相似三角形存在性问题

相似三角形存在性问题

1.如图，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：①点P的坐标；②△PAC的周长和面积； （3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)． ∵y＝a(x －4)2－3＝ax 2－8ax＋16a－ ∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－

3

(x －4)2－3． 9

． a

33)＝36，∴a＝． a9

∴二次函数的解析式为y＝

（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求． 令y＝0，得

(x －4)2－＝0，解得x1＝1，x2＝7． 9

∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝1．

设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD＝3，A′D＝5，DC＝．

OPOPAO1

∵△A′OP∽△ADC，∴，即． ＝＝，∴OP＝

5AD5DC∴P(0，－

)． 5

②∵A′C＝AD2DC2＝52(3)2＝27 AC＝AD2DC2＝32(3)2＝2

∴△PAC的周长＝PA＋PC＋AC＝A′C＋AC＝27＋2．

3411

S△PAC＝S△A′AC － S△A′AP＝A′A(DC－OP)＝×2×(3－)＝．

5522

（3）存在． ∵tan∠BAC＝

DC＝，∴∠BAC＝30°．

3AD

同理，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，AC＝BC．

①若以AB为腰，∠BAQ1为顶角，使△ABQ1∽△CBA，则AQ1＝AB＝6，∠BAQ1＝120°． 如图2，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则 Q1H＝AQ1·sin60°＝6×

31

＝3，HA＝AQ1·cos60°＝6×＝3． 22

HO＝HA－OA＝3－1＝2． ∴点Q1的坐标为(－2，3)． 把x＝－2代入y＝

3(x －4)2－3，得y＝(－2－4)2－3＝3． 99

∴点Q1在抛物线上．

②若以BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，3)． 同样，点Q2也在抛物线上．

③若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去．

综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(－2，)和Q2(10，3)，使得以Q、A、B三点为顶点的三

角形与△ABC相似．

2.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC． （1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9a3bc0

解：（1）由题意得c3

16a4bc4a2bc

解得a＝－

23，b＝－，c＝． 33

·······

（2）由（1）知y＝－解得x1＝－3，x2＝1． ∵A(－3，0)，∴B(1，0)．

又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2． ∴tan∠ACO＝

OA

＝3，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°． OC

2222x －x＋，令y＝0，得－x －x＋＝0． 3333

同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°． ∴△ABC是直角三角形．

又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形． ∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．

∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴

PNAB

． ＝

NCBC

t4

＝． 22t

由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴

4

∴t＝． ····················································· 4分

3

41

∴OM＝BM－OB＝－1＝．

33

234

如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．

233

412

MH＝PM·cos60°＝×＝．

323

12

∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．

33

∴点P的坐标为(－1，（3）存在．

2······················································ 6分 )． ·

3

由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形． ∵二次函数y＝－

322x －x＋3的图象的对称轴为x＝－1． 33

∴点P在对称轴上． ∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴． 又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN． ∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．

①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，

且QN＞PN，∠MNQ＝30°．

4

8PN3∴∠PNQ＝30°，∴QN＝．

＝＝9cos30o2

823QN

∴． ＝9＝

43BN

3

∵

QNACAC

． ＝tan60°＝，∴≠

BCBNBC

∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似． ··········· 7分 ②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°． ∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°． ∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．

∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°． ∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°． ∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．

∴△BNQ∽△ABC． ·············································· 8分

∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC． 设对称轴与x轴的交点为D．

∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP． ∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称． ∴点Q的坐标为(－1，－

2··········································································· 9分 )． ·

3

2)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．3

综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－

····························································································································· 10分

3.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)． （1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2 ······································ 1分 ∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6 令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1

∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得

k＋b ＝ 0k ＝ －2

解得 

－2k＋b ＝ 6b ＝ 2

∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2 ·········································· 3分 （2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，

则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6) ·································· 4分 ∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)

＝－2m 2－2m＋4

19

＝－2(m＋)2＋

22

19

∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为 ······························· 6分

22

②存在

M1(0，6) ············································································································ 7分

155

M2(－) ····································································································· 9分

48

点M的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考） ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△

ANP

∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6 得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0 ∴M1(0，6)

（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴 重合，点N与原点O重合）

ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1) 过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D 则△CMP∽△NAP

又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD ∴

CHMH

＝

ODOA

∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m 在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2 ∴D(0，2)，∴OD＝2

2m24mm2∴ ＝

12

1

整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－

411155

当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝

4448

155

∴M2(－)

48

4.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴

OAOC

． ＝

OCOB

∴OC 2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．

∴OA 2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4． ··················· 2分 ∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．

∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)． ························ 3分

1

将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．

2

1

∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)．···· 4分

213

即y＝－x 2＋x＋2．

22

14842

（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(4······················· 7分 5)． ·

25555

关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：

设直线BC的解析式为y＝kx＋b．

1

4kb0k则 解得2

b2b2

1

∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．

21

∵点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．

2

1

若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．

2

∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．

∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－

1

∴E1(3，)．

2

11×3＋2＝． 22

若DE＝DB，则(x－2)2＋(－

1

x＋2)2＝22． 2

整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝

14848

∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．

255551

若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．

2

4． 5

整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4

44

（此时点P在第四象限，舍去），x2＝4．

55

14242

∴y＝－×(4)＋2＝5，∴E3(4)．

25555

②△CDP有最大面积． ··································································· 8分 过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．

设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，

n2q2p得 解得m

mpqnq2



∴直线PC的解析式为y＝

n22n4

x＋2，∴M(2＋2)．

mm

S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝

1

xP·yM 2

12n4

＋2) ＝m(

2m

＝m＋n－2

13

＝m＋(－m2＋m＋2)－2

2215

＝－m2＋m

221525＝－(m－)2＋

228

525

∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为． ··················· 9分

28153521

此时n＝－×()2＋×＋2＝

22228

521

∴此时点P的坐标为(，)． ················································· 10分

28

5.如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称轴交x轴于点E，点

B的坐标为(－1，0)．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）对称轴为直线x＝－4············································· 2分 ＝－2，即x＝－2； ·2

令y＝0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．

∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)． ········································· 4分

（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)． ································ 7分

（3）存在． ··········································································································· 8分

当x＝0时，y＝x 2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．

AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．

∵DE∥CO，

∴△AED∽△AOC．∴AEDE1DE，即＝． ＝AOCO33

∴DE＝1． ·············································································································· 9分

∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．

S梯形DEOC＝1(1＋3)×2＝4． 2

设直线CM交x轴于点F，如图．

若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2

即114CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝． 223

4∴点F的坐标为(－，0)． ··················································· 10分 3

∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．

44把F(－，0)代入，得－k＋3＝0． ································································· 11分 33

9∴k＝． 4

∴直线CM的解析式为y＝9x＋3． ······································································ 12分 4

6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于

明理由

. 3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说4

6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=

B(o

∵A(0,4),设AB的解析式为ykx4,

所以42,

解得k, 3

以直线AB

的解析式为yx4 3

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,

∴ΔAPD是等边三角形，

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°

∴GD=1BD=2

+

,

∴

337,OH=OE+HE=OE+BG=2 222∴

D(7,) 221

x)若ΔOPD

的面积为：x(2x)2224(3)设OP=x,则由（2）可得

D(x,2

解得：x所以

7.已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存

在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵对称轴x＝－3a3··································································· 1分 ＝－ ·22a

又∵OC＝3OB＝3，a＞0

∴C(0，－3) ·················································································· 2分

方法一：把B(1，0)、C(0，－3)代入y＝ax 2＋3ax＋c得：

3a＝a＋3a＋c＝04  解得c＝－3c＝－3

∴抛物线的解析式为y＝x 2＋439x－3 ································································· 4分

4

方法二：令ax 2＋3ax＋c＝0，则xA＋xB＝－3

∵B(1，0)，∴xA＋1＝－3，∴xA＝－4

∴A(－4，0)

∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，把C(0，－3)代入

得－3＝a(0＋4)(0－1)，∴a＝ 4

3

43∴抛物线的解析式为y＝(x＋4)(x－1)

39即y＝x 2＋x－3 ······································································· 4分 44

（2）方法一：如图1，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，交线段AC于点M

∵S四边形ABCD ＝S△ABC ＋S△ACD ＝

＝11(4＋1)×3＋DM·4 2211AB·OC＋DM·(AN＋ON) 22

＝15＋2DM ··················································································· 5分

2

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4，0)、C(0，－3)代入

－4k＋b＝0

得 解得b＝－3k＝－34 b＝－3

3

4∴直线AC的解析式为y＝－x－3 ··············································· 6分

339设D(xx 2＋x－3)，则M(x，－x－3) 444

∴DM＝－x－3－(x 2＋443339x－3)＝－(x＋2)2＋3 ········································· 7分 44

当x＝－2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：1527＋2×3＝ ····························· 8分 22

方法二：如图2，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1

3399设D(xx 2＋x－3)，则DQ＝－x，OQ＝－x 2－x＋3 4444

从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值

则S四边形ABCD ＝S△BOC ＋S梯形AOQD －S△CDQ ＝

＝111OB·OC＋(AO＋DQ)·OQ－DQ·CQ 222111×1×3＋(4＋DQ)·OQ－DQ·(OQ－3) 222

＝33＋2OQ＋DQ ···················································· 5分 22

3393－2(x 2＋x－3)－x 2424＝

315＝－x 2－6x＋ 22

327················································ 7分 ＝－(x＋2)2＋ ·22

当x＝－2时，四边形ABCD面积有最大值272

························································································ 8分

（3）如图3

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，则四边形ACP1E1为平行四边形 ······························································································································· 9分

∵C(0，－3)，令x 2＋439x－3＝－3 4

解得x1＝0，x2＝3，∴CP1＝3

∴P1(－3，－3) ·································································································· 11分

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形 ····························································································································· 12分

∵C(0，－3)，∴设P(x，3) 由3

4x 2＋－ 3 － 3 －419x－3＝3，解得x＝或x＝ 224

∴P2(－ 3 41

2，3)，P3(－ 3 －41

2，3) ······························································ 14分

综上所述，存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，点P的坐标分别为：

P1(－3，－3)，P2(－ 3 41

2，3)，P3(－ 3 －41

2，3)

相似三角形存在性问题

1.如图，二次函数图象的顶点坐标为C(4，－)，且在x轴上截得的线段AB的长为6． （1）求二次函数的解析式；

（2）点P在y轴上，且使得△PAC的周长最小，求：①点P的坐标；②△PAC的周长和面积； （3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点Q，使得以Q、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似？

如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

解：（1）设二次函数的解析式为y＝a(x －4)2－(a≠0)，且A(x1，0)，B(x2，0)． ∵y＝a(x －4)2－3＝ax 2－8ax＋16a－ ∴x1＋x2＝8，x1x2＝16－∴AB 2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝82－4(16－

3

(x －4)2－3． 9

． a

33)＝36，∴a＝． a9

∴二次函数的解析式为y＝

（2）①如图1，作点A关于y轴的对称点A′，连结A′C交y轴于点P，连结PA，则点P为所求． 令y＝0，得

(x －4)2－＝0，解得x1＝1，x2＝7． 9

∴A(1，0)，B(7，0)．∴OA＝1，∴OA′＝1．

设抛物线的对称轴与x轴交于点D，则AD＝3，A′D＝5，DC＝．

OPOPAO1

∵△A′OP∽△ADC，∴，即． ＝＝，∴OP＝

5AD5DC∴P(0，－

)． 5

②∵A′C＝AD2DC2＝52(3)2＝27 AC＝AD2DC2＝32(3)2＝2

∴△PAC的周长＝PA＋PC＋AC＝A′C＋AC＝27＋2．

3411

S△PAC＝S△A′AC － S△A′AP＝A′A(DC－OP)＝×2×(3－)＝．

5522

（3）存在． ∵tan∠BAC＝

DC＝，∴∠BAC＝30°．

3AD

同理，∠ABC＝30°，∴∠ACB＝120°，AC＝BC．

①若以AB为腰，∠BAQ1为顶角，使△ABQ1∽△CBA，则AQ1＝AB＝6，∠BAQ1＝120°． 如图2，过点Q1作Q1H⊥x轴于H，则 Q1H＝AQ1·sin60°＝6×

31

＝3，HA＝AQ1·cos60°＝6×＝3． 22

HO＝HA－OA＝3－1＝2． ∴点Q1的坐标为(－2，3)． 把x＝－2代入y＝

3(x －4)2－3，得y＝(－2－4)2－3＝3． 99

∴点Q1在抛物线上．

②若以BA为腰，∠ABQ2为顶角，使△ABQ2∽△ACB，由对称性可求得点Q1的坐标为(10，3)． 同样，点Q2也在抛物线上．

③若以AB为底，AQ，BQ为腰，点Q在抛物线的对称轴上，不合题意，舍去．

综上所述，在x轴上方的抛物线上存在点Q1(－2，)和Q2(10，3)，使得以Q、A、B三点为顶点的三

角形与△ABC相似．

2.如图，抛物线y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(－3，0)、B两点，与y轴相交于点C(0，)．当x＝－4和x＝2时，二次函数y＝ax 2＋bx＋c(a≠0)的函数值y相等，连结AC、BC． （1）求实数a，b，c的值；

（2）若点M、N同时从B点出发，均以每秒1个单位长度的速度分别沿BA、BC边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．当运动时间为t秒时，连结MN，将△BMN沿MN翻折，B点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

9a3bc0

解：（1）由题意得c3

16a4bc4a2bc

解得a＝－

23，b＝－，c＝． 33

·······

（2）由（1）知y＝－解得x1＝－3，x2＝1． ∵A(－3，0)，∴B(1，0)．

又∵C(0，)，∴OA＝3，OB＝1，OC＝，∴AB＝4，BC＝2． ∴tan∠ACO＝

OA

＝3，∴∠ACO＝60°，∴∠CAO＝30°． OC

2222x －x＋，令y＝0，得－x －x＋＝0． 3333

同理，可求得∠CBO＝60°，∠BCO＝30°，∴∠ACB＝90°． ∴△ABC是直角三角形．

又∵BM＝BN＝t，∴△BMN是等边三角形． ∴∠BNM＝60°，∴∠PNM＝60°，∴∠PNC＝60°．

∴Rt△PNC∽Rt△ABC，∴

PNAB

． ＝

NCBC

t4

＝． 22t

由题意知PN＝BN＝t，NC＝BC－BN＝2－t，∴

4

∴t＝． ····················································· 4分

3

41

∴OM＝BM－OB＝－1＝．

33

234

如图1，过点P作PH⊥x轴于H，则PH＝PM·sin60°＝×＝．

233

412

MH＝PM·cos60°＝×＝．

323

12

∴OH＝OM＋MH＝＋＝1．

33

∴点P的坐标为(－1，（3）存在．

2······················································ 6分 )． ·

3

由（2）知△ABC是直角三角形，若△BNQ与△ABC相似，则△BNQ也是直角三角形． ∵二次函数y＝－

322x －x＋3的图象的对称轴为x＝－1． 33

∴点P在对称轴上． ∵PN∥x轴，∴PN⊥对称轴． 又∵QN≥PN，PN＝BN，∴QN≥BN． ∴△BNQ不存在以点Q为直角顶点的情形．

①如图2，过点N作QN⊥对称轴于Q，连结BQ，则△BNQ是以点N为直角顶点的直角三角形，

且QN＞PN，∠MNQ＝30°．

4

8PN3∴∠PNQ＝30°，∴QN＝．

＝＝9cos30o2

823QN

∴． ＝9＝

43BN

3

∵

QNACAC

． ＝tan60°＝，∴≠

BCBNBC

∴当△BNQ以点N为直角顶点时，△BNQ与△ABC不相似． ··········· 7分 ②如图3，延长NM交对称轴于点Q，连结BQ，则∠BMQ＝120°． ∵∠AMP＝60°，∠AMQ＝∠BMN＝60°，∴∠PMQ＝120°． ∴∠BMQ＝∠PMQ，又∵PM＝BM，QM＝QM．

∴△BMQ≌△PMQ，∴∠BQM＝∠PQM＝30°． ∵∠BNM＝60°，∴∠QBN＝90°． ∵∠CAO＝30°，∠ACB＝90°．

∴△BNQ∽△ABC． ·············································· 8分

∴当△BNQ以点B为直角顶点时，△BNQ∽△ABC． 设对称轴与x轴的交点为D．

∵∠DMQ＝∠DMP＝60°，DM＝DM，∴Rt△DMQ≌Rt△DMP． ∴DQ＝PD，∴点Q与点P关于x轴对称． ∴点Q的坐标为(－1，－

2··········································································· 9分 )． ·

3

2)，使得以B，N，Q为顶点的三角形与△ABC相似．3

综合①②得，在抛物线的对称轴上存在点Q(－1，－

····························································································································· 10分

3.如图，抛物线y＝a(x＋3)(x－1)与x轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为(－2，6)． （1）求a的值及直线AC的函数关系式；

（2）P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N．

①求线段PM长度的最大值；

②在抛物线上是否存在这样的点M，使得△CMP与△APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由．

解：（1）由题意得6＝a(－2＋3)(－2－1)，∴a＝－2 ······································ 1分 ∴抛物线的解析式为y＝－2(x＋3)(x－1)，即y＝－2x 2－4x＋6 令－2(x＋3)(x－1)＝0，得x1＝－3，x2＝1

∵点A在点B右侧，∴A(1，0)，B(－3，0)

设直线AC的函数关系式为y＝kx＋b，把A(1，0)、C(－2，6)代入，得

k＋b ＝ 0k ＝ －2

解得 

－2k＋b ＝ 6b ＝ 2

∴直线AC的函数关系式为y＝－2x＋2 ·········································· 3分 （2）①设P点的横坐标为m(－2≤ m ≤1)，

则P(m，－2m＋2)，M(m，－2m 2－4m＋6) ·································· 4分 ∴PM＝－2m 2－4m＋6－(－2m＋2)

＝－2m 2－2m＋4

19

＝－2(m＋)2＋

22

19

∴当m＝－时，线段PM长度的最大值为 ······························· 6分

22

②存在

M1(0，6) ············································································································ 7分

155

M2(－) ····································································································· 9分

48

点M的坐标的求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考） ⅰ)如图1，当M为直角顶点时，连结CM，则CM⊥PM，△CMP∽△

ANP

∵点C(－2，6)，∴点M的纵坐标为6，代入y＝－2x 2－4x＋6 得－2x 2－4x＋6＝6，∴x＝－2（舍去）或x＝0 ∴M1(0，6)

（此时点M在y轴上，即抛物线与y轴的交点，此时直线MN与y轴 重合，点N与原点O重合）

ⅱ)如图2，当C为直角顶点时，设M(m，－2m 2－4m＋6)(－2≤ m ≤1) 过C作CH⊥MN于H，连结CM，设直线AC与y轴相交于点D 则△CMP∽△NAP

又∵△HMC∽△CMP，△NAP∽△OAD，∴△HMC∽△OAD ∴

CHMH

＝

ODOA

∵C(－2，6)，∴CH＝m＋2，MH＝－2m 2－4m＋6－6＝－2m 2－4m 在y＝－2x＋2中，令x＝0，得y＝2 ∴D(0，2)，∴OD＝2

2m24mm2∴ ＝

12

1

整理得4m 2＋9m＋2＝0，解得m＝－2（舍去）或m＝－

411155

当m＝－时，－2m 2－4m＋6＝(－)2－4×(－)＋6＝

4448

155

∴M2(－)

48

4.已知：Rt△ABC的斜边长为5，斜边上的高为2，将这个直角三角形放置在平面直角坐标系中，使其斜边AB与x轴重合（其中OA＜OB），直角顶点C落在y轴正半轴上（如图1）． （1）求线段OA、OB的长和经过点A、B、C的抛物线的关系式．

（2）如图2，点D的坐标为（2，0），点P（m，n）是该抛物线上的一个动点（其中m＞0，n＞0），连接DP交BC于点E．

①当△BDE是等腰三角形时，直接写出此时点E的坐标． ．．．．

②又连接CD、CP（如图3），△CDP是否有最大面积？若有，求出△CDP的最大面积和此时点P的坐标；若没有，请说明理由．

解：（1）由题意知Rt△△AOC∽Rt△COB，∴

OAOC

． ＝

OCOB

∴OC 2＝OA·OB＝OA(AB－OA)，即22＝OA(5－OA)．

∴OA 2－5OA＋4＝0，∵OA＜OB，∴OA＝1，OB＝4． ··················· 2分 ∴A(－1，0)，B(4，0)，C(0，2)．

∴可设所求抛物线的关系式为y＝a(x＋1)(x－4)． ························ 3分

1

将点C(0，2)代入，得2＝a(0＋1)(0－4)，∴a＝－．

2

1

∴经过点A、B、C的抛物线的关系式为y＝－(x＋1)(x－4)．···· 4分

213

即y＝－x 2＋x＋2．

22

14842

（2）①E1(3，)，E2(，)，E3(4······················· 7分 5)． ·

25555

关于点E的坐标求解过程如下（原题不作要求，本人添加，仅供参考）：

设直线BC的解析式为y＝kx＋b．

1

4kb0k则 解得2

b2b2

1

∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．

21

∵点E在直线BC上，∴E(x，－x＋2)．

2

1

若ED＝EB，过点E作EH⊥x轴于H，如图2，则DH＝DB＝1．

2

∴OH＝OD＋DH＝2＋1＝3．

∴点E的横坐标为3，代入直线BC的解析式，得y＝－

1

∴E1(3，)．

2

11×3＋2＝． 22

若DE＝DB，则(x－2)2＋(－

1

x＋2)2＝22． 2

整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4（舍去），x2＝

14848

∴y＝－×＋2＝，∴E2(，)．

255551

若BE＝BD，则(x－4)2＋(－x＋2)2＝22．

2

4． 5

整理得5x 2－24x＋16＝0，解得x1＝4

44

（此时点P在第四象限，舍去），x2＝4．

55

14242

∴y＝－×(4)＋2＝5，∴E3(4)．

25555

②△CDP有最大面积． ··································································· 8分 过点D作x轴的垂线，交PC于点M，如图3．

设直线PC的解析式为y＝px＋q，将C(0，2)，P(m，n)代入，

n2q2p得 解得m

mpqnq2



∴直线PC的解析式为y＝

n22n4

x＋2，∴M(2＋2)．

mm

S△CDP＝S△CDM＋S△PDM＝

1

xP·yM 2

12n4

＋2) ＝m(

2m

＝m＋n－2

13

＝m＋(－m2＋m＋2)－2

2215

＝－m2＋m

221525＝－(m－)2＋

228

525

∴当m＝时，△CDP有最大面积，最大面积为． ··················· 9分

28153521

此时n＝－×()2＋×＋2＝

22228

521

∴此时点P的坐标为(，)． ················································· 10分

28

5.如图，已知抛物线y＝x 2＋4x＋3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，•抛物线的对称轴交x轴于点E，点

B的坐标为(－1，0)．

（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；

（2）在平面直角坐标系xOy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连结CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．

解：（1）对称轴为直线x＝－4············································· 2分 ＝－2，即x＝－2； ·2

令y＝0，得x 2＋4x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝－3．

∵点B的坐标为(－1，0)，∴点A的坐标为(－3，0)． ········································· 4分

（2）存在，点P的坐标为(－2，3)，(2，3)和(－4，－3)． ································ 7分

（3）存在． ··········································································································· 8分

当x＝0时，y＝x 2＋4x＋3＝3，∴点C的坐标为(0，3)．

AO＝3，EO＝2，AE＝1，CO＝3．

∵DE∥CO，

∴△AED∽△AOC．∴AEDE1DE，即＝． ＝AOCO33

∴DE＝1． ·············································································································· 9分

∵DE∥CO，且DE≠CO，∴四边形DEOC为梯形．

S梯形DEOC＝1(1＋3)×2＝4． 2

设直线CM交x轴于点F，如图．

若直线CM把梯形DEOC分成面积相等的两部分，则S△COF＝2

即114CO·FO＝2．∴×3FO＝2，∴FO＝． 223

4∴点F的坐标为(－，0)． ··················································· 10分 3

∵直线CM经过点C(0，3)，∴设直线CM的解析式为y＝kx＋3．

44把F(－，0)代入，得－k＋3＝0． ································································· 11分 33

9∴k＝． 4

∴直线CM的解析式为y＝9x＋3． ······································································ 12分 4

6. （2011浙江金华）如图1，在平面直角坐标系中，己知ΔAOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把ΔAOP绕着点A按逆时针方向旋转.使边AO与AB重合.得到ΔABD.（1）求直线AB的解析式；（2）当点P运动到点（，0）时，求此时DP的长及点D的坐标；

（3）是否存在点P，使ΔOPD的面积等于

明理由

. 3，若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说4

6. 解：（1）作BE⊥OA，∴ΔAOB是等边三角形∴BE=OB·sin60=

B(o

∵A(0,4),设AB的解析式为ykx4,

所以42,

解得k, 3

以直线AB

的解析式为yx4 3

（2）由旋转知，AP=AD, ∠PAD=60o,

∴ΔAPD是等边三角形，

如图，作BE⊥AO,DH⊥OA,GB⊥DH,显然ΔGBD中∠GBD=30°

∴GD=1BD=2

+

,

∴

337,OH=OE+HE=OE+BG=2 222∴

D(7,) 221

x)若ΔOPD

的面积为：x(2x)2224(3)设OP=x,则由（2）可得

D(x,2

解得：x所以

7.已知，如图，抛物线y＝ax 2＋3ax＋c（a＞0）与y轴交于C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧，点B的坐标为（1，0），OC＝3OB．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值；

（3）若点E在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形？若存

在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵对称轴x＝－3a3··································································· 1分 ＝－ ·22a

又∵OC＝3OB＝3，a＞0

∴C(0，－3) ·················································································· 2分

方法一：把B(1，0)、C(0，－3)代入y＝ax 2＋3ax＋c得：

3a＝a＋3a＋c＝04  解得c＝－3c＝－3

∴抛物线的解析式为y＝x 2＋439x－3 ································································· 4分

4

方法二：令ax 2＋3ax＋c＝0，则xA＋xB＝－3

∵B(1，0)，∴xA＋1＝－3，∴xA＝－4

∴A(－4，0)

∴可设抛物线的解析式为y＝a(x＋4)(x－1)，把C(0，－3)代入

得－3＝a(0＋4)(0－1)，∴a＝ 4

3

43∴抛物线的解析式为y＝(x＋4)(x－1)

39即y＝x 2＋x－3 ······································································· 4分 44

（2）方法一：如图1，过点D作DN⊥x轴，垂足为N，交线段AC于点M

∵S四边形ABCD ＝S△ABC ＋S△ACD ＝

＝11(4＋1)×3＋DM·4 2211AB·OC＋DM·(AN＋ON) 22

＝15＋2DM ··················································································· 5分

2

设直线AC的解析式为y＝kx＋b，把A(－4，0)、C(0，－3)代入

－4k＋b＝0

得 解得b＝－3k＝－34 b＝－3

3

4∴直线AC的解析式为y＝－x－3 ··············································· 6分

339设D(xx 2＋x－3)，则M(x，－x－3) 444

∴DM＝－x－3－(x 2＋443339x－3)＝－(x＋2)2＋3 ········································· 7分 44

当x＝－2时，DM有最大值3

此时四边形ABCD面积有最大值，最大值为：1527＋2×3＝ ····························· 8分 22

方法二：如图2，过点D作DQ⊥y轴于Q，过点C作CC1∥x轴交抛物线于C1

3399设D(xx 2＋x－3)，则DQ＝－x，OQ＝－x 2－x＋3 4444

从图象可判断当点D在CC1下方的抛物线上运动时，四边形ABCD面积才有最大值

则S四边形ABCD ＝S△BOC ＋S梯形AOQD －S△CDQ ＝

＝111OB·OC＋(AO＋DQ)·OQ－DQ·CQ 222111×1×3＋(4＋DQ)·OQ－DQ·(OQ－3) 222

＝33＋2OQ＋DQ ···················································· 5分 22

3393－2(x 2＋x－3)－x 2424＝

315＝－x 2－6x＋ 22

327················································ 7分 ＝－(x＋2)2＋ ·22

当x＝－2时，四边形ABCD面积有最大值272

························································································ 8分

（3）如图3

①过点C作CP1∥x轴交抛物线于点P1，过点P1作P1E1∥AC交x轴于点E1，则四边形ACP1E1为平行四边形 ······························································································································· 9分

∵C(0，－3)，令x 2＋439x－3＝－3 4

解得x1＝0，x2＝3，∴CP1＝3

∴P1(－3，－3) ·································································································· 11分

②平移直线AC交x轴于点E，交x轴上方的抛物线于点P，当AC＝PE时，四边形ACEP为平行四边形 ····························································································································· 12分

∵C(0，－3)，∴设P(x，3) 由3

4x 2＋－ 3 － 3 －419x－3＝3，解得x＝或x＝ 224

∴P2(－ 3 41

2，3)，P3(－ 3 －41

2，3) ······························································ 14分

综上所述，存在以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边形，点P的坐标分别为：

P1(－3，－3)，P2(－ 3 41

2，3)，P3(－ 3 －41

2，3)