一．圆的定义及相关概念
【考点速览】 考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5
点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r ；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°, AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，∠EOD =84︒，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm，CD=8cm，则AB 和CD 的距离是多少？
例5 如图, ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm，EB=2cm,∠CEA =30， 求CD 的长．
例6. 已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为2, 3，求∠BAC 的度数．
O
B D
例7. 如图，已知在∆ABC 中，∠A =90︒，AB=3cm，AC=4cm，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．
A
C
例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
B
. 思考题
如图所示, 已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点, 弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF, 求AE-BF 的值.
二．垂径定理及其推论
【考点速览】 考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
E
O
P B D
③平分弦所对的一条孤的直径, 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径) ；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对
的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且∠AMN =∠CNM ． 求证：AB=CD．
例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。求证：CE=DF．
M · O
D
B
A E F
O E C A
O
B
l
H D
l
E H D F
l
问题一图1 问题一图2
问题一图3
例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。 （1）求证：AE ＝BF
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证
明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成45角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：PC +PD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
B
例5. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F. 求证：ME=NF.
O
N
A
O
D
2
2
D
例6. （思考题）如图，Θo 1与Θo 2交于点A ，B ，过A 的直线分别交Θo 1，Θo 2于M,N ，
C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC.
三．圆周角与圆心角
【考点速览】 考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．
Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。
13. 如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．
（1）求证：DB 平分∠ADC ；
（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．
14. 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．
（1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。 （1）求证：AC ＝AE ；
（2）求△ACD 外接圆的半径。
⋂
B
16. 已知：如图等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是劣弧BC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD =AP ，连结CD ．
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断△PDC 是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？
图① 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角, 弧, 弦, 弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
图②
推论：在同圆或等圆中, 如果①两个圆心角, ②两条弧, ③两条弦, ④两条弦心距中, 有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD．
P
F 例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。 求证：PA=PC。
例3．如图所示，在∆ABC 中，∠A=72︒，⊙O 截∆ABC 的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.
C
例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE．求证：AC=AE．
例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB，∠ABC=120︒，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：∆ODE 是等边三角形．
B
O
例6. 如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。 （1）试说明△ODE 的形状；
（2）如图2，若∠A=60º，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。
A
B
C
B
C
例7弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF 的长. · O
G
例8已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD。
六．会用切线，能证切线
考点速览： 考点1
直线与圆的位置关系
考点2
切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言
∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径
∴ l 为⊙O 的切线
考点3
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）
1、如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与
AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ．
(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O 的半径．
D 2. 如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半
圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED =∠C ．
（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；
C
E
3. 如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB
为直径作O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ．
（1）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切． （2）在（1）的条件下，若AB ＝3，AC ＝5，求DE 的长；
D
O
B
4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线
交于点P ，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；
1
（2）求证：BC=2AB ；
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；
（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数
6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，
（1）若∠AED ＝45º．试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．
（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O 半径。
D
A
7. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3cm，BC =4cm，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由. A
C
B
8. 如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，D 是⌒AB 的中点，过点D 作
直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线E 、F （1）求证：EF ⊙是O 的切线；
E
（2）若AB ＝8，EB ＝2，求⊙O 的半径．
C
AB ，PO 过
AC 的如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥
中点M ，求证：PC
是⊙O 的切线。
20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ． （1）求证：AD ＝DC ；
（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，
求⊙O 的半径．
20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联
结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB （1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________证明你的结论.
（2）若OB =BD =2,求CE 的长．
20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．
（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．
A 20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．
（1）求证：OD ⊥BE ；
（2）若AB=5，求AE 的长．
20. 如图，AB 是 O 的直径，∠BAC =30︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于
点N, 交BC 的延长线于点E, 直线CF 交EN 于点F, 且∠ECF =∠E .
（1）证明CF 是 O 的切线
(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.
M ，过点M 作MN//OB交CD 于N 求证 MN是圆O 切线
当OB=6cm，OC=8cm时，求圆O 的半径及MN 的长
七．切线长定理
考点速览： 考点1
切线长概念：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别
A
21. 如图，AB BC CD分别与圆O 切于E F G且AB//CD，连接OB OC，延长CO 交圆O 于点
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，
①PA=PB ②PO 平分∠APB ． 考点3 两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：
例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，∆PED 的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若∠APB =40︒，∠EOD 的度数．
例2 如图，⊙O 分别切∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若BC =a , AC =b , AB =c ． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当∠C =90︒，求内切圆半径r ．
例3．如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？
3
x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C (m , n )是第4
二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.
例4 如图甲，直线y =-
（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；
（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；
（4）在⊙C 的移动过程中，能否使∆OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？
八．三角形内切圆
考点速览
考点1
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
考点2
三角形外接圆与内切圆比较：
考点3
求三角形的内切圆的半径
a +b -c
1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为r =.
2
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
B
b
2S ∆r =
a +b +c
（海伦公式S △＝(s -a )(s -b )(s -c ) ， 其中s=
例1．如图，△ABC 中，∠A=m°．
a +b +c
) 2
（1）如图（1），当O 是△ABC 的内心时，求∠BOC 的度数； （2）如图（2），当O 是△ABC 的外心时，求∠BOC 的度数；
（3）如图（3），当O 是高线BD 与CE 的交点时，求∠BOC 的度数．
例2．如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，
求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．
考点速练2
1．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（ ） A ．
1n 1n －1n n －1
R B．（）R C．（）R D．
）R
22
3．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，•如果AF=2，BD=7，
CE=4．
（1）求△ABC 的三边长；
（2）如果P 为弧DF 上一点，过P 作⊙O 的切线，交AB 于M ，交BC 于N ，求△BMN 的
周长．
十．圆与圆位置的关系
考点速览：
1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ）
2．有关性质：
（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁
3．相交两圆的性质
定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质
定理：相切两圆的连心线经过切点
经典例题：
例1、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，P 是⊙O 1上一点，PB 的延长线交⊙O 2于点C ，PA 交⊙O 2于点D ，CD 的延长线交⊙O 1于为N. （1）过点A 作AE//CN交⊙O 1于点E. 求证：PA=PE. （2）连接PN ，若PB=4，BC=2，求PN 的长.
例2 如图，在∆ABC 中，∠BAC =90 , AB =AC =22，圆A 的半径为1，若点O 在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO =x , ∆AOC 的面积为y. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O ，当圆⊙O 与⊙A 相切时，求∆AOC 的面积.
课堂练习：
1. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2. 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A ．05 C ．05 D ．0≤d 5 3. 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 5. 若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）
A ．内切 B．相交 C．外切 D．外离
6. 外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是
A ．11 B ．7 C ．4 D ．3
B
O
C
十一. 圆的有关计算
考点速览：
【例题经典】 有关弧长公式的应用
例1 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求弧DE 的长度．
有关阴影部分面积的求法
例2 如图所示，等腰直角三角形ABC 的斜边AB 4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ．求圆中阴影部分的面积．
求曲面上最短距离
例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥， •一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它 爬行的最短路线长是（ ）
B
A ．2 B ．
C ．
D ．5 求圆锥的侧面积
例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，•它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）
三、应用与探究：
1．如图所示，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积．
2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD ＝BD ； （2）DF 是⊙O 的切线．
3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线与BC 相交于点D, 点E 在AB 上，DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ．（1）AC 与⊙D 相切吗？并说明理由．（2）你能找到AB 、BE 、AC 之间的数量关系吗？为什么？
B
△ABC 内接于⊙O ，sin B =4、如图，已知：点D 在OC 的延长线上，
求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC =6，求AD 的长．
圆的综合测试
一：选择题
1
∠D =30 ．，（1）2
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2．下列判断中正确的是（ ）
A. 平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如上图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，
的度数为60°，
的度数为100°，则∠AEC 等于（ ）
A.60° B.100° C.80° D.130°
4．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2:3:6，则∠D 的度数是（ ）
A.67.5° B.135° C.112.5° D.110°
5. 过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm, 最短的弦长为4cm, 则OM 的长为( ). A、3cm B 、cm C 、2cm D 、3cm 6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( )
A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.5
7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.
11
（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r
32
8．已知半径分别为r 和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ）
A.0＜d ＜3r B.r ＜d ＜3r C.r ≤d ＜3r D.r ≤d ≤3r
9. 将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）
A ． B．
C．5 D． 22
10. 如图，圆 O中弦AB 、CD 相交于点F ，AB=10，AF=2，若
CF:DF=1:4，则CF 的长等于（ ）。
A
B．2 C．3 D．
11. 有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=4cm，上面有一个以AD 为直径的 半圆，正好与对边BC 相切，如图（甲）
，
B A
D
C
B A
C
将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）
12
2
4222
C ．(π-3) cm D．(π+3) cm
33
A. (π-2) cm 2 B．(π+) cm
12. 如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π，过小 圆上任一点P 作 大圆的弦AB ，则PA ⋅PB 的值是（ ） A．16 B．16π C．4 D．4π 二、填空题
13．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径为 ．
14. 如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠C =30，AB =2cm ，则圆O 的半径为 cm ．
2
15. （1）已知圆的面积为81πcm ，其圆周上一段弧长为3πcm ，那么这段弧所对圆心角的度数是 ．
（2）如图13所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为R ，AB ⊥CD ，以B 为圆心， 以BC 为半径作弧CED ，则弧CED 与弧CAD 围成的新月形ACED 的面积为 . （3）如图14, 某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m 的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm 的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部
分的面积为 .
16．如图2，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是 .cm．
2
D
图13
图14
17. 如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm 母线长是8cm ，在点A 处有一只蚂蚁，它想吃到与A 点相对且离圆锥顶点32cm 的点B 处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .
18、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC，AD 交BC 于E ，AE=2、ED=6，则AB= .
19. 已知矩形ABCD ，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙P 后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q ，那么⊙Q 的直径是 .
20. 如图所示，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙O 2相切于点C ．若⊙O 1的半径为2，则由O 1B 、弧BN 、NC 、弧CO 1围成图形的面积等于 ．
21. 如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为
D
D
O
B C
25
，点C 在AB 上，4
OC =
7
, CD ⊥AB , CD 交半圆O 于D ，那么与半圆相切，且与4
BC ，CD 相切的圆O '的半径长是 。 三、综合题
22. 以Rt △ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连DE .
⑴请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当AD ：DB=9：16时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径R .
23. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC =PC ，∠COB =2∠PCB ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC =
1
AB ； 2
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB =4，求MN*MC的值．
一．圆的定义及相关概念
【考点速览】 考点1：
圆的对称性：圆既是轴对称图形又是中心对称图形。经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。圆心是它的对称中心。 考点2：
确定圆的条件；圆心和半径
①圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小； ②不在同一条直线上的三点确定一个圆； 考点3：
弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。直径是圆中最大的弦。
弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距。
弧：圆上任意两点间的部分叫做弧。弧分为半圆，优弧、劣弧三种。 （请务必注意区分等弧，等弦，等圆的概念） 弓形：弦与它所对应的弧所构成的封闭图形。 弓高：弓形中弦的中点与弧的中点的连线段。
（请务必注意在圆中一条弦将圆分割为两个弓形，对应两个弓高）
固定的已经不能再固定的方法：
求弦心距，弦长，弓高，半径时通常要做弦心距，并连接圆心和弦的一个端点，得到直角三角形。如下图：
考点4：
三角形的外接圆：
锐角三角形的外心在 ，直角三角形的外心在 ,钝角三角形的外心在 。 考点5
点和圆的位置关系 设圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ， 则点与圆的位置关系有三种。
①点在圆外⇔d ＞r ；②点在圆上⇔d=r；③点在圆内⇔ d＜r ；
【典型例题】
例1 在⊿ABC 中，∠ACB =90°, AC =2,BC =4，CM 是AB 边上的中线，以点C 为圆心，以5为半径作圆，试确定A,B,M 三点分别与⊙C 有怎样的位置关系，并说明你的理由。
例2．已知，如图，CD 是直径，∠EOD =84︒，AE 交⊙O 于B ，且AB=OC，求∠A 的度数。
例3 ⊙O 平面内一点P 和⊙O 上一点的距离最小为3cm ，最大为8cm ，则这圆的半径是_________cm。
例4 在半径为5cm 的圆中，弦AB ∥CD ，AB=6cm，CD=8cm，则AB 和CD 的距离是多少？
例5 如图, ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE=6cm，EB=2cm,∠CEA =30， 求CD 的长．
例6. 已知：⊙O 的半径0A=1，弦AB 、AC 的长分别为2, 3，求∠BAC 的度数．
O
B D
例7. 如图，已知在∆ABC 中，∠A =90︒，AB=3cm，AC=4cm，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧交CB 的延长线于点D ，求CD 的长．
A
C
例8、如图，有一圆弧开桥拱，拱的跨度AB ＝16cm ，拱高CD ＝4cm ，那么拱形的半径是＿＿m 。
B
. 思考题
如图所示, 已知⊙O 的半径为10cm ，P 是直径AB 上一点, 弦CD 过点P,CD=16cm,过点A 和B 分别向CD 引垂线AE 和BF, 求AE-BF 的值.
二．垂径定理及其推论
【考点速览】 考点1
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条孤． 推论1：
①平分弦（不是直径）的直径重直于弦，并且平分弦所对的两条孤． ②弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条孤．
E
O
P B D
③平分弦所对的一条孤的直径, 垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条孤． 推论2．圆的两条平行弦所夹的孤相等． 垂径定理及推论1中的三条可概括为：
① 经过圆心；②垂直于弦；③平分弦(不是直径) ；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对
的劣弧．以上五点已知其中的任意两点，都可以推得其它两点
【典型例题】
例1 如图AB 、CD 是⊙O 的弦，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且∠AMN =∠CNM ． 求证：AB=CD．
例2已知，不过圆心的直线l 交⊙O 于C 、D 两点，AB 是⊙O 的直径，AE ⊥l 于E ，BF ⊥l 于F 。求证：CE=DF．
M · O
D
B
A E F
O E C A
O
B
l
H D
l
E H D F
l
问题一图1 问题一图2
问题一图3
例3 如图所示，⊙O 的直径AB ＝15cm ，有一条定长为9cm 的动弦CD 在弧AmB 上滑动（点C 与点A ，点D 与B 不重合），且CE ⊥CD 交AB 于E ，DF ⊥CD 交AB 于F 。 （1）求证：AE ＝BF
（2）在动弦CD 滑动的过程中，四边形CDEF 的面积是否为定值？若是定值，请给出证
明，并求出这个定值，若不是，请说明理由。
例4 如图，在⊙O 内，弦CD 与直径AB 交成45角，若弦CD 交直径AB 于点P ，且⊙O 半径为1，试问：PC +PD 是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由.
B
例5. 如图所示，在⊙O 中，弦AB ⊥AC ，弦BD ⊥BA ，AC 、BD 交直径MN 于E 、F. 求证：ME=NF.
O
N
A
O
D
2
2
D
例6. （思考题）如图，Θo 1与Θo 2交于点A ，B ，过A 的直线分别交Θo 1，Θo 2于M,N ，
C 为MN 的中点，P 为O 1O 2的中点，求证：PA=PC.
三．圆周角与圆心角
【考点速览】 考点1
圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数。
Eg: 判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。
圆周角：顶点在圆周上，角两边和圆相交的角叫圆周角。两个条件缺一不可．
Eg: 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角，并说明理由
考点2
定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
Eg: 如下三图，请证明。
13. 如图，已知A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD 、AD ．
（1）求证：DB 平分∠ADC ；
（2）若BE ＝3，ED ＝6，求AB 的长．
14. 如图所示，已知AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，且AB ⊥CD 于点E ．连接AC 、OC 、BC ．
（1）求证：∠ACO =∠BCD ．
（2）若E B =8cm ，CD =24cm ，求⊙O 的直径．
15. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝5，CB ＝12，AD 是△ABC 的角平分线，过A 、C 、D 三点的圆与斜边AB 交于点E ，连接DE 。 （1）求证：AC ＝AE ；
（2）求△ACD 外接圆的半径。
⋂
B
16. 已知：如图等边△ABC 内接于⊙O ，点P 是劣弧BC 上的一点（端点除外），延长BP 至D ，使BD =AP ，连结CD ．
（1）若AP 过圆心O ，如图①，请你判断△PDC 是什么三角形？并说明理由． （2）若AP 不过圆心O ，如图②，△PDC 又是什么三角形？为什么？
图① 四．圆心角、弧、弦、弦心距关系定理
【考点速览】
圆心角, 弧, 弦, 弦心距之间的关系定理:
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的孤相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等
图②
推论：在同圆或等圆中, 如果①两个圆心角, ②两条弧, ③两条弦, ④两条弦心距中, 有一组量相等, 那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
（务必注意前提为：在同圆或等圆中）
例1．如图所示，点O 是∠EPF 的平分线上一点，以O 为圆心的圆和角的两边分别交于A 、B 和C 、D ，求证：AB=CD．
P
F 例2、已知：如图，EF 为⊙O 的直径，过EF 上一点P 作弦AB 、CD ，且∠APF=∠CPF 。 求证：PA=PC。
例3．如图所示，在∆ABC 中，∠A=72︒，⊙O 截∆ABC 的三条边长所得的三条弦等长，求∠BOC.
C
例4．如图，⊙O 的弦CB 、ED 的延长线交于点A ，且BC=DE．求证：AC=AE．
例5．如图所示，已知在⊙O 中，弦AB=CB，∠ABC=120︒，OD ⊥AB 于D ，OE ⊥BC 于E ． 求证：∆ODE 是等边三角形．
B
O
例6. 如图所示，已知△ABC 是等边三角形，以BC 为直径的⊙O 分别交AB 、AC 于点D 、E 。 （1）试说明△ODE 的形状；
（2）如图2，若∠A=60º，AB ≠AC ，则①的结论是否仍然成立，说明你的理由。
A
B
C
B
C
例7弦DF ∥AC ，EF 的延长线交BC 的延长线于点G. （1）求证：△BEF 是等边三角形； （2）BA=4，CG=2，求BF 的长. · O
G
例8已知：如图，∠AOB=90°，C 、D 是弧AB 的三等分点，AB 分别交OC 、OD 于点E 、F 。求证：AE=BF=CD。
六．会用切线，能证切线
考点速览： 考点1
直线与圆的位置关系
考点2
切线：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
符号语言
∵ OA ⊥ l 于A ， OA 为半径
∴ l 为⊙O 的切线
考点3
判断直线是圆的切线的方法：
①与圆只有一个交点的直线是圆的切线。
②圆心到直线距离等于圆的半径的直线是圆的切线。 ③经过半径外端，垂直于这条半径的直线是圆的切线。
（请务必记住证明切线方法：有交点就连半径证垂直；无交点就做垂直证半径） 考点4
切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
（请务必记住切线重要用法： 见切线就要连圆心和切点得到垂直）
1、如图，在矩形ABCD 中，点O 在对角线AC 上，以OA 的长为半径的圆O 与
AD 、AC 分别交于点E 、F ，且∠ACB=∠DCE ．
(1)判断直线CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； (2)若AB=3,BC=4,DE=DC，求⊙O 的半径．
D 2. 如图，AB 是半圆O 的直径，过点O 作弦AD 的垂线交半
圆O 于点E ，交AC 于点C ，使∠BED =∠C ．
（1）判断直线AC 与圆O 的位置关系，并证明你的结论；
C
E
3. 如图，已知R t △ABC ，∠ABC ＝90°，以直角边AB
为直径作O ，交斜边AC 于点D ，连结BD ．
（1）取BC 的中点E ，连结ED ，试证明ED 与⊙O 相切． （2）在（1）的条件下，若AB ＝3，AC ＝5，求DE 的长；
D
O
B
4. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线
交于点P ，AC=PC，∠COB=2∠PCB. （1）求证：PC 是⊙O 的切线；
1
（2）求证：BC=2AB ；
5. 如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，AE 平分∠BAD 交BC 于点E ，点O 是AB 上一点，⊙O 过A 、E 两点, 交AD 于点G ，交AB 于点F ． （1）求证：BC 与⊙O 相切；
（2）当∠BAC =120°时，求∠EFG 的度数
6. 如图，四边形ABCD 是平行四边形，以AB 为直径的⊙O 经过点D ，E 是⊙O 上一点，
（1）若∠AED ＝45º．试判断CD 与⊙O 的关系，并说明理由．
（2）若∠AED=60º,AD=4，求⊙O 半径。
D
A
7. 在Rt △ACB 中，∠C =90°，AC =3cm，BC =4cm，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D .
（1）求线段AD 的长度；
（2）点E 是线段AC 上的一点，试问当点E 在什么位置时，直线ED 与⊙O 相切？请说明理由. A
C
B
8. 如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AC 是⊙O 的直径，D 是⌒AB 的中点，过点D 作
直线BC 的垂线，分别交CB 、CA 的延长线E 、F （1）求证：EF ⊙是O 的切线；
E
（2）若AB ＝8，EB ＝2，求⊙O 的半径．
C
AB ，PO 过
AC 的如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AB 为直径，若PA ⊥
中点M ，求证：PC
是⊙O 的切线。
20. 已知：AB 是⊙O 的弦，OD ⊥AB 于M 交⊙O 于点D ，CB ⊥AB 交AD 的延长线于C ． （1）求证：AD ＝DC ；
（2）过D 作⊙O 的切线交BC 于E ，若DE ＝2，CE=1，
求⊙O 的半径．
20．在Rt △AFD 中，∠F =90°，点B 、C 分别在AD 、FD 上，以AB 为直径的半圆O 过点C ，联
结AC ，将△AFC 沿AC 翻折得△AEC ，且点E 恰好落在直径AB （1）判断：直线FC 与半圆O 的位置关系是_______________证明你的结论.
（2）若OB =BD =2,求CE 的长．
20．如图所示，AB 是⊙O 的直径，OD ⊥弦BC 于点F ，且交⊙O 于点E ，若∠AEC =∠ODB ．
（1）判断直线BD 和⊙O 的位置关系，并给出证明； （2）当AB =10，BC =8时，求BD 的长．
A 20．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC，以AB 为直径的⊙O 分别交BC 、AC 于点D 、E ， 联结EB 交OD 于点F ．
（1）求证：OD ⊥BE ；
（2）若AB=5，求AE 的长．
20. 如图，AB 是 O 的直径，∠BAC =30︒，M 是OA 上一点，过M 作AB 的垂线交AC 于
点N, 交BC 的延长线于点E, 直线CF 交EN 于点F, 且∠ECF =∠E .
（1）证明CF 是 O 的切线
(2) 设⊙O 的半径为1．且AC=CE,求MO 的长.
M ，过点M 作MN//OB交CD 于N 求证 MN是圆O 切线
当OB=6cm，OC=8cm时，求圆O 的半径及MN 的长
七．切线长定理
考点速览： 考点1
切线长概念：
经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 切线长和切线的区别
A
21. 如图，AB BC CD分别与圆O 切于E F G且AB//CD，连接OB OC，延长CO 交圆O 于点
切线是直线，不可度量；而切线长是切线上一条线段的长，而圆外一已知点到切点之间的距离，可以度量． 考点2 切线长定理：
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
要注意：此定理包含两个结论，如图，PA 、PB 切⊙O 于A 、B 两点，
①PA=PB ②PO 平分∠APB ． 考点3 两个结论：
圆的外切四边形对边和相等；
圆的外切等腰梯形的中位线等于腰长． 经典例题：
例1 已知PA 、PB 、DE 分别切⊙O 于A 、B 、C 三点，若PO=13㎝，∆PED 的周长为24㎝， 求：①⊙O 的半径；②若∠APB =40︒，∠EOD 的度数．
例2 如图，⊙O 分别切∆ABC 的三边AB 、BC 、CA 于点D 、E 、F ，若BC =a , AC =b , AB =c ． （1）求AD 、BE 、CF 的长；（2）当∠C =90︒，求内切圆半径r ．
例3．如图，一圆内切四边形ABCD ，且AB=16，CD=10，则四边形的周长为？
3
x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，点C (m , n )是第4
二象限内任意一点，以点C 为圆心与圆与x 轴相切于点E ，与直线AB 相切于点F.
例4 如图甲，直线y =-
（1）当四边形OBCE 是矩形时，求点C 的坐标；
（2）如图乙，若⊙C 与y 轴相切于点D ，求⊙C 的半径r ； （3）求m 与n 之间的函数关系式；
（4）在⊙C 的移动过程中，能否使∆OEF 是等边三角形（只回答“能”或“不能”）？
八．三角形内切圆
考点速览
考点1
概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．
概念推广：和多边形各边都相切的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．
考点2
三角形外接圆与内切圆比较：
考点3
求三角形的内切圆的半径
a +b -c
1、直角三角形△ABC 内切圆⊙O 的半径为r =.
2
2、一般三角形
①已知三边，求△ABC 内切圆⊙O 的半径r.
B
b
2S ∆r =
a +b +c
（海伦公式S △＝(s -a )(s -b )(s -c ) ， 其中s=
例1．如图，△ABC 中，∠A=m°．
a +b +c
) 2
（1）如图（1），当O 是△ABC 的内心时，求∠BOC 的度数； （2）如图（2），当O 是△ABC 的外心时，求∠BOC 的度数；
（3）如图（3），当O 是高线BD 与CE 的交点时，求∠BOC 的度数．
例2．如图，Rt △ABC 中，AC=8，BC=6，∠C=90°，⊙I 分别切AC ，BC ，AB 于D ，E ，F ，
求Rt △ABC 的内心I 与外心O 之间的距离．
考点速练2
1．如图，在半径为R 的圆内作一个内接正方形，•然后作这个正方形的内切圆，又在这个内切圆中作内接正方形，依此作到第n 个内切圆，它的半径是（ ） A ．
1n 1n －1n n －1
R B．（）R C．（）R D．
）R
22
3．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 分别和边BC ，AC ，AB 切于D ，E ，F ，•如果AF=2，BD=7，
CE=4．
（1）求△ABC 的三边长；
（2）如果P 为弧DF 上一点，过P 作⊙O 的切线，交AB 于M ，交BC 于N ，求△BMN 的
周长．
十．圆与圆位置的关系
考点速览：
1圆和圆的位置关系（设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为d ）
2．有关性质：
（1）连心线：通过两圆圆心的直线。如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上。 （2）公共弦：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。 （3）公切线：和两个圆都相切的直线，叫做两圆的公切线。
两个圆在公切线同旁 两个圆在公切线两旁
3．相交两圆的性质
定理：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。
4．相切两圆的性质
定理：相切两圆的连心线经过切点
经典例题：
例1、如图，已知⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，P 是⊙O 1上一点，PB 的延长线交⊙O 2于点C ，PA 交⊙O 2于点D ，CD 的延长线交⊙O 1于为N. （1）过点A 作AE//CN交⊙O 1于点E. 求证：PA=PE. （2）连接PN ，若PB=4，BC=2，求PN 的长.
例2 如图，在∆ABC 中，∠BAC =90 , AB =AC =22，圆A 的半径为1，若点O 在BC 边上运动（与点B 、C 不重合），设BO =x , ∆AOC 的面积为y. （1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；
（2）以点O 为圆心，BO 长为半径作⊙O ，当圆⊙O 与⊙A 相切时，求∆AOC 的面积.
课堂练习：
1. 已知⊙O1与⊙O2的半径分别为5cm 和3cm ，圆心距020=7cm，则两圆的位置关系为 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
2. 已知两圆半径分别为2和3，圆心距为d ，若两圆没有公共点，则下列结论正确的是（ ）
A ．05 C ．05 D ．0≤d 5 3. 大圆半径为6，小圆半径为3，两圆圆心距为10，则这两圆的位置关系为（ ） A．外离 B．外切 Ｃ．相交 D．内含 5. 若两圆的半径分别是1cm 和5cm ，圆心距为6cm ，则这两圆的位置关系是（ ）
A ．内切 B．相交 C．外切 D．外离
6. 外切两圆的圆心距是7，其中一圆的半径是4，则另一圆的半径是
A ．11 B ．7 C ．4 D ．3
B
O
C
十一. 圆的有关计算
考点速览：
【例题经典】 有关弧长公式的应用
例1 如图，Rt △ABC 的斜边AB=35，AC=21，点O 在AB 边上，OB=20，一个以O 为圆心的圆，分别切两直角边边BC 、AC 于D 、E 两点，求弧DE 的长度．
有关阴影部分面积的求法
例2 如图所示，等腰直角三角形ABC 的斜边AB 4，O 是AB 的中点，以O 为圆心的半圆分别与两腰相切于D 、E ．求圆中阴影部分的面积．
求曲面上最短距离
例3 如图，底面半径为1，母线长为4的圆锥， •一只小蚂蚁若从A 点出发，绕侧面一周又回到A 点，它 爬行的最短路线长是（ ）
B
A ．2 B ．
C ．
D ．5 求圆锥的侧面积
例4 如图10，这是一个由圆柱体材料加工而成的零件，•它是以圆柱体的上底面为底面，在其内部“掏取”一个与圆柱体等高的圆锥体而得到的，其底面直径AB=12cm，高BC=8cm，求这个零件的表面积．（结果保留根号）
三、应用与探究：
1．如图所示，A 是半径为1的⊙O 外一点，OA=2，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连结AC ，求阴影部分的面积．
2．已知：如图，△ABC 中，AC ＝BC ，以BC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ．
求证：（1）AD ＝BD ； （2）DF 是⊙O 的切线．
3．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，∠A 的平分线与BC 相交于点D, 点E 在AB 上，DE=DC,以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ．（1）AC 与⊙D 相切吗？并说明理由．（2）你能找到AB 、BE 、AC 之间的数量关系吗？为什么？
B
△ABC 内接于⊙O ，sin B =4、如图，已知：点D 在OC 的延长线上，
求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若AC =6，求AD 的长．
圆的综合测试
一：选择题
1
∠D =30 ．，（1）2
1．有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（ ）
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 2．下列判断中正确的是（ ）
A. 平分弦的直线垂直于弦 B.平分弦的直线也必平分弦所对的两条弧 C. 弦的垂直平分线必平分弦所对的两条弧 D. 平分一条弧的直线必平分这条弧所对的弦 3．如上图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ，
的度数为60°，
的度数为100°，则∠AEC 等于（ ）
A.60° B.100° C.80° D.130°
4．圆内接四边形ABCD 中，∠A 、∠B 、∠C 的度数比是2:3:6，则∠D 的度数是（ ）
A.67.5° B.135° C.112.5° D.110°
5. 过⊙O 内一点M 的最长弦长为6cm, 最短的弦长为4cm, 则OM 的长为( ). A、3cm B 、cm C 、2cm D 、3cm 6．两个圆是同心圆，大、小圆的半径分别为9和 5，如果⊙P 与这两个圆都相切，则⊙P 的半径为( )
A.2 B.7 C.2或7 D.2或4.5
7．△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，它的内切圆的半径为r ，则△ABC 的面积为（ ） A.
11
（a ＋b ＋c ）r B.2（a ＋b ＋c ） C.（a ＋b ＋c ）r D.（a ＋b ＋c ）r
32
8．已知半径分别为r 和2 r的两圆相交，则这两圆的圆心距d 的取值范围是（ ）
A.0＜d ＜3r B.r ＜d ＜3r C.r ≤d ＜3r D.r ≤d ≤3r
9. 将一块弧长为 的半圆形铁皮围成一个圆锥（接头忽略不计），则围成的圆锥的高为（）
A ． B．
C．5 D． 22
10. 如图，圆 O中弦AB 、CD 相交于点F ，AB=10，AF=2，若
CF:DF=1:4，则CF 的长等于（ ）。
A
B．2 C．3 D．
11. 有一张矩形纸片ABCD ，其中AD=4cm，上面有一个以AD 为直径的 半圆，正好与对边BC 相切，如图（甲）
，
B A
D
C
B A
C
将它沿DE 折叠，使A 点落在BC 上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（ ）
12
2
4222
C ．(π-3) cm D．(π+3) cm
33
A. (π-2) cm 2 B．(π+) cm
12. 如图，两同心圆间的圆环（即图中阴影部分）的面积为 16π，过小 圆上任一点P 作 大圆的弦AB ，则PA ⋅PB 的值是（ ） A．16 B．16π C．4 D．4π 二、填空题
13．Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC=5,BC=12,则△ABC 的内切圆半径为 ．
14. 如图，圆O 是△ABC 的外接圆，∠C =30，AB =2cm ，则圆O 的半径为 cm ．
2
15. （1）已知圆的面积为81πcm ，其圆周上一段弧长为3πcm ，那么这段弧所对圆心角的度数是 ．
（2）如图13所示，AB 、CD 是⊙O 的直径，⊙O 的半径为R ，AB ⊥CD ，以B 为圆心， 以BC 为半径作弧CED ，则弧CED 与弧CAD 围成的新月形ACED 的面积为 . （3）如图14, 某学校建一个喷泉水池，设计的底面边长为4m 的正六边形，池底是水磨石地面，现用的磨光机的磨头是半径为2dm 的圆形砂轮，磨池底时磨头磨不到的部
分的面积为 .
16．如图2，圆锥的底面半径为6cm ，高为8cm ，那么这个圆锥的侧面积是 .cm．
2
D
图13
图14
17. 如图，有一个圆锥，它的底面半径是2cm 母线长是8cm ，在点A 处有一只蚂蚁，它想吃到与A 点相对且离圆锥顶点32cm 的点B 处的食物，蚂蚁爬行的最短路程是 .
18、如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四个点，AB=AC，AD 交BC 于E ，AE=2、ED=6，则AB= .
19. 已知矩形ABCD ，AB=8，AD=9，工人师傅在铁皮上剪去一个和三边都相切的⊙P 后，在剩余部分废料上再剪去一个最大的⊙Q ，那么⊙Q 的直径是 .
20. 如图所示，AB 是⊙O 1的直径，AO 1是⊙O 2的直径，弦MN ∥AB ，且MN 与⊙O 2相切于点C ．若⊙O 1的半径为2，则由O 1B 、弧BN 、NC 、弧CO 1围成图形的面积等于 ．
21. 如图，已知半圆O 的直径为AB ，半径长为
D
D
O
B C
25
，点C 在AB 上，4
OC =
7
, CD ⊥AB , CD 交半圆O 于D ，那么与半圆相切，且与4
BC ，CD 相切的圆O '的半径长是 。 三、综合题
22. 以Rt △ABC 的直角边AC 为直径作⊙O ，交斜边AB 于点D ，E 为BC 边的中点，连DE .
⑴请判断DE 是否为⊙O 的切线，并证明你的结论. ⑵当AD ：DB=9：16时，DE=8cm 时，求⊙O 的半径R .
23. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，过点C 的直线与AB 的延长线交于点P ，AC =PC ，∠COB =2∠PCB ． （1）求证：PC 是⊙O 的切线； （2）求证：BC =
1
AB ； 2
（3）点M 是弧AB 的中点，CM 交AB 于点N ，若AB =4，求MN*MC的值．