高中数学必修5
第二章 等比数列知识点
学习目标：
1、掌握等比数列的概念；
2、会用等比数列的定义解题；
3、掌握等比数列的通项公式、求和公式、性质、等比中项。
学习重难点：
重点：通项公式和求和公式的灵活运用；
难点：等差数列的性质的灵活运用。
知识梳理：
1、等比数列的定义：
2、通项公式： a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=a 1n q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)，首项：a 1；公比：q
q
推广：a n =a m q n -m ⇔q n -m =
3、等比中项： a n ⇔q =n a m 2（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1
（2）当q ≠1时，S n =a 1(1-q n )
1-q =a 1-a n q 1-q
=
5、等比数列的判定方法： a 1a -1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) ⇔{a n }为等比数列
（3）通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n n （5）前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
7、注意： ()a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：a n =a 1q n -1； 如奇数个数成等差，可设为…，
8、等比数列的性质：
（1）当q ≠1时 n -1a a 2，…（公比为q ，中间项用a 表示）。 , , a , aq , aq 2q q ①等比数列通项公式a n =a 1q =a 1n q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ； q
②前n 项和S n =a 1(1-q n )
1-q a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系数和常数项是互为相反数的1-q 1-q 1-q
类指数函数，底数为公比q 。
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m ，特别的，当m =1时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
（4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{
列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列
（7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
（8）若{a n }为等比数列，则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ，a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ，a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 a k ，{k ⋅a n }，{a n k }，{k ⋅a n ⋅b n }，{n （k 为非零常数）均为等比数b n a n
a 1>0，则{a n }为递增数列
（9）①当q >1时，a 1
a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0
③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当q
（10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N ) 时，*S 奇1= S 偶q
（11）若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n +m =S n +q n ⋅S m
高中数学必修5
第二章 等比数列知识点
学习目标：
1、掌握等比数列的概念；
2、会用等比数列的定义解题；
3、掌握等比数列的通项公式、求和公式、性质、等比中项。
学习重难点：
重点：通项公式和求和公式的灵活运用；
难点：等差数列的性质的灵活运用。
知识梳理：
1、等比数列的定义：
2、通项公式： a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)，q 称为公比 a n -1
a n =a 1q n -1=a 1n q =A ⋅B n (a 1⋅q ≠0, A ⋅B ≠0)，首项：a 1；公比：q
q
推广：a n =a m q n -m ⇔q n -m =
3、等比中项： a n ⇔q =n a m 2（1）如果a , A , b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：A =
ab 或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）
（2）数列{a n }是等比数列⇔a n 2=a n -1⋅a n +1
4、等比数列的前n 项和S n 公式：
（1）当q =1时，S n =na 1
（2）当q ≠1时，S n =a 1(1-q n )
1-q =a 1-a n q 1-q
=
5、等比数列的判定方法： a 1a -1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' （A , B , A ', B ' 为常数） 1-q 1-q
（1）用定义：对任意的n ，都有a n +1=qa n 或a n +1=q (q 为常数，a n ≠0) ⇔{a n }为等比数列 a n
（2）等比中项：a n 2=a n +1a n -1(a n +1a n -1≠0) ⇔{a n }为等比数列
（3）通项公式：a n =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)⇔{a n }为等比数列
n n （5）前n 项和公式：S n =A -A ⋅B 或S n =A ' B -A ' A , B , A ', B ' 为常数⇔{a n }为等比数列
6、等比数列的证明方法： 依据定义：若
7、注意： ()a n =q (q ≠0)(n ≥2, 且n ∈N *)或a n +1=qa n ⇔{a n }为等比数列 a n -1
（1）等比数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：a 1、q 、n 、a n 及S n ，其中a 1、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2；
（2）为减少运算量，要注意设项的技巧，一般可设为通项：a n =a 1q n -1； 如奇数个数成等差，可设为…，
8、等比数列的性质：
（1）当q ≠1时 n -1a a 2，…（公比为q ，中间项用a 表示）。 , , a , aq , aq 2q q ①等比数列通项公式a n =a 1q =a 1n q =A ⋅B n (A ⋅B ≠0)是关于n 的带有系数的类指数函数，底数为公比q ； q
②前n 项和S n =a 1(1-q n )
1-q a 1-a 1q n a 1a =-1q n =A -A ⋅B n =A ' B n -A ' ，系数和常数项是互为相反数的1-q 1-q 1-q
类指数函数，底数为公比q 。
（2）对任何m , n ∈N *，在等比数列{a n }中，有a n =a m q n -m ，特别的，当m =1时，便得到等比数列的通项公式。因此，此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。
（3）若m +n =s +t (m , n , s , t ∈N *) ，则a n ⋅a m =a s ⋅a t 。特别的，当m +n =2k 时，得a n ⋅a m =a k 2
注：a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3a n -2⋅⋅⋅
（4）数列{a n }，{b n }为等比数列，则数列{
列。
（5）数列{a n }为等比数列，每隔k (k ∈N *) 项取出一项(a m , a m +k , a m +2k , a m +3k , ⋅⋅⋅) 仍为等比数列
（6）如果{a n }是各项均为正数的等比数列，则数列{loga a n }是等差数列
（7）若{a n }为等比数列，则数列S n ，S 2n -S n ，S 3n -S 2n , ⋅⋅⋅，成等比数列
（8）若{a n }为等比数列，则数列a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅⋅a n ，a n +1⋅a n +2⋅⋅⋅⋅⋅a 2n ，a 2n +1⋅a 2n +2⋅⋅⋅⋅⋅⋅a 3n 成等比数列 a k ，{k ⋅a n }，{a n k }，{k ⋅a n ⋅b n }，{n （k 为非零常数）均为等比数b n a n
a 1>0，则{a n }为递增数列
（9）①当q >1时，a 1
a 1>0，则{a n }为递减数列{②当0
③当q =1时，该数列为常数列（此时数列也为等差数列）；
④当q
（10）在等比数列{a n }中，当项数为2n (n ∈N ) 时，*S 奇1= S 偶q
（11）若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n +m =S n +q n ⋅S m