1418) b2=0.2363 (0.138, 0.3346) a3=-0.2138 (-0.3198, -0.1077) b3=-0.1076 (-0.1939, -0.02122) a4=-0.09714 (-0.1888, -0.005517) b4=0.07539 (-0.01109, 0.1619) a5=-0.03903 (-0.1306, 0.05252) b5=0.06851 (-0.02036, 0.1574) a6=-0.1095 (-0.1974, -0.02162) b6=0.01959 (-0.06634, 0.1055) a7=-0.01687 (-0.1017, 0.06794) b7=-0.01741 (-0.1188, 0.08402) a8=-0.05697 (-0.1738, 0.05983) b8=-0.1157 (-0.2066, -0.0247) w=0.0303 (0.02914, 0.03145)
Goodness of fit: SSE: 36.64
R-square: 0.9178
Adjusted R-square: 0.9105 RMSE: 0.438
C-D 再从D-C 段的利用傅里叶拟合的曲线的表达式 General model Fourier8:
f(x)=a0 + a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)+a2*cos(2*x*w)+b2*sin(2*x*w)+a3*cos(3*x*w)+b3*sin(3*x*w)+a4*cos(4*x*w)+b4*sin(4*x*w)+a5*cos(5*x*w)+b5*sin(5*x*w)+a6*cos(6*x*w)+b6*sin(6*x*w)+a7*cos(7*x*w)+b7*sin(7*x*w)+a8*cos(8*x*w)+b8*sin(8*x*w) Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 =-0.11 (-0.1955, -0.02438) a1 =1.653 (0.4172, 2.888) b1 =-0.2489 (-2.038, 1.54) a2 =-0.4731 (-3.24, 2.294) b2 =-0.4089 (-2.218, 1.4) a3 =-1.378 (-3.91, 1.155) b3 =0.6368 (-4.37, 5.644) a4 =0.2626 (-2.262, 2.787) b4 =0.2252 (-1.698, 2.149) a5 =0.0442 (-0.6031, 0.6915) b5 =0.02113 (-1.363, 1.406)
a6 =0.1958 (-1.955, 2.347) b6 =-0.3049 (-1.839, 1.229)
a7 =-0.09569 (-0.1771, -0.01427) b7 =0.04391 (-1.102, 1.189) a8 =-0.007071 (-0.1272, 0.113) b8 =-0.001662 (-0.131, 0.1277) w =0.01457 (0.009462, 0.01967)
Goodness of fit: SSE: 135.1
R-square: 0.9017
Adjusted R-square: 0.8975 RMSE: 0.5841
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程利用傅里叶拟合的曲线的表达式 General model Fourier8:
f(x)=a0+a1*cos(x*w)+b1*sin(x*w)+a2*cos(2*x*w)+b2*sin(2*x*w)+a3*cos(3*x*w)+b3*sin(3*x*w)+a4*cos(4*x*w)+b4*sin(4*x*w)+a5*cos(5*x*w)+b5*sin(5*x*w)+a6*cos(6*x*w)+b6*sin(6*x*w)+a7*cos(7*x*w)+b7*sin(7*x*w)+a8*cos(8*x*w)+b8*sin(8*x*w) Coefficients (with 95% confidence bounds): a0 =-1.403 (-3.831, 1.025) a1 =-1.57 (-5.284, 2.144) b1 =1.073 (-1.86, 4.005) a2 =-0.3438 (-1.911, 1.223) b2 =1.102 (-3.271, 5.474) a3 =-0.2114 (-2.995, 2.573) b3 =2.815 (-1.387, 7.017) a4 =1.173 (-2.427, 4.774) b4 =1.536 (0.6075, 2.465) a5 =1.749 (-1.283, 4.781) b5 =1.046 (-1.346, 3.438) a6 =0.8547 (0.09087, 1.619) b6 =-0.4937 (-2.642, 1.655) a7 =-0.1342 (-1.377, 1.108) b7 =-0.6345 (-1.015, -0.2539) a8 =0.1383 (-0.006855, 0.2834) b8 =-0.08624 (-0.266, 0.0935) w =0.00607 (0.005426, 0.006715)
Goodness of fit: SSE: 460.7
R-square: 0.7997
Adjusted R-square: 0.7957 RMSE: 0.7379 附录四
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形
图七
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的速度波形
图十四
C-D 再从D-C 过程中去除速度下降阶段的系统误差后的位移波形
图十五
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的加速度波形
图十六
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的速度波形
图十七
从E-F 再由F-E 并再重复一次过程中去除速度下降阶段的系统误差后的位移波形
图十八
附录五：
求解随机误差模型一的matlab 程序 建立m-文件
function a=model(beta,t) a=beta(1)*sin(beta(2).*t) matlab 编程 clear
load aba.txt; t=1:209; a=aba;
beta0=[2.3 pi/100];
[beta,r,J]=nlinfit(t',a,'model',beta0);
[YY,DELTA]=nlpredci('model',t,beta,r,J); plot(t,a,'k+',t,YY,'r')