人口模型数学建模

计划生育政策调整对人口影响的研究

摘要本文讨论了计划生育政策调整对人口的影响，通过建立人口数量和结构模型，进一步分析新政策对教育、劳动力供给与就业、养老等的影响。

针对问题一，分析计划生育政策未调整对人口的影响。首先对出生率和死亡率进行曲线拟合，描述人口自然增长率根据时间变化的关系，再运用递推法，建立全国计划生育人口数量模型，并预测计划生育下的2015-2025年的人口数量。然后根据灰色模型思想，分别建立全国计划生育人口性别比例与年龄结构模型，同时运用MATLAB 编程预测未来十年的人口性别比例与年龄结构趋势。

针对问题二，研究计划生育政策调整对人口的影响。将父母双方是否为独生子女视为性状，运用孟德尔遗传定律，分析子代的出生率，再运用递推法，建立开放单独二孩政策下的人口数量模型，同时预测新政策下的2015-2025年的人口数量，并对比问题一中的人口数量。数据表明：新政策实施后出生人数和人口总量有一定程度的增加，但都在可控可承受范围内，不会对经济社会发展和公共服务产生大的震荡和冲击。依据灰色模型思想，分别建立新政策的人口性别比例与年龄结构模型，同时运用MATLAB 编程预测未来十年的人口性别比例与年龄结构趋势，进一步对比问题一中的趋势表明，单独二孩政策会缓慢降低人口性别比例，并提高年轻人的人口比重。

针对问题三，通过问题一、二中模型的数据，分析收集报告的假设与结论并发表自己的见解。开放单独二孩政策后，一是可在一定程度上有效缓解老龄化程度和推迟老龄化进程；二是改善劳动力老化的结构，对经济发展和人民生活的改善做出积极贡献。

针对问题四，讨论上海市计划生育政策对人口的影响。首先讨论上海市计划生育政策的人口模型，在问题一人口数量模型的基础上，引入迁移率常数，建立上海市的计划生育人口模型并预测未来十年人口趋势。然后研究上海市开放单独二孩政策下的人口模型，按照问题二的模型分析方法，引入迁移率常数，建立上海市新的人口数量模型，进一步对比上海市计划生育人口模型，探究未来人口数量、结构及其对劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

模型推广中，考虑环境容纳量影响因素，将模型推广到Logistic 模型，建立受到国家政策和环境因素影响的人口数量微分模型，更加合理地分析与预测未来人口数量、结构。

关键词曲线拟合；递推式；灰色模型；孟德尔遗传定律；Logistic 模型

一、问题重述

从20世纪70年代后期以来，在这30年的时间里，计划生育政策对建设中国特色社会主义、实现国家富强和民族振兴产生了巨大影响，为促进世界人口发展发挥了重大作用。但是，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国人口的主要矛盾已经不再是增长过快，而是人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。

为落实2004年中央人口资源环境工作座谈会关于加强人口发展战略研究的重要指示精神，组成了由蒋正华、徐匡迪和宋健同志任组长的国家人口发展战略研究课题组，集中了包括十多位两院院士在内的300多位专家学者，自2004年2月至2006年4月，对科学发展观、人口发展态势、人口与经济社会资源环境重大关系等3个分课题及其42个子课题，进行了广泛、深入地调研和专题研究论证，取得了阶段性成果。

党的十八届三中全会提出了开放开放单独二孩，今年以来许多省、市、自治区相继出台了具体的政策。政策出台前后各方面人士对开放“开放单独二孩”的效应有过大量的研究和评论。

本文主要讨论以下四个问题：

对于问题一，讨论全国计划生育人口数量与人口结构模型，并预测2015-2025年人口数量。

对于问题二，建立开放单独二孩政策的生育人口数量与人口结构模型，并探究2015-2025年的人口数量与人口节后趋势。

对于问题三，基于收集来的研究评论报告，结合问题一、二模型中的预测数据，发表自己的见解

对于问题四，针对上海市讨论计划生育新政策并综合养老金统筹因素对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、问题分析

解决新时期的人口问题，既要稳定低生育水平，又要统筹人口数量、素质、结构、分布问题；在促进人的全面发展的基础上，实现人口发展自身的协调和可持续，实现人口与经济社会资源环境之间的协调和良性互动。

新时期人口发展战略的总体思路是：以邓小平理论和“三个代表”重要思想为指导，全面落实科学发展观，按照构建社会主义和谐社会的要求，坚持以人为本，推进制度创新，优先投资于人的全面发展：稳定低生育水平，提高人口素质，改善人口结构，引导人口合理分布，保障人口安全；实现人口大国向人力资本强国的转变，实现人口与经济社会资源环境的协调和可持续发展。

自1978年计划生育成为中国的一项基本国策以来，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国正面临着比20世纪更为复杂的人口发展形势，为此，国家新出台了一项计划生育新政策——“开放单独二孩”。

针对问题一，首先对出生率和死亡率进行曲线拟合，描述人口自然增长率根据时间变化的关系，再运用递推法，建立全国计划生育人口数量模型，并预测计

划生育下的2015-2025年的人口数量。然后根据灰色模型思想，分别建立全国计划生育人口性别比例与年龄结构模型，同时预测2015-2025年的人口性别比例与年龄结构趋势。

针对问题二，将父母是否独生视为性状，运用孟德尔遗传定律，并引入20%的城市夫妇不生育第二胎，分析城市与农村的子代出生率，再运用递推法，建立开放单独二孩政策下的人口数量模型，预测新政策下的2015-2025年的人口数量，并对比问题一中的人口数量，数据表明：新政策的实施确实会增加更多的人口。依据灰色模型思想，分别建立新政策的人口性别比例与年龄结构模型，同时运用MATLAB 预测2015-2025年的人口性别比例与年龄结构趋势，进一步与问题一中的趋势对比表明，单独二孩政策会缓慢降低人口性别比例，并提高年轻人的人口比重。

针对问题三，通过问题一、二中模型的数据，分析收集报告的假设与结论并发表自己的见解，总结出计划生育新政策的优劣条件，解释计划生育新政策的好坏与施行方式。

针对问题四，首先讨论上海市计划生育政策的人口模型，在问题一人口数量模型的基础上，引入上海迁移率常数，描述人口增长率，建立上海市的计划生育人口数量模型，基于灰色模型思想，建立上海市计划生育人口结构模型，同时预测人口结构趋势。然后研究上海市开放单独二孩政策的人口模型，在问题二的思路上，引入迁移率常数，描述新的人口增长率，建立新的人口数量模型，进一步依据上海市计划生育人口模型，探究未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

最后，考虑到环境容纳量，一定范围内的资源有限，它只能提供一定数量的使生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，人们对于自然资源的获取愈来愈多，环境污染变得越来越严重。同时，自然资源与环境污染对人口增长的限制作用亦会愈加显著，鉴于此将模型推广到Logistic 模型中，建立受到国家政策和环境因素影响的人口数量微分方程组。

三、模型假设

1：假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值；

2：假设本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑我国与其它国家的人口迁移问题；

3：不考虑战争、瘟疫等突发事件的影响； 4：各地各民族的人口政策相同；

5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；

6：考虑到20%城市夫妇符合生二胎条件但不生育第二胎。因为特别是富裕地区的人不愿生第二胎，据国家统计局的城市收入等级表数据可知，有20%以上属于高收入人群；

7：在农村中，由于不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩，则5年后生育第二胎；

8：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；

9：由农村城市人口比重的数据可知，假设人口迁移基本已经趋于稳定1:1； 10：据人口性别比重的数据可知，假设男女基本已经趋于稳定1:1。

四、符号约定

五、模型的建立与求解

本文讨论了计划生育政策调整对人口的影响，通过建立人口数量和结构模型，进一步分析新政策对教育、劳动力供给与就业、养老等的影响。 5.1全国计划生育政策人口模型

人口变化包括人口增长及人口性别结构、年龄结构的变化，其中人口性别结构、年龄的变化影响人口增长量及增长速度。 5.1.1全国计划生育政策人口数量模型

人口数量的变化主要受出生率和死亡率的影响，如下图所示：

计划生育的改革是在2011年开始的，故收集了2003年-2010年近十年来中国人口的出生率、死亡率数据。为了更能直观的反应规律，首先用MATLAB 作出线性图来观察数据变化，如图1所示：

图1 2003年-2010年全国b-t,d-t,r-t 散点图

由图1可以观察出生率和死亡率在2003年-2006年有比较大的变动，之后的变化比较平稳。使用MATLAB 经过多次试验，出生率有以下拟合图，如图所示：

图2 2003年-2010年全国b-t 函数图像

拟合函数如下：b (t ) =e 检验值：

(2.468+

0.1678

) t -2002

SSE: 0.06928 R-square: 0.731

Adjusted R-square: 0.6862 RMSE: 0.1075

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：出生率在逐年下降，但下降的速率逐年缓慢。使用MATLAB 经过多次实验，死亡率有以下拟合图，如图3所示：

图3 2003年-2010年全国d-t 函数图像

拟合函数如下：d (t ) =e

(2.01-

0.5363

) t -2002

检验值：

SSE: 0.08486

R-square: 0.8688

Adjusted R-square: 0.8469 RMSE: 0.1189

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：死亡率在逐年上升，但上升的速率逐年缓慢。根据人口自然增长率=出生率-死亡率，可知人口自然增长率的函数表达式：r (t ) =e

(2.468+

0.1678

) t -2002

-e

(2.01-

0.5363

) t -2002

从而2015年-2025年人口自然增长率的预测值，如下图所示：

根据某年全国人口数量

N (t +1) =N (t ) ⨯(r (t ) +1)

从而2015年-2025年全国人口数量的预测值，如下图所示：

5.1.2全国计划生育政策人口性别比例模型

在灰色系统理论中，称抽象的逆过程为灰色模型，也称GM 。它是根据关联度、生成数灰导数，灰微分等观点和一系列数学方法建立起来的连续型的微分方程。下面利用单变量一阶灰色预测GM (1,1)模型对G ()序列的确定增长趋势进行

预测。

GM (1,1)模型设原始时间序列为G (0)={g 0(1),g 0(2),

g 0(n ) }

这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将其进行生成处理，提供更多的有用信息。

其形式为：

d g (1)

+ag (1)=u d t

设原始时间序列：

G (0)=(g (0)(1),g (0)(2),

预测第n+1期，第n+2期，„的值：

, g (0)(n ))

g (0)(n +

1), g (0)(n +2),

设相应的预测模型模拟序列为：

ˆ(0)=(g ˆ(0)(1), g ˆ(0)(2),G

ˆ(0)(n ) , g

设G (1)为G (0)的一次累加序列：

g (i ) =∑g (0)(m ), （i =1,2,3

(1)

m =1

(1)(0)

⎧⎪g (1)=g (1)即： ⎨(1)

(0)(1)

⎪⎩g (i ) =g (i ) +g (i -1), i =2,

, n )

, n

（1）

求解微分方程(1)为：

g (t ) =c e -a (t -1) +

当t =1时，g (t ) =g (1)，即c =g (1)-分方程的具体形式为：

，则可根据上述公式得到离散形式微a

u ⎫-a t -1u ⎛

g (t )= g (1)-⎪e ()+

a ⎭a ⎝d g g (t +t ) -g (t )

=lim t →0d t t d g

=lim(g (t +t ) -g (t )) t →1d t d g

=g (1)(t +1) -g (1)(t ) d t

当t 足够小时，变量g 从g (t ) 到g (t +t ) 是不会出现突变的，所以取g (t ) 与

g (t +t ) 的平均值作为当t 足够小时的背景值，即g (1)=

1(1)

⎡g (t ) +g (1)(t +1) ⎤⎣⎦将其2

值带入式子，整理可知：

1(1)(1)

g (t ) +g (t +1) ⎤+u g (0)(t +1) =-a ⎡⎣⎦2

由其离散形式可得到如下矩阵：

1(1)⎛⎫(1)⎡⎤-g (1)+g (2) ⎣⎦⎪(0)2⎛g (2)⎫ ⎪

(0)⎪ -1⎡g (1)(2)+g (1)(3)⎤⎪g (3) ⎪=a ⎦⎪+u 2⎣ ⎪ ⎪ ⎪ g (0)(n ) ⎪⎪⎝⎭ 1(1)⎪(1)

⎡⎤-g (n -1) +g (n ) ⎦⎪⎝

2⎣⎭

(0)(0)

令Y =⎡⎣g (2),g (3),

, g (n ) ⎤⎦，则可知：

(0)

1(1)⎛(1)1⎫⎡⎤-g (1)+g (2) ⎪⎦2⎣ ⎪ -1⎡g (1)(2)+g (1)(3)⎤⎪1⎦⎪ B = 2⎣ ⎪ ⎪ 1(1)⎪(1)

⎡⎤-g (n -1) +g (n ) ⎦1⎪⎝

2⎣⎭

α=(a u )

称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：

Y =B α

-1⎛a ⎫

由最小二乘估计方法可知： α= ⎪=(B T B )B T Y

⎝u ⎭

上式即为GM(1,1)参数a , u 的矩阵辨识算式。将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则：

u u

ˆ(1)(t ) =(g (1)-)e -a (t -1) + g

a a

其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得：

u ⎫u ⎛

ˆ(1)(t ) = g (0)(1)-⎪e -a (t -1) + g

a ⎭a ⎝

ˆ(1)(t )再作累减生成可进行预测。对序列g

灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻

找数据的现实规律的途径，称为灰色序列生成。

利用MATLAB 编程求得a , u ，将a , u 的值代入微分方程的时间响应函数，通过2003年-2010年的人口性别比例，预测2015-2025年的人口性别比例，具体数据表参见附录表二。

G 0(t ) =(106.19,106.27,106.31,106.27,106.19,106.06,105.89,105.12) 使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

ˆ(1)(t ) =-70418.422e -0.0015135(t -1) +70524.612 g

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003年-2010年原始数从而计算出拟合值g

(0)

ˆg (i ) 以及2015-2025年人口预测值如下：据拟合值

于预测。预测值如下表所示：

5.1.3全国计划生育政策人口年龄结构模型

将人口分为三个年龄层次：0-14岁；15-64；65岁以上。根据5.1.2中的模型思想，设年龄为M (t ) ，则有：

1(1)(1)

m (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

m (t ) =c e -a (t -1) +

m (0)(t +1) =-a ⎡m (1)(t ) +m (1)(t +1) ⎤⎣⎦+u 2

GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得：

u ⎫u ⎛

ˆ(1)(t ) = m (0)(1)-⎪e -a (t -1) + m

a ⎭a ⎝

通过2003年-2010年的年龄结构比重，预测2015-2025年的年龄结构比重

通过表3知：M 10(t ) =(22.1,21.5,20.3,19.8,19.4,19.0,18.5,16.6) 使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

m 0(1)(t ) =-620.1e -0.0351(t -1) +642.2

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003-2010年0-14岁从而计算出拟合值m

的原始数据拟合值m 1(0)(i ) 。0-14岁的拟合检验表如下：

0 142003-2010年15-64岁、65岁以上的原始数据拟合值m 1(0)(i ) , m 2(0)(i ) 以及2015-2025年整个年龄结构的预测比重。可得15-64

岁的拟合检验表如下：

65岁以上的拟合检验表如下：

5.2新政策下的生物遗传学预测模型

建立生物遗传学预测模型中国人口未来10年的变化，通过与问题一中人口数量模型的数据做对比，分析总结出新政策对中国未来人口数量，结构等的影响。 5.2.1新政策下的生物遗传学预测模型

由于现在我国的计划生育新政策是，在农村如果第一胎是女孩，可以生第二胎（由先前假设，则5年后生育第二胎）；然而在城市，则对于双独（夫妻双方都是独生子女）的可以允许生两胎（由先前假设，则20%的城市夫妇不生育第二胎），将夫妻双方是否为独生子女看成性状来分析，A 表示为非独生，a 表示为独生，这样进行随机性的组合，根据孟德尔第一定律，从而建立中国人口发展的生物遗传学预测模型。 1. 对于农村：

1⎛116⎫

i +1=⨯ b i +⨯b i ⎪

2⎝225⎭2. 对于城市：

111

首先，通过比例可知AA,Aa,aa 各占总数的比例为, ,

424

1111

1）AA ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是Aa ，所以为

164416

1111

2）AA ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是AA ，所以为

164416

1111

3) aa ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是aa ，所以为

164416

111

4）Aa ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为AA,Aa,aa 比例为1:2:1，而

224

此比例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa,aa 占子代总量的比例为

111 16816

111

5）AA ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为 AA,Aa 比例为1:1，而此

428111

比例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa 占子代总量的比例为

81616111

6）Aa ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为Aa,aa 比例为1:1，而比例

248111

是建立在杂交概率的基础上所以Aa,aa 占子代总量的比例为

81616111

7）aa ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为aa,Aa 比例为1:1，而此比

248111

例是建立在杂交概率的基础上所以aa,Aa 占子代总量的比例

81616

111

8）Aa ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为AA,Aa 比例为1:1，而此比

428111

例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa 占子代总量的比

81616

1111

9）aa ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是Aa ，所以为

164416

111

综上分析：2016年的子二代F 2也为：AA, Aa, aa 。由上归纳可得:子t

424

代的组合F 111

t 比重也为：4AA, 2Aa, 4

aa 。

3. 新政策下的出生率与死亡率

由农村的出生率（1）和城市的出生率（2）可知全国的出生率：

b 1⎛116⎫11

i +1=b i +1+b i +1=2⨯ ⎝2b i +2⨯5b i ⎪⎭+2⨯80%b i ⨯(1+4

)

即出生率：

b i +1=1.05b i 由5.1.1中全国人口模型可知死亡率： 2.10-

0.5363 d i =e

4. 所以最终得到人口数量的预测函数：

N i +1=N i ⨯(1+b i +1-d i +1) 5. 结合公式（2）（3）（4），得到中国2015-2025年的人口预测如下：

2） 3）

4）

（（（

所以在计划生育政策改动的条件下，我国未来十年的人口数量预测值如下表所示：

由上面两表可得：当到计划生育新政策实施后的2025年时，全国总人口数将达到15.0880亿人。人口出生率将达到20.4642‟。对比问题5.1.1中全国计划生育政策人口数量模型的预测数据，如图4所示：

图4 模型预测数据对比图

由图可知：开放单独二孩政策新政策对我国未来人口数量增长具有显著促进效果，并对我国现阶段的人口问题的解决具有良好作用。 5.2.2新政策评价新政策的优点

1. 抑制男女比例失衡

在传统观念等原因促使下，“一胎政策”导致了许多父母“选择性生育”，因而最终出现男女比例失调问题。如果开放“二胎政策”则能极大减少这个问题的出现。

2. 缓解人口老龄化

生育率的降低不可避免地带来人口老龄化和高龄化，对社会保障体制的财务可持续性产生直接冲击。开放单独二孩政策则能缓解人口老龄化问题，提升家庭抵御风险的能力，增强家庭养老照料功能，促进家庭幸福与社会和谐。

3、实施单独两孩政策，有利于保持合理的劳动力规模，延缓人口老龄化速度，在一定程度上缓解劳动力短缺问题。

4、有利于稳定适度低生育水平，促进人口长期均衡发展，促进人口与经济、社会、资源、环境的协调和可持续发展。新政策的弊端：

1. 国家财政支出将增加开放单独二孩政策后，国家将面对一系列人口增长遇到的问题。环境承受能力、财政支出、公共福利体系等宏观层面将会随着人口的增加而面临压力。

2. 加重个人家庭负担

在如今高物价时代，把一个幼儿养育成人需要巨大的花费。开放单独二孩，对于一般的家庭来讲，这是一个不得不考虑的现实问题。

3、增加了就业负担。

5.3全国计划生育政策分析与研究

由5.1模型的分析与计算，计划生育政策导致生育率大幅下降、年轻人口比例下降、老年人口比例上升、劳动年龄人口增长速度放缓。按照规律，人口老龄化是人口转变过程中必然出现的现象，也是社会经济发展到一定阶段的产物。然而对中国而言，当“MADE IN CHINA”席卷全球标志着进入了人口结构的“黄金时期”——劳动年龄人口在总人口中占有很高比例，同时也比其他国家更快地遭遇到了人口老龄化的问题。由模型5.1.1的人口自然增长率预测数据，劳动力短缺，这种人口转变是必然会发生的，实际上意味着中国将出现“未富先老”的局面。尽管中国在建立养老保障体系方面进行了一些改革和探索，但中国当前的养老金体系仍是典型的现收现付制。从国际上的经验看，这种体制只有同时满足三个条件才能存在下去，否则就将难以为继。第一是相对年轻的人口结构，也就是说，劳动年龄人口足以养活现有退休人口。第二是行之有效的税收体系，这使得国家可以筹集到发放养老金所需的资金。第三是养老基金能得到良好的经营和监管，使其做到正确投资和准确发放。显然第二和第三个条件中国目前还不具备，而第一个条件──足以养活退休人口的劳动年龄人口，对于现下中国人口增长的趋势的发展来看，它的实现有待考究。因此，这一中国基本国策的调整就显得的尤为迫不及待。

依据模型5.2，开放单独二孩政策将会有利于适当地增加人口增长率，调整人口年龄结构。开放单独二孩政策，能够使我国人口总量达到稳定、开始减少的时限延后，保证人口总量在一定时间内继续增长。这一举措看似有悖于计划生育政策，实则对人口年龄结构的调整十分有利。它是在保证全国人口数量不会突然大幅度增加的前提下开放单独二孩政策，能够在未来20年，增加青壮年劳动人口的比重，降低劳动人口的平均年龄，减缓劳动人口供给老化现象。

开放单独二孩政策，能够规避性别比例失调引起的一系列问题。通过分别建立政策调整前后的人口性别比例模型，可以发现性别比例失调的现象已经长期存在。又由于国家强制实行一胎制，在很多传统封建思想的影响下，人们对后代性别有意无意的选择，使得中国目前的出生人口性别比居高不下。如果不能得到有效遏制，男性过剩的婚姻挤压会越来越严重。我国目前已经进入老龄化社会，而鉴于目前出生性别比偏高的实际， 40年以后过低的老年性别比将会升高。适当开放“二胎”，降低选择性别的可能性，从而规避上述问题。

人口增长率和人口年龄结构的调整，在国民经济总量、消费水平、产业结构、社会福利负担等各个角度，都对国民经济发展有积极影响。首先，有利于克服较高的总抚养比对国民经济总量的不利影响。过去30年来，我国进入“人口红利”期，抚养比（即抚养人口与劳动年龄人口的比率）的不断下降，对经济总量的增长作出了巨大的贡献。然而少儿抚养比下降，老年人口抚养比却上升。这意味着未来二十年，将有更少的劳动年龄人口供养更多的老年人口。抚养比的不断攀升，会严重制约GDP 总量的增长。因此，开放单独二孩政策，能够在未来20年，增加劳动年龄人口的总量，从而减缓老年抚养比不断攀升的趋势，以协调劳动年龄人口抚养老年人口与经济总量增长之间的关系。其次，有利于克服老龄人口比重不断上升对消费水平的不利影响。适当开放“二胎”，增加青壮年人口总数，一方面能够直接提高全社会的消费总量，另一方面，老年人口所占比重下降，老年抚养比降低，有利于减轻青壮年人口的赡养负担，提高消费能力。

综上可知：计划生育新政策的实施是利大于弊，也是中国当前社会发展的迫切需要。

5.4上海市计划生育政策人口模型

基于全国人口模型，建立上海市计划生育政策人口模型，具体分析并预测新政策对人口数量、性别比例和年龄结构的影响。

首先讨论上海市计划生育政策的人口模型，基于灰色模型思想，建立上海市计划生育人口结构模型，并预测人口结构趋势。然后研究上海市开放单独二孩政策的人口模型，引入迁移率常数，描述新的人口增长率，建立新的人口数量模型。 5.4.1上海市计划生育政策人口模型 . 上海市计划生育政策人口数量模型

上海市是全国的经济文化中心，人口数量除了受出生率和死亡率影响之外，还受到外来人口的影响，即迁移率I ，如下图所示：

计划生育的改革是在2011年开始的，故收集了2003年-2010年上海市今年的人口出生率、死亡率、迁移率数据，为了能直观反映规律，首先用MATLAB 作出线性图来观察数据变化，如图5所示：

图5 2003年-2010年上海市b-t,d-t,r-t 散点图

由图可以观察出出生率和人口自然增长率逐年增长，死亡率基本趋于稳定。用MATLAB 经过多次实验，出生率有以下拟合图，如图6所示：

图6 2003年-2010年上海市b-t 函数图像

拟合函数如下：b (t ) =8.702⨯e

(-(

(t -2002) -7.6242

) )

6.157

检验值

SSE: 1.289

R-square: 0.8985

Adjusted R-square: 0.8579 RMSE: 0.5078

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：出生率在逐年上升，2009年后逐渐趋于常数。使用MATLAB 经过多次实验，死亡率有以下拟合图，如图7所示：

图7 2003年-2010年上海市d-t 函数图像

拟合函数如下：d (t ) =e

-0.05121

+1.803

t -2002

检验值

SSE: 0.05035

R-square: 0.06569

Adjusted R-square: -0.1212 RMSE: 0.1003

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：死亡率在逐年上升，2009年后逐渐趋于常数。根据自然增长率=出生率-死亡率，且上海市的迁移率为I , 从而

N (t +1) =N (t ) ⨯[b (t ) -d (t ) +I ] (t ) =b (t ) -d (t ) +I

依据N (t +1) =N (t ) ⨯((t ) +1) 可以预测出上海市计划生育政策人口数量

II. 上海市计划生育政策性别比例模型

基于5.1.2的模型思想，预测上海市2015-2025年的性别比例。设上海市的性别比例为F (t ) , 由灰色模型思想可知:

F (t ) =c e -a (t -1) +

1(1)(1)

f (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

通过2003年-2010年的性别比例比重，预测2015-2025年的性别比例比重，由附录中的表三可知：

F 0(t ) =(97.65,96.62,101.27,98.71,99.29,100.18,98.95,106.18)

使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

ˆ(1)(t ) =10543.14e 0.0092(t -1) +10445.49f

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003年-2010年原始数从而计算出拟合值f

ˆ(0)(i ) 以及2015-2025年人口预测值如下：

据拟合值f

高，可用于预测。预测值如下表所示：

III上海市计划生育政策年龄结构模型

将人口分为三个年龄层次：0-14岁；15-64；65岁以上。根据5.1.3中的灰色模型思想，设年龄为M (t ) ，则：

m (t ) =c e -a (t -1) +

u a

1(1)(1)

m (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

通过2003年-2010年的年龄结构比重，预测2015-2025年的年龄结构比重

M 10(t ) =(8.79,9.00,8.10,7.97,7.90,7.56,8.28,8.46)

u a

使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

利用公式：m (t ) =c e -a (t -1) +

m 1(1)(t ) =-1105.3153e -0.0076(t -1) +1141.1053

(0)

g (i ) =g (m ), （i =1,2,3∑再利用公式：

(1)

m =1i

, n )

ˆ1(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003-2010年0-14岁从而计算出拟合值m 的原始数据拟合值m 1(0)(i ) 。

0-14岁的拟合检验表如下：

得到2003年-2010年15-64岁、65岁以上的原始数据拟合值m 2(0)(i ) , m 3(0)(i )

15-64岁以上的拟合检验表如下：

65岁以上的拟合检验表如下：

5.4.2上海市新政策下的生物遗传学预测模型

同模型5.2.1的分析思路，可以将夫妻双方是否为独生子女看成性状来分析，A 表示为非独生，a 表示为独生，这样进行随机性的组合，根据孟德尔第一定律，从而建立上海市人口发展的生物遗传学预测模型。上海市农村与城市人口比例为1:9，从而对于上海市的农村：

对于城市：

b i +1=

1⎛116⎫⨯ b i +⨯b i ⎪（5） 10⎝225⎭

111

首先通过比例可知AA,Aa,aa 各占总数的比例为, , : 2016年的子

424

111

二代F 2也为：AA, Aa, aa 。由模型5.2.1归纳可得:子t 代的组合F t 比重也

424

111

为：AA, Aa, aa 。故：

424

b i +1=⨯80%b i ⨯(1+) （6）

104

由（5）、（6）可得上海市出生率：

b i +1=i +1+b i +1=

1⎛116⎫91

⨯ b i +⨯b i ⎪+⨯80%bi ⨯(1+) 10⎝225⎭104

即： b i +1=1.01b i 由5.3.1上海市人口模型可知死亡率：

d i =e 0.008685(t -2002) +4.955

迁移率为：I

所以最终得到人口数量的预测函数： N i +1=N i ⨯(1+b i +1

-d i +1+I ) （7）

依据公式（7），可对2015-2025年上海市的人口数量做出预测。 5.4.3上海市新政策下的社会分析

基于对问题四中建立模型的分析，可知由于现行计划生育，人口出生率迅速下降，加快了我国人口老龄化的进程，导致了人口红利消失、临近超低生育率水平、人口老龄化、出生性别比失调等问题。这对我国的经济与社会可持续发展是个很大的隐患。

而通过对上海市“开放单独二孩政策”的政策预测与分析分析，不难看出，在未来总人口态势呈缓慢上升的态势时，该政策的提出会缓慢提高出生率以及生育率，缓和我国人口老龄化的局势，改变社会抚养比。先期进入老龄化社会的一

些发达国家，目前人均国民生产总值达到2万美元以上，呈现出" 先富后老" ，这为解决人口老龄化带来的问题奠定了经济基础。而我国进入老龄化社会时，人均国民生产总值约为1000美元，呈现出" 未富先老" ，经济实力不强，无疑增加了解决老龄化问题的难度。加之现在中国要完善社会主义市场经济体制，面临改革和发展的任务繁重，既要经济社会可持续发展，又要保持稳定，使得解决人口老龄化问题更为艰巨。因此单独二孩政策对解决上海市人口老龄化问题是个很好的措施。这将会改变未来上海市人口结构，增加青年劳动力等方面的优势，有利于可持续发展等多方面因素。并且，单独二孩政策会降低人口抚养比，弥补养老金统筹的缺口，使社会上有更多创造财富的人。

同时，现行计划生育使得性别比例持续升高，导致了男女分布严重不平衡，男女配偶间年龄差距增加，高基数高比例的无择偶人群等问题。而通过对单独二孩政策的分析，此政策的实施将缓慢降低男女比例，未来的人口男女比例会趋近平衡。

六、模型评价

优势：

1：数据精确可靠。文中所用数据均来自《中国统计年鉴》，并且对论文中

涉及到的众多影响因素进行了量化处理，使得论文的说服力强，实际性更高。

2：人口数量模型中，不只考虑到人口出生率和死亡率的影响，也在上海市

人口模型中加入了迁移率常数，考虑了比较关键性的因素。

3：运用了MATLAB 、灰色模型、孟德尔遗传定律等专业的工具与理论，增强

了模型的准确性，提高了预测的精度。 4：运用了条形图表现数据结果，更直观形象。不足：

1：灰色模型中的精准度不是很高，只能预测短期时间内的人口情况，不能

预测长期时间的人口情况。

2：引入了两个常量，一个是迁移率常数，一个是有20%的城市夫妇不生育

第二胎，这与实际情况还是有出入的。

七、模型推广

由于资源有限，它只能提供一定数量的使生命生存所需的条件。随着人口数量的增加，人们对于自然资源的获取愈来愈多，环境污染变得越来越严重。同时，自然资源与环境污染对人口增长的限制作用亦会愈加显著。从而就有了著名的阻滞增长模型（Logistic 模型）：

N ⎧d N

=rN (1-) ⎪

K ⎨d t

⎪⎩N (t 0) =N 0

其中K 为自然资源与环境条件能够容纳的最大人口数量。对于中国来说，由于人口增长并不是自然增长，很大程度上受到政府政策的影响。故在模型5.1.1中直接用人口出生率与死亡率的数据进行拟合，得到随时间变化的自然增长率

r (t )。随着中国经济的又好又快迅速发展，环境问题不容乐观，在一定程度上是随着经济的发展环境容纳量在减小，即：

K (t ) =-βN ，其中β为比例系数

最终得到受到国家政策和环境因素影响的人口数量微分方程组：

N ⎧d N

=rN (1-) ⎪d t K ⎪⎪r (t )=b (t ) -d (t )

⎨

⎪K (t ) =-βN ⎪⎪⎩N (t 0) =N 0

参考文献

[1] 熊启才，数学模型方法及应用，重庆：重庆大学出版社，2005. [2] 姜启源，谢金星，数学建模（第四版），北京：高等教育出版社，2011. [3] 王庚，王敏生，现代数学建模方法，北京：科学出版社，2008.

附录

表一:

表二:

表三

全国x=[2003:0.01:2010];

y=exp(2.468+0.1678./(x-2002)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('b');

全国2003年-2010年的d(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=exp(2.01-0.5363./(x-2002)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('d');

全国2015年-2025年r(t)数据表代码： function printR() for t = 201:5:1:2025

r=(exp(2.468+0.1678/(t-2002))-exp(2.01-0.5363/(t-2002)));

disp(['中国第',num2str(t),'年的人口自然增长率为：',num2str(r)]); end

全国2015年-2025年n(t)数据表代码： function printN() t=2015; n=13.4091;

while(t

r=(exp(2.468+0.1678/(t-2002))-exp(2.01-0.5363/(t-2002))); r=r*0.001; n=n*(r+1);

disp(['中国第',num2str(t),'年的人口总数为：',num2str(n)]); t=t+1; end

上海市2003年-2010年b(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=8.702*exp(-(((x-2002)-7.624)./6.157).*(((x-2002)-7.624)./6.157)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('b');

上海市2003年-2010年d(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=exp( -0.05121./(x-2002)+1.803); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('d');

两种政策状态执行下的全国人口数量的对比分析图像代码： x=[2010:0.01:2025];

y=13.68*exp(0.00465*((x-5)-2002));

plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('n1'); hold on ;

y=13.54*exp(0.009311*((x-5)-2002)); plot(x,y,'black:'); box off;

xlabel('t'); ylabel('n2');

legend('生育政策不变下人口数量',' 单独二孩政策后人口数量') 灰色模型求解预测代码：

x0=[7.5 7.6 7.7 7.9 8.1 8.3 8.5 8.9]; n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n); x1=cumsum(x0); for i=2:n

z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end

B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; disp('a和u'); u=inv(B'*B)*B'*Y F(1)=x0(1); for i=2:(n+10)

F(i)=(x0(1)-u(2)/u(1))/exp(u(1)*(i-1))+u(2)/u(1); end

G(1)=x0(1); for i=2:(n+10)

G(i)=F(i)-F(i-1); epsilon=(x0-G(i)); end

disp('残差为：'); for i=1:n

epsilon=(x0(i)-G(i)) end

disp('误差百分比为：'); delta=abs(epsilon./x0) disp('级比残差');

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%??±????? disp('原始数列');

全国2003年-2010年b(t),d(t),r(t)函数图像代码：

t=[2003:0.1:2010];

d1=exp(2.01-(0.5263./(t-2002)));

b1=exp(2.468+0.1678./(t-2002));

r1=b1-d1;

plot(t,b1,'black');

box off;

xlabel('t');

hold on ;

plot(t,r1,'black:');

hold on ;

plot(t,d1,'black.');

legend('出生率',' 死亡率',' 自然增长率');

axis([2003 2010 0 16]);

上海市2003年-2010年b(t),d(t),r(t)函数图像代码：

t=[2003:0.1:2010];

b1=8.702*exp(-(((t-2002)-7.624)./6.157).*(((t-2002)-7.624)./6.157)); d1=exp((-0.05121)./(t-2002)+1.803);

r1=b1-d1;

plot(t,b1,'black');

box off;

xlabel('t');

hold on ;

plot(t,r1,'black:');

hold on ;

plot(t,d1,'black.');

legend('出生率',' 自然增长率',' 死亡率');

axis([2003 2010 -4 13]);

计划生育政策调整对人口影响的研究

摘要本文讨论了计划生育政策调整对人口的影响，通过建立人口数量和结构模型，进一步分析新政策对教育、劳动力供给与就业、养老等的影响。

关键词曲线拟合；递推式；灰色模型；孟德尔遗传定律；Logistic 模型

一、问题重述

本文主要讨论以下四个问题：

对于问题一，讨论全国计划生育人口数量与人口结构模型，并预测2015-2025年人口数量。

对于问题二，建立开放单独二孩政策的生育人口数量与人口结构模型，并探究2015-2025年的人口数量与人口节后趋势。

对于问题三，基于收集来的研究评论报告，结合问题一、二模型中的预测数据，发表自己的见解

对于问题四，针对上海市讨论计划生育新政策并综合养老金统筹因素对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。

二、问题分析

三、模型假设

1：假设本问题所使用的数据均真实有效，具有统计分析价值；

2：假设本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑我国与其它国家的人口迁移问题；

3：不考虑战争、瘟疫等突发事件的影响； 4：各地各民族的人口政策相同；

5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；

7：在农村中，由于不同地区的政策不同，故假设如果农村夫妇第一胎为女孩，则5年后生育第二胎；

8：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；

9：由农村城市人口比重的数据可知，假设人口迁移基本已经趋于稳定1:1； 10：据人口性别比重的数据可知，假设男女基本已经趋于稳定1:1。

四、符号约定

五、模型的建立与求解

人口数量的变化主要受出生率和死亡率的影响，如下图所示：

图1 2003年-2010年全国b-t,d-t,r-t 散点图

由图1可以观察出生率和死亡率在2003年-2006年有比较大的变动，之后的变化比较平稳。使用MATLAB 经过多次试验，出生率有以下拟合图，如图所示：

图2 2003年-2010年全国b-t 函数图像

拟合函数如下：b (t ) =e 检验值：

(2.468+

0.1678

) t -2002

SSE: 0.06928 R-square: 0.731

Adjusted R-square: 0.6862 RMSE: 0.1075

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：出生率在逐年下降，但下降的速率逐年缓慢。使用MATLAB 经过多次实验，死亡率有以下拟合图，如图3所示：

图3 2003年-2010年全国d-t 函数图像

拟合函数如下：d (t ) =e

(2.01-

0.5363

) t -2002

检验值：

SSE: 0.08486

R-square: 0.8688

Adjusted R-square: 0.8469 RMSE: 0.1189

(2.468+

0.1678

) t -2002

-e

(2.01-

0.5363

) t -2002

从而2015年-2025年人口自然增长率的预测值，如下图所示：

根据某年全国人口数量

N (t +1) =N (t ) ⨯(r (t ) +1)

从而2015年-2025年全国人口数量的预测值，如下图所示：

5.1.2全国计划生育政策人口性别比例模型

预测。

GM (1,1)模型设原始时间序列为G (0)={g 0(1),g 0(2),

g 0(n ) }

这是一组信息不完全的灰色量，具有很大的随机性，将其进行生成处理，提供更多的有用信息。

其形式为：

d g (1)

+ag (1)=u d t

设原始时间序列：

G (0)=(g (0)(1),g (0)(2),

预测第n+1期，第n+2期，„的值：

, g (0)(n ))

g (0)(n +

1), g (0)(n +2),

设相应的预测模型模拟序列为：

ˆ(0)=(g ˆ(0)(1), g ˆ(0)(2),G

ˆ(0)(n ) , g

设G (1)为G (0)的一次累加序列：

g (i ) =∑g (0)(m ), （i =1,2,3

(1)

m =1

(1)(0)

⎧⎪g (1)=g (1)即： ⎨(1)

(0)(1)

⎪⎩g (i ) =g (i ) +g (i -1), i =2,

, n )

, n

（1）

求解微分方程(1)为：

g (t ) =c e -a (t -1) +

当t =1时，g (t ) =g (1)，即c =g (1)-分方程的具体形式为：

，则可根据上述公式得到离散形式微a

u ⎫-a t -1u ⎛

g (t )= g (1)-⎪e ()+

a ⎭a ⎝d g g (t +t ) -g (t )

=lim t →0d t t d g

=lim(g (t +t ) -g (t )) t →1d t d g

=g (1)(t +1) -g (1)(t ) d t

当t 足够小时，变量g 从g (t ) 到g (t +t ) 是不会出现突变的，所以取g (t ) 与

g (t +t ) 的平均值作为当t 足够小时的背景值，即g (1)=

1(1)

⎡g (t ) +g (1)(t +1) ⎤⎣⎦将其2

值带入式子，整理可知：

1(1)(1)

g (t ) +g (t +1) ⎤+u g (0)(t +1) =-a ⎡⎣⎦2

由其离散形式可得到如下矩阵：

1(1)⎛⎫(1)⎡⎤-g (1)+g (2) ⎣⎦⎪(0)2⎛g (2)⎫ ⎪

(0)⎪ -1⎡g (1)(2)+g (1)(3)⎤⎪g (3) ⎪=a ⎦⎪+u 2⎣ ⎪ ⎪ ⎪ g (0)(n ) ⎪⎪⎝⎭ 1(1)⎪(1)

⎡⎤-g (n -1) +g (n ) ⎦⎪⎝

2⎣⎭

(0)(0)

令Y =⎡⎣g (2),g (3),

, g (n ) ⎤⎦，则可知：

(0)

1(1)⎛(1)1⎫⎡⎤-g (1)+g (2) ⎪⎦2⎣ ⎪ -1⎡g (1)(2)+g (1)(3)⎤⎪1⎦⎪ B = 2⎣ ⎪ ⎪ 1(1)⎪(1)

⎡⎤-g (n -1) +g (n ) ⎦1⎪⎝

2⎣⎭

α=(a u )

称Y 为数据向量，B 为数据矩阵，α为参数向量. 则上式可简化为线性模型：

Y =B α

-1⎛a ⎫

由最小二乘估计方法可知： α= ⎪=(B T B )B T Y

⎝u ⎭

上式即为GM(1,1)参数a , u 的矩阵辨识算式。将求得的a ，u 值代入微分方程的解式，则：

u u

ˆ(1)(t ) =(g (1)-)e -a (t -1) + g

a a

其中，上式是GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得：

u ⎫u ⎛

ˆ(1)(t ) = g (0)(1)-⎪e -a (t -1) + g

a ⎭a ⎝

ˆ(1)(t )再作累减生成可进行预测。对序列g

灰色系统是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的，这是一种就数据寻

找数据的现实规律的途径，称为灰色序列生成。

G 0(t ) =(106.19,106.27,106.31,106.27,106.19,106.06,105.89,105.12) 使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

ˆ(1)(t ) =-70418.422e -0.0015135(t -1) +70524.612 g

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003年-2010年原始数从而计算出拟合值g

(0)

ˆg (i ) 以及2015-2025年人口预测值如下：据拟合值

于预测。预测值如下表所示：

5.1.3全国计划生育政策人口年龄结构模型

将人口分为三个年龄层次：0-14岁；15-64；65岁以上。根据5.1.2中的模型思想，设年龄为M (t ) ，则有：

1(1)(1)

m (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

m (t ) =c e -a (t -1) +

m (0)(t +1) =-a ⎡m (1)(t ) +m (1)(t +1) ⎤⎣⎦+u 2

GM(1,1)模型的时间响应函数形式，将它离散化得：

u ⎫u ⎛

ˆ(1)(t ) = m (0)(1)-⎪e -a (t -1) + m

a ⎭a ⎝

通过2003年-2010年的年龄结构比重，预测2015-2025年的年龄结构比重

通过表3知：M 10(t ) =(22.1,21.5,20.3,19.8,19.4,19.0,18.5,16.6) 使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

m 0(1)(t ) =-620.1e -0.0351(t -1) +642.2

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003-2010年0-14岁从而计算出拟合值m

的原始数据拟合值m 1(0)(i ) 。0-14岁的拟合检验表如下：

0 142003-2010年15-64岁、65岁以上的原始数据拟合值m 1(0)(i ) , m 2(0)(i ) 以及2015-2025年整个年龄结构的预测比重。可得15-64

岁的拟合检验表如下：

65岁以上的拟合检验表如下：

5.2新政策下的生物遗传学预测模型

1⎛116⎫

i +1=⨯ b i +⨯b i ⎪

2⎝225⎭2. 对于城市：

111

首先，通过比例可知AA,Aa,aa 各占总数的比例为, ,

424

1111

1）AA ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是Aa ，所以为

164416

1111

2）AA ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是AA ，所以为

164416

1111

3) aa ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是aa ，所以为

164416

111

4）Aa ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为AA,Aa,aa 比例为1:2:1，而

224

此比例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa,aa 占子代总量的比例为

111 16816

111

5）AA ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为 AA,Aa 比例为1:1，而此

428111

比例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa 占子代总量的比例为

81616111

6）Aa ⨯aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为Aa,aa 比例为1:1，而比例

248111

是建立在杂交概率的基础上所以Aa,aa 占子代总量的比例为

81616111

7）aa ⨯Aa 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为aa,Aa 比例为1:1，而此比

248111

例是建立在杂交概率的基础上所以aa,Aa 占子代总量的比例

81616

111

8）Aa ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代基因型为AA,Aa 比例为1:1，而此比

428111

例是建立在杂交概率的基础上所以AA,Aa 占子代总量的比

81616

1111

9）aa ⨯AA 杂交的概率为⨯= ，子代只有一种可能是Aa ，所以为

164416

111

综上分析：2016年的子二代F 2也为：AA, Aa, aa 。由上归纳可得:子t

424

代的组合F 111

t 比重也为：4AA, 2Aa, 4

aa 。

3. 新政策下的出生率与死亡率

由农村的出生率（1）和城市的出生率（2）可知全国的出生率：

b 1⎛116⎫11

i +1=b i +1+b i +1=2⨯ ⎝2b i +2⨯5b i ⎪⎭+2⨯80%b i ⨯(1+4

)

即出生率：

b i +1=1.05b i 由5.1.1中全国人口模型可知死亡率： 2.10-

0.5363 d i =e

4. 所以最终得到人口数量的预测函数：

N i +1=N i ⨯(1+b i +1-d i +1) 5. 结合公式（2）（3）（4），得到中国2015-2025年的人口预测如下：

2） 3）

4）

（（（

所以在计划生育政策改动的条件下，我国未来十年的人口数量预测值如下表所示：

图4 模型预测数据对比图

1. 抑制男女比例失衡

2. 缓解人口老龄化

3、实施单独两孩政策，有利于保持合理的劳动力规模，延缓人口老龄化速度，在一定程度上缓解劳动力短缺问题。

4、有利于稳定适度低生育水平，促进人口长期均衡发展，促进人口与经济、社会、资源、环境的协调和可持续发展。新政策的弊端：

2. 加重个人家庭负担

在如今高物价时代，把一个幼儿养育成人需要巨大的花费。开放单独二孩，对于一般的家庭来讲，这是一个不得不考虑的现实问题。

3、增加了就业负担。

5.3全国计划生育政策分析与研究

综上可知：计划生育新政策的实施是利大于弊，也是中国当前社会发展的迫切需要。

5.4上海市计划生育政策人口模型

基于全国人口模型，建立上海市计划生育政策人口模型，具体分析并预测新政策对人口数量、性别比例和年龄结构的影响。

上海市是全国的经济文化中心，人口数量除了受出生率和死亡率影响之外，还受到外来人口的影响，即迁移率I ，如下图所示：

图5 2003年-2010年上海市b-t,d-t,r-t 散点图

由图可以观察出出生率和人口自然增长率逐年增长，死亡率基本趋于稳定。用MATLAB 经过多次实验，出生率有以下拟合图，如图6所示：

图6 2003年-2010年上海市b-t 函数图像

拟合函数如下：b (t ) =8.702⨯e

(-(

(t -2002) -7.6242

) )

6.157

检验值

SSE: 1.289

R-square: 0.8985

Adjusted R-square: 0.8579 RMSE: 0.5078

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：出生率在逐年上升，2009年后逐渐趋于常数。使用MATLAB 经过多次实验，死亡率有以下拟合图，如图7所示：

图7 2003年-2010年上海市d-t 函数图像

拟合函数如下：d (t ) =e

-0.05121

+1.803

t -2002

检验值

SSE: 0.05035

R-square: 0.06569

Adjusted R-square: -0.1212 RMSE: 0.1003

由拟合参数可知，拟合程度较好。由图可知：死亡率在逐年上升，2009年后逐渐趋于常数。根据自然增长率=出生率-死亡率，且上海市的迁移率为I , 从而

N (t +1) =N (t ) ⨯[b (t ) -d (t ) +I ] (t ) =b (t ) -d (t ) +I

依据N (t +1) =N (t ) ⨯((t ) +1) 可以预测出上海市计划生育政策人口数量

II. 上海市计划生育政策性别比例模型

基于5.1.2的模型思想，预测上海市2015-2025年的性别比例。设上海市的性别比例为F (t ) , 由灰色模型思想可知:

F (t ) =c e -a (t -1) +

1(1)(1)

f (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

通过2003年-2010年的性别比例比重，预测2015-2025年的性别比例比重，由附录中的表三可知：

F 0(t ) =(97.65,96.62,101.27,98.71,99.29,100.18,98.95,106.18)

使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

ˆ(1)(t ) =10543.14e 0.0092(t -1) +10445.49f

ˆ(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003年-2010年原始数从而计算出拟合值f

ˆ(0)(i ) 以及2015-2025年人口预测值如下：

据拟合值f

高，可用于预测。预测值如下表所示：

III上海市计划生育政策年龄结构模型

将人口分为三个年龄层次：0-14岁；15-64；65岁以上。根据5.1.3中的灰色模型思想，设年龄为M (t ) ，则：

m (t ) =c e -a (t -1) +

u a

1(1)(1)

m (0)(t +1) =-a ⎡m (t ) +m (t +1) ⎤+u ⎣⎦2

通过2003年-2010年的年龄结构比重，预测2015-2025年的年龄结构比重

M 10(t ) =(8.79,9.00,8.10,7.97,7.90,7.56,8.28,8.46)

u a

使用MATLAB 软件处理得到时间相应函数为：

利用公式：m (t ) =c e -a (t -1) +

m 1(1)(t ) =-1105.3153e -0.0076(t -1) +1141.1053

(0)

g (i ) =g (m ), （i =1,2,3∑再利用公式：

(1)

m =1i

, n )

ˆ1(1)(i ) ，再用减运算还原，即可得2003-2010年0-14岁从而计算出拟合值m 的原始数据拟合值m 1(0)(i ) 。

0-14岁的拟合检验表如下：

得到2003年-2010年15-64岁、65岁以上的原始数据拟合值m 2(0)(i ) , m 3(0)(i )

15-64岁以上的拟合检验表如下：

65岁以上的拟合检验表如下：

5.4.2上海市新政策下的生物遗传学预测模型

对于城市：

b i +1=

1⎛116⎫⨯ b i +⨯b i ⎪（5） 10⎝225⎭

111

首先通过比例可知AA,Aa,aa 各占总数的比例为, , : 2016年的子

424

111

二代F 2也为：AA, Aa, aa 。由模型5.2.1归纳可得:子t 代的组合F t 比重也

424

111

为：AA, Aa, aa 。故：

424

b i +1=⨯80%b i ⨯(1+) （6）

104

由（5）、（6）可得上海市出生率：

b i +1=i +1+b i +1=

1⎛116⎫91

⨯ b i +⨯b i ⎪+⨯80%bi ⨯(1+) 10⎝225⎭104

即： b i +1=1.01b i 由5.3.1上海市人口模型可知死亡率：

d i =e 0.008685(t -2002) +4.955

迁移率为：I

所以最终得到人口数量的预测函数： N i +1=N i ⨯(1+b i +1

-d i +1+I ) （7）

依据公式（7），可对2015-2025年上海市的人口数量做出预测。 5.4.3上海市新政策下的社会分析

六、模型评价

优势：

1：数据精确可靠。文中所用数据均来自《中国统计年鉴》，并且对论文中

涉及到的众多影响因素进行了量化处理，使得论文的说服力强，实际性更高。

2：人口数量模型中，不只考虑到人口出生率和死亡率的影响，也在上海市

人口模型中加入了迁移率常数，考虑了比较关键性的因素。

3：运用了MATLAB 、灰色模型、孟德尔遗传定律等专业的工具与理论，增强

了模型的准确性，提高了预测的精度。 4：运用了条形图表现数据结果，更直观形象。不足：

1：灰色模型中的精准度不是很高，只能预测短期时间内的人口情况，不能

预测长期时间的人口情况。

2：引入了两个常量，一个是迁移率常数，一个是有20%的城市夫妇不生育

第二胎，这与实际情况还是有出入的。

七、模型推广

N ⎧d N

=rN (1-) ⎪

K ⎨d t

⎪⎩N (t 0) =N 0

r (t )。随着中国经济的又好又快迅速发展，环境问题不容乐观，在一定程度上是随着经济的发展环境容纳量在减小，即：

K (t ) =-βN ，其中β为比例系数

最终得到受到国家政策和环境因素影响的人口数量微分方程组：

N ⎧d N

=rN (1-) ⎪d t K ⎪⎪r (t )=b (t ) -d (t )

⎨

⎪K (t ) =-βN ⎪⎪⎩N (t 0) =N 0

参考文献

附录

表一:

表二:

表三

全国x=[2003:0.01:2010];

y=exp(2.468+0.1678./(x-2002)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('b');

全国2003年-2010年的d(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=exp(2.01-0.5363./(x-2002)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('d');

全国2015年-2025年r(t)数据表代码： function printR() for t = 201:5:1:2025

r=(exp(2.468+0.1678/(t-2002))-exp(2.01-0.5363/(t-2002)));

disp(['中国第',num2str(t),'年的人口自然增长率为：',num2str(r)]); end

全国2015年-2025年n(t)数据表代码： function printN() t=2015; n=13.4091;

while(t

r=(exp(2.468+0.1678/(t-2002))-exp(2.01-0.5363/(t-2002))); r=r*0.001; n=n*(r+1);

disp(['中国第',num2str(t),'年的人口总数为：',num2str(n)]); t=t+1; end

上海市2003年-2010年b(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=8.702*exp(-(((x-2002)-7.624)./6.157).*(((x-2002)-7.624)./6.157)); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('b');

上海市2003年-2010年d(t)函数图像代码： x=[2003:0.01:2010];

y=exp( -0.05121./(x-2002)+1.803); plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('d');

两种政策状态执行下的全国人口数量的对比分析图像代码： x=[2010:0.01:2025];

y=13.68*exp(0.00465*((x-5)-2002));

plot(x,y,'black'); box off;

xlabel('t'); ylabel('n1'); hold on ;

y=13.54*exp(0.009311*((x-5)-2002)); plot(x,y,'black:'); box off;

xlabel('t'); ylabel('n2');

legend('生育政策不变下人口数量',' 单独二孩政策后人口数量') 灰色模型求解预测代码：

x0=[7.5 7.6 7.7 7.9 8.1 8.3 8.5 8.9]; n=length(x0);

lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n); x1=cumsum(x0); for i=2:n

z(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1)); end

B=[-z(2:n)',ones(n-1,1)]; Y=x0(2:n)'; disp('a和u'); u=inv(B'*B)*B'*Y F(1)=x0(1); for i=2:(n+10)

F(i)=(x0(1)-u(2)/u(1))/exp(u(1)*(i-1))+u(2)/u(1); end

G(1)=x0(1); for i=2:(n+10)

G(i)=F(i)-F(i-1); epsilon=(x0-G(i)); end

disp('残差为：'); for i=1:n

epsilon=(x0(i)-G(i)) end

disp('误差百分比为：'); delta=abs(epsilon./x0) disp('级比残差');

rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%??±????? disp('原始数列');

全国2003年-2010年b(t),d(t),r(t)函数图像代码：

t=[2003:0.1:2010];

d1=exp(2.01-(0.5263./(t-2002)));

b1=exp(2.468+0.1678./(t-2002));

r1=b1-d1;

plot(t,b1,'black');

box off;

xlabel('t');

hold on ;

plot(t,r1,'black:');

hold on ;

plot(t,d1,'black.');

legend('出生率',' 死亡率',' 自然增长率');

axis([2003 2010 0 16]);

上海市2003年-2010年b(t),d(t),r(t)函数图像代码：

t=[2003:0.1:2010];

b1=8.702*exp(-(((t-2002)-7.624)./6.157).*(((t-2002)-7.624)./6.157)); d1=exp((-0.05121)./(t-2002)+1.803);

r1=b1-d1;

plot(t,b1,'black');

box off;

xlabel('t');

hold on ;

plot(t,r1,'black:');

hold on ;

plot(t,d1,'black.');

legend('出生率',' 自然增长率',' 死亡率');

axis([2003 2010 -4 13]);

人口模型数学建模

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