直线和平面垂直
教学目的： 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 内容分析：
本节包括两个知识点：图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，
直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝B ，b ⊂α，c ⊂α”才能得到结论“a ⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a ⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容
教学过程：
一、复习引入：
观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3
a ⊂α，a α=A ，a //αa
a
αα
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这推理模式：l ⊄α, m ⊂α, l //m ⇒l //αl
m 如果一条直线和一个平面平行，经过这
α
推理模式：l //α, l ⊂β, α β=m ⇒l //m 二、讲解新课： 1 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的点叫做直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做③ a ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有a ⊥利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那即 若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α
已知：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n 求证：l ⊥α分析：在α内平移m ，n ，使它们都通过点B ，这时m ，n 仍保持和l B 作任一条不与m ，n 重合的直线g ，如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ，那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直，即l 垂直α为此，我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA′，于是m ，n 都是线段AA ′的垂直平分线，它们上面的点到A 、A 如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等，那么g 也是AA ′的垂直平分线，于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ，过点E 在α内作不通过点B 的直线，分别与m ，n 相交于点C 、D ，容易证明△ACD ≌A ′CD ，进而又可证明△ACE ≌△A ′于是EA=EA′，g ⊥l 一般地：
已知：m ', n '是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ', l ⊥n '， 求证：l ⊥α
证明：过点B 作m //m ', n //n '
∵l ⊥m ', l ⊥n ' ∴l ⊥m , l ⊥n ，
过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧分别截取BA =BA '，
∴m , n 都是AA '的垂直平分线，
∴AD =A 'D , AC =A 'C ，
在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别
与m , n 相交于点C , D ，
∴∆ACD ≅∆A 'CD ，
∴∠ACD =∠A 'CD ，又AC =A 'C ，
∴∆ACE ≅∆A 'CE ，∴
AE =A 'E
∴a ⊥l ，∴l ⊥α．
三、讲解范例：
例1 已知：a ∥b,a ⊥α
求证：b ⊥α证明：设m 是αa ⊥α⎫⎬⇒a ⊥m ⎫⇒ ⎬m ⊂α⎭b ⊥m ⎫a //b ⎭⎬⇒b ⊥αm ⊂α⎭本题的作用：要证b ⊥α，没有办法？而已知a ∥b ，只需证a ⊥α即可，在证题时起转移作用，但具体要证a ⊥α例2 已知：平面α和一点求证：过点P 与α证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA ⊥α，垂足为A （或P ）
若另一直线PB ⊥α，设PA , PB
α β=a
∴PA ⊥a , PB ⊥a
又∵PA , PB 在平面β所以过点P 与α例3 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放
C , D ，在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，
那么旗杆就和地面垂直，为什么？
解：在∆ABC 和∆ABD 中，
∵AB =8m , BC =BD =6m , AC =AD =10m
∴AB +BC =6+8=10=AC 222222
AB 2+BD 2=62+82=102=AD 2
∴∠ABC =∠ABD =90
即AB ⊥BC , AB ⊥BD
又∵B , C , D 不共线
∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；
例4 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥l 求证：AP 在α证明：设AP 与l 确定的平面为βAP 不在α内，
则可设α与β相交于直线∵l ⊥α，∴l ⊥又AP ⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l 所以AP 一定在α四、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l 垂直于平面α，那么l 就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问
五、课后作业：创新方案
直线和平面垂直
教学目的： 教学重点：教学难点：授课类型：新授课课时安排：1课时 内容分析：
本节包括两个知识点：图形的性质，在传统几可学教育中这个定理占有极重要的地位，在这里，我们只重视概念的这一小节的教学要求是，掌握直线和平面垂直的概念，掌握直线和平面垂直的判定定理，
直线与平面垂直的定义是一个严格但不实用的定义，因而必须给出一个判定“直线与平a ⊥b ，a ⊥c ，b ∩c ＝B ，b ⊂α，c ⊂α”才能得到结论“a ⊥α”，至于为什么在上述条件下一定能得到“a ⊥α”这一结论便是本节课的一个主要内容
教学过程：
一、复习引入：
观察空间直线和平面可知它们的位置关系有：
（1）直线在平面内（无数个公共点）；
（2）直线和平面相交（有且只有一个公共点）；
（3
a ⊂α，a α=A ，a //αa
a
αα
如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这推理模式：l ⊄α, m ⊂α, l //m ⇒l //αl
m 如果一条直线和一个平面平行，经过这
α
推理模式：l //α, l ⊂β, α β=m ⇒l //m 二、讲解新课： 1 如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面垂线，平面叫做直线的点叫做直线与平面垂直简称线面垂直，记作：a ⊥α说明：①“任何”表示所有（提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？如不是，直线与平面的位置关系如何？）
②直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，在垂直时，直线与平面的交点叫做③ a ⊥α等价于对任意的直线m ⊂α，都有a ⊥利用定义，我们得到了判定线面垂直的最基本方法，同时也得到了线面垂直的最基本的 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那即 若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α
已知：m 、n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ，l ⊥n 求证：l ⊥α分析：在α内平移m ，n ，使它们都通过点B ，这时m ，n 仍保持和l B 作任一条不与m ，n 重合的直线g ，如果我们能根据l ⊥m 且l ⊥n 推出l ⊥g ，那么就证明了直线l 和过点B 的所有直线都垂直，即l 垂直α为此，我们在l 上自点B 起于平面α的两侧分别截取BA=BA′，于是m ，n 都是线段AA ′的垂直平分线，它们上面的点到A 、A 如果我们能证明g 上的点到A 、A ′的距离也相等，那么g 也是AA ′的垂直平分线，于是g 就垂直于l 在g 上任取一点E ，过点E 在α内作不通过点B 的直线，分别与m ，n 相交于点C 、D ，容易证明△ACD ≌A ′CD ，进而又可证明△ACE ≌△A ′于是EA=EA′，g ⊥l 一般地：
已知：m ', n '是平面α内的两条相交直线，直线l 与α的交点为B ，且l ⊥m ', l ⊥n '， 求证：l ⊥α
证明：过点B 作m //m ', n //n '
∵l ⊥m ', l ⊥n ' ∴l ⊥m , l ⊥n ，
过B 任作直线a ，在l 上于α平面两侧分别截取BA =BA '，
∴m , n 都是AA '的垂直平分线，
∴AD =A 'D , AC =A 'C ，
在a 上任取点E ，过E 在平面α内作不通过B 的直线分别
与m , n 相交于点C , D ，
∴∆ACD ≅∆A 'CD ，
∴∠ACD =∠A 'CD ，又AC =A 'C ，
∴∆ACE ≅∆A 'CE ，∴
AE =A 'E
∴a ⊥l ，∴l ⊥α．
三、讲解范例：
例1 已知：a ∥b,a ⊥α
求证：b ⊥α证明：设m 是αa ⊥α⎫⎬⇒a ⊥m ⎫⇒ ⎬m ⊂α⎭b ⊥m ⎫a //b ⎭⎬⇒b ⊥αm ⊂α⎭本题的作用：要证b ⊥α，没有办法？而已知a ∥b ，只需证a ⊥α即可，在证题时起转移作用，但具体要证a ⊥α例2 已知：平面α和一点求证：过点P 与α证明：不论P 在平面α内或外，设直线PA ⊥α，垂足为A （或P ）
若另一直线PB ⊥α，设PA , PB
α β=a
∴PA ⊥a , PB ⊥a
又∵PA , PB 在平面β所以过点P 与α例3 有一根旗杆AB 高8m ，它的顶端A 挂一条长10m 的绳子，拉紧绳子并把它的下端放
C , D ，在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）如果这两点都和旗杆脚B 的距离是6m ，
那么旗杆就和地面垂直，为什么？
解：在∆ABC 和∆ABD 中，
∵AB =8m , BC =BD =6m , AC =AD =10m
∴AB +BC =6+8=10=AC 222222
AB 2+BD 2=62+82=102=AD 2
∴∠ABC =∠ABD =90
即AB ⊥BC , AB ⊥BD
又∵B , C , D 不共线
∴AB ⊥平面BCD ，即旗杆和地面垂直；
例4 已知直线l ⊥平面α，垂足为A ，直线AP ⊥l 求证：AP 在α证明：设AP 与l 确定的平面为βAP 不在α内，
则可设α与β相交于直线∵l ⊥α，∴l ⊥又AP ⊥l ，于是在平面β内过点A 有两条直线垂直于l 所以AP 一定在α四、小结 ：今天这节课，我们学习了直线和平面垂直的定义，这个定义最初用在判定定理的证明上，但用得较多的则是，如果直线l 垂直于平面α，那么l 就垂直于α内的任何一条直线；对于判定定理，判定线、面垂直，实质是转化成线、线垂直，从中不难发现立体几何问
五、课后作业：创新方案