运动问题分析：
乒乓球在运动员出手后，主要受三个力：
（1） 重力G=mg，在整个的飞行过程中将始终受到重力的影响，重力的方向竖直向下；
（2） 空气阻力FR，乒乓球的直径为D，旋转角速度为ω，空气粘滞系数为η（见表1），
空气密度为ρ，乒乓球向前平动的速度为v，乒乓球受到的空气阻力的大小主要由雷诺数Re和平动速度v决定；雷诺数是流体中惯性力与粘滞力比值的量度，两个几何相似流场的雷诺数相等，则对应微团的惯性力与粘性力之比相等。雷诺数越小意味着粘性力影响越显著，越大则惯性力影响越显著。雷诺数很小的流动（如润滑膜 内的流动），其粘性影响遍及全流场。雷诺数很大的流动（如一般飞行器绕流），其粘性影响仅在物面附近的边界层或尾迹中才是重要的。
Re=ρDv
温度（oC）粘滞系数
-617.2⨯100
-61017.8⨯10 表1 不同温度下的粘滞系数
2018.3⨯10
3018.7⨯10-6
4019.2⨯10-6
5019.6⨯10-6
6020.1⨯10-6
我们取室温为10oC，因此粘滞系数η为17.8⨯10，ρ=1.205kg/m-3， -6-6
因此我们首先计算出乒乓球运动的雷诺数：
Re=ρvD=某个值 η
阻力FR的大小与平动速度大小的平方成正比，
FR=1CρAv2， 2
A为乒乓球的横截面积
CD为阻力系数，按照不同的雷诺数的范围，有
CD=e(Re
24ReCD=(1+)(1
CD=0.44(1000
（3） 乒乓球旋转造成的马格努斯力Fm
马格努斯效应是一种粘性效应，它是由于旋转的物体在粘性流体中运动时产生的，乒乓球在空气中的运动过程，可以看做是均匀分布的球体在流体中的运动过程。一般来说，在流体中运动的物体主要受到升力，阻力，侧压力的作用，即，乒乓球在旋转时，在它周围的附面层产生了环流，前方回流和环流的共同作用结果就是来流和环流相同方向时流速加快，相反是流速减慢；根据伯努利原理，流速加快的一侧压力小，流速减慢的一侧压力大，两侧的压力差对乒乓球产生的作用成为马格努斯力。
由如可夫斯基环流理论，可以求出马格努斯力为
8FM=πρωD3v 3
3令G=πρD=某个值，则 8
3
FM=Gωv
具体方向可以通过右手定则确定：
右手拇指，食指中指两两垂直，拇指指向旋转角速度方向，食指指向运动速度方向，那么中指方向就是马格努斯力的方向。
（4） 空气的浮力FU，方向竖直向上，由动力学，易得：
1FU=πρgD3
6
模型求解：
以乒乓球台的底端边为x轴，垂直台面方向为y轴，底端边中心点为原点O做平面，过O点作xOy平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
根据牛顿第二定律，我们可以得到
dvxm=FRcosθsinϕ+(sinαsinθcosϕ+cosαcosϕ)FMdt
dvy13m=-FRsinθ+πρgD-mgdt6
dvzm=FRcosθcosϕ+FM(sinαsinθsinϕ-cosαsinϕ)dt
别且有：
dx=vxdt
dy=vydt
dz=vzdt
其中，m为乒乓球的质量，vx,vy,vz分别表示乒乓球的运动速度在x,y,z轴的分量；θ为轨迹角，是乒乓球速度方向与xz平面成角；ϕ为方位角，是乒乓球速度在xz平面上的投影与
x,y,z是FM力与其在xOz平面上的分量所成的角度（如图）；α为倾侧角，z轴正方向成角；
表示乒乓球所在的空间位置；上述方程中vx,vy,vz，x,y,z，θ,α,ϕ都是时间t的函数，因此，我们在给定的初值后，就可以得到求出vx,vy,vz，进而求出x,y,z，从而可以确定乒乓球的轨迹；
因此，由乒乓球运动的方程模型，需要，首先确定一些参数，这些参数包括： 乒乓球在脱离球拍或者发球装置时的空间位置S(x,y,z)；
平移运动的初速度v0；
旋转运动速度ω；
初始时刻的轨迹角θ0，方位角ϕ0和倾侧角α0；
根据平移运动速度v0和θ0，ϕ0和α0等3个角度的就可以得到乒乓球在初始状态下在三个坐标轴方向的分量，参数关系如下：
v0=vx0tanϕ0=±;vz0
tanθ0=±vy0
vx0 sinϕ0
在运动的过程中，相应的参数的时时更新也采用本公式获取；
空气阻力FR沿x,y,z轴的分量分别为：
1FRx=CDρAvvx2
1FRy=CDρAvvy2
1FRz=CDρAvvz2
设初速度vo沿坐标轴的分量分别为vxo,vyo,vzo，它与xOy平面的夹角为θ，它在xOy的投影与x轴的夹角为β。球的旋转轴w与z轴的夹角为φ。
如图：
自转频率向量=(0,wsinφ,wcosφ)，因此可以得到马格努斯力在坐标轴的分量分别为：
FMx=CLρD3γ(vzsinφ-vycosφ);
FMy=CLρD3γ(vxsinφ);
FMz=CLρD3γvzsinφ;
因此容易得到x,y,z轴各自的合力为
Fx=mdvx1=CLρD3γ(vzsinφ-vycosφ)-CDρAvvx； dt2
Fy=m
Fz=mdvy1=CLρD3γ(vxsinφ)-CDρAvvy； dt2dvz11=-mg+πρgD3-CLρD3γ(vzsinφ)-CDρAvvz dt62
速度v沿坐标轴的分量为：
dx=vx=vcosθcosβdt
dy=vy=vcosθsinβ
dt
dz=vz=vsinθdt
运动问题分析：
乒乓球在运动员出手后，主要受三个力：
（1） 重力G=mg，在整个的飞行过程中将始终受到重力的影响，重力的方向竖直向下；
（2） 空气阻力FR，乒乓球的直径为D，旋转角速度为ω，空气粘滞系数为η（见表1），
空气密度为ρ，乒乓球向前平动的速度为v，乒乓球受到的空气阻力的大小主要由雷诺数Re和平动速度v决定；雷诺数是流体中惯性力与粘滞力比值的量度，两个几何相似流场的雷诺数相等，则对应微团的惯性力与粘性力之比相等。雷诺数越小意味着粘性力影响越显著，越大则惯性力影响越显著。雷诺数很小的流动（如润滑膜 内的流动），其粘性影响遍及全流场。雷诺数很大的流动（如一般飞行器绕流），其粘性影响仅在物面附近的边界层或尾迹中才是重要的。
Re=ρDv
温度（oC）粘滞系数
-617.2⨯100
-61017.8⨯10 表1 不同温度下的粘滞系数
2018.3⨯10
3018.7⨯10-6
4019.2⨯10-6
5019.6⨯10-6
6020.1⨯10-6
我们取室温为10oC，因此粘滞系数η为17.8⨯10，ρ=1.205kg/m-3， -6-6
因此我们首先计算出乒乓球运动的雷诺数：
Re=ρvD=某个值 η
阻力FR的大小与平动速度大小的平方成正比，
FR=1CρAv2， 2
A为乒乓球的横截面积
CD为阻力系数，按照不同的雷诺数的范围，有
CD=e(Re
24ReCD=(1+)(1
CD=0.44(1000
（3） 乒乓球旋转造成的马格努斯力Fm
马格努斯效应是一种粘性效应，它是由于旋转的物体在粘性流体中运动时产生的，乒乓球在空气中的运动过程，可以看做是均匀分布的球体在流体中的运动过程。一般来说，在流体中运动的物体主要受到升力，阻力，侧压力的作用，即，乒乓球在旋转时，在它周围的附面层产生了环流，前方回流和环流的共同作用结果就是来流和环流相同方向时流速加快，相反是流速减慢；根据伯努利原理，流速加快的一侧压力小，流速减慢的一侧压力大，两侧的压力差对乒乓球产生的作用成为马格努斯力。
由如可夫斯基环流理论，可以求出马格努斯力为
8FM=πρωD3v 3
3令G=πρD=某个值，则 8
3
FM=Gωv
具体方向可以通过右手定则确定：
右手拇指，食指中指两两垂直，拇指指向旋转角速度方向，食指指向运动速度方向，那么中指方向就是马格努斯力的方向。
（4） 空气的浮力FU，方向竖直向上，由动力学，易得：
1FU=πρgD3
6
模型求解：
以乒乓球台的底端边为x轴，垂直台面方向为y轴，底端边中心点为原点O做平面，过O点作xOy平面的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图
根据牛顿第二定律，我们可以得到
dvxm=FRcosθsinϕ+(sinαsinθcosϕ+cosαcosϕ)FMdt
dvy13m=-FRsinθ+πρgD-mgdt6
dvzm=FRcosθcosϕ+FM(sinαsinθsinϕ-cosαsinϕ)dt
别且有：
dx=vxdt
dy=vydt
dz=vzdt
其中，m为乒乓球的质量，vx,vy,vz分别表示乒乓球的运动速度在x,y,z轴的分量；θ为轨迹角，是乒乓球速度方向与xz平面成角；ϕ为方位角，是乒乓球速度在xz平面上的投影与
x,y,z是FM力与其在xOz平面上的分量所成的角度（如图）；α为倾侧角，z轴正方向成角；
表示乒乓球所在的空间位置；上述方程中vx,vy,vz，x,y,z，θ,α,ϕ都是时间t的函数，因此，我们在给定的初值后，就可以得到求出vx,vy,vz，进而求出x,y,z，从而可以确定乒乓球的轨迹；
因此，由乒乓球运动的方程模型，需要，首先确定一些参数，这些参数包括： 乒乓球在脱离球拍或者发球装置时的空间位置S(x,y,z)；
平移运动的初速度v0；
旋转运动速度ω；
初始时刻的轨迹角θ0，方位角ϕ0和倾侧角α0；
根据平移运动速度v0和θ0，ϕ0和α0等3个角度的就可以得到乒乓球在初始状态下在三个坐标轴方向的分量，参数关系如下：
v0=vx0tanϕ0=±;vz0
tanθ0=±vy0
vx0 sinϕ0
在运动的过程中，相应的参数的时时更新也采用本公式获取；
空气阻力FR沿x,y,z轴的分量分别为：
1FRx=CDρAvvx2
1FRy=CDρAvvy2
1FRz=CDρAvvz2
设初速度vo沿坐标轴的分量分别为vxo,vyo,vzo，它与xOy平面的夹角为θ，它在xOy的投影与x轴的夹角为β。球的旋转轴w与z轴的夹角为φ。
如图：
自转频率向量=(0,wsinφ,wcosφ)，因此可以得到马格努斯力在坐标轴的分量分别为：
FMx=CLρD3γ(vzsinφ-vycosφ);
FMy=CLρD3γ(vxsinφ);
FMz=CLρD3γvzsinφ;
因此容易得到x,y,z轴各自的合力为
Fx=mdvx1=CLρD3γ(vzsinφ-vycosφ)-CDρAvvx； dt2
Fy=m
Fz=mdvy1=CLρD3γ(vxsinφ)-CDρAvvy； dt2dvz11=-mg+πρgD3-CLρD3γ(vzsinφ)-CDρAvvz dt62
速度v沿坐标轴的分量为：
dx=vx=vcosθcosβdt
dy=vy=vcosθsinβ
dt
dz=vz=vsinθdt