集列的上、下极限
摘 要：康托尔（cantor ）在19世纪创立了集合论成为实变函数
理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。
讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的
计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。
关键词：集列 上极限 下极限 单调
1 引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研
究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发
展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们
发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼
积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越
感觉到riemann 积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在
这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入
到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个
特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习
实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点
集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的
方法研究n 维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把
函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完
善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下
极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在
一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。
因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列
上、下极限，类似的提出集列的上﹑下极限以及集列的收敛。结合
实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的
收敛及应用。在本文中，我们改进了文献[1]中对定理1的证明和
上﹑下极限的计算，方法相对简单，并给出定理2的详细证明，这
在文献[1][2]中都没有提及。
2 上下极限的概念
为了便于理解本节内容，首先回顾一下数学分析中所学的数列的
上、下极限定义，再引出集列的上、下极限。
2.1 回顾：数列的上、下极限定义
显然，, 则, 从而。若, 则称数列{xn}收敛, 将a 称为{xn}的极限, 记
为。
2.2 集列上、下极限定义
2.2.1 基本定义
定义1[1] 设a1,a2, …,an, …是任一列集。由属于上述集列中无
限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或
上极限, 记为或。
显然, 用数学符号形式化, 可表为
定义2[1] 对集列a1,a2, …,an, …那种除有限个下标外, 属于集
列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极
限, 记为或。
用集合的概念表示如下
。
显然, 。
例1 a1=a3=a5=…{0,1}，a2=a4=a6=…{0}则,.
就像数列未必有极限, 集合序列当然也可能没有极限。
定义3[1] 若, 则称集列{an}收敛, 称a 为{an}的极限, 记为。
2.2.2上、下极限的等价定义
类似于数列的上、下极限, 我们可以定义集列的上、下极限。
定理1 对于任意一串集合a1,a2, …,an, …, 都有
(1) , (2)。
证明：(1)若对任意的∈, 则对任意的n ∈n, 存在m ≥n, 使得∈am,
所以对任意的n ∈n, 有, 从而. 反之, 若, 则对任意的n ∈n, 均有, 所以
对任意的n ∈n, 存在m ≥n, 使得∈am, 从而即。
(2)若对任意的, 则存在n ∈n, 对任意的m ≥n, 使得∈am, 所以存在n
∈n, 均有, 从而。反之, 若, 存在n ∈n, 均有, 所以存在n ∈n, 对任意
的m ≥n, 使得∈am, 从而. 即。
例2 设a2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，a2m=[0,1+],m=1,2,3,…
求, 。
解:,
。
例3 设an=[0,1+],n=1,2,3，…，求, 。
解:,
。
说明：在例3中, 集列{an}收敛, 且收敛于极限集[0,1].
2.3 单调集列的定义及其收敛的判定
定义4[1] 如果集合序列a1,a2, …,an, …, （简记为{an}）单调
上升（下降）, 即an an+1（相应地an an+1）对一切n 都成立, 则
称集列{an}为增加(减少) 集列. 增加与减少的集列统称为单调集列.
定理2 单调集列是收敛的, 且
(1)若{an}增加, 则。
(2)若{an}减少, 则。
证明：(1)若{an}增加, 则根据定理1，即上下极限的等价定义,,
,
则, 则集列{an}收敛,
且。
(2)若{an}减少, 则,
, 则, 则集列{an}收敛, 且。
3 上下极限的应用
定理3[1] 设{si}是一列递增的可测集合：s1 s2 … sn …, 令,
则。
定理4[1] 设{si}是一列递减的可测集合:s1 s2 … sn …, 令, 则
当时, 。
说明：从定理3和定理4中，可知：
对于单增的可测集列，
对单减的可测集列, 且当时,
。
参考文献：
[1] 程其襄, 张奠宙, 魏国强, 等. 实变函数与泛函分析基础(第二
版)[m].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 江泽坚, 吴智泉. 实变函数论(第二版)[m].北京:高等教育出
版社,2002.
集列的上、下极限
摘 要：康托尔（cantor ）在19世纪创立了集合论成为实变函数
理论的出发点。其中，集列的上、下极限是实变函数中的一个难点。
讲述了上、下极限的定义，通过例题的分析，介绍了上、下极限的
计算方法，并给出单调集列收敛的证明及应用。
关键词：集列 上极限 下极限 单调
1 引言
实变函数论是数学分析中微积分的发展，在数学分析中，人们研
究了实变函数论中的可微，可积等基本性质，随着微积分的日益发
展，随着数学其他分支和各类实际问题对微积分要求的提高，人们
发现数学分析的方法和结果并不能完全令人满意。大家知道，黎曼
积分是数学分析研究的主要内容，但是，人们在实际运算中越来越
感觉到riemann 积分的缺陷，要摆脱限制，力求更灵活的运算，在
这种要求下，实变函数应运而生。时至今日，实变函数论已经渗入
到数学的许多分支中，它在各支数学中的应用成了现代数学的一个
特征，所以凡是想了解并且掌握近代数学的人，都应该认真地学习
实变函数论这门课程。
实变函数论的出发点是一般点集，粗略地说，实变函数论是在点
集和集合论的观点与方法渗入数学分析的过程中产生的，用点集的
方法研究n 维欧氏空间中实变函数性质的学科。在实变中，人们把
函数的分析转化为点集关系的研究，从而在点集测度上建立较为完
善的积分理论。在实变函数中与集列极限有关的内容就要与上、下
极限为基础，可见，集合极限的分析在实变函数中意义很重大，在
一般的教学过程中，学生很难真正理解上、下极限的定义及应用。
因此，为了方便学生理解，我们先引入数学分析中大家常见的数列
上、下极限，类似的提出集列的上﹑下极限以及集列的收敛。结合
实例，进一步阐述上、下极限的实质，最后深入的讲解单调集列的
收敛及应用。在本文中，我们改进了文献[1]中对定理1的证明和
上﹑下极限的计算，方法相对简单，并给出定理2的详细证明，这
在文献[1][2]中都没有提及。
2 上下极限的概念
为了便于理解本节内容，首先回顾一下数学分析中所学的数列的
上、下极限定义，再引出集列的上、下极限。
2.1 回顾：数列的上、下极限定义
显然，, 则, 从而。若, 则称数列{xn}收敛, 将a 称为{xn}的极限, 记
为。
2.2 集列上、下极限定义
2.2.1 基本定义
定义1[1] 设a1,a2, …,an, …是任一列集。由属于上述集列中无
限多个集的那种元素的全体所组成的集称为这一集列的上限集或
上极限, 记为或。
显然, 用数学符号形式化, 可表为
定义2[1] 对集列a1,a2, …,an, …那种除有限个下标外, 属于集
列中每个集的元素全体所组成的集称为这一集列的下限集或下极
限, 记为或。
用集合的概念表示如下
。
显然, 。
例1 a1=a3=a5=…{0,1}，a2=a4=a6=…{0}则,.
就像数列未必有极限, 集合序列当然也可能没有极限。
定义3[1] 若, 则称集列{an}收敛, 称a 为{an}的极限, 记为。
2.2.2上、下极限的等价定义
类似于数列的上、下极限, 我们可以定义集列的上、下极限。
定理1 对于任意一串集合a1,a2, …,an, …, 都有
(1) , (2)。
证明：(1)若对任意的∈, 则对任意的n ∈n, 存在m ≥n, 使得∈am,
所以对任意的n ∈n, 有, 从而. 反之, 若, 则对任意的n ∈n, 均有, 所以
对任意的n ∈n, 存在m ≥n, 使得∈am, 从而即。
(2)若对任意的, 则存在n ∈n, 对任意的m ≥n, 使得∈am, 所以存在n
∈n, 均有, 从而。反之, 若, 存在n ∈n, 均有, 所以存在n ∈n, 对任意
的m ≥n, 使得∈am, 从而. 即。
例2 设a2m+1=[0,2－],m=0,1,2,…，a2m=[0,1+],m=1,2,3,…
求, 。
解:,
。
例3 设an=[0,1+],n=1,2,3，…，求, 。
解:,
。
说明：在例3中, 集列{an}收敛, 且收敛于极限集[0,1].
2.3 单调集列的定义及其收敛的判定
定义4[1] 如果集合序列a1,a2, …,an, …, （简记为{an}）单调
上升（下降）, 即an an+1（相应地an an+1）对一切n 都成立, 则
称集列{an}为增加(减少) 集列. 增加与减少的集列统称为单调集列.
定理2 单调集列是收敛的, 且
(1)若{an}增加, 则。
(2)若{an}减少, 则。
证明：(1)若{an}增加, 则根据定理1，即上下极限的等价定义,,
,
则, 则集列{an}收敛,
且。
(2)若{an}减少, 则,
, 则, 则集列{an}收敛, 且。
3 上下极限的应用
定理3[1] 设{si}是一列递增的可测集合：s1 s2 … sn …, 令,
则。
定理4[1] 设{si}是一列递减的可测集合:s1 s2 … sn …, 令, 则
当时, 。
说明：从定理3和定理4中，可知：
对于单增的可测集列，
对单减的可测集列, 且当时,
。
参考文献：
[1] 程其襄, 张奠宙, 魏国强, 等. 实变函数与泛函分析基础(第二
版)[m].北京:高等教育出版社,2003.
[2] 江泽坚, 吴智泉. 实变函数论(第二版)[m].北京:高等教育出
版社,2002.