习题1.2
1. 把10本书任意放在书架的一排上, 求指定的3本书放在一起的概率. 解:P A
2. 10个产品中有7件正品,3件次品.
(1) 不放回地每次从中任取一件, 共取3次, 求取到3件次品的概率; (2) 每次从中任取一件, 有放回地取3次, 求取到3件次品的概率.
解: (1). P A
A A
A A
A
(2). P A
3. 袋中有7个球, 其中红球5个白球2个, 从袋中去球两次, 每次随机地取一个球, 取后不放回, 求:
1 第一次取到白球, 第二次取到红球的概率; 2 两次取得一红球一白球的概率. 解: (1) P A (2)P A
4. 掷两枚骰子, 求出现的点数之和等于7的概率. (同題1. 类同) 解: P A
5. 从1,2,3,4,5个数码中, 任取3个不同数码排成一个三位数, 求:
(1) 所得的三位数为偶数的概率; (2) 所得的三位数为奇数的概率.
解: (1) P A
A A C C
A
C
A A
A
A AA
0.4
(3) 由于同P A 为对立事件, 所以P A 1 P A 1 0.4 0.6
6. 口袋中有10个球, 分别标有号码1到10. 现从中任选3个, 记下取出球的号码, 求:
(1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率. 解: (1) P A
C
C
C
(3) P A
C
7. 将3个球随机的放入4个杯子, 求3个球在同一杯子中的概率. 解:
8. 罐中有12粒围棋子, 其中8粒白子4粒黑子, 从中任取3粒, 求: (1) 取到都是白子的概率;
(2) 取到两粒白子, 一粒黑子的概率; (3) 至少取到一粒黑子的概率;
(4) 取到的3粒棋子颜色相同的概率; 解: (1) P A (2) P A
4
C
C
0.255 0.509
1 P A 1 0.255 0.745
C C
C
(3)同P A 为对立事件, 故P A (4) P A
A C
A
0.273
9. 从0,1,2,…,9等10个数字中任选3个不同的数字, 求3个数字中不含0或5的概率. 解: P A
10. 设A B ,P(A)=0.2,P(B)=0.3,求:
, P B ; (1) P A
(2) P A B ; (3) P AB ;
; (4) P BA
(5) P A B .
1 P A 1 0.2 0.8, P B 1 P B 1 0.3 0.7 解: (1) P A
(2) 由于A B, 故P AB P B ; P A B P A P B P AB =0.2 (3)由于A B, 故P AB P B 0.3;
P B P AB 0.3 0.2 0.1 (4) P BA
(5) P A B P A P AB 0.2 0.2 0
B , P A B , P A . 11. 设P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A‐B)=0.3,求P AB
1 P AB 1 P A P A B 1 0.4 0.6 解: P AB
P A B P A P B P AB P A P B P A P A B 0.7 0.6 0.4 0.9 B 1 P A B 1 0.9 0.1 P A
B , 且P(A)=p,求P(B). 12. 设P(AB)= P A B P 解: P A A B 1 P A B 1 P A P B P AB ]
B =1‐P (A) =1‐p P (B) =1‐P (A) +P (AB)‐ P A
C
C
0.255
13. 设A,B,C 为三个随机事件, 且P(A)= P(B)= P(C)= , P(AB)= P(BC)= , P(AC)=0.求:
(1)A,B,C中至少有一个发生的概率. (2)A,B,C全部发生的概率.
解: (1)至少有一个发生的概率为P(A)+P(B)+P(C)‐P(AB)‐P(BC)‐P(AC)= (2)A,B,C全部发生的概率为1‐
习题1.3
0.3, 求P B|A 2. 设P(A)=0.5, P AB
. . P AB P A P AB
解: P B|A =P A P A .
0.4
3. 设P(A)= , P(B|A)= , P(A|B)= , 求 P A B
解:P(AB)= P(A)* (B|A)=
, P(B)= P A|B
P AB
111 P A B P A P B P AB 1
0.3, P B 0.4, P AB 0.5, 求P B|A B . 4. 设P A
P B ,A BP AB
解: P B |A B P A B P B P AB
P A P AB
P B P AB
. .
0.25
5. 一批产品中有4%废品, 而合格品中一等品占55%,从这批产品中任选一件, 求这件产品是一等品的概率.
解:设A 表示”合格品”,B表示”一等品”
P (B|A) =55%, P (A) =1‐4%=96%. P (AB) = P (B|A)* P (A) =55%*96%=0.528
6. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少?
解:设A 表示”活到20岁”,B表示”活到25岁”
P AB .
P (B|A) = 0.5
P A .
7.10个零件有3个次品,7个合格品, 每次从中任取一个零件, 共取3次, 取后不放回, 求:
(1)这3次都取到次品的概率;
(2)这3次中至少有一次取到合格品的概率.
解: (1) P A
C
C
(2) P A =1‐ P A
8. 设某光学仪器厂制作的透镜, 第一次落下时摔碎的概率为, 若第一次落下未摔破, 第二次落下摔破的
概率为若前两次落下未摔破, 第三次落下摔破的概率为, 试求透镜落下3次而未摔破的概率.
解:设A 表示”第一次未摔碎”,B表示”第二次未摔碎”,C表示”第三次未摔碎”
则P(A)=1
11 79
P(B|A)=1 P(C|AB)= 1 =
P (ABC) =P (A) P (B|A) P (C|AB) =
9. 设在n 张彩票中有一张奖券, 有3个人参加抽奖. 求第三个人摸到奖券的概率. 解:
10. 两台车床加工同样的零件, 第一台出现废品的概率为0.03, 第二台出现废品的概率为0.02, 加工出来
的零件放在一起, 并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. 求任取一零件是合格品的概率.
解:设A 1表示第一台加工的产品, A 2表示第二台加工的产品,B 表示”取得废品”
P (A2) +2 P (A2) =1, P (A2) = P (A1) =
P A P B |A P A P B |A P B
21
1 0.03 1 0.02 0.973 11. 在甲乙丙三个袋中, 甲袋中有白球2个黑球1个, 乙袋中有白球1个黑球2个, 丙袋中有白球2个黑
球2个, 现随机地选出一个袋子再从袋中取一球, 问取出的球是白球的概率.
解:设A 表示甲袋中的球, A 表示乙袋中的球, A 表示丙袋中的球,B 表示”取出白球”,则 P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=
12. 已知男性中有5%是色盲患者, 女性中有0.25%是色盲者, 现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少? 解:设A 表示”挑选到男性”,B表示”挑选到色盲患者” 1P (B|A) =0.05,P B|A 0.0025 P (A) = , P A
P B|A =0.5*0.05+0.5*0.0025=0.02625. P (B) =P (A) P (B|A) + P A
P A P B|A . .
P (A|B) =
P B .
+ =0.5
13. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整达良好时, 产品合格率为90%,而机器发生某一故障时, 产品的
合格率为30%,每天早上机器开动时, 机器调整达良好的概率为75%.已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整达良好的概率.
解:设A 表示”机器调整达良好”, B 表示”产品合格”则
P B |A 75% 90% 1 75% 30% 0.75 P (B) = P A P B |A P A
P A P B|A % %
P (A|B) = 0.9
P B .
14. 某工厂中, 三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的
次品, 将这些产品混在一起, 先随机地取一产品, 问它是次品的概率是多少? 又问这一次品是有三台机器中的哪台机器生产的概率最大?
解:设A 1表示”第一台机器成产的产品”, A 2表示”第二台机器成产的产品”, A 1表示”第三台机器成产的产品”,B表示”取到次品”,则
P(B)=P(A1)P(B| A 1)+ P(A2)P(B| A 2)+ P(A3)P(B| A 3)=25%*5%+35%*4%+40%*2%=0.0345
P A 1 P B|A1 % %
P (A1|B) = 0.3623
P B .
P (A2|B) = P (A3|B) =
P A 2 P B|A2
P B P A 3 P B|A3
P B
% % . % % .
0.4058 0.2319
通过计算得出第二产成产的概率最大.
习题1.4
1. 设P(A)=0.4, P A B 0.7, 求在下列条件下分别求P(B): (1) A 与B 互不相容; (2) A 与B 相互独立; (3) A B .
解: (1) P(B)= P A B P A 0.7 0.4 0.3;
P B , P B 1 P A B 1 0.5 0.5; (2)P A B 1 P A
P A
(3) P A B P A P B P AB P A P B P A =0.7.
2. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次, 其中命中率分别为0.6和0.7, 求目标被命中的概率. 若已知目标被命中, 求它是甲射中的概率.
解: 设A 表示”甲射中目标”,B表示”乙射中目标”,C表示”目标被击中”,则C A B ,A 与B 相互独立,
P B 1 1 0.6 1 0.7 0.88 (1) P(C)= P A B 1 P A
P A P C|A .
(2) P(A|C)=
P C .
3. 有甲乙两批种子, 发芽率分别为0.8和0.7. 在两批种子中各任取一粒, 求:
(1) 两粒种子都能发芽的概率; (2) 至少有一粒种子能发芽的概率; (3) 恰好有一粒种子发芽的概率.
解: (1)P1=P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.7=0.56;
B ) A (2)P2=P(AB AB
B 互不相容, 故 , A 由于AB, AB
B ) = P (AB) +P (AB B ) =0.56+0.8*0.3+0.2*0.7=0.94; A ) +P (A P(AB AB
B ) = 0.8*0.3+0.2*0.7=0.38. A (3) P 3=P(AB
4. 加工某一零件共需经过3道工序, 设第一, 二, 三道工序的次品率是2%,3%,5%.假定各道程序互不影响,
求加工出来的零件的次品率.
解:设A i 表示”第I 道程序出现次品”(I=1,2,3).A表示”加工出来的零件是次品” P(A)= A A A
=P A P A P A P A A P A A P A A P A A A 因各道程序互不影响, 所以事件 A , A , A 是相互独立的. 则有 P A A P A P A 0.02 0.03 0.0006 P A A P A P A 0.03 0.05 0.0015 P A A P A P A 0.02 0.05 0.001
P A A A P A P A P A 0.02 0.03 0.05 0.00003 因此P(A)=0.02+0.03+0.05‐0.0006‐0.0015‐0.001+0.00003=0.09693
5. 在1小时内甲乙丙3台机床需维修的概率分别是0.1,0.2,0.15, 求1小时内:
(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床需要维修的概率; (3) 至多有一台机床需要维修的概率.
解:设A 表示甲机床需维修, A 表示乙机床需维修, A 表示丙机床需维修,
A A = P A P A P A 1 0.1 1 0.2 1 0.15 0.612; (1)P1 =P (A
A A =1‐0.612=0.388; (2)P2 =1‐ P (A A A A A A A A A A A A ) =0.612+0.068+0.153+0.108=0.941 (3) P 3 =P (A
相互独立. 6. 证明A 与B 相互独立, 则A 与B
解:P(AB)=P(A)P(B)
)=P[(A)(1‐B)]=P(A‐AB)=P(A)‐P(AB)= P(A)‐ P(A)P(B)=P(A)[1‐P(B)]=P(A)P(B ). P(AB
). 7. 设0
与B 也相互独立, ∴ P(A|B)=P(A), P(A|B )=P (A) ∴ P (A|B) =P (A|B ) 解: ∵A 与B 相互独立 ∴ A
P AB )
P AB P AB
而由题设P(A|B)=P(A|B ) ∴=, 即P(AB)[1‐P(B)]=[P(A)‐P(AB)]P(B)
P B P B
P AB
∴P(AB)=P(A)P(B),故A 与B 相互独立.
8. 设A 与B 相互独立, 两个事件仅A 发生和仅B 发生的概率都是求P(A),P(B).
B ) = , A 与B 相互独立 ) = P (A 解: ∵P (AB
) =P (A) P B =P (A) [1‐P (B)] = ∴P (AB
B ) = P A P (B) = [1‐P (A)] P (B) = P (A
∴P(A)=P(B),P(A)‐P (A)= , 即P(A)=P(B)=
2
9. 一批产品中有30%的一级品, 进行重复抽样调查, 共取5个样品, 求:
(1) 取出的5个样品中恰有2个一级品的概率; (2) 取出的5个样品中至少有2个一级品的概率.
23
解: (1)P1=C *(0.3)*(1‐0.3) =0.309 注:5个里面2个一级品3个次品 05 14
(2) P 2=1‐C *(0.3)*(1‐0.3) ‐C *(0.3)*(1‐0.3)
=1‐1*1*0.168‐5*0.3*0.24=0.472
注: 1－取出的5个样品中有0个一级品的概率－取出的5个样品中有1个一级品的概率
10. 一大楼装有5台同类型的供水设备, 调查表明在任一时刻每台设备被使用的概率为0.1, 问同一时刻, (1) 恰有2台设备被使用的概率是多少? (2) 至少有3台设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3台设备被使用的概率是多少? (4) 至少有1台设备被使用的概率是多少? 解: (1)设A 2表示”恰有2台设备被使用”
23
P (A2) = P 5 (2) = C *(0.1)* (1‐0.1) =10*0.01*0.729=0.0729
(2)设A 0表示”没有设备被使用”, A 1表示”恰有1台设备被使用”, B 表示” 至少有3台设备被使用” P (B) =1‐P (A0)‐P (A1) ‐ P (A2)
05 14
=1‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐0.0729
=1‐0.59049‐0.32805‐0.0729=0.00856
(3)设A 4表示”恰有4台设备被使用”, A 5表示”恰有5台设备被使用”, B 1表示” 至多有3台设备被使用”
P (B1) =1‐P (A4)‐P (A5)
41 50
=1‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐0.0729
=1‐0.00045‐0.00001=0.99954
(4)设B 2表示” 至少有1台设备被使用”, P(B2)=1‐P( A 0)=1‐0.59049=0.40951
11. 一射手对一目标独立地射击4次, 若至少命中一次的概率为
, 求射手射击一次命中目标的概率?
解:B表示”至少命中一次”, A 0表示”一次都没命中”,p表示射击一次命中目标的概率,
0 4
P (B) =1‐P (A0) =1‐C *(p)* (1‐p) 04
即: 1‐C *(p)* (1‐p) =
1‐1*1* (1‐p)
4
=, p=1‐ =
12. 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96, 问需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 解:设需发射n 枚导弹.
0n
至少有一枚导弹击中敌机的概率为1‐P n (0)=1‐C p q =1‐ a n
由题意要求1‐ a
自测题1 一, 选择题
n
>0.999,即a n
1. 某人射击3次, 以A i (I=1,2,3)表示事件”第I 次击中目标”,则事件”至多击中目标1次”的正确表示为
A A A A A A, A A A B. A
A A A A A A A D. A A A A C. A
2. 设A,B 为随机事件, 则 A B A =A, AB B. A C. B D. A B
3. 将两封信随机地投入4个邮筒中, 则未向前两个邮筒中投信的概率为 !
A. B. C. D. A ! C
C
!
4. 将0,1,2,….,9等10个数字中随机地, 有放回地接连抽取4个数字, 则”8”至少出现一次的概率为A. 0.1 B. 0.3439 C. 0.4 D. 0.6561
04
解:1‐C *(0.1)* (1‐0.1) =0.3439
5. 设随机变量A 与B 互不相容, 且P(A)>0,P(B)>0,则 )=1 A. P(A)=1‐P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A B )=1 D. P( AB
)= P(Ω)=1 解:A,B互不相容, 即AB=Ø;P(Ø)=0,P(Ω)=1, P(Ø
6. 设A,B 为随机事件,P(B)>0,P(A|B)=1,则必有
A. P (A B ) =P (A) B. A B C.P (A) =P (B) D. P (AB) =P (A)
7. 设A,B 为两个随机事件, 且P(AB)>0,则P(A|AB)= A. P (B) B. P (AB) C. P (A B ) D .1 解:由条件概率公式P(A|B)=
8. 设A 与B 互为对立事件, 且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是
|A 0 B. P (A|B) =0 C.P (AB) =0 D. P (A B ) =1 A. P ( B
9. 设随机事件A 与事件B 互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|B)= A. 0 B. 0.2 C. 0.4 D.0.5 注:A,B互不相容, 即不能同时发生.
10. 设P(A)>0,P(B)>0,则由A 与B 相互独立不能推出 |B )= P (B ) D. P (AB )=P(A)P(B ) A. P (A B )=P(A)=P(B) B. P(A|B)=P(A) C. P (A
) P (B ) 注: P (A B )=1‐ P (A
11. 某人连续向一目标射击, 每次命中目标的概率为, 他连续射击直到命中为止, 则射击次数为3的概率
是 C
P AB P B
得P(A|AB)=
P A P AB P AB P AB
P AB
A.
B. * C. * D. C *
12. 抛一枚不均匀硬币, 正面朝上的概率为, 将此硬币连抛4次, 则恰好3次正面朝上的概率是
A.
B. C. D.
解: C
=4*
二. 填空题
1. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则这3个数字中不含1的概率为 解:
C C
=, 去掉1就是4个中取3个数字的取法.
2. 从1,2,…10这10个自然数中任取3个数, 则这3个数中最大的为3的概率是 解:
C
C C.
C
3. 一口袋装有3个红球,2个黑球, 现从中任取出2个球, 则这2个球恰为一红一黑的概率是 解:
C
4. 从分别标有1,2,….9号码的9件产品中随机取3件, 每次取1件, 取后放回, 则取得的3件产品的标号都是偶数的概率是 解:
.
5. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中, 则出现两个空盒的概率为.
解:
* 3
6. 设随机事件A 与B 互不相容,P(A)=0.2, P (A B )=0.5,则P(B)=
解:A与B 互不相容时, P (A B )= P(A)+ P(B)
7. 100件产品中, 有10件次品, 不放回地从中接连取两次, 每次取一个产品, 则第二次取到次品的概率为
解:设A=第一次取到次品,B=第二次取到次品. ) P (B|A ) = P (B) =P (A) P (B|A) +P (A
8. 设A,B 为随机事件, 且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=
P A P B|A . . 解:
P B .
9. 某工厂的次品率为5%,而正品中有80%为一等品, 如果从该厂的产品中任取一件来检验, 则检验结果
是一等品的概率为 0.76 .(不同于例1‐18!!) 解: (1‐5%)*80%
10. 甲乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲乙机种飞机的概率分别为0.3,0.4, 则飞机至少被击中一炮的概率为 0.58 . 解:1‐(1‐0.3)*(1‐0.4)=1‐0.42=0.58
11. 在一次考试中, 某班学生数学和外语的及格率都是0.7, 且这两门课是否及格相互独立, 现从该班任选一名学生, 则改学生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 . 解:0.7*(1‐0.7) + 0.7*(1‐0.7)
12. 设A 与B 相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(A|B)=.
13. 某射手命中率为他独立地向目标射击4次, 则至少命中一次的概率为.
解: 1 C
=0.1
1
)=0.4,求P(AB). 三. 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A
)* P (B|A ) = P (B ) *P (A |B) 解∵P (A
) =1‐P (A) P (A
|B) ∴0.5*0.5=0.6* P (A
|B) = P (A |B) = P (A|B) =1‐ P (A
∴P (AB) =P (B)*P (A|B) =0.4 )=P(A|B),证明A 与B 独立. 四. 设A,B 为两个随机事件,0
P A P AB P AB P AB 证: P(A|B)= P (A|B )= = P B P B P B
)=P(A|B),即: P(A|B
P AB P A P AB = P B P B
P(AB)[1‐P(B)]=P(B)[ P A P AB ]
P(AB)‐P(AB)P(B)=P(B)P(A)‐P(B)P(AB)
P(AB)=P(B)P(A)
所以A 与B 相互独立.
五. 已知一批产品中有95%是合格品, 检查产品质量时, 一个合格品被误判为次品的概率为0.02, 一个次品被误判为合格品的概率是0.03. 求:
(1)任意抽查一个产品, 它被判为合格品的概率;
(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率.
解:设A 表示”合格品”, B 表示”被判为次品”,则:
0.05; P(B|A)=0.02 P(B )=0.03 |A)=0.98 P(B |A P(A)=0.95; P A
(1)由全概率公式可得:
P(B )=0.95*0.98+0.05*0.03=0.9325 |A)+ P A |A )=P(A)P(B P(B
(2)由贝叶斯公式可得:
|A P A P B P(A|B )= P B .
说明(1)一个合格品被误判为次品的概率为0.02, 则被判为合格品的概率0.95*(1-0.02);一个次品被误 . . 0.9984 判为合格品的概率是0.03, 则被判为合格品的概率0.05*0.03.所以任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为G1=0.95*(1-0.02)+0.05*0.03.
(2)由1题已算出任意抽查一个产品被判为合格品的概率, 其中包括对次品的误判, 所以要除去对次品判为合格的概率, 因此一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率
G2=0.95*(1-0.02)/[0.95*(1-0.02)+0.05*0.03]
11
习题1.2
1. 把10本书任意放在书架的一排上, 求指定的3本书放在一起的概率. 解:P A
2. 10个产品中有7件正品,3件次品.
(1) 不放回地每次从中任取一件, 共取3次, 求取到3件次品的概率; (2) 每次从中任取一件, 有放回地取3次, 求取到3件次品的概率.
解: (1). P A
A A
A A
A
(2). P A
3. 袋中有7个球, 其中红球5个白球2个, 从袋中去球两次, 每次随机地取一个球, 取后不放回, 求:
1 第一次取到白球, 第二次取到红球的概率; 2 两次取得一红球一白球的概率. 解: (1) P A (2)P A
4. 掷两枚骰子, 求出现的点数之和等于7的概率. (同題1. 类同) 解: P A
5. 从1,2,3,4,5个数码中, 任取3个不同数码排成一个三位数, 求:
(1) 所得的三位数为偶数的概率; (2) 所得的三位数为奇数的概率.
解: (1) P A
A A C C
A
C
A A
A
A AA
0.4
(3) 由于同P A 为对立事件, 所以P A 1 P A 1 0.4 0.6
6. 口袋中有10个球, 分别标有号码1到10. 现从中任选3个, 记下取出球的号码, 求:
(1) 最小号码为5的概率; (2) 最大号码为5的概率. 解: (1) P A
C
C
C
(3) P A
C
7. 将3个球随机的放入4个杯子, 求3个球在同一杯子中的概率. 解:
8. 罐中有12粒围棋子, 其中8粒白子4粒黑子, 从中任取3粒, 求: (1) 取到都是白子的概率;
(2) 取到两粒白子, 一粒黑子的概率; (3) 至少取到一粒黑子的概率;
(4) 取到的3粒棋子颜色相同的概率; 解: (1) P A (2) P A
4
C
C
0.255 0.509
1 P A 1 0.255 0.745
C C
C
(3)同P A 为对立事件, 故P A (4) P A
A C
A
0.273
9. 从0,1,2,…,9等10个数字中任选3个不同的数字, 求3个数字中不含0或5的概率. 解: P A
10. 设A B ,P(A)=0.2,P(B)=0.3,求:
, P B ; (1) P A
(2) P A B ; (3) P AB ;
; (4) P BA
(5) P A B .
1 P A 1 0.2 0.8, P B 1 P B 1 0.3 0.7 解: (1) P A
(2) 由于A B, 故P AB P B ; P A B P A P B P AB =0.2 (3)由于A B, 故P AB P B 0.3;
P B P AB 0.3 0.2 0.1 (4) P BA
(5) P A B P A P AB 0.2 0.2 0
B , P A B , P A . 11. 设P(A)=0.7,P(B)=0.6,P(A‐B)=0.3,求P AB
1 P AB 1 P A P A B 1 0.4 0.6 解: P AB
P A B P A P B P AB P A P B P A P A B 0.7 0.6 0.4 0.9 B 1 P A B 1 0.9 0.1 P A
B , 且P(A)=p,求P(B). 12. 设P(AB)= P A B P 解: P A A B 1 P A B 1 P A P B P AB ]
B =1‐P (A) =1‐p P (B) =1‐P (A) +P (AB)‐ P A
C
C
0.255
13. 设A,B,C 为三个随机事件, 且P(A)= P(B)= P(C)= , P(AB)= P(BC)= , P(AC)=0.求:
(1)A,B,C中至少有一个发生的概率. (2)A,B,C全部发生的概率.
解: (1)至少有一个发生的概率为P(A)+P(B)+P(C)‐P(AB)‐P(BC)‐P(AC)= (2)A,B,C全部发生的概率为1‐
习题1.3
0.3, 求P B|A 2. 设P(A)=0.5, P AB
. . P AB P A P AB
解: P B|A =P A P A .
0.4
3. 设P(A)= , P(B|A)= , P(A|B)= , 求 P A B
解:P(AB)= P(A)* (B|A)=
, P(B)= P A|B
P AB
111 P A B P A P B P AB 1
0.3, P B 0.4, P AB 0.5, 求P B|A B . 4. 设P A
P B ,A BP AB
解: P B |A B P A B P B P AB
P A P AB
P B P AB
. .
0.25
5. 一批产品中有4%废品, 而合格品中一等品占55%,从这批产品中任选一件, 求这件产品是一等品的概率.
解:设A 表示”合格品”,B表示”一等品”
P (B|A) =55%, P (A) =1‐4%=96%. P (AB) = P (B|A)* P (A) =55%*96%=0.528
6. 设某种动物活到20岁的概率为0.8, 活到25岁的概率为0.4, 问年龄为20岁的这种动物活到25岁的概率为多少?
解:设A 表示”活到20岁”,B表示”活到25岁”
P AB .
P (B|A) = 0.5
P A .
7.10个零件有3个次品,7个合格品, 每次从中任取一个零件, 共取3次, 取后不放回, 求:
(1)这3次都取到次品的概率;
(2)这3次中至少有一次取到合格品的概率.
解: (1) P A
C
C
(2) P A =1‐ P A
8. 设某光学仪器厂制作的透镜, 第一次落下时摔碎的概率为, 若第一次落下未摔破, 第二次落下摔破的
概率为若前两次落下未摔破, 第三次落下摔破的概率为, 试求透镜落下3次而未摔破的概率.
解:设A 表示”第一次未摔碎”,B表示”第二次未摔碎”,C表示”第三次未摔碎”
则P(A)=1
11 79
P(B|A)=1 P(C|AB)= 1 =
P (ABC) =P (A) P (B|A) P (C|AB) =
9. 设在n 张彩票中有一张奖券, 有3个人参加抽奖. 求第三个人摸到奖券的概率. 解:
10. 两台车床加工同样的零件, 第一台出现废品的概率为0.03, 第二台出现废品的概率为0.02, 加工出来
的零件放在一起, 并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍. 求任取一零件是合格品的概率.
解:设A 1表示第一台加工的产品, A 2表示第二台加工的产品,B 表示”取得废品”
P (A2) +2 P (A2) =1, P (A2) = P (A1) =
P A P B |A P A P B |A P B
21
1 0.03 1 0.02 0.973 11. 在甲乙丙三个袋中, 甲袋中有白球2个黑球1个, 乙袋中有白球1个黑球2个, 丙袋中有白球2个黑
球2个, 现随机地选出一个袋子再从袋中取一球, 问取出的球是白球的概率.
解:设A 表示甲袋中的球, A 表示乙袋中的球, A 表示丙袋中的球,B 表示”取出白球”,则 P(B)=P(A1)P(B|A1)+ P(A2)P(B|A2)+ P(A3)P(B|A3)=
12. 已知男性中有5%是色盲患者, 女性中有0.25%是色盲者, 现从男女人数相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色盲患者, 问此人是男性的概率是多少? 解:设A 表示”挑选到男性”,B表示”挑选到色盲患者” 1P (B|A) =0.05,P B|A 0.0025 P (A) = , P A
P B|A =0.5*0.05+0.5*0.0025=0.02625. P (B) =P (A) P (B|A) + P A
P A P B|A . .
P (A|B) =
P B .
+ =0.5
13. 对以往数据分析结果表明, 当机器调整达良好时, 产品合格率为90%,而机器发生某一故障时, 产品的
合格率为30%,每天早上机器开动时, 机器调整达良好的概率为75%.已知某日早上第一件产品是合格品, 求机器调整达良好的概率.
解:设A 表示”机器调整达良好”, B 表示”产品合格”则
P B |A 75% 90% 1 75% 30% 0.75 P (B) = P A P B |A P A
P A P B|A % %
P (A|B) = 0.9
P B .
14. 某工厂中, 三台机器分别生产某种产品总数的25%,35%,40%,它们生产的产品中分别有5%,4%,2%的
次品, 将这些产品混在一起, 先随机地取一产品, 问它是次品的概率是多少? 又问这一次品是有三台机器中的哪台机器生产的概率最大?
解:设A 1表示”第一台机器成产的产品”, A 2表示”第二台机器成产的产品”, A 1表示”第三台机器成产的产品”,B表示”取到次品”,则
P(B)=P(A1)P(B| A 1)+ P(A2)P(B| A 2)+ P(A3)P(B| A 3)=25%*5%+35%*4%+40%*2%=0.0345
P A 1 P B|A1 % %
P (A1|B) = 0.3623
P B .
P (A2|B) = P (A3|B) =
P A 2 P B|A2
P B P A 3 P B|A3
P B
% % . % % .
0.4058 0.2319
通过计算得出第二产成产的概率最大.
习题1.4
1. 设P(A)=0.4, P A B 0.7, 求在下列条件下分别求P(B): (1) A 与B 互不相容; (2) A 与B 相互独立; (3) A B .
解: (1) P(B)= P A B P A 0.7 0.4 0.3;
P B , P B 1 P A B 1 0.5 0.5; (2)P A B 1 P A
P A
(3) P A B P A P B P AB P A P B P A =0.7.
2. 甲乙两人独立地各向同一目标射击一次, 其中命中率分别为0.6和0.7, 求目标被命中的概率. 若已知目标被命中, 求它是甲射中的概率.
解: 设A 表示”甲射中目标”,B表示”乙射中目标”,C表示”目标被击中”,则C A B ,A 与B 相互独立,
P B 1 1 0.6 1 0.7 0.88 (1) P(C)= P A B 1 P A
P A P C|A .
(2) P(A|C)=
P C .
3. 有甲乙两批种子, 发芽率分别为0.8和0.7. 在两批种子中各任取一粒, 求:
(1) 两粒种子都能发芽的概率; (2) 至少有一粒种子能发芽的概率; (3) 恰好有一粒种子发芽的概率.
解: (1)P1=P(AB)=P(A)P(B)=0.8*0.7=0.56;
B ) A (2)P2=P(AB AB
B 互不相容, 故 , A 由于AB, AB
B ) = P (AB) +P (AB B ) =0.56+0.8*0.3+0.2*0.7=0.94; A ) +P (A P(AB AB
B ) = 0.8*0.3+0.2*0.7=0.38. A (3) P 3=P(AB
4. 加工某一零件共需经过3道工序, 设第一, 二, 三道工序的次品率是2%,3%,5%.假定各道程序互不影响,
求加工出来的零件的次品率.
解:设A i 表示”第I 道程序出现次品”(I=1,2,3).A表示”加工出来的零件是次品” P(A)= A A A
=P A P A P A P A A P A A P A A P A A A 因各道程序互不影响, 所以事件 A , A , A 是相互独立的. 则有 P A A P A P A 0.02 0.03 0.0006 P A A P A P A 0.03 0.05 0.0015 P A A P A P A 0.02 0.05 0.001
P A A A P A P A P A 0.02 0.03 0.05 0.00003 因此P(A)=0.02+0.03+0.05‐0.0006‐0.0015‐0.001+0.00003=0.09693
5. 在1小时内甲乙丙3台机床需维修的概率分别是0.1,0.2,0.15, 求1小时内:
(1) 没有一台机床需要维修的概率; (2) 至少有一台机床需要维修的概率; (3) 至多有一台机床需要维修的概率.
解:设A 表示甲机床需维修, A 表示乙机床需维修, A 表示丙机床需维修,
A A = P A P A P A 1 0.1 1 0.2 1 0.15 0.612; (1)P1 =P (A
A A =1‐0.612=0.388; (2)P2 =1‐ P (A A A A A A A A A A A A ) =0.612+0.068+0.153+0.108=0.941 (3) P 3 =P (A
相互独立. 6. 证明A 与B 相互独立, 则A 与B
解:P(AB)=P(A)P(B)
)=P[(A)(1‐B)]=P(A‐AB)=P(A)‐P(AB)= P(A)‐ P(A)P(B)=P(A)[1‐P(B)]=P(A)P(B ). P(AB
). 7. 设0
与B 也相互独立, ∴ P(A|B)=P(A), P(A|B )=P (A) ∴ P (A|B) =P (A|B ) 解: ∵A 与B 相互独立 ∴ A
P AB )
P AB P AB
而由题设P(A|B)=P(A|B ) ∴=, 即P(AB)[1‐P(B)]=[P(A)‐P(AB)]P(B)
P B P B
P AB
∴P(AB)=P(A)P(B),故A 与B 相互独立.
8. 设A 与B 相互独立, 两个事件仅A 发生和仅B 发生的概率都是求P(A),P(B).
B ) = , A 与B 相互独立 ) = P (A 解: ∵P (AB
) =P (A) P B =P (A) [1‐P (B)] = ∴P (AB
B ) = P A P (B) = [1‐P (A)] P (B) = P (A
∴P(A)=P(B),P(A)‐P (A)= , 即P(A)=P(B)=
2
9. 一批产品中有30%的一级品, 进行重复抽样调查, 共取5个样品, 求:
(1) 取出的5个样品中恰有2个一级品的概率; (2) 取出的5个样品中至少有2个一级品的概率.
23
解: (1)P1=C *(0.3)*(1‐0.3) =0.309 注:5个里面2个一级品3个次品 05 14
(2) P 2=1‐C *(0.3)*(1‐0.3) ‐C *(0.3)*(1‐0.3)
=1‐1*1*0.168‐5*0.3*0.24=0.472
注: 1－取出的5个样品中有0个一级品的概率－取出的5个样品中有1个一级品的概率
10. 一大楼装有5台同类型的供水设备, 调查表明在任一时刻每台设备被使用的概率为0.1, 问同一时刻, (1) 恰有2台设备被使用的概率是多少? (2) 至少有3台设备被使用的概率是多少? (3) 至多有3台设备被使用的概率是多少? (4) 至少有1台设备被使用的概率是多少? 解: (1)设A 2表示”恰有2台设备被使用”
23
P (A2) = P 5 (2) = C *(0.1)* (1‐0.1) =10*0.01*0.729=0.0729
(2)设A 0表示”没有设备被使用”, A 1表示”恰有1台设备被使用”, B 表示” 至少有3台设备被使用” P (B) =1‐P (A0)‐P (A1) ‐ P (A2)
05 14
=1‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐0.0729
=1‐0.59049‐0.32805‐0.0729=0.00856
(3)设A 4表示”恰有4台设备被使用”, A 5表示”恰有5台设备被使用”, B 1表示” 至多有3台设备被使用”
P (B1) =1‐P (A4)‐P (A5)
41 50
=1‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐C *(0.1)* (1‐0.1) ‐0.0729
=1‐0.00045‐0.00001=0.99954
(4)设B 2表示” 至少有1台设备被使用”, P(B2)=1‐P( A 0)=1‐0.59049=0.40951
11. 一射手对一目标独立地射击4次, 若至少命中一次的概率为
, 求射手射击一次命中目标的概率?
解:B表示”至少命中一次”, A 0表示”一次都没命中”,p表示射击一次命中目标的概率,
0 4
P (B) =1‐P (A0) =1‐C *(p)* (1‐p) 04
即: 1‐C *(p)* (1‐p) =
1‐1*1* (1‐p)
4
=, p=1‐ =
12. 已知每枚地对空导弹击中来犯敌机的概率为0.96, 问需要发射多少枚导弹才能保证至少有一枚导弹击中敌机的概率大于0.999? 解:设需发射n 枚导弹.
0n
至少有一枚导弹击中敌机的概率为1‐P n (0)=1‐C p q =1‐ a n
由题意要求1‐ a
自测题1 一, 选择题
n
>0.999,即a n
1. 某人射击3次, 以A i (I=1,2,3)表示事件”第I 次击中目标”,则事件”至多击中目标1次”的正确表示为
A A A A A A, A A A B. A
A A A A A A A D. A A A A C. A
2. 设A,B 为随机事件, 则 A B A =A, AB B. A C. B D. A B
3. 将两封信随机地投入4个邮筒中, 则未向前两个邮筒中投信的概率为 !
A. B. C. D. A ! C
C
!
4. 将0,1,2,….,9等10个数字中随机地, 有放回地接连抽取4个数字, 则”8”至少出现一次的概率为A. 0.1 B. 0.3439 C. 0.4 D. 0.6561
04
解:1‐C *(0.1)* (1‐0.1) =0.3439
5. 设随机变量A 与B 互不相容, 且P(A)>0,P(B)>0,则 )=1 A. P(A)=1‐P(B) B. P(AB)=P(A)P(B) C. P(A B )=1 D. P( AB
)= P(Ω)=1 解:A,B互不相容, 即AB=Ø;P(Ø)=0,P(Ω)=1, P(Ø
6. 设A,B 为随机事件,P(B)>0,P(A|B)=1,则必有
A. P (A B ) =P (A) B. A B C.P (A) =P (B) D. P (AB) =P (A)
7. 设A,B 为两个随机事件, 且P(AB)>0,则P(A|AB)= A. P (B) B. P (AB) C. P (A B ) D .1 解:由条件概率公式P(A|B)=
8. 设A 与B 互为对立事件, 且P(A)>0,P(B)>0,则下列各式中错误的是
|A 0 B. P (A|B) =0 C.P (AB) =0 D. P (A B ) =1 A. P ( B
9. 设随机事件A 与事件B 互不相容,P(A)=0.4,P(B)=0.2,则P(A|B)= A. 0 B. 0.2 C. 0.4 D.0.5 注:A,B互不相容, 即不能同时发生.
10. 设P(A)>0,P(B)>0,则由A 与B 相互独立不能推出 |B )= P (B ) D. P (AB )=P(A)P(B ) A. P (A B )=P(A)=P(B) B. P(A|B)=P(A) C. P (A
) P (B ) 注: P (A B )=1‐ P (A
11. 某人连续向一目标射击, 每次命中目标的概率为, 他连续射击直到命中为止, 则射击次数为3的概率
是 C
P AB P B
得P(A|AB)=
P A P AB P AB P AB
P AB
A.
B. * C. * D. C *
12. 抛一枚不均匀硬币, 正面朝上的概率为, 将此硬币连抛4次, 则恰好3次正面朝上的概率是
A.
B. C. D.
解: C
=4*
二. 填空题
1. 从1,2,3,4,5中任取3个数字, 则这3个数字中不含1的概率为 解:
C C
=, 去掉1就是4个中取3个数字的取法.
2. 从1,2,…10这10个自然数中任取3个数, 则这3个数中最大的为3的概率是 解:
C
C C.
C
3. 一口袋装有3个红球,2个黑球, 现从中任取出2个球, 则这2个球恰为一红一黑的概率是 解:
C
4. 从分别标有1,2,….9号码的9件产品中随机取3件, 每次取1件, 取后放回, 则取得的3件产品的标号都是偶数的概率是 解:
.
5. 把3个不同的球随机地放入3个不同的盒中, 则出现两个空盒的概率为.
解:
* 3
6. 设随机事件A 与B 互不相容,P(A)=0.2, P (A B )=0.5,则P(B)=
解:A与B 互不相容时, P (A B )= P(A)+ P(B)
7. 100件产品中, 有10件次品, 不放回地从中接连取两次, 每次取一个产品, 则第二次取到次品的概率为
解:设A=第一次取到次品,B=第二次取到次品. ) P (B|A ) = P (B) =P (A) P (B|A) +P (A
8. 设A,B 为随机事件, 且P(A)=0.8,P(B)=0.4,P(B|A)=0.25,则P(A|B)=
P A P B|A . . 解:
P B .
9. 某工厂的次品率为5%,而正品中有80%为一等品, 如果从该厂的产品中任取一件来检验, 则检验结果
是一等品的概率为 0.76 .(不同于例1‐18!!) 解: (1‐5%)*80%
10. 甲乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲乙机种飞机的概率分别为0.3,0.4, 则飞机至少被击中一炮的概率为 0.58 . 解:1‐(1‐0.3)*(1‐0.4)=1‐0.42=0.58
11. 在一次考试中, 某班学生数学和外语的及格率都是0.7, 且这两门课是否及格相互独立, 现从该班任选一名学生, 则改学生数学和外语只有一门及格的概率为 0.42 . 解:0.7*(1‐0.7) + 0.7*(1‐0.7)
12. 设A 与B 相互独立,P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(A|B)=.
13. 某射手命中率为他独立地向目标射击4次, 则至少命中一次的概率为.
解: 1 C
=0.1
1
)=0.4,求P(AB). 三. 设P(A)=0.5,P(B)=0.6,P(B|A
)* P (B|A ) = P (B ) *P (A |B) 解∵P (A
) =1‐P (A) P (A
|B) ∴0.5*0.5=0.6* P (A
|B) = P (A |B) = P (A|B) =1‐ P (A
∴P (AB) =P (B)*P (A|B) =0.4 )=P(A|B),证明A 与B 独立. 四. 设A,B 为两个随机事件,0
P A P AB P AB P AB 证: P(A|B)= P (A|B )= = P B P B P B
)=P(A|B),即: P(A|B
P AB P A P AB = P B P B
P(AB)[1‐P(B)]=P(B)[ P A P AB ]
P(AB)‐P(AB)P(B)=P(B)P(A)‐P(B)P(AB)
P(AB)=P(B)P(A)
所以A 与B 相互独立.
五. 已知一批产品中有95%是合格品, 检查产品质量时, 一个合格品被误判为次品的概率为0.02, 一个次品被误判为合格品的概率是0.03. 求:
(1)任意抽查一个产品, 它被判为合格品的概率;
(2)一个经检查被判为合格品的产品确实是合格品的概率.
解:设A 表示”合格品”, B 表示”被判为次品”,则:
0.05; P(B|A)=0.02 P(B )=0.03 |A)=0.98 P(B |A P(A)=0.95; P A
(1)由全概率公式可得:
P(B )=0.95*0.98+0.05*0.03=0.9325 |A)+ P A |A )=P(A)P(B P(B
(2)由贝叶斯公式可得:
|A P A P B P(A|B )= P B .
说明(1)一个合格品被误判为次品的概率为0.02, 则被判为合格品的概率0.95*(1-0.02);一个次品被误 . . 0.9984 判为合格品的概率是0.03, 则被判为合格品的概率0.05*0.03.所以任意抽查一个产品，它被判为合格品的概率为G1=0.95*(1-0.02)+0.05*0.03.
(2)由1题已算出任意抽查一个产品被判为合格品的概率, 其中包括对次品的误判, 所以要除去对次品判为合格的概率, 因此一个经检查被判为合格的产品确实是合格品的概率
G2=0.95*(1-0.02)/[0.95*(1-0.02)+0.05*0.03]
11