高中数学圆的方程典型例题(学生)

高中数学圆的方程典型例题

类型一：圆的方程

例1 求过两点A(1,4)、B(3,2)且圆心在直线y0上的圆的标准方程并判断点P(2,4)与圆的关系．

解法一：（待定系数法）

设圆的标准方程为(xa)2(yb)2r2． ∵圆心在y0上，故b0． ∴圆的方程为(xa)2y2r2．又∵该圆过A(1,4)、B(3,2)两点．

(1a)16r∴ 22

(3a)4r

解之得：a1，r20．

所以所求圆的方程为(x1)2y220．

解法二：（直接求出圆心坐标和半径）

因为圆过A(1,4)、B(3,2)两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线l上，又因

42

1，故l的斜率为1，又AB的中点为(2,3)，故AB的垂直平分线l的方13

程为：y3x2即xy10．

又知圆心在直线y0上，故圆心坐标为C(1,0)

为kAB

∴半径rAC

(11)24220．

故所求圆的方程为(x1)y20．又点P(2,4)到圆心C(1,0)的距离为

dPC(21)24225r．

∴点P在圆外．

例2 求半径为4，与圆xy4x2y40相切，且和直线y0相切的圆的方程．

解：则题意，设所求圆的方程为圆C：(xa)(yb)r．

圆C与直线y0相切，且半径为4，则圆心C的坐标为C1(a,4)或C2(a,4)．又已知圆xy4x2y40的圆心A的坐标为(2,1)，半径为3．若两圆相切，则CA437或CA431．

(1)当C1(a,4)时，(a2)2(41)272，或(a2)2(41)212(无解)，故可得

a22．

∴所求圆方程为(x22)2(y4)242，或

(x22)2(y4)242．

222222

(2)当C2(a,4)时，(a2)(41)7，或(a2)(41)1(无解)，故a226．

∴所求圆的方程为(x226)2(y4)242，或

(x226)2(y4)242．

例3 求经过点A(0,5)，且与直线x2y0和2xy0都相切的圆的方程．

解：由

解得

代入得R2=5或R2=125

∴所求圆的方程为(x1)2(y3)25或(x5)2(y15)2125．

类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程

4与圆O相切的切线．例5 已知圆O：x2y24，求过点P2，

解：∵点P2，4不在圆O上，根据dr

∴ 解得 k

∴切线PT的直线方程可设为ykx24

2k4k

2

所以 yx24 即 3x4y100 44

因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条

切线为x2．

例6 两圆C1：x2y2D1xE1yF10与C2：x2y2D2xE2yF20相交于A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程．

解：设两圆C1、C2的任一交点坐标为(x0,y0)，则有：

x0y0D1x0E1y0F10 ①

x0y0D2x0E2y0F20 ②

①－②得：(D1D2)x0(E1E2)y0F1F20．

∵A、B的坐标满足方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20．

∴方程(D1D2)x(E1E2)yF1F20是过A、B两点的直线方程．

又过A、B两点的直线是唯一的．

∴两圆C1、C2的公共弦AB所在直线的方程为

(D1D2)x(E1E2)yF1F20．

例7、过圆x2y21外一点M(2,3)，作这个圆的两条切线MA、MB，切点分别是A、B，求直线AB的方程。

类型三：弦长、弧问题

例8、求直线l:3xy60被圆C:x2y22x4y0截得的弦AB的长.

例9、直线3xy230截圆xy4得的劣弧所对的圆心角为解：依题意得，弦心距d

3，故弦长AB2r2d22，从而△OAB是等边三角

形，故截得的劣弧所对的圆心角为AOB

类型四：直线与圆的位置关系



例11、已知直线3xy20和圆xy4，判断此直线与已知圆的位置关系.

例12、若直线yxm与曲线y解：∵曲线y

4x2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.

4x2表示半圆x2y24(y0)，∴利用数形结合法，可得实数m

的取值范围是2m2或m22.

例13 圆(x3)2(y3)29上到直线3x4y110的距离为1的点有几个？

解：圆(x3)2(y3)29的圆心为O1(3,3)，半径r3．设圆心O1到直线3x4y110的距离为d，则d

334311

34

23．

如图，在圆心O1同侧，与直线3x4y110平行且距离为1的直线l1与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又rd321．

∴与直线3x4y110平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个．

类型五：圆与圆的位置关系

例14、判断圆C1:x2y22x6y260与圆C2:x2y24x2y40的位置关系，

例15：圆xy2x0和圆xy4y0的公切线共有条。

2222

解：∵圆(x1)y1的圆心为O1(1,0)，半径r11，圆x(y2)4的圆心为

O2(0,2)

，半径

r22

，∴

O1O2,r1r23,r2r11

.∵

r2r1O1O2r1r2，∴两圆相交.共有2条公切线。

类型六：圆中的对称问题

例16、圆xy2x6y90关于直线2xy50对称的圆的方程是

3发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，反射光线所在的直线与圆例17 自点A3，

C：x2y24x4y70相切

（1）求光线l和反射光线所在的直线方程．

（2）光线自A到切点所经过的路程．

图

解：根据对称关系，首先求出点A的对称点A的坐标为3，3，其次设过A的圆

C的切线方程为

ykx33

k

或k 34

根据dr，即求出圆C的切线的斜率为

进一步求出反射光线所在的直线的方程为

4x3y30或3x4y30

最后根据入射光与反射光关于x轴对称，求出入射光所在直线方程为

4x3y30或3x4y30 光路的距离为A'M，可由勾股定理求得AM

类型七：圆中的最值问题

例18：圆x2y24x4y100上的点到直线xy140的最大距离与最小距离的差是

解：∵圆(x2)2(y2)218的圆心为（2，2），半径r32，∴圆心到直线的距离

ACCM7．

d

102

52r，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

(dr)(dr)2r62.

例19 (1)已知圆O1：(x3)2(y4)21，P(x,y)为圆O上的动点，求dx2y2的最大、最小值．

dmax36．dmin16．

(2)已知圆O2：(x2)2y21，P(x,y)为圆上任一点．求求x2y的最大、最小值．

y2

的最大、最小值，x1

y23333

的最大值为，最小值为． x144

x2y的最大值为25，最小值为2．

例20：已知A(2,0)，B(2,0)，点P在圆(x3)(y4)4上运动，则

的最小值是解：设P(x,y)，则

PAPB(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP8.设圆心为

222

C(3,4)，则minOCr523，∴PB的最小值为232826.