一次函数
【知识点归纳】： 一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 三、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成y=kx+b（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即y=kx）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。 4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y=kx有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k
一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位；
y =kx
71122（1）两直线平行→→ （2）两直线相交→→ （3）两直线重合→→
8、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y =kx （k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y =kx +b （k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 、 、 、 。 9、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值．
（A 层）夯实基础训练
一、选择题 1. 已知两个一次函数y=x＋3k 和y=2x－6的图像交点在y 轴上，则k 的值为()
A ．3 B．1 C．2 D．－2
b 11
2. 已知两个一次函数y1= - -4和y 2= - 的图象重合，则一次函数y =ax +b 的图象所经过
2a a 的象限为（ ）
（A ）第一、二、三象限 （C ）第一、三、四象限
（B ）第二、三、四象限 （D ）第一、二、四象限
3. 如图根据图像确定直线的解析式为( )
第4题图
第3题图
A ．y =x +2 B．y =x -2 C．y =-x -2 D．y =-x +2
3333
4. 如图，变量y 与x 之间的函数关系式为()
A ．y =-x +2(－3
33
3
C ．y =-x +2(－3≤x
3
二、填空题
l ．正比例函数y=kx的图像过点(一l ，3) ，则解析式为 _____.
2．一次函数y=kx＋b 的图像过点(1，5) 和(0，2) ，则函数的解析式为 ______. 3．若一次函数y=kx－(2k＋1) 图像与y 轴交于点A(0，3) ，则k= _______. 4．已知y 与x －2成正比例，且x=4时y=2，则y 与x 的函数关系式为 ______. 三、解答题
1. 根据下列条件写出相应的函数关系式． (1)直线y ＝kx ＋5经过点(-2,-1) ；
(2)一次函数中，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝-1时，y ＝7． 2. 写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2, 3) ．
3. 如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y （元）与行李重量x （千克）之间的函数关系．
4. 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 的图象经过点(3, 3) 和(1,-1) ．求它的函数关系式，并画出图象．
重点．如图直线ℓ：y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点B 的坐标是（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0） （1）求k 的值．
（2）若P （x ，y ）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为9，并说明理由．
（B 层）拓展知识训练
一、选择题
1. 已知函数y=mx－(m－m －4) ，y 随x 的增大而增大，它的图像过点(2，0) ，则m 的值为()
A ．－1 B．4 C．1或－4 D．－1或4
2．一次函数y=kx＋b ，y 随x 的增大而减小，kb>0，则它的图像大致是
( )
2
二、填空题
1. 已知一次函数y ＝kx ＋1，当x ＝2时，y ＝5，则k ＝
2. 已知，y=y1+y2，y 1与x 成正比例，y 2与成x 反比例，并且x=1时y=4，x=2时y=5；当x=4时
y=___________. 3. 一次函数的图像过点A （1，2）和点B （－2，1），则该函数的表达式为_________.
15
y =x +
33
4. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________三、解答题
1. 已知一次函数图象经过A （－2，－3），B （1，3）两点． （1）求这个一次函数解析式．
（2）试判断点P （－1，1）是否在这个一次函数的图象上？
重点如图4，直线y=x＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB
交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分．求直线l 的解析式．
（
）
重点. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，3），点B 在x 轴的负半轴上，△
ABO 的面积是3． （1）求点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式； （3）在线段OB 的垂直平分线m 上是否存在点M ，使△AOM 得周长最短？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A 作直线AN 与坐标轴交于点N ，且使AN=OA，求△ABN 的面积．
2．一艘轮船从甲港出发到乙港，一艘快艇沿着轮船的航线也到乙港，图中l 1，l 2分别表示两船行驶的路程和时间的关系（其中快艇的速度大于轮船的速度）．根据图象回答下列问题：
（1）轮船和快艇的速度分别是多少？
（2）求l 1和l 2所在直线的一次函数表达式； （3）快艇出发多少时间赶上轮船？
3．近海处有一可疑的船A 正向公海方向行驶，我边防局接到情报后迅速派出快艇B 追赶，如图所示l 1，l 2分别表示A 船和B 艇相对于海岸距离y （海里）与追赶时间x （分）之间的一次函数的关系，根据图象：
（1）分别求出l 1，l 2的函数关系式；
（2）当A 船逃到离海岸12海里的公海时，B 艇将无法对其进行检查，问B 艇能否在A 船逃入公海前将其拦截？（A ，B 速度匀速保持不变） 4．（2010•临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为y 1、y 2千米，y 1、y 2与x 的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）直接写出，y 1、y 2与x 的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？
6. （2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x 吨，应收水费为y 元．
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y 与x 间的函数关系式． （2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？
一次函数
【知识点归纳】： 一、函数：
一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 二、函数的三种表示法及其优缺点
（1）关系式（解析）法：两个变量间的函数关系，有时可以用一个含有这两个变量及数字运算符号的等式表示，这种表示法叫做关系式（解析）法。
（2）列表法：把自变量x 的一系列值和函数y 的对应值列成一个表来表示函数关系，这种表示法叫做列表法。 （3）图象法：用图象表示函数关系的方法叫做图象法。 三、由函数关系式画其图像的一般步骤
（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值
（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点
（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来。 四、正比例函数和一次函数
1、正比例函数和一次函数的概念
一般地，若两个变量x ，y 间的关系可以表示成y=kx+b（k ，b 为常数，k ≠0）的形式，则称y 是x 的一次函数（x 为自变量，y 为因变量）。
特别地，当一次函数y=kx+b中的b=0时（即y=kx）（k 为常数，k ≠0），称y 是x 的正比例函数。 2、一次函数的图像: 所有一次函数的图像都是一条直线
3、一次函数、正比例函数图像的主要特征：一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b ）的直线；正比例函数的图像是经过原点（0，0）的直线。 4、正比例函数的性质
一般地，正比例函数y=kx有下列性质：
（1）当k>0时，图像经过第一、三象限，y 随x 的增大而增大； （2）当k
一般地，一次函数y=kx+b有下列性质：
（1）当k>0时，y 随x 的增大而增大（2）当k0时，将直线y=kx的图象向上平移b 个单位；
y =kx
71122（1）两直线平行→→ （2）两直线相交→→ （3）两直线重合→→
8、正比例函数和一次函数解析式的确定
确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式y =kx （k ≠0）中的常数k 。确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y =kx +b （k ≠0）中的常数k 和b 。解这类问题的一般方法是待定系数法。
用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： 、 、 、 。 9、一次函数与一元一次方程的关系：
任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式． 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k 、b 为常数，k ≠0）．当函数值为0时，•即kx+b=0就与一元一次方程完全相同．
结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k 、b 为常数，k ≠0）的形式．所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x 轴交点的横坐标值．
（A 层）夯实基础训练
一、选择题 1. 已知两个一次函数y=x＋3k 和y=2x－6的图像交点在y 轴上，则k 的值为()
A ．3 B．1 C．2 D．－2
b 11
2. 已知两个一次函数y1= - -4和y 2= - 的图象重合，则一次函数y =ax +b 的图象所经过
2a a 的象限为（ ）
（A ）第一、二、三象限 （C ）第一、三、四象限
（B ）第二、三、四象限 （D ）第一、二、四象限
3. 如图根据图像确定直线的解析式为( )
第4题图
第3题图
A ．y =x +2 B．y =x -2 C．y =-x -2 D．y =-x +2
3333
4. 如图，变量y 与x 之间的函数关系式为()
A ．y =-x +2(－3
33
3
C ．y =-x +2(－3≤x
3
二、填空题
l ．正比例函数y=kx的图像过点(一l ，3) ，则解析式为 _____.
2．一次函数y=kx＋b 的图像过点(1，5) 和(0，2) ，则函数的解析式为 ______. 3．若一次函数y=kx－(2k＋1) 图像与y 轴交于点A(0，3) ，则k= _______. 4．已知y 与x －2成正比例，且x=4时y=2，则y 与x 的函数关系式为 ______. 三、解答题
1. 根据下列条件写出相应的函数关系式． (1)直线y ＝kx ＋5经过点(-2,-1) ；
(2)一次函数中，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝-1时，y ＝7． 2. 写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2, 3) ．
3. 如图是某长途汽车站旅客携带行李费用示意图．试说明收费方法，并写出行李费y （元）与行李重量x （千克）之间的函数关系．
4. 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 的图象经过点(3, 3) 和(1,-1) ．求它的函数关系式，并画出图象．
重点．如图直线ℓ：y=kx+6与x 轴、y 轴分别交于点B 、C ，点B 的坐标是（﹣8，0），点A 的坐标为（﹣6，0） （1）求k 的值．
（2）若P （x ，y ）是直线ℓ在第二象限内一个动点，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．
（3）当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为9，并说明理由．
（B 层）拓展知识训练
一、选择题
1. 已知函数y=mx－(m－m －4) ，y 随x 的增大而增大，它的图像过点(2，0) ，则m 的值为()
A ．－1 B．4 C．1或－4 D．－1或4
2．一次函数y=kx＋b ，y 随x 的增大而减小，kb>0，则它的图像大致是
( )
2
二、填空题
1. 已知一次函数y ＝kx ＋1，当x ＝2时，y ＝5，则k ＝
2. 已知，y=y1+y2，y 1与x 成正比例，y 2与成x 反比例，并且x=1时y=4，x=2时y=5；当x=4时
y=___________. 3. 一次函数的图像过点A （1，2）和点B （－2，1），则该函数的表达式为_________.
15
y =x +
33
4. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0.2升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为___________三、解答题
1. 已知一次函数图象经过A （－2，－3），B （1，3）两点． （1）求这个一次函数解析式．
（2）试判断点P （－1，1）是否在这个一次函数的图象上？
重点如图4，直线y=x＋3的图象与x 轴、y 轴交于A 、B 两点．直线l 经过原点，与线段AB
交于点C ，把△AOB 的面积分为2：1两部分．求直线l 的解析式．
（
）
重点. 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（2，3），点B 在x 轴的负半轴上，△
ABO 的面积是3． （1）求点B 的坐标；（2）求直线AB 的解析式； （3）在线段OB 的垂直平分线m 上是否存在点M ，使△AOM 得周长最短？若存在，直接写出点M 的坐标；若不存在，说明理由．
（4）过点A 作直线AN 与坐标轴交于点N ，且使AN=OA，求△ABN 的面积．
2．一艘轮船从甲港出发到乙港，一艘快艇沿着轮船的航线也到乙港，图中l 1，l 2分别表示两船行驶的路程和时间的关系（其中快艇的速度大于轮船的速度）．根据图象回答下列问题：
（1）轮船和快艇的速度分别是多少？
（2）求l 1和l 2所在直线的一次函数表达式； （3）快艇出发多少时间赶上轮船？
3．近海处有一可疑的船A 正向公海方向行驶，我边防局接到情报后迅速派出快艇B 追赶，如图所示l 1，l 2分别表示A 船和B 艇相对于海岸距离y （海里）与追赶时间x （分）之间的一次函数的关系，根据图象：
（1）分别求出l 1，l 2的函数关系式；
（2）当A 船逃到离海岸12海里的公海时，B 艇将无法对其进行检查，问B 艇能否在A 船逃入公海前将其拦截？（A ，B 速度匀速保持不变） 4．（2010•临沂）某中学九年级甲、乙两班商定举行一次远足活动，A 、B 两地相距10千米，甲班从A 地出发匀速步行到B 地，乙班从B 地出发匀速步行到A 地．两班同时出发，相向而行．设步行时间为x 小时，甲、乙两班离A 地的距离分别为y 1、y 2千米，y 1、y 2与x 的函数关系图象如图所示．根据图象解答下列问题：
（1）直接写出，y 1、y 2与x 的函数关系式；
（2）求甲、乙两班学生出发后，几小时相遇？相遇时乙班离A 地多少千米？ （3）甲、乙两班首次相距4千米时所用时间是多少小时？
6. （2012•广州）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费．如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分按每吨2.8元收费．设某户每月用水量为x 吨，应收水费为y 元．
（1）分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨，y 与x 间的函数关系式． （2）若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？