变上限定积分求导及其应用

变上限定积分求导及其应用

常敏慧

（运城学院应用数学系

山西运城０４４０００）

【摘

要】通过例题给出变上限定积分求导的几个应用。

【关键词】变上限定积分；求导；二重积分

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变上限定积分是一类特殊的函数，是一元函数微积分的一个基本概念，是沟通微分学与积分学之间的桥梁，是定积分基本公式的理论基解方程两边对ｚ求导得，０）＋２舷）＝ｈ为一阶线性微分方程，由础．而变上限定积分的求导是研究变上限定积分的关键，它有不同于一般函数求导的独特处．下面举例说明变上限定积分的求导及它的几个

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应用．

１．变上限定积分的定义及求导定理

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１．１定义对区间［。，６］上的可积函数搀），设ｘ为［ｏ，６］上的任意

一点，变上限的积分ｆ＾￡）出显然存在．当ｘ在［ｎ，６］上任意变动时，对例５判别级数丕［ｒ（１们｝出］的敛散性．

于每一个取定的ｘ值，Ｉ抑）出就有一个对应的值，这样就在［。，６］上

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因为（１托４）４在（１，＋ｍ）上单增，所以ｌｉｍ定义了一个新函数巾＠）＝Ｊ以￡）出０∈［ｏ，６］）称为变上限定积分．

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２。直接利用变上限定积分求导定理

又互若收敛，故互【ｒ（１帆４）÷如］收敛．

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２．３求极值

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又因为稍不变号，所以ｇ裙≠ｏ，刚有Ｉ

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２．４解微分方程

例４设旃）具有碡续导数，且满足：为－程如ｏ＋２ｊ一）出彰，求，，＝

例８若删是定义在（一＊，＋ｍ）上的周期为ｒ的连续函数，则对

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出ｆ６搀）也，其中刷与荆是［。，６］上的连续函数．

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【参考文献】

［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］盛祥耀．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．

证构造函数唯）＝』二厂嘲出ｅ幽）疵一（ｆ≯）甙ｔ）出）２，则Ｐ∞亨舷）ｆ：珈）出确）』＾）出一批辨）』＿№）出＝』：嗽脚）珊№）］弛≥ｏ

所以毋）在［口，６］上单调递增．而Ｈ回＝Ｏ，故有只６）≥０，即有

作者简介：常敏慧（１９８１一），女，助教，山西原平人。从事高等数学教学工作。

（ｆｋ㈣出）ｚ≤肛懒ｆ：触

注特别取剃＝ｌ，则有（』二，柳出）２≤ｐ划ｆ乡强胁．

（上接第２０３页）理，在将来的研究中，需要考虑运动的纹理图像重光照。此外，把其推广到其他领域，如动态光照下的纹理图像，将是件有意义的工作。

【参考文献】

［１］沈沉，沈向洋，马颂德．“基于图像的光照模型研究综述”。ＣＨＩＮＥＳＥ

ＣＯＭＰＵＴＥＲＳ．Ｖ０１．２３Ｎｏ．１２Ｄｅｃ．２０００．

Ｊ．

［责任编辑：汤静］

［８］Ｓｌｏ柚ＰＰ，Ｋ粕ｔｚＪ’ｓｎｙｄｅｒＪ．Ｐｒｅｃｏｍｐｕｔｅｄ

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ｌｊｇ｝ｌ￡ｅｎｖｊｆ；ＤＨｍｅｎ￡ｓ．ＡｃＭ１’ｒａｎｓ锄Ｇｒ８ｐｈｉｃｓ，

２００２，２１（３）：５２７—５３６．

ＸＧ，ＹｕＹｚ，Ｓｈ啪ＨＹ．ｓｙＩＩｄｌｅｓｉｚｉｎｇｂｉｄｉｒｅｃｎｏｎａｌｔｅｘｔＩＩｒｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓｆｏｒ

阳小唧０ｒｌｄｓｕ血ｃｅＢ．Ｉｎ．Ｃ锄ｐｂｅｌｌＭ，ｅｄ．Ｐｒｏｃ．ｏｆｔｈｅＳＩＧＧＲＡＰＨ２００１．ＮｅｗＹｏｒｋ：ＡＣＭＰＩ＿ｅ鸫．２００１．９７一１０６．

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Ｓ，Ｇｕ０

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—１８８２．

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Ｔｒ∞ｓ．帆Ｇ豫ｐｈｉｃ８，２００４，２３（３）：３４３—３５３．

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［３］Ｍ锄ｉｋ

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ｉｍ８９ｅｓ”．ＣＶ腿．ＩＥＥＥ．２００４．Ｗａｓｈｉｎｇｔｏｎ，ＤＣ，ＵＳＡ．Ｐ１７９—１．

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（Ｓｗｉｔｚｅｄ蛐回：Ｅｕ呷印ｌｌｉｃｓＡ８ｓｏｃｉ撕ｏｎ，２００４．９３—１０２．

［１２］ｃｏｈｅｎＭＦ＇ＳｈａｄｅＪ，硒ⅡｅｒＳ，Ｄ即８鸵ｎＯ．ｗａＩｌｇ

ｇｅｎｅｒ砒ｉｏｎ．ＡＣＭ

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［４］Ｙａｎｇｗａ“ｇ，ＤｉｌＩｌｉｔｒｉｓ

ＤＣ．ＵｓＡ．Ｐ３８．

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［５］Ｙｕ粕小ｅｎ

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Ｐ１３６６．

［１４］求是科技Ｍａｔｌａｂ７．Ｏ从入门到精通人民邮电出版社２００６．０２．

作者简介：付曙光，计算机应用技术专业。主要研究领域为计算机图形图像技术，网络计算与信息安全。

宗常进，硕士研究生，主要研究领域为计算机图形图像技术，三雏纹理合成及表示。

［６］ＡｎｄｅｒｓＷａＩｌｇ，Ｋｒｉｓｔｅｎｓｅｎ，ＴｂｍａｓＡｋｅｎｉｎｅ—Ｍｅｌｌｅｒ，ｅｔｃ．ｒａｄｉ明ｃｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｏｒｒｅａｌ—ｄ眦ｌｉ曲ｌｉｎｇｄｅｓｉｇｆｌ”．ＡｃＭ

Ｐ１２０８一１２１５．

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ｓｙｎｔｌｌｅ豳”．ＩＣｃＶ．ＩＥＥＥ，．２００１．ｃｏｌｕｍｂｉａ，Ｃ粕ａｄ轧Ｐ５９９—６０６．

［责任编辑：汤静］

（上接第２０９页）

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从计算结果可以知道模糊综合评价集Ｂ中第二个指标值最大，故葫芦岛校区第一食堂的工作质量属于第二等级，即较好。

５．结语

０．３２４）

本文应用模糊数学的原理建立了模糊综合评判模型，并将其应用于实际的葫芦岛校区第一食堂工作质量评判中，获得了较为合理的结果。应用模糊数学进行评判，思路清楚，方法简单，计算方便，避免了在主观评判中很多的人为因素，为相关部门进行评估和决策提供了可靠

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２／２０

的依据。ｅ

【参考文献】

［１］彭祖赠，孙韫玉．模糊数学及其应用【Ｍ】，武汉：武汉大学出版社，２００２．

＝（０．１５２３，Ｏ．４７００５，０．３５３８，０．０２３８５）

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０．０１２４Ｏ．０２３８５

、

［２］王莲芬．层次分析法研究嗍，北京：中国人民大学出版社，１９９０．

［３］郭嗣琮．信息科学中的软计算方法ｆＭ】，沈阳：东北大学出版社，２００１．

［责任编辑：杨清】

Ｒ＝ＩＯ．１５２３

、０．２５２８

Ｏ．０６牾

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万方数据　

变上限定积分求导及其应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

常敏慧， Chang Min-hui

运城学院应用数学系,山西,运城,044000科技信息（科学·教研）

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2007，""(33)0次

参考文献(2条)

1. 华东师范大学数学系 数学分析 20012. 盛祥耀 高等数学 1987

相似文献(1条)

1.期刊论文 冯变英 变上限定积分的一种应用 -雁北师范学院学报2004,20(5)

阐述了变上限定积分的概念和求导法则,讨论了与变上限定积分有关的求导、求极限、求最值及变上限定积分在微分方程中的应用.

本文链接：http://d.wanfangdata.com.cn/Periodical_kjxx200733161.aspx

授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：8becf8c2-d3bc-4810-b5cf-9dc9015e7ded

下载时间：2010年8月5日

变上限定积分求导及其应用

常敏慧

（运城学院应用数学系

山西运城０４４０００）

【摘

要】通过例题给出变上限定积分求导的几个应用。

【关键词】变上限定积分；求导；二重积分

ｆＩ．１Ｉｅ

Ａｐｐｌ妇ｔｉｏｎ

０ｆＶａｒｉａｂＩｅ

Ｕ即ｅｒＬｉｍｉｔＤｅ６ＩＩｉｔｅｈｌｔｅｇｒａＩＤｅｒｉｖａｔｉｖｅ

ＣｈａｎｇＭｉｎ＿ｈｌＩｉ

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Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ

Ｍａｔｌｌ哪ａｔｉｃｓＹｕｎｃｈ吼ｇＵｎｉＶｅ商ｔｙ

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０４４０００）

【Ａｂｓｔｒａｃｔ】Ｔｈｉｓ

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ｓｈｏｗｓｔｈｅ

ｉｍｐｏｒｔａｎｔ

ｍｌｅｓ

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ｌｉｍｉｔｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｔｈｍｕｇｈｓｅｖｅｒａｌ

ｅｘａｍｐｌｅｓ

【Ｋｅｙｗｏｒｄｓ】Ｖａ“ａｂｌｅｕｐｐｅｒ

Ｉｉｍｉｔｄｅｆｉｎｉｔｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｄｏｕｂｌｅｉｎｔ。ｇｒａｌ

变上限定积分是一类特殊的函数，是一元函数微积分的一个基本概念，是沟通微分学与积分学之间的桥梁，是定积分基本公式的理论基解方程两边对ｚ求导得，０）＋２舷）＝ｈ为一阶线性微分方程，由础．而变上限定积分的求导是研究变上限定积分的关键，它有不同于一般函数求导的独特处．下面举例说明变上限定积分的求导及它的几个

／ｂ）≈小驰［Ｊ２船肚如＋Ｃ］＝ｅ也［Ｊ数ｅ２饿＋Ｃ］

应用．

１．变上限定积分的定义及求导定理

＝ｅ也［ｚｅＡ一—｝ｅ厶＋ｃ］＝ｃｔ也＋ｚ一去一．

１．１定义对区间［。，６］上的可积函数搀），设ｘ为［ｏ，６］上的任意

一点，变上限的积分ｆ＾￡）出显然存在．当ｘ在［ｎ，６］上任意变动时，对例５判别级数丕［ｒ（１们｝出］的敛散性．

于每一个取定的ｘ值，Ｉ抑）出就有一个对应的值，这样就在［。，６］上

解

因为（１托４）４在（１，＋ｍ）上单增，所以ｌｉｍ定义了一个新函数巾＠）＝Ｊ以￡）出０∈［ｏ，６］）称为变上限定积分．

１＿２定理如果函数／ｂ）在［Ｇ，６］上连续，则变上限定积分中０）＝ｌ

则：受ｌ＿掣属于罟型未定式，由罗必达法则知

㈣ＬＪＪ（１把４）４如Ｉ＝ｏ，

０、

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加）也是被积函数荆的一个原函数，即有西’ｏ）２鲁Ｊ。∞）出气触）・

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注１设函数刷连续，则有｝Ｊ。加）出可№∽砌’ｏ）．∞Ｊ

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注２设函数／ｂ）连续，则有砉ｊ私力也可№ｏ）如’ｏ）坝３Ｐ∽）∥∽・

姆攀２姆赤２觋寿乏

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ｊｏｔｌ帆，黜

Ｌ１村Ｊ

２。直接利用变上限定积分求导定理

又互若收敛，故互【ｒ（１帆４）÷如］收敛．

２一求导数

例１设几）＝Ｊ．ｔｌ￡一Ｉ出，求，０）．

，１

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解当Ⅳ≤ｏ时㈣＝ｊ。ｆｏ一）出＝Ｊ。￡‰ｑ例６证明蛔ｎｇｅ中值定理：如果函数ｍ）在闭区间［ｎ，６］上连

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续，在开区间（。，６）内可导，那么至少存在一点ｆ∈０，６），使得以６）坝回＝

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证构造函数风办＝Ｉ［触）√¨了Ｏ）（６一ａ１］出，

当婷；，时荆＝ｆ：ｔ辱—彬ｅ一』：眺一ｆ：ｔ镪，则，∞＝ｊ：ｚ出＝争

显然目６）＝ｆ瑚＝０，且目ｘ）在［Ⅱ，６］上连续，在（ｏ，６）内可导，即目ｚ）满

当。心＜１时搀）＝ｆ：ｔＧ一力出＋ｆ砸一）ｄ一』：础一ｆ：ｔ弛＋一ｔ锄一足ＲｏＵｅ定理的条件，则至少存在一点｝Ｅ缸，６），使得Ｆ’④＝０，而Ｐ∽＝

以６）项回丁缸）（６—甸，即至少存在一点ｆｅ＠，６），使得以６）√∽矿固（６一Ⅱ）成

，ｆｊ，Ｊ，￡出，则厂ｏ）＝ｚ１＋ｊ。￡出—％４。２ｃ出，则厂。）：ｚ１＋ｒｔ出—。ｔ。ｚＪ。ｚ出＋ｚ；“２－｝．ｆｚ出＋ｚ；。Ｌ｝．

例７证明积分第一中值定理：若函数馋），幽）在［。，６］上连续，２．２求极限

且ｇ∽不变号，则存在ｆＥ（ｏ，６），使得Ｉｍｌ如）出可∞Ｊ

ｇ扛）如．

例２求ｌｉｍ上ｆ。。。。￡弛．Ｍ

Ｚ

Ｊ０

证构造函数心）＝Ｊ。ｍ腆）出‘Ｊ。酏）出一』。幽）也’Ｊ。以ｆ脚）出，

解ｌｉ。上ｆ则足ｚ）在［ｎ，６］上连续，在如，６）内可导，且以６）＝Ｆ（ｏ）＝Ｏ，由Ｒｏｌｌｅ定理

Ⅻｘ

２。吲‰：１ｉ。』！！！竺兰：ｌｉ。。。。２＝１．ＪＯ

ｄｚ

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２．３求极值

知，存在ｆＥ缸，６），使得Ｐ囤＝ｏ，而，∽＝Ｊ

ｍ辫）也－ｇＧ）一ｆ

ｇ仁）如．，

１，ｔ

例３求函数删＝ｊ。据～出的极值．

则，回２

ｔ解。因、为，０）础１，Ｇ）＝（１一ｈ翟１，令厂Ｇ）＝０，得Ⅳ＝Ｏ，又，（０）＝ｌ＞

Ｊ。ｍ）鼬）出‘艄一ｊ。荆如弧船④，

Ｏ，故％＝Ｏ为荆的极小组点，极小值为删＝Ｏ．

又因为稍不变号，所以ｇ裙≠ｏ，刚有Ｉ

ｍ）９０）叔可渤｝ｇ∞如．

２．４解微分方程

例４设旃）具有碡续导数，且满足：为－程如ｏ＋２ｊ一）出彰，求，，＝

例８若删是定义在（一＊，＋ｍ）上的周期为ｒ的连续函数，则对

万　

方数据

ｊ。俺）如２Ｊ。馋）出

３．３计算二重积分

证构造函数㈣：ｒ‰出一胁出，则Ｐ∞籼Ｄ荆：ｏ

由此得尬）＝ｃ．令ｚ＝ｏ得ｃ＝Ｊ。∞）ｄ￡令ｘ≈，得荆＝Ｊ。∞）出＝ｃ＝Ｊ。几）出．

例１０计算４ｅ’出匆，其中Ｄ由直线烨，产１，＊＝ｏ所围成

西

解设荆＝Ｊ。ｅ１方，则荆一Ｊ；ｅ…咖，Ｆ，∽一’，

ｌｅ彳如妒ｆ：出ｆ！ｅ彳妒一仁心）出：一雌）Ｉ：＋ｆ：尉地）

例９证明ｃａｕｃｈｙ—ｓｃｈｗａｒｚ积分不等式（』ｋ肌）也）２≤』二严如）

出ｆ６搀）也，其中刷与荆是［。，６］上的连续函数．

＝ｆ：ｘＰ㈨：』０。如

一争ｅ？ｌ：＝争（－一｝）

【参考文献】

［１］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［２］盛祥耀．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．

证构造函数唯）＝』二厂嘲出ｅ幽）疵一（ｆ≯）甙ｔ）出）２，则Ｐ∞亨舷）ｆ：珈）出确）』＾）出一批辨）』＿№）出＝』：嗽脚）珊№）］弛≥ｏ

所以毋）在［口，６］上单调递增．而Ｈ回＝Ｏ，故有只６）≥０，即有

作者简介：常敏慧（１９８１一），女，助教，山西原平人。从事高等数学教学工作。

（ｆｋ㈣出）ｚ≤肛懒ｆ：触

注特别取剃＝ｌ，则有（』二，柳出）２≤ｐ划ｆ乡强胁．

（上接第２０３页）理，在将来的研究中，需要考虑运动的纹理图像重光照。此外，把其推广到其他领域，如动态光照下的纹理图像，将是件有意义的工作。

【参考文献】

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［１４］求是科技Ｍａｔｌａｂ７．Ｏ从入门到精通人民邮电出版社２００６．０２．

作者简介：付曙光，计算机应用技术专业。主要研究领域为计算机图形图像技术，网络计算与信息安全。

宗常进，硕士研究生，主要研究领域为计算机图形图像技术，三雏纹理合成及表示。

［６］ＡｎｄｅｒｓＷａＩｌｇ，Ｋｒｉｓｔｅｎｓｅｎ，ＴｂｍａｓＡｋｅｎｉｎｅ—Ｍｅｌｌｅｒ，ｅｔｃ．ｒａｄｉ明ｃｅｔｒａｎｓｆｅｒｆｏｒｒｅａｌ—ｄ眦ｌｉ曲ｌｉｎｇｄｅｓｉｇｆｌ”．ＡｃＭ

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［责任编辑：汤静］

（上接第２０９页）

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从计算结果可以知道模糊综合评价集Ｂ中第二个指标值最大，故葫芦岛校区第一食堂的工作质量属于第二等级，即较好。

５．结语

０．３２４）

本文应用模糊数学的原理建立了模糊综合评判模型，并将其应用于实际的葫芦岛校区第一食堂工作质量评判中，获得了较为合理的结果。应用模糊数学进行评判，思路清楚，方法简单，计算方便，避免了在主观评判中很多的人为因素，为相关部门进行评估和决策提供了可靠

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２／２０

的依据。ｅ

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Ｏ．２８２４Ｏ．３５３８０１２１４８

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［责任编辑：杨清】

Ｒ＝ＩＯ．１５２３

、０．２５２８

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万方数据　

变上限定积分求导及其应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

常敏慧， Chang Min-hui

运城学院应用数学系,山西,运城,044000科技信息（科学·教研）

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2007，""(33)0次

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1.期刊论文 冯变英 变上限定积分的一种应用 -雁北师范学院学报2004,20(5)

阐述了变上限定积分的概念和求导法则,讨论了与变上限定积分有关的求导、求极限、求最值及变上限定积分在微分方程中的应用.

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