经典证明解答题------相似(一)
1. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 过点A 作AE ⊥BC, 垂足为E, 连接DE,F 为线段DE 上一点, 且∠AFE=∠B
（1）求证 ∠DAF=∠CDE （2）问△ADF 与△DEC 相似吗？为什么？
（3）若
AB=4,AD=，AE=3，求AF 的长
1) 证明：
AD BC
∴∠ADF =∠DEC
∠AFE =∠B ，∠B +∠C =∠AFE +∠AFD =180︒
∴∠AFD =∠C ，
在∆AFD 和∆DCE 中，∠ADF =∠DEC , ∠AFD =∠C
∴∠DAF =∠CDE
2) 证明：
∠ADF =∠DEC , ∠AFD =∠C ∴∆ADF ∆DEC
3）证明：
AD BC , AE ⊥BC
∴AE ⊥AD
∴ED ===
∆ADF ∆DEC
∴CD =AF
ED AD
4∴=6∴6AF =∴AF =
6
2. 在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 的中点,DE//AB,DC交BE 于点O, 已知S △DOE=1,求S △
ABC
证明：
DE BC
∴∆DOE ∽∆BOC
DE OE OD 1===BC OB OC 2
S ∆DOE ⎛DE ⎫⎛1⎫1= ²=²=⎪ ⎪S ∆BOC ⎝BC ⎭⎝2⎭4∴∴
∴S ∆BOC =4S ∆DOE =4
∆DOE 和∆COE 等高
S ∆DOE OD 1==S ∆COE OC 2∴
∴S ∆COE =2S ∆DOE =2
∴S ∆BCE =S ∆COE +SBOC =2+4=6
E 是AC 的中点即AE =EC
∴S ∆BCE =S ∆BAE =6
∴S ∆ABC =12
3. 如图，在∆ABC 和∆ADE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABC =∠ADE .
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由.
解:(1)∆ABC ∽∆ADE , ∆ABD ∽∆ACE .
（2）①证∆ABC ∽∆ADE
∠BAD =∠CAE ,
∴∠BAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC .
∴∠BAC =∠DAE
∠ABC =∠ADE ,
∴∆ABC ∽∆ADE
②证∆ABD ∽∆ACE
∆ABC ∽∆ADE
∴
AB AC = AD AE
∠BAD =∠CAE ,
∴∆ABC ∽∆ADE
4. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，
（1）求证：△AEF ∽△CEA 。
（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。
（1）∵四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形
∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE =2a ，EC =2a ∴
∴AE a EC 2a ==2，==2 EF a AE 2a AE EC = EF AE
又∵∠CEA=∠AEF
∴△CEA ∽△AEF
（2）∵△AEF ∽△CEA
∴∠AFE=∠EAC
∵四边形ABEG 是正方形
∴AD ∥BC ，AG=GE，AG ⊥GE
∴∠ACB=∠CAD ，∠EAG=45°
∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG
∴∠AFB+∠ACB=45°
5. 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；
(2) 如果AC =BD，AD =22BD ，设BD = a，求BC 的长.
证明：
(1) ∵ BD∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上，
∴ ∠DBA = ∠CAE,
AB BD ==3∵ AC AE ,
∴ △ABD ∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，
AD =，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴∠D =90°
∵ △ABD ∽△CAE.
∴∠E =∠D = 90°
11 AE =BD , EC =AD =BD , AB = 3BD 333
∴在Rt ∆BCE 中，BC 2= (
AB + AE )+ EC 2
1∴BC 2= (3BD +BD ) 2+ (BD ) 2=12BD 2= 12a2
33
∴BC = 2
经典证明解答题------相似(一)
1. 如图, 在平行四边形ABCD 中, 过点A 作AE ⊥BC, 垂足为E, 连接DE,F 为线段DE 上一点, 且∠AFE=∠B
（1）求证 ∠DAF=∠CDE （2）问△ADF 与△DEC 相似吗？为什么？
（3）若
AB=4,AD=，AE=3，求AF 的长
1) 证明：
AD BC
∴∠ADF =∠DEC
∠AFE =∠B ，∠B +∠C =∠AFE +∠AFD =180︒
∴∠AFD =∠C ，
在∆AFD 和∆DCE 中，∠ADF =∠DEC , ∠AFD =∠C
∴∠DAF =∠CDE
2) 证明：
∠ADF =∠DEC , ∠AFD =∠C ∴∆ADF ∆DEC
3）证明：
AD BC , AE ⊥BC
∴AE ⊥AD
∴ED ===
∆ADF ∆DEC
∴CD =AF
ED AD
4∴=6∴6AF =∴AF =
6
2. 在△ABC 中,D,E 分别是AB,AC 的中点,DE//AB,DC交BE 于点O, 已知S △DOE=1,求S △
ABC
证明：
DE BC
∴∆DOE ∽∆BOC
DE OE OD 1===BC OB OC 2
S ∆DOE ⎛DE ⎫⎛1⎫1= ²=²=⎪ ⎪S ∆BOC ⎝BC ⎭⎝2⎭4∴∴
∴S ∆BOC =4S ∆DOE =4
∆DOE 和∆COE 等高
S ∆DOE OD 1==S ∆COE OC 2∴
∴S ∆COE =2S ∆DOE =2
∴S ∆BCE =S ∆COE +SBOC =2+4=6
E 是AC 的中点即AE =EC
∴S ∆BCE =S ∆BAE =6
∴S ∆ABC =12
3. 如图，在∆ABC 和∆ADE 中，∠BAD =∠CAE ，∠ABC =∠ADE .
（1）写出图中两对相似三角形（不得添加字母和线）；
（2）请分别说明两对三角形相似的理由.
解:(1)∆ABC ∽∆ADE , ∆ABD ∽∆ACE .
（2）①证∆ABC ∽∆ADE
∠BAD =∠CAE ,
∴∠BAD +∠DAC =∠CAE +∠DAC .
∴∠BAC =∠DAE
∠ABC =∠ADE ,
∴∆ABC ∽∆ADE
②证∆ABD ∽∆ACE
∆ABC ∽∆ADE
∴
AB AC = AD AE
∠BAD =∠CAE ,
∴∆ABC ∽∆ADE
4. 如图：四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 都是边长为a 的正方形，
（1）求证：△AEF ∽△CEA 。
（2）求证：∠AFB+∠ACB=45°。
（1）∵四边形ABEG 、GEFH 、HFCD 是正方形
∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90° ∴AE =2a ，EC =2a ∴
∴AE a EC 2a ==2，==2 EF a AE 2a AE EC = EF AE
又∵∠CEA=∠AEF
∴△CEA ∽△AEF
（2）∵△AEF ∽△CEA
∴∠AFE=∠EAC
∵四边形ABEG 是正方形
∴AD ∥BC ，AG=GE，AG ⊥GE
∴∠ACB=∠CAD ，∠EAG=45°
∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG
∴∠AFB+∠ACB=45°
5. 如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD ∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD ∽△CAE ；
(2) 如果AC =BD，AD =22BD ，设BD = a，求BC 的长.
证明：
(1) ∵ BD∥AC ，点B ，A ，E 在同一条直线上，
∴ ∠DBA = ∠CAE,
AB BD ==3∵ AC AE ,
∴ △ABD ∽△CAE.
(2) ∵AB = 3AC = 3BD，
AD =，
∴ AD2 + BD2 = 8BD2 + BD2 = 9BD2 =AB2，
∴∠D =90°
∵ △ABD ∽△CAE.
∴∠E =∠D = 90°
11 AE =BD , EC =AD =BD , AB = 3BD 333
∴在Rt ∆BCE 中，BC 2= (
AB + AE )+ EC 2
1∴BC 2= (3BD +BD ) 2+ (BD ) 2=12BD 2= 12a2
33
∴BC = 2