3.8 一元二次函数的性质和图像
Ⅰ、教学目标： 一、知识目标
1．一元二次函数的图像 2．一元二次函数的性质 二、能力目标
1．理解一元二次函数的性质，并会简单应用。 2．了解一元二次函数图像的绘制过程。 3．培养学生分析问题的能力。 4．渗透数形结合的解题思想。 Ⅱ、教学重点与难点分析：
一元二次函数性质的理解以及这些性质的应用是本节课的重点也是难点。通过用描点法作函数的图像，并引导学生观察图像得出性质，可以帮助学生更深刻的理解各项性质。同时在性质运用时，可以利用数形结合的方法，更直观的解决问题；同时注意引导学生学会分析问题，寻找关键点，选择最适合的求解方法。
Ⅲ、教学方法：
通过举例引导学生做出此例中函数的图像，利用以前的相关知识点，从图像中分析出此函数的性质，从而进一步的抽象出一元二次函数的性质，并利用性质科学地画出函数图像的简图。在运用性质时，注意通过运用图像，加深学生对性质的理解；同时培养学生分析问题的能力。
Ⅴ、教学过程： 一、课程导入
师：什么样的函数是一元二次函数？
生：函数中有一个自变量，并且自变量的次数是2。 师：比如 y =
125
x +x -. 22
师：有没有同学给大家举一个例子？ 生：比如…
老师和同学们一块儿分析同学们举出的例子是否正确。那么如何正确、简便地画一元二次函数的图像呢，咱们先来看这个函数：
y =
125
x +x -, x ∈R 22
① 把一元二次函数表达式中含x 的项配方得：
15
=(x 2+2x +1-1) -22115
=(x +1) 2--
2221
=(x +1) 2-32
② 因为我们在上节课中证明了此函数图像有对称轴x ＝-1。所以只要先画出图像在直线x ＝-1的右边的一半。
列表：
描点并联结得下图：
利用对称性，画出图像在直线x ＝-1的左边的一半，如下图：
③ 观察图像思考：
通过提问的方式引导学生认识图像的顶点坐标、函数的最值、单调性、开口方向以及它们和表达式的关系。
二、讲授新课 1. 定义
一般地，给定a , b, c ∈ R ，且a ≠0, 函数
y =ax 2+bx +c
称为一元二次函数。它的定义域是实数集R .
2. 一元二次函数的性质
为了了解一元二次函数的性质，先把它的表达式配方如下：
y = ax2 + bx + c
b 2 b b 2 ]+ c= a[ x2 + －x + (－)- ( )-a 2a 2a
2b b 2= a( x + )- - + c-2a
4a
2b 4ac - b2_______= a( x + )- +2a 4a
通过与导入中的一元二次函数对照，观察上表达式可以得出（此环节也通过提问引导学生自己说出来）：
① 图像有对称轴 x =-
b
； 2a
⎫⎪⎪； ⎭
⎛b 4ac -b 2
② 图像的顶点坐标是 -2a , 4a ⎝
b 4ac -b 2③ 当a >0时，图像开口向上；函数在x =-处达到最小值；函数在区间
2a 4a
[-
b b
, +∞) 上是增函数，在区间(-∞, -]上是减函数； 2a 2a
b 4ac -b 2
当a
2a 4a
[-
b b
, +∞) 上是减函数，在区间(-∞, -]上是增函数； 2a 2a
④ 一元二次函数的图像是一条抛物线。如下图：
y
a>0
图1
三、例题与练习
x
例1 求下列函数的最小值或最大值： （1）y =2x 2-6x +5； （2）y =-2x 2-6x +5. 方法一：
解：（1）a =2>0，图像开口向上，因此函数有最小值．把函数的表达式配方得 332
y =2(x 2-3x +() 2-() ) +5
2239
=2(x -) 2-+5
2231
=2(x -) 2+
22
由此得出，当x =
31
时，y 达到最小值．
22
（2）a =－2
y =-2(x 2+3x +() 2-() 2) +5
2239
=-2(x +) 2++5
22319
=-2(x +) 2+
22
319
由此得出，当x =-时，y 达到最大值．
22
注：让同学们思考还有没有其他方法来解决这个问题？从而让他们熟练的应用表达式. 方法二：以解（1）为例
根据一元二次函数的性质可知：a =2>0，因此函数有最小值. 当
2
b -634ac -b 24⨯2⨯5-（-6）1x =-＝-＝-时，y 达到最小值＝＝.
2a 2⨯224a 4⨯22
练习1 选择合适的术语（对称轴、顶点、最小值、最大值、增函数、减函数、向上、向下）填入空格：
(1)
函数y =(x -1) 2-2的图像的________是直线x ＝1，________的坐标是（1，
，+∞) 上是________；图-2）；这个函数在x ＝1处达到________-2,在区间(1
像的开口_______.
(2)
函数y =-
1
(x +2) 2+3的图像的________是直线x ＝-2，________的坐标2
+∞) 上是(-2，3) ；这个函数在x ＝-2处达到___________3，在区间(-2，-2) 上是________;图像的开口_______. 是________，在区间(-∞，
(此环节以抢答的形式展开，答对了给予学分奖励)
练习2 利用二次函数的性质把下面两个函数图像草图作出来，并把它们的性质作一口述。（此环节要求两位同学合作完成，一位同学作图像，与此同时另一个同学把相关的性质说出来。）(答案略)
(1)y =-(x -1) +2； (2)y =
2
1
(x +2) 2+3． 2
四、内容小结 (1) (2)
一元二次函数的图像（抛物线）。
一元二次函数的性质：图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性。
五、知识目标
(1) 会做出一元二次函数的图像。 (2) 掌握一元二次函数的性质。 六、思考题
某工厂生产一种产品的总利润L （元）是产量x （件）的二次函数
L =-x 2+200x -100, 0
试问：产量是多少时总利润最？最大利润是多少？（此题培养同学们应用一元二次函数性质的能力）
七、课后作业
必做题 P120 A组 1、2 (1)、(4) 选做题 P120 B组 2、3
3.8 一元二次函数的性质和图像
Ⅰ、教学目标： 一、知识目标
1．一元二次函数的图像 2．一元二次函数的性质 二、能力目标
1．理解一元二次函数的性质，并会简单应用。 2．了解一元二次函数图像的绘制过程。 3．培养学生分析问题的能力。 4．渗透数形结合的解题思想。 Ⅱ、教学重点与难点分析：
一元二次函数性质的理解以及这些性质的应用是本节课的重点也是难点。通过用描点法作函数的图像，并引导学生观察图像得出性质，可以帮助学生更深刻的理解各项性质。同时在性质运用时，可以利用数形结合的方法，更直观的解决问题；同时注意引导学生学会分析问题，寻找关键点，选择最适合的求解方法。
Ⅲ、教学方法：
通过举例引导学生做出此例中函数的图像，利用以前的相关知识点，从图像中分析出此函数的性质，从而进一步的抽象出一元二次函数的性质，并利用性质科学地画出函数图像的简图。在运用性质时，注意通过运用图像，加深学生对性质的理解；同时培养学生分析问题的能力。
Ⅴ、教学过程： 一、课程导入
师：什么样的函数是一元二次函数？
生：函数中有一个自变量，并且自变量的次数是2。 师：比如 y =
125
x +x -. 22
师：有没有同学给大家举一个例子？ 生：比如…
老师和同学们一块儿分析同学们举出的例子是否正确。那么如何正确、简便地画一元二次函数的图像呢，咱们先来看这个函数：
y =
125
x +x -, x ∈R 22
① 把一元二次函数表达式中含x 的项配方得：
15
=(x 2+2x +1-1) -22115
=(x +1) 2--
2221
=(x +1) 2-32
② 因为我们在上节课中证明了此函数图像有对称轴x ＝-1。所以只要先画出图像在直线x ＝-1的右边的一半。
列表：
描点并联结得下图：
利用对称性，画出图像在直线x ＝-1的左边的一半，如下图：
③ 观察图像思考：
通过提问的方式引导学生认识图像的顶点坐标、函数的最值、单调性、开口方向以及它们和表达式的关系。
二、讲授新课 1. 定义
一般地，给定a , b, c ∈ R ，且a ≠0, 函数
y =ax 2+bx +c
称为一元二次函数。它的定义域是实数集R .
2. 一元二次函数的性质
为了了解一元二次函数的性质，先把它的表达式配方如下：
y = ax2 + bx + c
b 2 b b 2 ]+ c= a[ x2 + －x + (－)- ( )-a 2a 2a
2b b 2= a( x + )- - + c-2a
4a
2b 4ac - b2_______= a( x + )- +2a 4a
通过与导入中的一元二次函数对照，观察上表达式可以得出（此环节也通过提问引导学生自己说出来）：
① 图像有对称轴 x =-
b
； 2a
⎫⎪⎪； ⎭
⎛b 4ac -b 2
② 图像的顶点坐标是 -2a , 4a ⎝
b 4ac -b 2③ 当a >0时，图像开口向上；函数在x =-处达到最小值；函数在区间
2a 4a
[-
b b
, +∞) 上是增函数，在区间(-∞, -]上是减函数； 2a 2a
b 4ac -b 2
当a
2a 4a
[-
b b
, +∞) 上是减函数，在区间(-∞, -]上是增函数； 2a 2a
④ 一元二次函数的图像是一条抛物线。如下图：
y
a>0
图1
三、例题与练习
x
例1 求下列函数的最小值或最大值： （1）y =2x 2-6x +5； （2）y =-2x 2-6x +5. 方法一：
解：（1）a =2>0，图像开口向上，因此函数有最小值．把函数的表达式配方得 332
y =2(x 2-3x +() 2-() ) +5
2239
=2(x -) 2-+5
2231
=2(x -) 2+
22
由此得出，当x =
31
时，y 达到最小值．
22
（2）a =－2
y =-2(x 2+3x +() 2-() 2) +5
2239
=-2(x +) 2++5
22319
=-2(x +) 2+
22
319
由此得出，当x =-时，y 达到最大值．
22
注：让同学们思考还有没有其他方法来解决这个问题？从而让他们熟练的应用表达式. 方法二：以解（1）为例
根据一元二次函数的性质可知：a =2>0，因此函数有最小值. 当
2
b -634ac -b 24⨯2⨯5-（-6）1x =-＝-＝-时，y 达到最小值＝＝.
2a 2⨯224a 4⨯22
练习1 选择合适的术语（对称轴、顶点、最小值、最大值、增函数、减函数、向上、向下）填入空格：
(1)
函数y =(x -1) 2-2的图像的________是直线x ＝1，________的坐标是（1，
，+∞) 上是________；图-2）；这个函数在x ＝1处达到________-2,在区间(1
像的开口_______.
(2)
函数y =-
1
(x +2) 2+3的图像的________是直线x ＝-2，________的坐标2
+∞) 上是(-2，3) ；这个函数在x ＝-2处达到___________3，在区间(-2，-2) 上是________;图像的开口_______. 是________，在区间(-∞，
(此环节以抢答的形式展开，答对了给予学分奖励)
练习2 利用二次函数的性质把下面两个函数图像草图作出来，并把它们的性质作一口述。（此环节要求两位同学合作完成，一位同学作图像，与此同时另一个同学把相关的性质说出来。）(答案略)
(1)y =-(x -1) +2； (2)y =
2
1
(x +2) 2+3． 2
四、内容小结 (1) (2)
一元二次函数的图像（抛物线）。
一元二次函数的性质：图像的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及函数的增减性。
五、知识目标
(1) 会做出一元二次函数的图像。 (2) 掌握一元二次函数的性质。 六、思考题
某工厂生产一种产品的总利润L （元）是产量x （件）的二次函数
L =-x 2+200x -100, 0
试问：产量是多少时总利润最？最大利润是多少？（此题培养同学们应用一元二次函数性质的能力）
七、课后作业
必做题 P120 A组 1、2 (1)、(4) 选做题 P120 B组 2、3