第一章 行列式
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要 1．二阶行列式的定义
a 11
a 21a 12
=a 11a 22-a 12a 21 a 22
其中a ij 称为行列式的元素，a ij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
1222- =a 11a 22-a 12a 21
+
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义
a 11a 12a 13
a 21a 31a 22a 32a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 a 33
三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：
a -+
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得
六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组
⎧⎨3x 1+2x 2=2
⎩x 1
+4x
2=3解： 由于系数行列式 D =
32
14
=3⨯4-2⨯1=10≠0 D 32
1=
22
34
=2⨯4-2⨯3=2 ， D 2=
13=3⨯3-2⨯1=7 所以方程组有唯一解为： x D
D 1=1D =0. 2 ， x 2=2D
=0. 7。
123
例2 计算行列式 D =-134
252
解 D =1⨯3⨯2+2⨯4⨯2+3⨯(-1) ⨯5-3⨯3⨯2-2⨯(-1) ⨯2-1⨯4⨯5 =-27 例3 计算行列式
a a 12a 13
D 11
a a 11
12
1=
a ；D 2=0a 22a 0
a 11
23； D a 11
3=
22
00
a ； D 4=a 21a a 21
22
33a 31解： 由对角线法则有： D 1=a 11a 22 ；D 2=a 11a 22a 33； D 3=a 11a 22 ；D 4=a 11a 22a 33
00
特别地a 11
a 11
:
a =a 11a 22 ； 0a 220=a 11a 22a 33 22
00
a 33
三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。 由例3得结论：
（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。 （2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
00a 220a 32a 33
§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示.
P n =n ! 。
逆序 在一个排列p 1 p 2 p s p t p n 中，若p s >p t ，则称这两个数组成一个逆序. 排列p 1 p 2 p n 中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为τ(p 1 p 2 p n ) 。 排列p 1 p 2 p n 中，考虑元素p i (i =1, 2, , n ) ，如果比p i 大的且排在p i 前面的元素有t i
个，则称元素p i 的逆序数是t i 。记为τ(p i ) =t i 。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n 的逆序数τ(123 n ) =0。 规定，标准排列是偶排列。 二、例题分析
排列p 1 p 2 p n 中，考虑比p i (i =1, 2, , n ) 大，且排在p i 前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1前面比p 1大的数的个数）+（p 2前面比p 2大的数的个数）+ ···
··· + （p n 前面比p n 大的数的个数）
=τ(p 1) +τ(p 2) + +τ(p n ) ；
同样，考虑比p i (i =1, 2, , n -1) 小，且排在p i 后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1后面比p 1小的数的个数）+（p 2后面比p 2小的数的个数）+ ···
··· + （p n -1后面比p n -1小的数的个数）。例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n –1) ···2 1； （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k 。 解：（1）5 3 2 1 4
τ(5) =0，τ(3) =1，τ(2) =2，τ(1) =3，τ(4) =1。
) =0+1+2+3+1=7。此排列为奇排列。 因此，τ(53214
（2）n (n –1) ···2 1
τ(n ) =0，τ(n -1) =1，τ(n -2) =2，···，τ(3) =n -3，τ(2) =n -2，τ(1) =n -1。
因此，τ[n (n -1)(n -2) 321]=0+1+2+ +(n -2) +(n -1) =当n =4k , 4k +1时，排列为偶排列；
n (n -1)
。 2
当n =4k +2, 4k +3时，排列为奇排列。 （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k
τ(2k ) =0， τ(1) =1， τ(2k -1) =1，
τ(2) =2， τ(2k -2) =2，
······， ······，
τ(k -1) =k -1， τ(k +1) =k -1， τ(k ) =k 。
因此，τ[(2k ) 1(2k -1) 2(2k -2) (k +1) k ]=0+2[1+2+ +(k -1)]+k
=2⋅
当k 为偶数时，排列为偶排列； 当k 为奇数时，排列为奇排列。
k (k -1)
+k =k 2。 2
例5 设p 1 p 2 p n 的逆序数为k ，问排列p n p n -1 p 2 p 1的逆序数是多少？
解：若在排列p 1 p 2 p n 中，p i 后面比p i 小的数共有k i 个(i =1, 2, , n -1) ，则在排列
p n p n -1 p 2 p 1中，p i 前面的数共有n -i 个，p i 前面比p i 大的数共有(n -i ) -k i 个(i =1, 2, , n -1) 。由已知有
k 1+k 2+ +k n -1=k 。 所以排列p n p n -1 p 2 p 1的逆序数为
[(n -1) -k 1]+[(n -2) -k 2]+ +{[n -(n -1)]-k n -1} n (n -1) n (n -1) =-(k 1+k 2+ +k n -1) =-k 。
22
三、小结
求排列p 1 p 2 p n 的逆序数的方法：
（1）τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1前面比p 1大的数的个数）+（p 2前面比p 2大的数的个数）+ ···
··· + （p n 前面比p n 大的数的个数）
=τ(p 1) +τ(p 2) + +τ(p n ) ；
（2）τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1后面比p 1小的数的个数）+（p 2后面比p 2小的数的个数）+ ···
··· + （p n -1后面比p n -1小的数的个数）。
§ 3 n 阶行列式的定义
一、内容提要
由n 2个元素a ij (i , j =1, 2, , n ) 组成的记号
a 11
D =
a 21 a n 1
a 12a 22
a 1n a 2n
a n 2 a nn
称为n 阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n 个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即
a 11a 12 a 1n
D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n
=
p 1p 2 p n
∑(-1) τ
(p 1p 2 p n )
a 1p 1a 2p 2 a np n 。
a n 2 a nn
行列式简记为det (a ij ) 。
一阶行列式为a =a 。
n 阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式， 二、例题分析
例6 判别a 14a 23a 31a 42a 56a 66和-a 32a 15a 24a 43a 51a 66是否为六阶行列式中的项。 分析：判别是否为n 阶行列式中的项，要考虑： （1）n 个元素是否位于不同行，不同列； （2）确定其符号。
解： a 14a 23a 31a 42a 56a 66不是六阶行列式中的项。 这是因为，a 56与a 66都位于第6列。
-a 32a 15a 21a 43a 51a 66是六阶行列式中的项。
首先，-a 32a 15a 24a 43a 51a 66中的6个元素位于不同行，不同列；再有，
-a 32a 15a 24a 43a 51a 66=-a 15a 24a 32a 43a 51a 66。
确定其符号：τ(p 1p 2 p 6) =τ(542316) =9，因此，应带负号。
N 阶行列式的展开式是n ! 项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
00
例7 计算行列式 D =
[1**********]0。 00
解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为(-1) τ(p 1p 2p 3p 4) a 1p 1a 2p 2a 3p 3a 4p 4。 若p 1≠4，则a 1p 1=0，从而a 1p 1a 2p 2a 3p 3a 4p 4=0。所以，只有a 14a 2p 2a 3p 3a 4p 4才可能不为零。
同理，要使a 14a 2p 2a 3p 3a 4p 4≠0，必须p 2=3，p 3=2，p 4=1。 即行列式的展开式中不为零的项仅为(-1) τ(4321) a 14a 23a 32a 41。因此，
00D =
04
例8 计算行列式
0030020010
=(-1) τ(4321) a 14a 23a 32a 41=(-1) 6⋅1⋅2⋅3⋅4=24。 00
00
D =
0 010 20
00 0
。
0 00
0 001998
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积a 1p 1a 2p 2 a 1998p 1998中，只有
a 1 1997a 2 1996 a 1997 1a 1998 1998≠0
00
因此， D =
0 010 20
00 0
0 00
0 001998
=(-1) τ(1997 2 1 1998) a 1 1997a 2 1996 a 1997 1a 1998 1998
=(-1) 0+1+2+ 1996+0⋅1⋅2 1997⋅1998=1998 ! 。 例9 利用行列式定义，证明
12 2
21 2
≠0。 22 1
证：由行列式定义知其值是n ! 项的代数和，每项是不同行不同列的n 个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n ! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n ! –1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此
12 2
21 2
≠0。 22 1
三、小结
1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n 阶行列式的展开式是n ! 项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积； 3．a 1p 1a 2p 2 a np n 项前面的符号为(-1) τ(p 1p 2 p n ) ；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式； 5．几个常用行列式结果：
a 11
（1）
a 21 a n 1
a 22
=a 11a 22 a nn ，
a n 2 a nn
λ1
（2）
λ2
=λ1λ2 λn ，
λn
λ1
（3）
λ2
=
n (n -1) (-1) 2
λ1λ2 λn 。
λn
§ 4 对 换
一、内容提要
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为
a 11a 12 a 1n
D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n
=
p 1p 2 p n
∑(-1)
τ(p 1p 2 p n )
a p 11a p 22 a p n n 。
a n 2 a nn
二、小结
行列式的两种定义，
D =
p 1p 2 p n
∑
(-1) τ(p 1p 2 p n ) a 1p 1a 2p 2 a np n
τ(p 1p 2 p n )
=
p 1p 2 p n
∑(-1)
t
a p 11a p 22 a p n n 。
行列式更一般的定义为 D =
∑(-1) a
p 1q 1a p 2q 2 a p n q n 。
其中 t =τ(p 1p 2 p n ) +τ(q 1q 2 q n ) 。
§ 5 行列式的性质
一、 内容提要 1．性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =D T 。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以r i 表示行列式的第i 行，以c i 表示第i 列。
互换第i 行与第j 行，记作r i r j ；互换第i 列与第j 列，记作c i c j 。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘以此行列式。
a 11 a 12 a 1n a n 1 a n 2 a nn
a 11 a 12 a 1n a n 1 a n 2 a nn
即 ka i 1 ka i 2 ka in =k a i 1 a i 2 a in ，
a 11 ka 1i
或
a 1n a 11 a 1i a 1n
a 21 ka 2i a 2n a a 2i a 2n
。 =k 21
a n 1 ka ni
a nn
a n 1 a ni
a nn
第i 行乘以k ，记作r i ⨯k ；第i 列乘以k ，记作c i ⨯k 。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第i 行提出公因子k ，记作r i ÷k ；第i 列提出公因子k ，记作c i ÷k 。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i 列的元素都是两数之和：
a 11 a 1j
a 21 a 2j
D =
a n 1 a nj
则D 等于下列两个行列式之和
a 11 a 1j
'j +a 1'j +a 2 '+a nj a 1n
a 2n
， a nn
a 1n a 2n
。 a nn
D =
a 21 a 2j a n 1 a nj
'j a 1n a 11 a 1'j a 2n a 21 a 2
+
' a nn a n 1 a nj a 12 a n 2
a 11
a 1n a nn a 12
a i '2
a 1n
如果第i 行的元素都是两数之和：
a 11
D =a i 1+a i '1
a n 1
则D 等于下列两个行列式之和
a 11a 12
'， a i 2+a i '2 a in +a in
a 1n
D =a i 1
a n 1
a i 2
a in + a i '1
a n 1
'。 a in
a n 2 a nn a n 2 a nn
性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k 乘第i 列加到第j 列（记作c i +kc j ）有
a 11 a 1i a 1j a 1n
a 11 a 1i +ka 1j a 1j D =
a 21 a 2i a 2j
a 2n c i +kc j
a 21 a 2i +ka 2j a 2j
a n 1 a ni a nj
a nn
a n 1 a ni +ka nj
a nj 以数k 乘第i 行加到第j 行（记作r i +kr j ）有
a 11a 12 a 1n
a 11a 12
a 1n
a i 1
a i 2 a in a i 2+ka j 2
a in +ka jn
D =
r +kr a i 1+ka j 1
i j
。
a ji a j 2 a jn a j 1
a j 2 a jn
a n 1
a n 2 a nn
a n 1
a n 2
a nn
2．常用结论：
a 11 a 1k
a 11 a 1k b 11如果 D =
a k 1 a kk
c ， D 2= 11 c 1k b 11 b ， D 1= 1n a k 1 a kk b n 1c n 1 c nk
b n 1 b nn
则，D =D 1D 2 常记为
A 0
*
B
=A ⋅B 。
二、例题分析
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）
a 11a 12 a 1n D =
a 22 a 2n
a nn
解： 利用性质1，得
a 11
D =D T =
a 12a 22
=a 11a 22 a nn 。
a 1n
a 2n a nn
a 1n a 2n
a nn
b 1n
。 b nn
12
例11 计算 D =
5612
解 D =
56
23673478
2367347845。 89
412345 r 2-2r 1 0-1-2-3
=0。
8r 3-5r 10-4-8-1296789
（第二、三行元素成比例）
+x 1y 11+x 1y 21+x 1y 3
例12 计算 D =+x 2y 11+x 2y 21+x 2y 3。
+x 3y 11+x 3y 21+x 3y 3
1+x 1y 21+x 1y 3x 1y 11+x 1y 21+x 1y 3
解：由性质5有 D =1+x 2y 21+x 2y 3+x 2y 11+x 2y 21+x 2y 3
1+x 3y 21+x 3y 3x 3y 11+x 3y 21+x 3y 3
右边第一个行列式中，第一列乘-1加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出y 1得
x 1y 2
D =x 2y 2
x 3y 2x 1
=y 2y 3x 2
x 3
a 11a 21
例13 计算 D =a 31
x 1y 3x 11+x 1y 21+x 1y 3x 2y 3+y 1x 21+x 2y 21+x 2y 3 x 3y 3x 31+x 3y 21+x 3y 3x 1x 11x 2+y 1x 21=0+0=0。 x 3x 31a 14a 24000
a 15a 250。
00
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23000
a 41a 51
分析：首先，利用性质将行列式化为
A 0A 0
型，再利用=A ⋅B 求出结果。
*B *B
a 31
a 32a 42a 12a 22a 52
00a 13a 230
00a 14a 240
00a 15
a 250
a 41
(-1) 1+1 a 11
a 21a 51
a 11a 21
解：D =a 31
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23000
a 14a 24000
a 15a 25000
r 1r 3 r 2r 4
a 41a 51
a 31
=
a 41
三、小结
a 13
a 32
⨯a 23a 42
0a 14a 240a 15
a a 25=31
a 41
a 32
⨯0=0。 a 42
（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。 （2）
A *
B
=A ⋅B 。
§ 6 行列式按行（列）展开
一、内容提要
在n 阶行列式中，划去a ij 所在的第i 行和第j 列的元素，剩余的元素按原有次序构成的
n -1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。
A ij =(-1) i +j M ij 称为a ij 的代数余子式。
定理3 n 阶行列式D =det(a ij ) 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式
(i =1, 2,..., n ) ； 乘积之和，即 D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+... +a in A in
或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +... +a nj A nj (j =1, 2,..., n ) 。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于 零。即 或
∑a
k =1
n k =1
n
ik A jk =a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =0 (i ≠j ) ， =a 1i A 1j +a 2i A 2j + +a ni A nj =0 (i ≠j ) 。
∑a
ki A kj
综合定理及推论，有展开式
, i =j ⎧D
a ik A jk =D δij =⎨
0 , i ≠j ⎩k =1
n
, i =j ⎧D
或 a ki A kj =D δij =⎨
0 , i ≠j ⎩k =1
∑
n
∑
当i =j , ⎧1 ,
其中 δij =⎨
当i ≠j . ⎩0 ,
二、例题分析
在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。
例14 计算行列式
43
D =
[1**********]2。 14
43D =解：
[1**********]2 c 1+c 2+c 3+c 4 141233-1-122-2111
1
432214332 c 1÷10 10⋅
141
432214332 14
1
r 2-r 1
0 r 3-r 1
10⋅41
00
r 1+r 3
3-1-1
按第 1 列展开
10⋅1⋅(-1) 1+122-2
111
400
按第 1 行展开 0-4
10⋅00-410⋅4⋅(-1) 1+1=160. r 2-2r 311
111
下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。 1．化为上三角行列式法
利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。 例15 计算行列式
1
1-12-1-1-41D =
24-611242
1
r 2+r 1
r -2r 0
解： D 31
410(化第10
1
r 3-2r 20
-
(化第二列）0
1-12
0-53 r 2r 4
-
2-4-3(选a 22) 1501
0001-12150
2-4-30-531000
1-12150
0-14-300571-12
150 r 4-5r 3
-
0-14-3(化第三列）0-53
=(-1) ⨯1⨯1⨯(-14) ⨯
57
=57 14
在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i 列时，利用性质2选择好a ii ，以便化a ij （j >i ）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。
31
例16 计算 D =
[1**********]1 10
1
r 1r 2 3
-解： D
101
c 2c 4 0
00
30111100
01211
4 r 2-3r 1
-
1r 3-r 101300-910-22011
1100
11 00
0311-9 r 3÷2 0
2⋅02-2r 4-r 3
01103
1-9
= 4
1-102
观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。
31
例17 计算 D =
[1**********]1 13
分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：
6
r 1+r 2+r 3+r 4 1
解：D
11
r 2-r 1
r 3-r 1 r 4-r 1
63111200
61311020
6
1 r 1÷6 6⋅1311 [1**********]1 13
106⋅ 0010
= 48。 02
+a 1
例18 计算 D n =
1 11
，其中a 1a 2 a n ≠0。
1 1
1+a 2 1
1+a n
解：从第1行到第n 行，依次提出公因子a 1, a 2, , a n ，得
+
D n =a 1a 2 a n ⋅
11a 1a 111
1+a 2a 2
1
a n
1a 11a 2
1a n
1+
1a n
1
11+ 1a n 10 1
11a 2
r 1+r 2+ +r n r 1
÷(1+
∑a
i =1
n
⎛
a 1a 2 a n ⋅ 1+ 1⎝)
i
∑
i =1
n
1
1⎫a 2⎪⋅a i ⎪⎭
1
a n
1a 2
1+
1a n
r i -
⎛
a i a 1a 2 a n 1+
⎝i =2, 3, n
1
r 1
∑
i =1
n
1
1⎫0⎪⋅a i ⎪⎭
011 0
⎛
=a 1a 2 a n 1+
⎝
2．拆分法
∑
i =1
n
1⎫⎪。 a i ⎪⎭
根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。
ax +by ay +bz az +bx x
例19 证明：ay +bz az +bx ax +by =(a 3+b 3) y
az +bx ax +by ay +bz z y
z x z x 。 y
ax ay +bz az +bx by ay +bz az +bx 按第1列
证：左边ay az +bx ax +by +bz az +bx ax +by
拆分
az ax +by ay +bz bx ax +by ay +bz
ax ay az +bx ax bz az +bx by ay az +bx by bz az +bx
ay az ax +by +ay bx ax +by +bz az ax +by +bz bx ax +by
2列拆分
az ax ay +bz az by ay +bz bx ax ay +bz bx by ay +bz
各自按第
ax ay az ax ay bx ax bz az ax bz bx by ay az
各自按第
ay az ax +ay az by +ay bx ax +ay bx by +bz az ax +
3列拆分
az ax ay az ax bz az by ay az by bz bx ax ay
by ay bx by bz az by bz bx
+bz az by +bz bx ax +bz bx by
bx ax bz bx by ay bx by bz
ax ay az by bz bx =ay az ax +0+0+0+0+0+0+bz bx by az ax ay bx by bz x y z y z x =a 3y
z x +b 3z x y z
x
y x
y z
对第2个行列x
y
z x y z 式：r a 3
y
z x +b 3⋅(-1) ⋅z x y 1r 3
z
x y y z x 对第2个行列
x y z x y z r a 3式：y
z x +b 3⋅(-1) 2⋅y z x 2r 3
z
x y z x y
x
y z
=(a 3+b 3) ⋅y
z x =右边. z
x y
x 1+1
x 1+2 x 1+n 例20 计算行列式 D x 2+1x 2+2 x 2+n n =
。
x n +1x n +2 x n +n
解：按第1列拆分，
x 1x 1+2
x 1+n x 1+2 x 1+n
D 2x 2+2 x 2+n x 2+2n =
x + x 2+n
x n
x n +2 x n +n
x n +2 x n +n x 1
2 n
x 1 第1个行列式：c k -c 1 (k =2, 3, n )
x 2
2 n x 2 第2个行列式：c k -kc 1 (k =2, 3, n )
+ x n
2 n
x n =0+0=0。
3．递推公式法
有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。
x 1
x 2
x n
211
例21 计算 D n =
21
12
11
21
12
解： 按第一列展开，得
1012
D n =2D n -1+(-1) 1+2⋅
12
11
21
12
1
将右端第二项的行列式按第一行展开，得
D n =2D n -1-D n -2
即 D n -D n -1=D n -1-D n -2 由此递推得 D n -D n -1=D n -1-D n -2
于是 D n -D n -1=D n -1-D n -2=D n -2-D n -3= =D 2-D 1=3-2=1 从而 D n =D n -1+1=(D n -2+1) +1= =D 1+n -1=n +1
4．数学归纳法
数学归纳法也是计算行列式的常用方法。 例22 证明行列式
a +b ab 0 0 0
1 a +b ab 0 0D n = 0 1 a +b 0 0
0 0 0 1 a +b
证：对阶数n 使用数学归纳法。
a n +1-b n +1
=，a ≠b 。
a -b
a 2-b 2
当n =1时，D 1=a +b =，故结论成立。
a -b
假设结论对≤n -1的自然数都成立，下面要证对n 也成立。为此将D n 按第1列展开，
得
a +b ab 0 0 1 a +b 0 0
D n =(a +b ) ⋅-
0 0 1 a +b
ab 0 0 0 0
1 a +b ab 0 0 0 0 0 1 a +b
上式右端的第1个行列式为D n -1，而第2个行列式按第1行展开其值为abD n -2，所以有 D n =(a +b ) D n -1-abD n -2
a n -b n a n -1-b n -1
=(a +b ) ⋅-ab ⋅
a -b a -b
a n +1-ab n +ba n -b n +1a n b -ab n =-
a -b a -b
a n +1-b n +1=。
a -b
计算行列式要充分利用已知结果。
例23 计算行列式D n +1
a n (a -1) n (a -n ) n a n -1(a -1) n -1 (a -n ) n -1
= a
1
a -11
a -n 1
解：从第n +1行开始，第n +1行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经(n -1) 次对换换到第2行…，经n +(n -1) + +1=
D n +1
n (n +1)
次行交换，得 211 1n (n +1) a a -1 a -n 2 =(-1)
a n -1(a -1) n -1 (a -n ) n -1a n (a -1) n (a -n ) n
n (n +1)
(-1) 2n (n +1) (-1) 2
此行列式为范德蒙德行列式
D n +1=
=
n +1≥i >j ≥1
∏[(a -i +1) -(a -j +1)]
n (n +1) (-1) 2
n +(n -1) + +1
∙(-1) ∙2
n +1≥i >j ≥1
n +1≥i >j ≥1
∏[-(i -j )]=∏[(i -j )]
=
n +1≥i >j ≥1
∏(i -j )
00 -1x +a 1
-1 0
0x
计算行列式，还应多进行一题多解。
x -10 0
例24 证明：D n =
x 0a n -1
=x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n 。
0a n
a n -2 a 2
解法1：用数学归纳法证明
当n =2时, D 2=
x a 2-1
=x 2+a 1x +a 2, 命题成立. x +a 1
假设对于(n -1) 阶行列式命题成立.
即 D n -1=x n -1+a 1x n -2+ +a n -2x +a n -1,
则D n 按第1列展开:
-10x -1
D n =xD n -1+a n (-1) n +1
11=xD n -1+a n =右边
所以，对于n 阶行列式命题成立.
解法2：用递推法。 将D n 按第1列展开，得
00 00
x -1
x -1 0 0 0
-1 0 0 0
0 x -1 0 0
x -1 0 0
=a n +xD n -1 D n =x ⋅ +(-1) n +1a n
0 0 0 x -1
0 0 x -1n -1
a n -1 a n -2 a n -3 a 2 a 1+x n -1
由此得递推公式： D n =a n +xD n -1。于是，
D n =a n +xD n -1=a n +x (a n -1+xD n -2)
=a n +xa n -1+x 2D n -2 =a n +xa n -1+x 2a n -2+x 3D n -3
=a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1D 1 =a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1(a 1+x ) =a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1a 1+x n 。
解法3：
D n
c n -1
x -1 0 0 0 0 0 x -1 0 0 0
+xc n 0 0 0 x -1 0
0 0 0 0 0 -1 a n a n -1 a n -2 a 3 a 2+a 1x +x 2 a 1+x
0 -1 0 0 0
其中，
0 -1 0 0c n -2+xc n -1 0 b 1=a 2+a 1x +x 2, c n -3+xc n -2
0 0 0 -1 0
b n -2=a n -1+a n -2x + +a 1x n -2+x n -1, c 1+xc 2
0 0 0 0 -1
b n -1=a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n . b n -1 b n -2 b n -3 b 1 a 1+x
-1 0 0 0
按第 1 列展开
0 -1 0 0
(a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n ) ⋅(-1) n +1
0 0 -1 0 0 0 0 -1
=a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n .
解法4：将行列式按第n 行展开也可以，读者自己试一试。 三、小结
行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。
*补充 拉普拉斯（Laplace ）定理
§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k 行（k 列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 在n 阶行列式中，任取k 行(i 1
a i 1j 1a i 1j 2 a i 1j k
a i 2j 1 a i k j 1a i 2j 2 a i k j 2 a i 2j k
, a i k j k
称为该行列式的一个k 阶子式，记为N 。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个n -k 阶子式，称为N 的余子式，记为M 。称A =(-1) i 1+ +i k +j 1+ +j k ⋅M 为N 的代数余子式。
1
例如，对四阶行列式 D =
14
3201512541 10
取第2、第3行与第2、第4列，得到一个二阶子式 N =N 的余子式为M =
2101
=2。
1545
=-15。
N 的代数余子式为A =(-1) 2+3+2+4M =(-1)(-15) =15。
k
一般在n 阶行列式中取定k 行，就有C n 个k 阶子式。
定理（Laplace 定理） 在n 阶行列式D 中，任取k 行（列），则由这k 行（列）元素所有的k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
设取定的k 行的所有子式为N 1，N 2，…，N t ，其所对应的代数余子式分别为A 1，A 2，…，
k A t (t =C n ) ，则
D =N 1A 1+N 2A 2+ +N t A t
例1 用拉普拉斯定理计算
56000
15600
D 5=10560
0015600015
解： 选取第1、2行，只有3个非零二阶子式 N 1=
565060
=19， N 2==30， N 3==36， 151656
其对应的代数余子式为
560
060
A 1=(-1) 1+2+1+2156=65， A 2=(-1) 1+2+1+3056=0，
015015
160
A 3=(-1) 1+2+2+3056=19。
015
5600015600
故 D 5=10560=N 1A 1+N 2A 2+N 3A 3。
0015600015
=19⨯65+30⨯0+36⨯19=1919
例2 计算2n 阶行列式
a 1
a 2
a n -1
D 2n =
b 1b 2 b n -1
a n b n
b n -1 b 2
b n a n
a n -1
a 2
a 1
b 1
解： 选取第n ，n+1行应用拉普拉斯定理，只有一个非零二阶子式
a n b n 22
N 1= ， =a n -b n
b n a n 其代数余子式为
a 1
a 2
b 1b 2
a n -1b n -1 b 2
b n -1a n -1
a 2
a 1
=D 2n -2
b 1
22
故 D 2n =(a n -b n ) D 2n -2
利用这个递推公式及 D 2=
a 1
b 1b 1
=a 12-b 12，得 a 1
222222
D 2n =(a n -b n ) D 2n -2=(a n -b n )(a n -1-b n -1) D 2n -4=
2222
=(a n -b n )(a n -1-b n -1) D 2n -4
222222=(a n -b n )(a n -1-b n -1) (a 1-b 1) 。
§ 7 克拉默法则
一、内容提要
克拉默法则 如果n 元线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
⎨ （*)
⎪ ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n 的系数行列式不等于零，即
a 11
D =
a 12 a 1n
a 21
a n 1
a 22 a 2n
≠0
a n 2 a nn
则方程组（*）有唯一解，且其解为 x 1=
D D 1D
，x 2=2，…，x n =n D D D b 1
a 1, j +1 a 1n
a 2, j +1 a 1n
， ( j =1, 2 , … , n ) a n , j +1 a nn
其中D j 是把D 的第j 列各元素依次换成方程组的常数项所得到的n 阶行列式，即
a 11 a 1, j -1
a 21 a 2, j -1b 2
D j =
a n 1 a n , j -1b n
第j 列
↑
定理4 如果n 元线性方程组（*）的系数行列式D ≠0，则方程组（*）一定有解，且解是唯一的。
定理4ˊ如果n 元线性方程组（*）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 定理5 如果齐次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =0
⎨ （**）
⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0
的系数行列式D ≠0，则齐次方程组（**）只有零解。
定理5ˊ如果齐次线性方程组（**）有非零解，则它的系数行列式必为零。 二、例题分析
例25 求下列线性方程组的解
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=1⎪
⎪2x 1-4x 2+3x 3-x 4=5
⎨
4x +16x +9x +x =25234⎪1⎪⎩8x 1-64x 2+27x 3-x 4=125
解：该方程组的系数行列式为范德蒙德行列式
11111111 D =
2-43-12
=2
4169128-6427-123-4(-4) 2(-4) 333233-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-2)(3-2)(-1-2)(3+4)(-1+4)(-1-3)
=-1512≠0。
方程组有唯一解。容易看出，D j (j =1, 2, 3, 4) 也是范德蒙德行列式：
111115-43-15D 1==2
2516915-6427-153
=12960；
1-4(-4) 2(-4) 31332331-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-5)(3-5)(-1-5)(3+4)(-1+4)(-1-3)
11111253-2D 2==2
[1**********]7-23
=432；
[1**********]31-1
(-1) 2(-1) 3
=(5-2)(3-2)(-1-2)(3-5)(-1-5)(-1-3)
111112-45-12D 3==2
41625128-64125-123
=-8748；
1-4(-4) 2(-4) 31552531-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-2)(5-2)(-1-2)(5+4)(-1+4)(-1-5)
111112-4352D 4==2
41692528-6427125231-4(-4) 2(-4) 313323315 5253
=(-4-2)(3-2)(5-2)(3+4)(5+4)(5-3)
=-2268。
故方程组的解为 x 1=
D 2189D 11620D 54D 3
，x 2=2=-，x 3=3=，x 4=4=。 =-
D 189D 378D 2D 189
例26 讨论λ为何值时，齐次线性方程组有唯一零解。
⎧λx 1+ x 2+ x 3=0⎪
⎨ x 1+λx 2+ x 3=0
⎪ x + x +λx =0
23⎩1解：方程组的系数行列式 λ11
D =1λ
1=(λ-1) 2(λ+2)
11λ
由此可知，当λ≠1且λ≠-2时，D ≠ 0。此时，方程组有唯一零解。
例27 给定平面上三个点（1，1），（2，–1），（3，1），求过这三个点且对称轴与Y 轴平行的抛物线方程。
解： 因为抛物线的对称轴与Y 轴平行，因此可设所求抛物线方程为 y =ax 2+bx +c ， 于是有
⎧ a + b +c =1
⎪
⎨4a +2b +c =-1
⎪9a +3b +c =1⎩
这是以a , b , c 为未知量的三元线性方程组，其系数行列式
1111111 D =421
c 1c 3
931
-24
39
转置
-23
49
最右边的行列式是范德蒙德行列式，所以
11
D =-23=-(3-2)(3-1)(2-1) =-2≠0
49
所以方程组有唯一解。
111
111
按第 1 列展开 32
032=-4， 易得 D 1=-121
r 3-r 120
131020
r 2+r 1
11111111
r 2-r 1 c 1c 3
D 2=4-11--14-0-23=16，
r 3-r 1
91119008
111111111
r 2+r 1 c 1c 3 按第 1 列展开 35
D 3=42-1--124-035-=-14。
r 3-r 128
931139028
16-4-14=2，b ==-8，c ==7
-2-2-2
即所求抛物线方程为 y =2x 2-8x +7。
故 a =
三、小结
克拉默法则是线性方程组理论的一个很重要结果，它不仅给出了方程组（*）有唯一解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系，在后面的讨论中，还会看到它在更一般的线性方程组的研究中也起着重要的作用。
克拉默法则求解线性方程组必须满足如下两个条件： （1）方程组中方程的个数与未知量的个数相同； （2）方程组的系数行列式D ≠0。
习 题 一 (A组)
1． 利用对角线法则计算下列行列式：
（1）
28
1
； （2）
9x y
；
a b c 1082（3）b c a ； （4）15123
c a b 203212
2． 用行列式解下列方程组：
⎧x 1cos θ-x 2sin θ=a ⎧8x +3y =2（1）⎨ ， （2）⎨。
6x +2y =3x sin θ+x cos θ=b ⎩2⎩2
3． 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）2 1 7 9 8 6 3 5 4 ； （2）2 4 6 ··· 2 n (2n –1) (2n –3) ··· 3 1 。 4． 在6阶行列式中，a 21a 33a 42a 56a 14a 65，a 32a 43a 14a 51a 66a 25这两项应带什么符号？ 5． 计算下列行列式
12（1）
[1**********]1
； （2）411x y z x 100
；
y 010z 001
a b a d
（3）
c d c b c d
x +y
c b
； （4）y +z a b
z +x
a d
z +y z +x x +y z +x
x +y ； y +z
[***********]41
6． 用克莱姆法则解下列方程组：
[***********]21
（5）23100； （6）12134。
+4x 3+2x 4=3⎛5x 1 ⎧2x 1+ x 2-5x 3+ x 4=8
⎪
-6x 4=9 x 1-x 2+2x 3+ x 4=1⎪ x 1-3x 2
（1） ； （2）⎨。
2x - x +2x =-54x 1+x 2+2x 3 =1234⎪
x +x +x +x =0⎪⎩ x 1+4x 2-7x 3+6x 4=0234⎝1
（B 组）
7． 填空题：
（1）如果n 阶行列式中，负项的个数为偶数，则n ≥ 。
（2）如果n 阶行列式中等于零的元素个数大于n 2-n ，那么，此行列式的值为 。
a 11
（3）设a 21
a 31a 12a 22a 32a 13a 11
a 23=d ，则2a 21-a 11a 33a 31a 12
2a 22-a 12
a 32a 13
2a 23-a 13=。 a 33
a 11
（4）设a 21
a 12a 22a 32
a 11
a 13a 23a 33
a 12
a 31
3a 31
=d ，则2a 21
-a 11 a 1n
，则
3a 322a 22-a 123a 33
2a 23= -a 13
-a 1n
-a 11-a 21 -a n 1
-a 12
（5）设D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n a n 2 a nn
-a 22 -a 2n
=D 。
-a n 2 -a nn
a 11
（6）设D =
a 12a 22 a 1n a 2n
a 21a 31
，则
a 22a 32 a 2n a 3n
=D 。 a 21
a n 1
a n 2 a nn
8． 计算下列行列式：
x
y x
y （1）
； x
y y 0 0x
11 1n 11 n
1
（3）D n =
； 1n 11n 1 11
a 1+λa 2a 3 a 1
a 2+λa 3 （5）
a 1a 2a 3+λ
a 1
a 2
a 3
a n 1a n 2 a nn a 11
a 12
a 1n
122 2222 2
（2）223 2；
2
222 n
1a 1-11-a 1a 2 （4）
-11-a 2
a 3
；
a n
-11-a n
a n a n a n 。
a n +λ
第一章 行列式
线性方程组的求解是线性代数的一个重要课题。行列式是由研究线性方程组产生的，它是一个重要的数学工具，它在数学及其他学科中都有着广泛的应用。
本章的教学基本要求：了解行列式的定义和性质，掌握利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的方法，会计算简单的n 阶行列式。理解和掌握克拉默（Cramer ）法则。
本章的重点及难点：利用行列式的性质及按行（列）展开定理计算行列式的值，主要是三阶、四阶行列式的计算；利用克拉默法则求解线性方程组。
§ 1 二阶、三阶行列式
一、内容提要 1．二阶行列式的定义
a 11
a 21a 12
=a 11a 22-a 12a 21 a 22
其中a ij 称为行列式的元素，a ij 的两个下标表示该元素在行列式中的位置，第一个下标称为行标，表明该元素位于第i 行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j 列。
二阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式，二阶行列式的展开式可以用所谓对角线法则得到，即：
1222- =a 11a 22-a 12a 21
+
其中，实线上两个元素的乘积带正号，虚线上两个元素的乘积带负号，所得两项的代数和就是二阶行列式的展开式。
2．三阶行列式的定义
a 11a 12a 13
a 21a 31a 22a 32a 23=a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 21a 32-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 23a 32 a 33
三阶行列式的展开式也可以用对角线法则得到，三阶行列式的对角线法则如下图所示：
a -+
其中每一条实线上三个元素的乘积带正号，每一条虚线上三个元素的乘积带负号，所得
六项的代数和就是三阶行列式的展开式。
二、例题分析
例1 求解二元线性方程组
⎧⎨3x 1+2x 2=2
⎩x 1
+4x
2=3解： 由于系数行列式 D =
32
14
=3⨯4-2⨯1=10≠0 D 32
1=
22
34
=2⨯4-2⨯3=2 ， D 2=
13=3⨯3-2⨯1=7 所以方程组有唯一解为： x D
D 1=1D =0. 2 ， x 2=2D
=0. 7。
123
例2 计算行列式 D =-134
252
解 D =1⨯3⨯2+2⨯4⨯2+3⨯(-1) ⨯5-3⨯3⨯2-2⨯(-1) ⨯2-1⨯4⨯5 =-27 例3 计算行列式
a a 12a 13
D 11
a a 11
12
1=
a ；D 2=0a 22a 0
a 11
23； D a 11
3=
22
00
a ； D 4=a 21a a 21
22
33a 31解： 由对角线法则有： D 1=a 11a 22 ；D 2=a 11a 22a 33； D 3=a 11a 22 ；D 4=a 11a 22a 33
00
特别地a 11
a 11
:
a =a 11a 22 ； 0a 220=a 11a 22a 33 22
00
a 33
三、小结
对角线法则只适用与二阶与三阶行列式的计算。 由例3得结论：
（1）上（下）三角行列式等于主对角线上元素的乘积。 （2）对角行列式等于主对角线上元素的乘积。
00a 220a 32a 33
§ 2 全排列及其逆序数
一、内容提要
排列 把 n 个不同的元素排成一列，叫做这 n 个元素的全排列，简称排列. n 个不同元素的所有排列的种数，通常用P n 表示.
P n =n ! 。
逆序 在一个排列p 1 p 2 p s p t p n 中，若p s >p t ，则称这两个数组成一个逆序. 排列p 1 p 2 p n 中，所有逆序的总数称为此排列的逆序数。记为τ(p 1 p 2 p n ) 。 排列p 1 p 2 p n 中，考虑元素p i (i =1, 2, , n ) ，如果比p i 大的且排在p i 前面的元素有t i
个，则称元素p i 的逆序数是t i 。记为τ(p i ) =t i 。
奇排列 逆序数为奇数的排列称为奇排列。
偶排列 逆序数为偶数的排列称为偶排列。
特别地，标准排列1，2，···，n 的逆序数τ(123 n ) =0。 规定，标准排列是偶排列。 二、例题分析
排列p 1 p 2 p n 中，考虑比p i (i =1, 2, , n ) 大，且排在p i 前面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1前面比p 1大的数的个数）+（p 2前面比p 2大的数的个数）+ ···
··· + （p n 前面比p n 大的数的个数）
=τ(p 1) +τ(p 2) + +τ(p n ) ；
同样，考虑比p i (i =1, 2, , n -1) 小，且排在p i 后面的元素的个数，就可以排列的逆序数。即
τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1后面比p 1小的数的个数）+（p 2后面比p 2小的数的个数）+ ···
··· + （p n -1后面比p n -1小的数的个数）。例4 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）5 3 2 1 4； （2）n (n –1) ···2 1； （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k 。 解：（1）5 3 2 1 4
τ(5) =0，τ(3) =1，τ(2) =2，τ(1) =3，τ(4) =1。
) =0+1+2+3+1=7。此排列为奇排列。 因此，τ(53214
（2）n (n –1) ···2 1
τ(n ) =0，τ(n -1) =1，τ(n -2) =2，···，τ(3) =n -3，τ(2) =n -2，τ(1) =n -1。
因此，τ[n (n -1)(n -2) 321]=0+1+2+ +(n -2) +(n -1) =当n =4k , 4k +1时，排列为偶排列；
n (n -1)
。 2
当n =4k +2, 4k +3时，排列为奇排列。 （3）(2k ) 1 (2k –1) 2 (2k –2) 3 (2k –3) ··· ( k +1) k
τ(2k ) =0， τ(1) =1， τ(2k -1) =1，
τ(2) =2， τ(2k -2) =2，
······， ······，
τ(k -1) =k -1， τ(k +1) =k -1， τ(k ) =k 。
因此，τ[(2k ) 1(2k -1) 2(2k -2) (k +1) k ]=0+2[1+2+ +(k -1)]+k
=2⋅
当k 为偶数时，排列为偶排列； 当k 为奇数时，排列为奇排列。
k (k -1)
+k =k 2。 2
例5 设p 1 p 2 p n 的逆序数为k ，问排列p n p n -1 p 2 p 1的逆序数是多少？
解：若在排列p 1 p 2 p n 中，p i 后面比p i 小的数共有k i 个(i =1, 2, , n -1) ，则在排列
p n p n -1 p 2 p 1中，p i 前面的数共有n -i 个，p i 前面比p i 大的数共有(n -i ) -k i 个(i =1, 2, , n -1) 。由已知有
k 1+k 2+ +k n -1=k 。 所以排列p n p n -1 p 2 p 1的逆序数为
[(n -1) -k 1]+[(n -2) -k 2]+ +{[n -(n -1)]-k n -1} n (n -1) n (n -1) =-(k 1+k 2+ +k n -1) =-k 。
22
三、小结
求排列p 1 p 2 p n 的逆序数的方法：
（1）τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1前面比p 1大的数的个数）+（p 2前面比p 2大的数的个数）+ ···
··· + （p n 前面比p n 大的数的个数）
=τ(p 1) +τ(p 2) + +τ(p n ) ；
（2）τ(p 1 p 2 p n ) =（p 1后面比p 1小的数的个数）+（p 2后面比p 2小的数的个数）+ ···
··· + （p n -1后面比p n -1小的数的个数）。
§ 3 n 阶行列式的定义
一、内容提要
由n 2个元素a ij (i , j =1, 2, , n ) 组成的记号
a 11
D =
a 21 a n 1
a 12a 22
a 1n a 2n
a n 2 a nn
称为n 阶行列式。其值等于所有取自不同行不同列的n 个元素的乘积的代数和，各项的符号是：当这一项中的n 个元素的行标排成标准排列后，若对应的列标构成的排列为偶数，则取正号；若对应的列标构成的排列为奇数，则取负号，即
a 11a 12 a 1n
D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n
=
p 1p 2 p n
∑(-1) τ
(p 1p 2 p n )
a 1p 1a 2p 2 a np n 。
a n 2 a nn
行列式简记为det (a ij ) 。
一阶行列式为a =a 。
n 阶行列式中，等式右端的表达式又称为行列式的展开式， 二、例题分析
例6 判别a 14a 23a 31a 42a 56a 66和-a 32a 15a 24a 43a 51a 66是否为六阶行列式中的项。 分析：判别是否为n 阶行列式中的项，要考虑： （1）n 个元素是否位于不同行，不同列； （2）确定其符号。
解： a 14a 23a 31a 42a 56a 66不是六阶行列式中的项。 这是因为，a 56与a 66都位于第6列。
-a 32a 15a 21a 43a 51a 66是六阶行列式中的项。
首先，-a 32a 15a 24a 43a 51a 66中的6个元素位于不同行，不同列；再有，
-a 32a 15a 24a 43a 51a 66=-a 15a 24a 32a 43a 51a 66。
确定其符号：τ(p 1p 2 p 6) =τ(542316) =9，因此，应带负号。
N 阶行列式的展开式是n ! 项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积。因此，对于含零元素较多的行列式，可直接用定义计算。但对于一般性的行列式，常用后面将要学到的性质与定理进行简化计算。
对于含零元素较多的行列式，用定义计算时，只需求出所有非零项，并进行代数和即可。
00
例7 计算行列式 D =
[1**********]0。 00
解：这是一个4阶行列式。其展开式中项的一般形式为(-1) τ(p 1p 2p 3p 4) a 1p 1a 2p 2a 3p 3a 4p 4。 若p 1≠4，则a 1p 1=0，从而a 1p 1a 2p 2a 3p 3a 4p 4=0。所以，只有a 14a 2p 2a 3p 3a 4p 4才可能不为零。
同理，要使a 14a 2p 2a 3p 3a 4p 4≠0，必须p 2=3，p 3=2，p 4=1。 即行列式的展开式中不为零的项仅为(-1) τ(4321) a 14a 23a 32a 41。因此，
00D =
04
例8 计算行列式
0030020010
=(-1) τ(4321) a 14a 23a 32a 41=(-1) 6⋅1⋅2⋅3⋅4=24。 00
00
D =
0 010 20
00 0
。
0 00
0 001998
解：这是一个1998阶行列式。
显然，在所有取自不同行不同列的1998个元素乘积a 1p 1a 2p 2 a 1998p 1998中，只有
a 1 1997a 2 1996 a 1997 1a 1998 1998≠0
00
因此， D =
0 010 20
00 0
0 00
0 001998
=(-1) τ(1997 2 1 1998) a 1 1997a 2 1996 a 1997 1a 1998 1998
=(-1) 0+1+2+ 1996+0⋅1⋅2 1997⋅1998=1998 ! 。 例9 利用行列式定义，证明
12 2
21 2
≠0。 22 1
证：由行列式定义知其值是n ! 项的代数和，每项是不同行不同列的n 个元素的积。上述行列式中，除主对角元素乘积一项是奇数1外，其余各项（共n ! -1项）的每项中至少有一个2，故均是偶数。n ! –1个偶数之代数和仍是偶数。再和1相加，不可能是零。因此
12 2
21 2
≠0。 22 1
三、小结
1．行列式的实质是一种特定的算式，计算结果是一个数；
2．n 阶行列式的展开式是n ! 项的代数和，每项都是位于不同行不同列的n 个元素的乘积； 3．a 1p 1a 2p 2 a np n 项前面的符号为(-1) τ(p 1p 2 p n ) ；
4．对角线法则不适用于四阶及四阶以上的行列式展开式； 5．几个常用行列式结果：
a 11
（1）
a 21 a n 1
a 22
=a 11a 22 a nn ，
a n 2 a nn
λ1
（2）
λ2
=λ1λ2 λn ，
λn
λ1
（3）
λ2
=
n (n -1) (-1) 2
λ1λ2 λn 。
λn
§ 4 对 换
一、内容提要
在排列中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对换，叫做相邻对换。
定理1 一个排列中任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。
定理2 n 阶行列式也可定义为
a 11a 12 a 1n
D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n
=
p 1p 2 p n
∑(-1)
τ(p 1p 2 p n )
a p 11a p 22 a p n n 。
a n 2 a nn
二、小结
行列式的两种定义，
D =
p 1p 2 p n
∑
(-1) τ(p 1p 2 p n ) a 1p 1a 2p 2 a np n
τ(p 1p 2 p n )
=
p 1p 2 p n
∑(-1)
t
a p 11a p 22 a p n n 。
行列式更一般的定义为 D =
∑(-1) a
p 1q 1a p 2q 2 a p n q n 。
其中 t =τ(p 1p 2 p n ) +τ(q 1q 2 q n ) 。
§ 5 行列式的性质
一、 内容提要 1．性质
性质1 行列式与它的转置行列式相等，即D =D T 。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号。
以r i 表示行列式的第i 行，以c i 表示第i 列。
互换第i 行与第j 行，记作r i r j ；互换第i 列与第j 列，记作c i c j 。 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘以此行列式。
a 11 a 12 a 1n a n 1 a n 2 a nn
a 11 a 12 a 1n a n 1 a n 2 a nn
即 ka i 1 ka i 2 ka in =k a i 1 a i 2 a in ，
a 11 ka 1i
或
a 1n a 11 a 1i a 1n
a 21 ka 2i a 2n a a 2i a 2n
。 =k 21
a n 1 ka ni
a nn
a n 1 a ni
a nn
第i 行乘以k ，记作r i ⨯k ；第i 列乘以k ，记作c i ⨯k 。
推论 行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。 第i 行提出公因子k ，记作r i ÷k ；第i 列提出公因子k ，记作c i ÷k 。 性质4 行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零。
性质5 如果行列式的某一列（行）元素都是两数之和，例如第i 列的元素都是两数之和：
a 11 a 1j
a 21 a 2j
D =
a n 1 a nj
则D 等于下列两个行列式之和
a 11 a 1j
'j +a 1'j +a 2 '+a nj a 1n
a 2n
， a nn
a 1n a 2n
。 a nn
D =
a 21 a 2j a n 1 a nj
'j a 1n a 11 a 1'j a 2n a 21 a 2
+
' a nn a n 1 a nj a 12 a n 2
a 11
a 1n a nn a 12
a i '2
a 1n
如果第i 行的元素都是两数之和：
a 11
D =a i 1+a i '1
a n 1
则D 等于下列两个行列式之和
a 11a 12
'， a i 2+a i '2 a in +a in
a 1n
D =a i 1
a n 1
a i 2
a in + a i '1
a n 1
'。 a in
a n 2 a nn a n 2 a nn
性质6 把行列式的某一列（行）各元素乘以同一数，然后加到另一列（行）对应的元素上去，行列式不变。
例如，以数k 乘第i 列加到第j 列（记作c i +kc j ）有
a 11 a 1i a 1j a 1n
a 11 a 1i +ka 1j a 1j D =
a 21 a 2i a 2j
a 2n c i +kc j
a 21 a 2i +ka 2j a 2j
a n 1 a ni a nj
a nn
a n 1 a ni +ka nj
a nj 以数k 乘第i 行加到第j 行（记作r i +kr j ）有
a 11a 12 a 1n
a 11a 12
a 1n
a i 1
a i 2 a in a i 2+ka j 2
a in +ka jn
D =
r +kr a i 1+ka j 1
i j
。
a ji a j 2 a jn a j 1
a j 2 a jn
a n 1
a n 2 a nn
a n 1
a n 2
a nn
2．常用结论：
a 11 a 1k
a 11 a 1k b 11如果 D =
a k 1 a kk
c ， D 2= 11 c 1k b 11 b ， D 1= 1n a k 1 a kk b n 1c n 1 c nk
b n 1 b nn
则，D =D 1D 2 常记为
A 0
*
B
=A ⋅B 。
二、例题分析
例10 计算上三角行列式（主对角线以下元素全为0）
a 11a 12 a 1n D =
a 22 a 2n
a nn
解： 利用性质1，得
a 11
D =D T =
a 12a 22
=a 11a 22 a nn 。
a 1n
a 2n a nn
a 1n a 2n
a nn
b 1n
。 b nn
12
例11 计算 D =
5612
解 D =
56
23673478
2367347845。 89
412345 r 2-2r 1 0-1-2-3
=0。
8r 3-5r 10-4-8-1296789
（第二、三行元素成比例）
+x 1y 11+x 1y 21+x 1y 3
例12 计算 D =+x 2y 11+x 2y 21+x 2y 3。
+x 3y 11+x 3y 21+x 3y 3
1+x 1y 21+x 1y 3x 1y 11+x 1y 21+x 1y 3
解：由性质5有 D =1+x 2y 21+x 2y 3+x 2y 11+x 2y 21+x 2y 3
1+x 3y 21+x 3y 3x 3y 11+x 3y 21+x 3y 3
右边第一个行列式中，第一列乘-1加到第2、3列；在第二个行列式的第一列中提出y 1得
x 1y 2
D =x 2y 2
x 3y 2x 1
=y 2y 3x 2
x 3
a 11a 21
例13 计算 D =a 31
x 1y 3x 11+x 1y 21+x 1y 3x 2y 3+y 1x 21+x 2y 21+x 2y 3 x 3y 3x 31+x 3y 21+x 3y 3x 1x 11x 2+y 1x 21=0+0=0。 x 3x 31a 14a 24000
a 15a 250。
00
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23000
a 41a 51
分析：首先，利用性质将行列式化为
A 0A 0
型，再利用=A ⋅B 求出结果。
*B *B
a 31
a 32a 42a 12a 22a 52
00a 13a 230
00a 14a 240
00a 15
a 250
a 41
(-1) 1+1 a 11
a 21a 51
a 11a 21
解：D =a 31
a 12a 22a 32a 42a 52
a 13a 23000
a 14a 24000
a 15a 25000
r 1r 3 r 2r 4
a 41a 51
a 31
=
a 41
三、小结
a 13
a 32
⨯a 23a 42
0a 14a 240a 15
a a 25=31
a 41
a 32
⨯0=0。 a 42
（1）行列式的六个性质、两个推论是计算行列式的理论保证，要尽快熟练掌握它们。 （2）
A *
B
=A ⋅B 。
§ 6 行列式按行（列）展开
一、内容提要
在n 阶行列式中，划去a ij 所在的第i 行和第j 列的元素，剩余的元素按原有次序构成的
n -1阶行列式，称为元素a ij 的余子式，记为M ij 。
A ij =(-1) i +j M ij 称为a ij 的代数余子式。
定理3 n 阶行列式D =det(a ij ) 等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式
(i =1, 2,..., n ) ； 乘积之和，即 D =a i 1A i 1+a i 2A i 2+... +a in A in
或 D =a 1j A 1j +a 2j A 2j +... +a nj A nj (j =1, 2,..., n ) 。
推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素代数余子式乘积之和等于 零。即 或
∑a
k =1
n k =1
n
ik A jk =a i 1A j 1+a i 2A j 2+ +a in A jn =0 (i ≠j ) ， =a 1i A 1j +a 2i A 2j + +a ni A nj =0 (i ≠j ) 。
∑a
ki A kj
综合定理及推论，有展开式
, i =j ⎧D
a ik A jk =D δij =⎨
0 , i ≠j ⎩k =1
n
, i =j ⎧D
或 a ki A kj =D δij =⎨
0 , i ≠j ⎩k =1
∑
n
∑
当i =j , ⎧1 ,
其中 δij =⎨
当i ≠j . ⎩0 ,
二、例题分析
在实际计算时，直接用定理展开行列式，通常并不能减少计算量，除非行列式中某一行（列）含有较多的0元素。因此，在具体计算时，我们总是先运用行列式的性质，将某一行（列）元素尽可能多地化为0，然后再利用定理，按该行（列）展开。
例14 计算行列式
43
D =
[1**********]2。 14
43D =解：
[1**********]2 c 1+c 2+c 3+c 4 141233-1-122-2111
1
432214332 c 1÷10 10⋅
141
432214332 14
1
r 2-r 1
0 r 3-r 1
10⋅41
00
r 1+r 3
3-1-1
按第 1 列展开
10⋅1⋅(-1) 1+122-2
111
400
按第 1 行展开 0-4
10⋅00-410⋅4⋅(-1) 1+1=160. r 2-2r 311
111
下面通过例题介绍利用性质、定理计算行列式的几种常用方法。 1．化为上三角行列式法
利用性质，把行列式化为上三角行列式，是计算行列式的基本方法。 例15 计算行列式
1
1-12-1-1-41D =
24-611242
1
r 2+r 1
r -2r 0
解： D 31
410(化第10
1
r 3-2r 20
-
(化第二列）0
1-12
0-53 r 2r 4
-
2-4-3(选a 22) 1501
0001-12150
2-4-30-531000
1-12150
0-14-300571-12
150 r 4-5r 3
-
0-14-3(化第三列）0-53
=(-1) ⨯1⨯1⨯(-14) ⨯
57
=57 14
在化为上三角行列式时，要从第一列开始，一列一列进行。在化第i 列时，利用性质2选择好a ii ，以便化a ij （j >i ）为0时，尽量避免出现分数，减少计算量。
31
例16 计算 D =
[1**********]1 10
1
r 1r 2 3
-解： D
101
c 2c 4 0
00
30111100
01211
4 r 2-3r 1
-
1r 3-r 101300-910-22011
1100
11 00
0311-9 r 3÷2 0
2⋅02-2r 4-r 3
01103
1-9
= 4
1-102
观察行列式，抓住其特点，是快速准确计算行列式的第一保证。
31
例17 计算 D =
[1**********]1 13
分析： 这个行列式有一个特点，各列4个数之和都是6。因此，把第2、3、4行都加到第一行，提出公因子6，然后再化简：
6
r 1+r 2+r 3+r 4 1
解：D
11
r 2-r 1
r 3-r 1 r 4-r 1
63111200
61311020
6
1 r 1÷6 6⋅1311 [1**********]1 13
106⋅ 0010
= 48。 02
+a 1
例18 计算 D n =
1 11
，其中a 1a 2 a n ≠0。
1 1
1+a 2 1
1+a n
解：从第1行到第n 行，依次提出公因子a 1, a 2, , a n ，得
+
D n =a 1a 2 a n ⋅
11a 1a 111
1+a 2a 2
1
a n
1a 11a 2
1a n
1+
1a n
1
11+ 1a n 10 1
11a 2
r 1+r 2+ +r n r 1
÷(1+
∑a
i =1
n
⎛
a 1a 2 a n ⋅ 1+ 1⎝)
i
∑
i =1
n
1
1⎫a 2⎪⋅a i ⎪⎭
1
a n
1a 2
1+
1a n
r i -
⎛
a i a 1a 2 a n 1+
⎝i =2, 3, n
1
r 1
∑
i =1
n
1
1⎫0⎪⋅a i ⎪⎭
011 0
⎛
=a 1a 2 a n 1+
⎝
2．拆分法
∑
i =1
n
1⎫⎪。 a i ⎪⎭
根据行列式的特点，利用性质5将行列式进行拆分计算。
ax +by ay +bz az +bx x
例19 证明：ay +bz az +bx ax +by =(a 3+b 3) y
az +bx ax +by ay +bz z y
z x z x 。 y
ax ay +bz az +bx by ay +bz az +bx 按第1列
证：左边ay az +bx ax +by +bz az +bx ax +by
拆分
az ax +by ay +bz bx ax +by ay +bz
ax ay az +bx ax bz az +bx by ay az +bx by bz az +bx
ay az ax +by +ay bx ax +by +bz az ax +by +bz bx ax +by
2列拆分
az ax ay +bz az by ay +bz bx ax ay +bz bx by ay +bz
各自按第
ax ay az ax ay bx ax bz az ax bz bx by ay az
各自按第
ay az ax +ay az by +ay bx ax +ay bx by +bz az ax +
3列拆分
az ax ay az ax bz az by ay az by bz bx ax ay
by ay bx by bz az by bz bx
+bz az by +bz bx ax +bz bx by
bx ax bz bx by ay bx by bz
ax ay az by bz bx =ay az ax +0+0+0+0+0+0+bz bx by az ax ay bx by bz x y z y z x =a 3y
z x +b 3z x y z
x
y x
y z
对第2个行列x
y
z x y z 式：r a 3
y
z x +b 3⋅(-1) ⋅z x y 1r 3
z
x y y z x 对第2个行列
x y z x y z r a 3式：y
z x +b 3⋅(-1) 2⋅y z x 2r 3
z
x y z x y
x
y z
=(a 3+b 3) ⋅y
z x =右边. z
x y
x 1+1
x 1+2 x 1+n 例20 计算行列式 D x 2+1x 2+2 x 2+n n =
。
x n +1x n +2 x n +n
解：按第1列拆分，
x 1x 1+2
x 1+n x 1+2 x 1+n
D 2x 2+2 x 2+n x 2+2n =
x + x 2+n
x n
x n +2 x n +n
x n +2 x n +n x 1
2 n
x 1 第1个行列式：c k -c 1 (k =2, 3, n )
x 2
2 n x 2 第2个行列式：c k -kc 1 (k =2, 3, n )
+ x n
2 n
x n =0+0=0。
3．递推公式法
有时，根据行列式的特点，得到递推公式，计算出行列式。
x 1
x 2
x n
211
例21 计算 D n =
21
12
11
21
12
解： 按第一列展开，得
1012
D n =2D n -1+(-1) 1+2⋅
12
11
21
12
1
将右端第二项的行列式按第一行展开，得
D n =2D n -1-D n -2
即 D n -D n -1=D n -1-D n -2 由此递推得 D n -D n -1=D n -1-D n -2
于是 D n -D n -1=D n -1-D n -2=D n -2-D n -3= =D 2-D 1=3-2=1 从而 D n =D n -1+1=(D n -2+1) +1= =D 1+n -1=n +1
4．数学归纳法
数学归纳法也是计算行列式的常用方法。 例22 证明行列式
a +b ab 0 0 0
1 a +b ab 0 0D n = 0 1 a +b 0 0
0 0 0 1 a +b
证：对阶数n 使用数学归纳法。
a n +1-b n +1
=，a ≠b 。
a -b
a 2-b 2
当n =1时，D 1=a +b =，故结论成立。
a -b
假设结论对≤n -1的自然数都成立，下面要证对n 也成立。为此将D n 按第1列展开，
得
a +b ab 0 0 1 a +b 0 0
D n =(a +b ) ⋅-
0 0 1 a +b
ab 0 0 0 0
1 a +b ab 0 0 0 0 0 1 a +b
上式右端的第1个行列式为D n -1，而第2个行列式按第1行展开其值为abD n -2，所以有 D n =(a +b ) D n -1-abD n -2
a n -b n a n -1-b n -1
=(a +b ) ⋅-ab ⋅
a -b a -b
a n +1-ab n +ba n -b n +1a n b -ab n =-
a -b a -b
a n +1-b n +1=。
a -b
计算行列式要充分利用已知结果。
例23 计算行列式D n +1
a n (a -1) n (a -n ) n a n -1(a -1) n -1 (a -n ) n -1
= a
1
a -11
a -n 1
解：从第n +1行开始，第n +1行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经(n -1) 次对换换到第2行…，经n +(n -1) + +1=
D n +1
n (n +1)
次行交换，得 211 1n (n +1) a a -1 a -n 2 =(-1)
a n -1(a -1) n -1 (a -n ) n -1a n (a -1) n (a -n ) n
n (n +1)
(-1) 2n (n +1) (-1) 2
此行列式为范德蒙德行列式
D n +1=
=
n +1≥i >j ≥1
∏[(a -i +1) -(a -j +1)]
n (n +1) (-1) 2
n +(n -1) + +1
∙(-1) ∙2
n +1≥i >j ≥1
n +1≥i >j ≥1
∏[-(i -j )]=∏[(i -j )]
=
n +1≥i >j ≥1
∏(i -j )
00 -1x +a 1
-1 0
0x
计算行列式，还应多进行一题多解。
x -10 0
例24 证明：D n =
x 0a n -1
=x n +a 1x n -1+ +a n -1x +a n 。
0a n
a n -2 a 2
解法1：用数学归纳法证明
当n =2时, D 2=
x a 2-1
=x 2+a 1x +a 2, 命题成立. x +a 1
假设对于(n -1) 阶行列式命题成立.
即 D n -1=x n -1+a 1x n -2+ +a n -2x +a n -1,
则D n 按第1列展开:
-10x -1
D n =xD n -1+a n (-1) n +1
11=xD n -1+a n =右边
所以，对于n 阶行列式命题成立.
解法2：用递推法。 将D n 按第1列展开，得
00 00
x -1
x -1 0 0 0
-1 0 0 0
0 x -1 0 0
x -1 0 0
=a n +xD n -1 D n =x ⋅ +(-1) n +1a n
0 0 0 x -1
0 0 x -1n -1
a n -1 a n -2 a n -3 a 2 a 1+x n -1
由此得递推公式： D n =a n +xD n -1。于是，
D n =a n +xD n -1=a n +x (a n -1+xD n -2)
=a n +xa n -1+x 2D n -2 =a n +xa n -1+x 2a n -2+x 3D n -3
=a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1D 1 =a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1(a 1+x ) =a n +xa n -1+x 2a n -2+ +x n -1a 1+x n 。
解法3：
D n
c n -1
x -1 0 0 0 0 0 x -1 0 0 0
+xc n 0 0 0 x -1 0
0 0 0 0 0 -1 a n a n -1 a n -2 a 3 a 2+a 1x +x 2 a 1+x
0 -1 0 0 0
其中，
0 -1 0 0c n -2+xc n -1 0 b 1=a 2+a 1x +x 2, c n -3+xc n -2
0 0 0 -1 0
b n -2=a n -1+a n -2x + +a 1x n -2+x n -1, c 1+xc 2
0 0 0 0 -1
b n -1=a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n . b n -1 b n -2 b n -3 b 1 a 1+x
-1 0 0 0
按第 1 列展开
0 -1 0 0
(a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n ) ⋅(-1) n +1
0 0 -1 0 0 0 0 -1
=a n +a n -1x + +a 1x n -1+x n .
解法4：将行列式按第n 行展开也可以，读者自己试一试。 三、小结
行列式的计算方法灵活多样，技巧性强，前面所举例子的解法只是众多方法中的几种。读者可以想象并总结出另一些方法和技巧进行计算，并比较各种作法的繁简，逐步提高计算能力。
*补充 拉普拉斯（Laplace ）定理
§6中的按行（列）展开定理只是把行列式按某一行（列）展开，下面再把它推广到按k 行（k 列）展开。首先应把元素的余子式和代数余子式的概念加以推广。
定义 在n 阶行列式中，任取k 行(i 1
a i 1j 1a i 1j 2 a i 1j k
a i 2j 1 a i k j 1a i 2j 2 a i k j 2 a i 2j k
, a i k j k
称为该行列式的一个k 阶子式，记为N 。划去这些行和列后所剩下的元素依原次序构成的一个n -k 阶子式，称为N 的余子式，记为M 。称A =(-1) i 1+ +i k +j 1+ +j k ⋅M 为N 的代数余子式。
1
例如，对四阶行列式 D =
14
3201512541 10
取第2、第3行与第2、第4列，得到一个二阶子式 N =N 的余子式为M =
2101
=2。
1545
=-15。
N 的代数余子式为A =(-1) 2+3+2+4M =(-1)(-15) =15。
k
一般在n 阶行列式中取定k 行，就有C n 个k 阶子式。
定理（Laplace 定理） 在n 阶行列式D 中，任取k 行（列），则由这k 行（列）元素所有的k 阶子式与其对应的代数余子式的乘积之和等于行列式D 。
设取定的k 行的所有子式为N 1，N 2，…，N t ，其所对应的代数余子式分别为A 1，A 2，…，
k A t (t =C n ) ，则
D =N 1A 1+N 2A 2+ +N t A t
例1 用拉普拉斯定理计算
56000
15600
D 5=10560
0015600015
解： 选取第1、2行，只有3个非零二阶子式 N 1=
565060
=19， N 2==30， N 3==36， 151656
其对应的代数余子式为
560
060
A 1=(-1) 1+2+1+2156=65， A 2=(-1) 1+2+1+3056=0，
015015
160
A 3=(-1) 1+2+2+3056=19。
015
5600015600
故 D 5=10560=N 1A 1+N 2A 2+N 3A 3。
0015600015
=19⨯65+30⨯0+36⨯19=1919
例2 计算2n 阶行列式
a 1
a 2
a n -1
D 2n =
b 1b 2 b n -1
a n b n
b n -1 b 2
b n a n
a n -1
a 2
a 1
b 1
解： 选取第n ，n+1行应用拉普拉斯定理，只有一个非零二阶子式
a n b n 22
N 1= ， =a n -b n
b n a n 其代数余子式为
a 1
a 2
b 1b 2
a n -1b n -1 b 2
b n -1a n -1
a 2
a 1
=D 2n -2
b 1
22
故 D 2n =(a n -b n ) D 2n -2
利用这个递推公式及 D 2=
a 1
b 1b 1
=a 12-b 12，得 a 1
222222
D 2n =(a n -b n ) D 2n -2=(a n -b n )(a n -1-b n -1) D 2n -4=
2222
=(a n -b n )(a n -1-b n -1) D 2n -4
222222=(a n -b n )(a n -1-b n -1) (a 1-b 1) 。
§ 7 克拉默法则
一、内容提要
克拉默法则 如果n 元线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =b 2
⎨ （*)
⎪ ⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n 的系数行列式不等于零，即
a 11
D =
a 12 a 1n
a 21
a n 1
a 22 a 2n
≠0
a n 2 a nn
则方程组（*）有唯一解，且其解为 x 1=
D D 1D
，x 2=2，…，x n =n D D D b 1
a 1, j +1 a 1n
a 2, j +1 a 1n
， ( j =1, 2 , … , n ) a n , j +1 a nn
其中D j 是把D 的第j 列各元素依次换成方程组的常数项所得到的n 阶行列式，即
a 11 a 1, j -1
a 21 a 2, j -1b 2
D j =
a n 1 a n , j -1b n
第j 列
↑
定理4 如果n 元线性方程组（*）的系数行列式D ≠0，则方程组（*）一定有解，且解是唯一的。
定理4ˊ如果n 元线性方程组（*）无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必为零。 定理5 如果齐次线性方程组
⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0
⎪
⎪a 21x 1+a 22x 2+ +a 2n x n =0
⎨ （**）
⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0
的系数行列式D ≠0，则齐次方程组（**）只有零解。
定理5ˊ如果齐次线性方程组（**）有非零解，则它的系数行列式必为零。 二、例题分析
例25 求下列线性方程组的解
⎧x 1+x 2+x 3+x 4=1⎪
⎪2x 1-4x 2+3x 3-x 4=5
⎨
4x +16x +9x +x =25234⎪1⎪⎩8x 1-64x 2+27x 3-x 4=125
解：该方程组的系数行列式为范德蒙德行列式
11111111 D =
2-43-12
=2
4169128-6427-123-4(-4) 2(-4) 333233-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-2)(3-2)(-1-2)(3+4)(-1+4)(-1-3)
=-1512≠0。
方程组有唯一解。容易看出，D j (j =1, 2, 3, 4) 也是范德蒙德行列式：
111115-43-15D 1==2
2516915-6427-153
=12960；
1-4(-4) 2(-4) 31332331-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-5)(3-5)(-1-5)(3+4)(-1+4)(-1-3)
11111253-2D 2==2
[1**********]7-23
=432；
[1**********]31-1
(-1) 2(-1) 3
=(5-2)(3-2)(-1-2)(3-5)(-1-5)(-1-3)
111112-45-12D 3==2
41625128-64125-123
=-8748；
1-4(-4) 2(-4) 31552531-1
(-1) 2(-1) 3
=(-4-2)(5-2)(-1-2)(5+4)(-1+4)(-1-5)
111112-4352D 4==2
41692528-6427125231-4(-4) 2(-4) 313323315 5253
=(-4-2)(3-2)(5-2)(3+4)(5+4)(5-3)
=-2268。
故方程组的解为 x 1=
D 2189D 11620D 54D 3
，x 2=2=-，x 3=3=，x 4=4=。 =-
D 189D 378D 2D 189
例26 讨论λ为何值时，齐次线性方程组有唯一零解。
⎧λx 1+ x 2+ x 3=0⎪
⎨ x 1+λx 2+ x 3=0
⎪ x + x +λx =0
23⎩1解：方程组的系数行列式 λ11
D =1λ
1=(λ-1) 2(λ+2)
11λ
由此可知，当λ≠1且λ≠-2时，D ≠ 0。此时，方程组有唯一零解。
例27 给定平面上三个点（1，1），（2，–1），（3，1），求过这三个点且对称轴与Y 轴平行的抛物线方程。
解： 因为抛物线的对称轴与Y 轴平行，因此可设所求抛物线方程为 y =ax 2+bx +c ， 于是有
⎧ a + b +c =1
⎪
⎨4a +2b +c =-1
⎪9a +3b +c =1⎩
这是以a , b , c 为未知量的三元线性方程组，其系数行列式
1111111 D =421
c 1c 3
931
-24
39
转置
-23
49
最右边的行列式是范德蒙德行列式，所以
11
D =-23=-(3-2)(3-1)(2-1) =-2≠0
49
所以方程组有唯一解。
111
111
按第 1 列展开 32
032=-4， 易得 D 1=-121
r 3-r 120
131020
r 2+r 1
11111111
r 2-r 1 c 1c 3
D 2=4-11--14-0-23=16，
r 3-r 1
91119008
111111111
r 2+r 1 c 1c 3 按第 1 列展开 35
D 3=42-1--124-035-=-14。
r 3-r 128
931139028
16-4-14=2，b ==-8，c ==7
-2-2-2
即所求抛物线方程为 y =2x 2-8x +7。
故 a =
三、小结
克拉默法则是线性方程组理论的一个很重要结果，它不仅给出了方程组（*）有唯一解的条件，并且给出了方程组的解与方程组的系数和常数项的关系，在后面的讨论中，还会看到它在更一般的线性方程组的研究中也起着重要的作用。
克拉默法则求解线性方程组必须满足如下两个条件： （1）方程组中方程的个数与未知量的个数相同； （2）方程组的系数行列式D ≠0。
习 题 一 (A组)
1． 利用对角线法则计算下列行列式：
（1）
28
1
； （2）
9x y
；
a b c 1082（3）b c a ； （4）15123
c a b 203212
2． 用行列式解下列方程组：
⎧x 1cos θ-x 2sin θ=a ⎧8x +3y =2（1）⎨ ， （2）⎨。
6x +2y =3x sin θ+x cos θ=b ⎩2⎩2
3． 求下列排列的逆序数，并确定它们的奇偶性。
（1）2 1 7 9 8 6 3 5 4 ； （2）2 4 6 ··· 2 n (2n –1) (2n –3) ··· 3 1 。 4． 在6阶行列式中，a 21a 33a 42a 56a 14a 65，a 32a 43a 14a 51a 66a 25这两项应带什么符号？ 5． 计算下列行列式
12（1）
[1**********]1
； （2）411x y z x 100
；
y 010z 001
a b a d
（3）
c d c b c d
x +y
c b
； （4）y +z a b
z +x
a d
z +y z +x x +y z +x
x +y ； y +z
[***********]41
6． 用克莱姆法则解下列方程组：
[***********]21
（5）23100； （6）12134。
+4x 3+2x 4=3⎛5x 1 ⎧2x 1+ x 2-5x 3+ x 4=8
⎪
-6x 4=9 x 1-x 2+2x 3+ x 4=1⎪ x 1-3x 2
（1） ； （2）⎨。
2x - x +2x =-54x 1+x 2+2x 3 =1234⎪
x +x +x +x =0⎪⎩ x 1+4x 2-7x 3+6x 4=0234⎝1
（B 组）
7． 填空题：
（1）如果n 阶行列式中，负项的个数为偶数，则n ≥ 。
（2）如果n 阶行列式中等于零的元素个数大于n 2-n ，那么，此行列式的值为 。
a 11
（3）设a 21
a 31a 12a 22a 32a 13a 11
a 23=d ，则2a 21-a 11a 33a 31a 12
2a 22-a 12
a 32a 13
2a 23-a 13=。 a 33
a 11
（4）设a 21
a 12a 22a 32
a 11
a 13a 23a 33
a 12
a 31
3a 31
=d ，则2a 21
-a 11 a 1n
，则
3a 322a 22-a 123a 33
2a 23= -a 13
-a 1n
-a 11-a 21 -a n 1
-a 12
（5）设D =
a 21 a n 1
a 22 a 2n a n 2 a nn
-a 22 -a 2n
=D 。
-a n 2 -a nn
a 11
（6）设D =
a 12a 22 a 1n a 2n
a 21a 31
，则
a 22a 32 a 2n a 3n
=D 。 a 21
a n 1
a n 2 a nn
8． 计算下列行列式：
x
y x
y （1）
； x
y y 0 0x
11 1n 11 n
1
（3）D n =
； 1n 11n 1 11
a 1+λa 2a 3 a 1
a 2+λa 3 （5）
a 1a 2a 3+λ
a 1
a 2
a 3
a n 1a n 2 a nn a 11
a 12
a 1n
122 2222 2
（2）223 2；
2
222 n
1a 1-11-a 1a 2 （4）
-11-a 2
a 3
；
a n
-11-a n
a n a n a n 。
a n +λ