第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
3－1 氢气在 ， 时的平均自由程为 × m，求氢分子的有效直径。
解：由 ＝ 得：
＝ 代入数据得： （m）
3－2 氮分子的有效直径为 ，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。
解： ＝ 代入数据得： － （m）
＝ 代入数据得：
＝ （s）
3－3 氧分子的有效直径为3.6× m，求其碰撞频率，
已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；
（2）氧气的温度为300K，压强为1.0× atm
解：由 ＝ 得 ＝ ＝ 代入数据得：
＝6.3× （ ）
（ ）
3－4 某种气体分子在 时的平均自由程为 。
（1）已知分子的有效直径为 ，求气体的压强。
（2）求分子在 的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由 得：
代入数据得：
（2）分子走 路程碰撞次数
（次）
3－5 若在 下，痒分子的平均自由程为 ，在什么压强下，其平均自由程为 ？设温度保持不变。
解：由 得
3－6 电子管的真空度约为 HG，设气体分子的有效直径为 ，求 时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：
（2）
（3）若电子管中是空气，则
3－7 今测得温度为 压强为 时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为 和 ，问：
（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？
（2） 时， 为多大？
（3） 时， 为多大？
解：（1）由 得：
（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由 得：
（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：
3－8 在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。设电子的"有效直径"比起气体分子的有效直径 来可以忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面 为多大？
（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为： ，n为气体分子的数密度。
解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于 的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：
（2）电子与气体分子碰撞频率为：
（ 为电子平均速率）
3－9 设气体分子的平均自由程为 试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是
解：根据 （4.6）式知在 个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为 ＝ 由几率概念知：对于一个分子，
自由程大于x的几率为 ，故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是 。
3－10 某种气体分子的平均自由程为10cm、在10000段自由程中，（1）有多少段长于10cm？（2）有多少段长于50cm？（3）有多少段长于5cm而短于10cm？（4）有多少段长度在9.9cm到10cm之间？（5）有多少段长度刚好为10cm？
解： 个分子中按不同自由程分布的分子数占总分子数的比率与一个分子在 段自由程中按不同自由程分布几率相同，即 个分子在某一自由程的分子数就是 段自由程中具有这个自由程的段数。故
可表示自由程长于x的段数
（1）设长于10cm的段数为 ，总段数为
＝ （段）
（2）设长于50cm的段数为
＝ （段）
（3）设长于5cm短于10cm的段数为
（段）
（4）设长度在9.9cm到10cm之间的段数为
（段）
（5）按统计规律，不能确定长度刚好为10cm的有多少段。
3－11某一时刻氧气中有一组分子都刚与其它分子碰撞过，问经过多少时间后其中还能保留一半未与其它分子相碰。设氧分子都以平均速率运动，氧气的温度为300K，在给定的压强下氧分子的平均自由程为2.0cm。
解：考虑分子在t时间内走了x路程未被碰的分子数与总分子数中自由程大于x的分子数相等。设自由程大于x的分子数为N，则
（s）
3－12 需将阴极射线管抽到多高的真空度（用mmHg表示），才能保证从阴极发射出来的电子有90％能达到20cm远处的阳极，而在中途不与空气分子相碰？
解：设从阴极发射出来的电子有 个，自由程大于20cm的电子有N个，则 故
由本章第8题知：
若温度为 ，因空气的主要成分是氮气，故由《热学》 例题1得空气分子的有效直径的近似值：
代入数据得：
3－13 由电子枪发出一束电子射入压强为 的气体。在电子枪前相距x处放置一收集电极，用来测定能自由通过（即不与气体分子相碰）这段距离的电子数。已知电子枪发射电子流强度为 （微安）当气压 ，x＝10cm时，到达收集极的电子流强度为 。（1）电子的平均自由程为多大？（2）当气压降到 时，到达收集极的电子流为多大？
解：由于电子流强度与电子数成正比，所以有 ， 是自由程大于x的电子在收集极引起的电子流强度。
（1）
（2）由上题知：
得：
3－14 今测得氮气在 时的沾次滞系数为 试计算氮分子的有效直径，已知氮的分子量为28。
解：由《热学》（4.18）式知：
代入数据得：
3－15 今测得氮气在 时的导热系数为 ，定容摩尔热容量为： ，试计算氮分子的有效直径
解：由《热学》（4.19）式
代入数字得：
3－16 氧气在标准状态下的扩散系数：
、 求氧分子的
平均自由程。
解：
代入数据得
3－17已知氦气和氩气的原子量分别为4和40，它们在标准状态嗲的沾滞系数分别为 和 ，求：（1）氩分子与氦分子的碰撞截面之比 ；（2）氩气与氦气的导热系数之比 ；（3）氩气与氦气的扩散系数之比 。
解：已知
（1）根据
（2） 由于氮氩都是单原子分子，因而摩尔热容量C相同
（3） 现P、T都相同，
3－18一长为2m，截面积为 的管子贮有标准状态下的 气，一半 分子中的C原子是放射性同位素 ，在 时放射性分子密集在管子左端，其分子数密度沿着管子均匀地减小，到右端减为零。（1）开始时，放射性气体的密度梯度是多少？（2）开始时，每秒有多少个放射性分子通过管子中点的横截面从左侧移往右侧？（3）有多少个从右侧移往左侧？（4）开始时，每秒通过管子截面扩散的放射性气体为多少克？
解：已知管子长l＝2.0m，截面积
（1）由题知、开始时左端全部是放射性分子，单位体积分子数为n，而右端则为零。故放射性气体密度梯度：
标准状态下任何气体单位体积的分子数为：
（2）根据扩散现象的微观解释知，在 时间内通过中点ds由左移到右的分子数为
〔N中－ 中 〕dsdt
参看《热学》（4－1）表，可取 cm。因为管很细，可假设在开始1秒内 近似不变，则在1秒内从左端通过S面移往右端的分子数
代入数据得
（个）
（3）同理可得1秒内从右端通过S面移往左端的放射性分子数：
（个）
（4）每秒通过S面扩散的放射性分子数
（个）
故每秒通过S面扩散的放射性气体质量
3－19将一圆柱沿轴悬挂在金属丝上，在圆柱体外面套上一个共轴的圆筒，两者之间充以空气。当圆筒以一定的角速度转动时，由于空气的沾滞作用，圆柱体将受到一个力距 由悬丝的扭转程度可测定此力距，从而求出空气的沾滞系数。设圆柱体的半径为R，圆筒的半径为 ，两者的长度均为L，圆筒的角速度为 ，试证明： ， 是待测的沾滞系数。
证明：气体与圆柱相互作用的沾滞力为：
只考虑平衡时的情况，可以近似地认为圆柱体不动，圆筒的转速为：
设紧靠圆筒的那些分子流速与圆筒转动速度相同
由牛顿沾滞定律知，圆柱体所受沾滞力
圆柱体侧面积
3－20两个长为100cm，半径分别为10.0cm和10.5cm的共轴圆筒套在一起，其间充满氢气，若氢气的沾滞系数为 ，问外筒的转速多大时才能使不动的内筒受到107dyn的作用力？
解：由上题结果知：
其中
则
代入数据得： （弧度/秒）
3－21两个长圆筒共轴套在一起，两筒
的长度均为L，内筒和外筒的半径分别为 和 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 和 ，且 ，已知两筒间空气的导热系数为K，试证明：每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为：
证明：由付里叶定律：
则在单位时间内通过以r为半径的柱面的热量为：
由于 且 、 是恒量故由 面传到 面的热量也是一恒量，故上式两端积分得：
第三章 输运现象与分子动理学理论的非平衡态理论
3－1 氢气在 ， 时的平均自由程为 × m，求氢分子的有效直径。
解：由 ＝ 得：
＝ 代入数据得： （m）
3－2 氮分子的有效直径为 ，求其在标准状态下的平均自由程和连续两次碰撞间的平均时间。
解： ＝ 代入数据得： － （m）
＝ 代入数据得：
＝ （s）
3－3 氧分子的有效直径为3.6× m，求其碰撞频率，
已知：（1）氧气的温度为300K，压强为1.0atm；
（2）氧气的温度为300K，压强为1.0× atm
解：由 ＝ 得 ＝ ＝ 代入数据得：
＝6.3× （ ）
（ ）
3－4 某种气体分子在 时的平均自由程为 。
（1）已知分子的有效直径为 ，求气体的压强。
（2）求分子在 的路程上与其它分子的碰撞次数。
解：（1）由 得：
代入数据得：
（2）分子走 路程碰撞次数
（次）
3－5 若在 下，痒分子的平均自由程为 ，在什么压强下，其平均自由程为 ？设温度保持不变。
解：由 得
3－6 电子管的真空度约为 HG，设气体分子的有效直径为 ，求 时单位体积内的分子数，平均自由程和碰撞频率。
解：
（2）
（3）若电子管中是空气，则
3－7 今测得温度为 压强为 时，氩分子和氖分子的平均自由程分别为 和 ，问：
（1）氩分子和氖分子的有效直径之比是多少？
（2） 时， 为多大？
（3） 时， 为多大？
解：（1）由 得：
（2）假设氩分子在两个状态下有效直径相等，由 得：
（3）设氖气分子在两个状态下有效直径相等，与（2）同理得：
3－8 在气体放电管中，电子不断与气体分子相碰撞，因电子的速率远远大于气体分子的平均速率，所以后者可以认为是静止不动的。设电子的"有效直径"比起气体分子的有效直径 来可以忽略不计。
（1）电子与气体分子的碰撞截面 为多大？
（2）证明：电子与气体分子碰撞的平均自由程为： ，n为气体分子的数密度。
解：（1）因为电子的有效直径与气体分子的有效直径相比，可以忽略不计，因而可把电子看成质点。又因为气体分子可看作相对静止，所以凡中心离电子的距离等于或小于 的分子都能与电子相碰，且碰撞截面为：
（2）电子与气体分子碰撞频率为：
（ 为电子平均速率）
3－9 设气体分子的平均自由程为 试证明：一个分子在连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是
解：根据 （4.6）式知在 个分子中自由程大于x的分子占总分子数的比率为 ＝ 由几率概念知：对于一个分子，
自由程大于x的几率为 ，故一个分子连续两次碰撞之间所走路程至少为x的几率是 。
3－10 某种气体分子的平均自由程为10cm、在10000段自由程中，（1）有多少段长于10cm？（2）有多少段长于50cm？（3）有多少段长于5cm而短于10cm？（4）有多少段长度在9.9cm到10cm之间？（5）有多少段长度刚好为10cm？
解： 个分子中按不同自由程分布的分子数占总分子数的比率与一个分子在 段自由程中按不同自由程分布几率相同，即 个分子在某一自由程的分子数就是 段自由程中具有这个自由程的段数。故
可表示自由程长于x的段数
（1）设长于10cm的段数为 ，总段数为
＝ （段）
（2）设长于50cm的段数为
＝ （段）
（3）设长于5cm短于10cm的段数为
（段）
（4）设长度在9.9cm到10cm之间的段数为
（段）
（5）按统计规律，不能确定长度刚好为10cm的有多少段。
3－11某一时刻氧气中有一组分子都刚与其它分子碰撞过，问经过多少时间后其中还能保留一半未与其它分子相碰。设氧分子都以平均速率运动，氧气的温度为300K，在给定的压强下氧分子的平均自由程为2.0cm。
解：考虑分子在t时间内走了x路程未被碰的分子数与总分子数中自由程大于x的分子数相等。设自由程大于x的分子数为N，则
（s）
3－12 需将阴极射线管抽到多高的真空度（用mmHg表示），才能保证从阴极发射出来的电子有90％能达到20cm远处的阳极，而在中途不与空气分子相碰？
解：设从阴极发射出来的电子有 个，自由程大于20cm的电子有N个，则 故
由本章第8题知：
若温度为 ，因空气的主要成分是氮气，故由《热学》 例题1得空气分子的有效直径的近似值：
代入数据得：
3－13 由电子枪发出一束电子射入压强为 的气体。在电子枪前相距x处放置一收集电极，用来测定能自由通过（即不与气体分子相碰）这段距离的电子数。已知电子枪发射电子流强度为 （微安）当气压 ，x＝10cm时，到达收集极的电子流强度为 。（1）电子的平均自由程为多大？（2）当气压降到 时，到达收集极的电子流为多大？
解：由于电子流强度与电子数成正比，所以有 ， 是自由程大于x的电子在收集极引起的电子流强度。
（1）
（2）由上题知：
得：
3－14 今测得氮气在 时的沾次滞系数为 试计算氮分子的有效直径，已知氮的分子量为28。
解：由《热学》（4.18）式知：
代入数据得：
3－15 今测得氮气在 时的导热系数为 ，定容摩尔热容量为： ，试计算氮分子的有效直径
解：由《热学》（4.19）式
代入数字得：
3－16 氧气在标准状态下的扩散系数：
、 求氧分子的
平均自由程。
解：
代入数据得
3－17已知氦气和氩气的原子量分别为4和40，它们在标准状态嗲的沾滞系数分别为 和 ，求：（1）氩分子与氦分子的碰撞截面之比 ；（2）氩气与氦气的导热系数之比 ；（3）氩气与氦气的扩散系数之比 。
解：已知
（1）根据
（2） 由于氮氩都是单原子分子，因而摩尔热容量C相同
（3） 现P、T都相同，
3－18一长为2m，截面积为 的管子贮有标准状态下的 气，一半 分子中的C原子是放射性同位素 ，在 时放射性分子密集在管子左端，其分子数密度沿着管子均匀地减小，到右端减为零。（1）开始时，放射性气体的密度梯度是多少？（2）开始时，每秒有多少个放射性分子通过管子中点的横截面从左侧移往右侧？（3）有多少个从右侧移往左侧？（4）开始时，每秒通过管子截面扩散的放射性气体为多少克？
解：已知管子长l＝2.0m，截面积
（1）由题知、开始时左端全部是放射性分子，单位体积分子数为n，而右端则为零。故放射性气体密度梯度：
标准状态下任何气体单位体积的分子数为：
（2）根据扩散现象的微观解释知，在 时间内通过中点ds由左移到右的分子数为
〔N中－ 中 〕dsdt
参看《热学》（4－1）表，可取 cm。因为管很细，可假设在开始1秒内 近似不变，则在1秒内从左端通过S面移往右端的分子数
代入数据得
（个）
（3）同理可得1秒内从右端通过S面移往左端的放射性分子数：
（个）
（4）每秒通过S面扩散的放射性分子数
（个）
故每秒通过S面扩散的放射性气体质量
3－19将一圆柱沿轴悬挂在金属丝上，在圆柱体外面套上一个共轴的圆筒，两者之间充以空气。当圆筒以一定的角速度转动时，由于空气的沾滞作用，圆柱体将受到一个力距 由悬丝的扭转程度可测定此力距，从而求出空气的沾滞系数。设圆柱体的半径为R，圆筒的半径为 ，两者的长度均为L，圆筒的角速度为 ，试证明： ， 是待测的沾滞系数。
证明：气体与圆柱相互作用的沾滞力为：
只考虑平衡时的情况，可以近似地认为圆柱体不动，圆筒的转速为：
设紧靠圆筒的那些分子流速与圆筒转动速度相同
由牛顿沾滞定律知，圆柱体所受沾滞力
圆柱体侧面积
3－20两个长为100cm，半径分别为10.0cm和10.5cm的共轴圆筒套在一起，其间充满氢气，若氢气的沾滞系数为 ，问外筒的转速多大时才能使不动的内筒受到107dyn的作用力？
解：由上题结果知：
其中
则
代入数据得： （弧度/秒）
3－21两个长圆筒共轴套在一起，两筒
的长度均为L，内筒和外筒的半径分别为 和 ，内筒和外筒分别保持在恒定的温度 和 ，且 ，已知两筒间空气的导热系数为K，试证明：每秒由内筒通过空气传到外筒的热量为：
证明：由付里叶定律：
则在单位时间内通过以r为半径的柱面的热量为：
由于 且 、 是恒量故由 面传到 面的热量也是一恒量，故上式两端积分得：