第三章 微分中值定理与导数的应用
§1内容提要
一、介值定理
1、定理1（零点定理）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)
ξ使f(ξ)=0
2、定理2（介值定理）
那么对于A与B之设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)=A及f(b)=B,A≠B，间的任一个常数C，开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=C,
(a
二、微分中值定理
1、定理3（费马（fermat）引理）
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)=(x0−δ,x0+δ)内有定义，并且在x0处可导，如果
对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)（f(x)≥f(x0)），那么f′(x0)=0。 注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。
②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。 2、 定理4（罗尔（Rolle定理））
如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
3、定理5（拉格朗日（Lagrange）定理）
如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
4、定理6
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数。
5、定理7（柯西（Cauchy）定理）
如果函数f(x)及F(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x∈(a,b),F(x)≠0,那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
使得
f(b)−f(a)f′(ξ)
=。
′F(b)−F(a)F(ξ)
6、定理8（泰勒（Taylor）定理）
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对x∈(a,b),有
f′′(x0)f(n)(x0)2
(x−x0)+
2!n!
f(n+1)(ξ)
(x−x0)n+1，这里ξ是x与x0之间的某个值，此公式也称为带有拉格其中Rn(x)=
(n+1)!
朗日型余项的n阶泰勒公式。
n
（1）当Rn(x)=o⎡⎣(x−x0)⎤⎦时，
f′′(x0)f(n)(x0)2f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+(x−x0)+
称为带有皮亚诺（Peano）余项的n阶泰勒公式。
（2）在泰勒公式中，如果取x0=0，则ξ在x与0之间，此时可令ξ=θx(0
f′′(0)2f(n)(0)nf(n+1)(θx)n+1
x+
n!2!(n+1)!
f′′(0)2f(n)(0)n
f(x)=f(0)+f′(0)x+x+
2!n!
§2 典型题型与例题分析
题型一 证明存在ξ，使f(ξ)=0
解题提示：用介值定理。唯一性由f′(x)>0（或f′(x)
例1、设f(x)在[a,+∞)上连续，当x>a时，f′(x)>K>0（K为常数）。试证明：若
f(a)⎞⎛
（提示：由拉格朗日中f(a)
K⎝⎠
值定理在(a,+∞)中先找到一点ξ，使f(ξ)>0，然后再用介值定理，注意唯一性）
例2、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，证明在(a,b)内存在唯一的ξ，使得直线x=ξ
将曲线y=f(x)和直线x=a,x=b以及y=0所围成的平面图形分成面积相等的两部分。
π
π
例3、设函数f(x)在[0,π]上连续，且∫f(x)dx=0,
0∫
f(x)cosxdx=0。试证：在
(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
分析：证明介值问题，一般两种情形：（1）要证的结论与某函数在一点的函数值f(ξ)有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理（如例1，例2）；（2）要证的结论与某函数在某一点的导数值f′(ξ)或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（题型二将详述）。
本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，实际上应用微分中值定理解决，根据
(∫
x
a
f(t)dt=f(x)，利用变限积分的函数∫f(t)dt作
a
)
′
x
辅助函数。
本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：
F(x)=∫f(t)dt。显然有F(0)=F(π)=0，但要证本题结论，还需要找F(x)的一个零
a
x
点，这要由第二个条件
π
∫
π
f(x)cosxdx=0来实现，为了与F(x)联系起来，可将其变
π
换为0=∫f(x)cosxdx=∫cosxdF(x)再通过分部积分和积分中值定理就可达到
目的。
例4、设f(x)在[0,1]上连续，∫f(x)dx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数且在
01
(0,1)内g′(x)≠0，并且∫f(x)g(x)dx=0，试证至少存在两个不同的点
1
ξ1,ξ2∈(0,1)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。（提示：同例3）
题型二 证明存在ξ，使f(n)(ξ)=0(n=1,2,
例5、设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, 试证必存在ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0。（提示：只需证明存在一点c∈[0,3)，f(3)=1。
使f(c)=f(3)=1然后应用罗尔定理即可。由条件
f(0)+f(1)+f(2)
=1，问题转
3
化为1介于函数的最值之间，用介值定理就可以达到目的。）
例6、设函数f(x)在区间[0,1]上有三阶导数，且f(1)=0，设F(x)=x3f(x)， 证明：在(0,1)内存在一点ξ，使得F′′′(ξ)=0。（提示：直接用麦克劳林公式，也
可以三次用罗尔定理）
例7、设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，且f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f′′(ξ)=g′′(ξ)。 （本题综合考查介值定理和罗尔定理。提示：令F(x)=f(x)−g(x)，只需对F′(x)用罗尔定理。）
题型三 证明存在ξ，使f(n)(ξ)=k
(k≠0)
解题提示：构造辅助函数，利用中值定理） 步骤：（1）将ξ换为x；（2）恒等变形，便于积分；
（3）积分并分离常数：F(x,f(x))=C，则F(x,f(x))即为所需的辅助函数。 例8、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足
f(1)=k∫xe1−xf(x)dx
1
k0
(k>1)，
（提示：将要证关系式证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=(1−ξ−1)f(ξ)。
f′(ξ)=(1−ξ−1)f(ξ)中的ξ换为x，并作恒等变形得f′(x)=1−1两边积分后得f(x)x，
xe−xf(x)=C故可作出辅助函数F(x)=xe−xf(x)，对已知条件使用积分中值定理，然后对辅助函数应用罗尔定理即可。）
例9、设f(x)在[0,1]内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，但当x∈(0,1)时，
f(x)>0，求证对任意自然数n，在(0,1)内存在ξ，使
nf′(ξ)f′(1−ξ)
=。 （提f(ξ)f(1−ξ)
n
两边积分后，可作出辅助函数F(x)=[f(x)]f(1−x)）。 示：将所证结论中ξ改为x，例10、设f(x)在[a,b]上可导，且a,b同号，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使
af(b)−bf(a)f(x)1
=f(ξ)−ξf′(ξ)。 （提示：令F(x)=,G(x)=，注意到a,b同
xxa−b号，故用柯西中值定理）。
1
例11、设f(x)在[0,1]内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(=1，
2
1
证明：（1）存在η∈(,1)，使f(η)=η；
2
（2）对任意自然数λ，必存在ξ∈(0,η)，使f′(ξ)−λ[f(ξ)−ξ]=1
（提示：(1)直接用介值定理即可；（2）令F(x)=e−λx[f(x)−x]利用罗尔定理） 例12、假设函数f(x)和g(x)在[a,b]存在二阶导数，并且g′′(x)≠0,
f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（1）在开区间(a,b)内g(x)≠0； f(ξ)f′′(ξ)
=。 （2）在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使
g(ξ)g′′(ξ)（提示：对f(x)g′′(x)−g(x)f′′(x)=0等式积分可令辅助函数为
F(x)=f(x)g′(x)−g(x)f′(x)。再利用罗尔定理即可）
题型四 双介值问题，要证存在两个中值ξ,η满足某种关系的命题
解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
例13、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证 ：存在
ξ,η∈(a,b)，使得eη−ξ[f(η)+f′(η)]=1.
（提示：将要证结论改写为e
x
η
⎡exf(x)⎦⎤′[f(η)+f′(η)]=eξ.即证⎣
x=η
=eξ.。
令F(x)=ef(x)，对其应用拉格朗日中值定理。）
评注：对双介值问题（证明∃ξ,η∈(a,b)，使H(ξ,η)=0）一般按以下步骤证明： （1）ξ与η，化H(ξ,η)=0为f(ξ)=f(η)。
，则对F(x)应用拉格朗日中值定理，（2）若容易找到F(x)，使F′(x)=f(x)（或g(x)）
F(b)−F(a)
=F′(ξ)=f(ξ)。
b−a
F(b)−F(a)
（3）应用微分中值定理，证明=g(η)。
b−a
得
例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f′(x)≠0，试证 ：存在ξ,η∈(a,b)，
f′(ξ)eb−ea−η
=e.（提示：应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。使得） f′(η)b−a
例15、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证 ：
（1）存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=1−ξ
（2）存在两个不同的点η,ζ∈(0,1)，使得f′(η)f′(ζ)=1
（提示：第一问用闭区间上连续函数的介值定理；第二问为双介值问题，考虑用拉格朗日中值定理，并注意用第一问已得结论。）
题型五 不等式的证明
解题提示：不等式的证明方法很多，一般有：①利用单调性证明不等式；②利用极值与最值证明不等式；③利用凹凸性证明不等式；④利用拉格朗日中值定理证明不等式；⑤利用泰勒展开式证明不等式。这里只简要叙述④⑤两种方法，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名，将其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来，如果辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时也可考虑用泰勒公式证明。 类型一 利用微分中值定理证明不等式
例16、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(x)
任意x1,x2∈[0,1],必有f(x1)−f(x2)
11
.（提示：当x2−x1≤在[x1,x2]上利用拉格22
1
在[0,x1]与[x2,1]上分别利用拉格朗日中值定理证明）2
例17、设f(x)在[0,a]上二阶可导，且在(0,a)内达到最小值，又在f′′(x)≤M。证明：
f′(0)+f′(a)≤Ma.
（提示：存在c∈(0,a)使f′(c)=0在[0,c]与[c,a]上分别使用f′′(x)≤M）
类型二 利用泰勒公式证明不等式
适用于二阶以上可导的情形。
例18、设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件f(x)≤a,f′′(x)≤b，其中a,b都
是非负常数，证明：对任意x∈(0,1),必有f′(x)≤2a+. （提示：f(t)=f(x)+f′(x)(t−x)+
b
2
f′′(ξ)
(t−x)2再将t=0,t=1分别代入相减。并注意 2!
x∈(0,1),(1−x)2+x2≤1.）
例19、设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上的最小值等于
−1，试证：至少存在一点ξ∈(0,1),使f′′(ξ)≥8.（提示：a∈(0,1),f(a)=−1,f′(a)=0，
在点a处泰勒展开，并将x=0,x=1分别代入。）
题型六 中值定理的综合应用
例20、设f(x)在(−L,L)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0. （1）求证：对任意给定的0
∫
（2）求极限limθ. +
x→0
x
f(t)dt+∫
−x
f(t)dt=x[f(θx)−f(−θx)].
（提示：（1）令F(x)=
∫
x
f(t)dt+∫
−x
（2）由（1）得 f(t)dt,对其应用拉格朗日中值定理；
∫
x
f(t)dt+∫
2x2
−x
f(t)dt
=
f(θx)−f(−θx)
⋅θ 再令两边分别取极限）
2θx
例21、设f(x)在[−1,1]上具有三阶连续导数，且f(−1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明在
(−1,1)内至少存在一点ξ，使得f′′′(ξ)=3.
（提示：将f(x)在x=0展成二阶麦克劳林公式，令x=−1,x=1得到两式相减，对f′′′(x)
用介值定理。）
附：01-07年天津市大学生数学竞赛中与该部分内容有关的题目
1、设f(x)在区间[a,+∞]具有二阶连续导数，且
f(x)≤M0,0
)证明：f′(x)≤（01年试题）
2、设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，且4少存在一点在ξ，使得f′(ξ)=0。（01年试题）
3、设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,f′(0)=0,f′′(0)>0.在曲线y=f(x)上任意取一点(x,f(x))(x≠0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作μ，求：lim
x→0
∫
13
4
f(x)dx=f(0)，求证：在(0,1)内至
xf(μ)μf(x)
（03年试题）
4、设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得（03年试题）
ab
+=a+b. ′′f(ξ)f(η)
5、设正整数n>1，证明方程x2n+a1x2n−1+
6、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得
4⎡⎤⎛a+b⎞
（05年试题） f(a)2ff(b)−+=f′′(ξ)。⎜⎟⎢⎥b−a⎣2⎝⎠⎦
7、设函数f(x)在闭区间[−2,2]上具有二阶导数，f(x)
2
2
明：存在一点ξ∈(−2,2)，使得f(ξ)+f′′(ξ)=0。（05年试题） 8、证明：当x>2时，(x−2)e
x−2
2
（07年试题） −xex+2e−2
π
9、设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且有
∫
2
1
ef(x)arctanxdx=,f(1)=0，则至少存
2
在一点ξ∈(0,1)，使(1+ξ2)arctanξ⋅f′(ξ)=−1。（07年试题）
答案提示
1、对f(x)进行泰勒展开。
2、先利用积分中值定理，再利用罗尔定理。
3、过点(x,f(x))的曲线y=f(x)的切线方程为：Y−f(x)=f′(x)(X−x),
注意到：由于f′(0)=0,f′′(0)>0，在x=0的邻域内当x≠0时f′(x)≠0。因此，此直线在x轴上的截距为μ=x−
f(x)f(x)
，且limμ=limx−lim=0。
x→0x→0x→0′′f(x)f(x)
利用泰勒公式将f(x)在x=0点展开，得到
f(x)=f(0)+f′(0)x+f(μ)==
代入得
11
f′′(ξ1)x2=f′′(ξ1)x2 ξ1在0与x之间 22
1
f′′(ξ2)μ2 ξ2在0与μ之间 2
f(x)12−xxf′′(ξ2)μf′′(ξ2)xf(μ)xf′(x)−f(x)μf′(x)
=lim=lim=limlimlim=lim
x→0μf(x)x→0x→0f′x→0′(ξ1)x→0xx→0xxf′(x)μf′′(ξ1)x2
2
xf′′(x)f′′(x)f′′(0)1
=lim=lim==x→0f′(x)+xf′′(x)x→0f(x)′′′′
+f′′(x)f(0)+f(0)2x
4、提示：取数μ∈(0,1)，由介质定理知，存在c∈(0,1)，使得f(c)=μ，在区间[0，c]与[c，1]上分应用拉格朗日中值定理，得到f′(ξ),
f′(η)，代入要证明的式子中。再取
μ=
a
即得结论。 a+b
5、提示：把方程左边设为f(x)，则其在区间(−∞,+∞)上连续，且
f(x)=−1,limf(x)=+∞，因而必存在x1>0,x20,
x→∞
f(x2)>0
分别在(0,x1)和(x2,0)应用连续函数的介质定理即得结论。 6、对f(x)在x0=
a+b
作二阶泰勒展开，并分别将x=a和x=b代入，然后两式相加并2
根据f′′(x)的连续性利用介质定理即可证。
7、在区间[-2，0]和[0，2]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理得f′(η1)和f′(η2)， 令F(x)=[f(x)]+[f′(x)]，F(x)在[η1,η2]的最大值F(ξ)=max{F(x)}≥4
x∈(η1,η2)
22
由费马定理知F′(ξ)=0而由F(ξ)≥4知f′(ξ)≠0，故结论成立。 8、提示：方法一、利用曲线凹凸性定义； 方法二、令ϕ(x)=(x−2)e
x−22
−xex+2e−2.(x>−2)，则ϕ(−2)=0.
22⎛x−⎞x−2x−
22′e⎟−(ex+xex).(x>−2) 再令f(x)=ex+xex.对其应用拉格ϕ(x)=⎜e+
2⎝⎠
朗日中值定理即可判断ϕ′(x)的符号。 9、令F(x)=
∫
x
ef(x)arctanxdx，对其应用拉格朗日中值定理，再对F′(x)使用罗尔定理。
第三章 微分中值定理与导数的应用
§1内容提要
一、介值定理
1、定理1（零点定理）
设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)f(b)
ξ使f(ξ)=0
2、定理2（介值定理）
那么对于A与B之设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)=A及f(b)=B,A≠B，间的任一个常数C，开区间(a,b)内至少有一点ξ，使f(ξ)=C,
(a
二、微分中值定理
1、定理3（费马（fermat）引理）
设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)=(x0−δ,x0+δ)内有定义，并且在x0处可导，如果
对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)（f(x)≥f(x0)），那么f′(x0)=0。 注：①费马引理函数的极值点若可导，则其导数为0。
②一阶导数等于零的点称为函数的驻点。 2、 定理4（罗尔（Rolle定理））
如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，
那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
3、定理5（拉格朗日（Lagrange）定理）
如果函数f(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导， 那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
4、定理6
如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零，那么函数f(x)在区间I上是一个常数。
5、定理7（柯西（Cauchy）定理）
如果函数f(x)及F(x)满足：（1）在闭区间[a,b]上连续；（2）在开区间(a,b)内可导；
（3）对任一x∈(a,b),F(x)≠0,那么在(a,b)内至少有一点ξ(a
使得
f(b)−f(a)f′(ξ)
=。
′F(b)−F(a)F(ξ)
6、定理8（泰勒（Taylor）定理）
如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到n+1阶的导数，则对x∈(a,b),有
f′′(x0)f(n)(x0)2
(x−x0)+
2!n!
f(n+1)(ξ)
(x−x0)n+1，这里ξ是x与x0之间的某个值，此公式也称为带有拉格其中Rn(x)=
(n+1)!
朗日型余项的n阶泰勒公式。
n
（1）当Rn(x)=o⎡⎣(x−x0)⎤⎦时，
f′′(x0)f(n)(x0)2f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+(x−x0)+
称为带有皮亚诺（Peano）余项的n阶泰勒公式。
（2）在泰勒公式中，如果取x0=0，则ξ在x与0之间，此时可令ξ=θx(0
f′′(0)2f(n)(0)nf(n+1)(θx)n+1
x+
n!2!(n+1)!
f′′(0)2f(n)(0)n
f(x)=f(0)+f′(0)x+x+
2!n!
§2 典型题型与例题分析
题型一 证明存在ξ，使f(ξ)=0
解题提示：用介值定理。唯一性由f′(x)>0（或f′(x)
例1、设f(x)在[a,+∞)上连续，当x>a时，f′(x)>K>0（K为常数）。试证明：若
f(a)⎞⎛
（提示：由拉格朗日中f(a)
K⎝⎠
值定理在(a,+∞)中先找到一点ξ，使f(ξ)>0，然后再用介值定理，注意唯一性）
例2、设f(x)在[a,b]上连续，且f(x)>0，证明在(a,b)内存在唯一的ξ，使得直线x=ξ
将曲线y=f(x)和直线x=a,x=b以及y=0所围成的平面图形分成面积相等的两部分。
π
π
例3、设函数f(x)在[0,π]上连续，且∫f(x)dx=0,
0∫
f(x)cosxdx=0。试证：在
(0,π)内至少存在两个不同的点ξ1,ξ2，使f(ξ1)=f(ξ2)=0.
分析：证明介值问题，一般两种情形：（1）要证的结论与某函数在一点的函数值f(ξ)有关，但与其导数值无关，可考虑用连续函数的介值定理（如例1，例2）；（2）要证的结论与某函数在某一点的导数值f′(ξ)或更高阶导数值有关，则应考虑微分中值定理（包括罗尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒公式）（题型二将详述）。
本题要证的结论与导数无关，但用连续函数的介值定理又解决不了，是隐含介值问题，实际上应用微分中值定理解决，根据
(∫
x
a
f(t)dt=f(x)，利用变限积分的函数∫f(t)dt作
a
)
′
x
辅助函数。
本题提示：本题直接用连续函数的介值定理比较困难，可考虑作辅助函数：
F(x)=∫f(t)dt。显然有F(0)=F(π)=0，但要证本题结论，还需要找F(x)的一个零
a
x
点，这要由第二个条件
π
∫
π
f(x)cosxdx=0来实现，为了与F(x)联系起来，可将其变
π
换为0=∫f(x)cosxdx=∫cosxdF(x)再通过分部积分和积分中值定理就可达到
目的。
例4、设f(x)在[0,1]上连续，∫f(x)dx=0,g(x)在[0,1]上有连续的导数且在
01
(0,1)内g′(x)≠0，并且∫f(x)g(x)dx=0，试证至少存在两个不同的点
1
ξ1,ξ2∈(0,1)，使f(ξ1)=f(ξ2)=0。（提示：同例3）
题型二 证明存在ξ，使f(n)(ξ)=0(n=1,2,
例5、设函数f(x)在[0,3]上连续，在(0,3)内可导，且f(0)+f(1)+f(2)=3, 试证必存在ξ∈(0,3)，使f′(ξ)=0。（提示：只需证明存在一点c∈[0,3)，f(3)=1。
使f(c)=f(3)=1然后应用罗尔定理即可。由条件
f(0)+f(1)+f(2)
=1，问题转
3
化为1介于函数的最值之间，用介值定理就可以达到目的。）
例6、设函数f(x)在区间[0,1]上有三阶导数，且f(1)=0，设F(x)=x3f(x)， 证明：在(0,1)内存在一点ξ，使得F′′′(ξ)=0。（提示：直接用麦克劳林公式，也
可以三次用罗尔定理）
例7、设函数f(x),g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内具有二阶导数且存在相等的最大值，且f(a)=g(a),f(b)=g(b)，证明：存在ξ∈(a,b)，使得f′′(ξ)=g′′(ξ)。 （本题综合考查介值定理和罗尔定理。提示：令F(x)=f(x)−g(x)，只需对F′(x)用罗尔定理。）
题型三 证明存在ξ，使f(n)(ξ)=k
(k≠0)
解题提示：构造辅助函数，利用中值定理） 步骤：（1）将ξ换为x；（2）恒等变形，便于积分；
（3）积分并分离常数：F(x,f(x))=C，则F(x,f(x))即为所需的辅助函数。 例8、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足
f(1)=k∫xe1−xf(x)dx
1
k0
(k>1)，
（提示：将要证关系式证明至少存在一点ξ∈(0,1)，使得f′(ξ)=(1−ξ−1)f(ξ)。
f′(ξ)=(1−ξ−1)f(ξ)中的ξ换为x，并作恒等变形得f′(x)=1−1两边积分后得f(x)x，
xe−xf(x)=C故可作出辅助函数F(x)=xe−xf(x)，对已知条件使用积分中值定理，然后对辅助函数应用罗尔定理即可。）
例9、设f(x)在[0,1]内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，但当x∈(0,1)时，
f(x)>0，求证对任意自然数n，在(0,1)内存在ξ，使
nf′(ξ)f′(1−ξ)
=。 （提f(ξ)f(1−ξ)
n
两边积分后，可作出辅助函数F(x)=[f(x)]f(1−x)）。 示：将所证结论中ξ改为x，例10、设f(x)在[a,b]上可导，且a,b同号，证明：至少存在一点ξ∈(a,b)，使
af(b)−bf(a)f(x)1
=f(ξ)−ξf′(ξ)。 （提示：令F(x)=,G(x)=，注意到a,b同
xxa−b号，故用柯西中值定理）。
1
例11、设f(x)在[0,1]内上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0,f(=1，
2
1
证明：（1）存在η∈(,1)，使f(η)=η；
2
（2）对任意自然数λ，必存在ξ∈(0,η)，使f′(ξ)−λ[f(ξ)−ξ]=1
（提示：(1)直接用介值定理即可；（2）令F(x)=e−λx[f(x)−x]利用罗尔定理） 例12、假设函数f(x)和g(x)在[a,b]存在二阶导数，并且g′′(x)≠0,
f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0，试证：（1）在开区间(a,b)内g(x)≠0； f(ξ)f′′(ξ)
=。 （2）在开区间(a,b)内至少存在一点ξ，使
g(ξ)g′′(ξ)（提示：对f(x)g′′(x)−g(x)f′′(x)=0等式积分可令辅助函数为
F(x)=f(x)g′(x)−g(x)f′(x)。再利用罗尔定理即可）
题型四 双介值问题，要证存在两个中值ξ,η满足某种关系的命题
解题提示：先用一次中值定理转化为单介值问题，一般是再用一次拉格朗日中值定理或柯西中值定理。
例13、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证 ：存在
ξ,η∈(a,b)，使得eη−ξ[f(η)+f′(η)]=1.
（提示：将要证结论改写为e
x
η
⎡exf(x)⎦⎤′[f(η)+f′(η)]=eξ.即证⎣
x=η
=eξ.。
令F(x)=ef(x)，对其应用拉格朗日中值定理。）
评注：对双介值问题（证明∃ξ,η∈(a,b)，使H(ξ,η)=0）一般按以下步骤证明： （1）ξ与η，化H(ξ,η)=0为f(ξ)=f(η)。
，则对F(x)应用拉格朗日中值定理，（2）若容易找到F(x)，使F′(x)=f(x)（或g(x)）
F(b)−F(a)
=F′(ξ)=f(ξ)。
b−a
F(b)−F(a)
（3）应用微分中值定理，证明=g(η)。
b−a
得
例14、设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f′(x)≠0，试证 ：存在ξ,η∈(a,b)，
f′(ξ)eb−ea−η
=e.（提示：应用拉格朗日中值定理和柯西中值定理。使得） f′(η)b−a
例15、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证 ：
（1）存在ξ∈(0,1)，使得f(ξ)=1−ξ
（2）存在两个不同的点η,ζ∈(0,1)，使得f′(η)f′(ζ)=1
（提示：第一问用闭区间上连续函数的介值定理；第二问为双介值问题，考虑用拉格朗日中值定理，并注意用第一问已得结论。）
题型五 不等式的证明
解题提示：不等式的证明方法很多，一般有：①利用单调性证明不等式；②利用极值与最值证明不等式；③利用凹凸性证明不等式；④利用拉格朗日中值定理证明不等式；⑤利用泰勒展开式证明不等式。这里只简要叙述④⑤两种方法，应用拉格朗日中值定理的难点在于找到适当的函数名，将其在某两点的函数值之差与要证的不等式联系起来，如果辅助函数的一阶导数不能确定符号，需要二阶甚至二阶以上的导数信息才能证明不等式，此时也可考虑用泰勒公式证明。 类型一 利用微分中值定理证明不等式
例16、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(x)
任意x1,x2∈[0,1],必有f(x1)−f(x2)
11
.（提示：当x2−x1≤在[x1,x2]上利用拉格22
1
在[0,x1]与[x2,1]上分别利用拉格朗日中值定理证明）2
例17、设f(x)在[0,a]上二阶可导，且在(0,a)内达到最小值，又在f′′(x)≤M。证明：
f′(0)+f′(a)≤Ma.
（提示：存在c∈(0,a)使f′(c)=0在[0,c]与[c,a]上分别使用f′′(x)≤M）
类型二 利用泰勒公式证明不等式
适用于二阶以上可导的情形。
例18、设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且满足条件f(x)≤a,f′′(x)≤b，其中a,b都
是非负常数，证明：对任意x∈(0,1),必有f′(x)≤2a+. （提示：f(t)=f(x)+f′(x)(t−x)+
b
2
f′′(ξ)
(t−x)2再将t=0,t=1分别代入相减。并注意 2!
x∈(0,1),(1−x)2+x2≤1.）
例19、设f(x)在[0,1]上具有二阶导数，且f(0)=f(1)=0,f(x)在[0,1]上的最小值等于
−1，试证：至少存在一点ξ∈(0,1),使f′′(ξ)≥8.（提示：a∈(0,1),f(a)=−1,f′(a)=0，
在点a处泰勒展开，并将x=0,x=1分别代入。）
题型六 中值定理的综合应用
例20、设f(x)在(−L,L)内连续，在x=0处可导，且f′(0)≠0. （1）求证：对任意给定的0
∫
（2）求极限limθ. +
x→0
x
f(t)dt+∫
−x
f(t)dt=x[f(θx)−f(−θx)].
（提示：（1）令F(x)=
∫
x
f(t)dt+∫
−x
（2）由（1）得 f(t)dt,对其应用拉格朗日中值定理；
∫
x
f(t)dt+∫
2x2
−x
f(t)dt
=
f(θx)−f(−θx)
⋅θ 再令两边分别取极限）
2θx
例21、设f(x)在[−1,1]上具有三阶连续导数，且f(−1)=0,f(1)=1,f′(0)=0,证明在
(−1,1)内至少存在一点ξ，使得f′′′(ξ)=3.
（提示：将f(x)在x=0展成二阶麦克劳林公式，令x=−1,x=1得到两式相减，对f′′′(x)
用介值定理。）
附：01-07年天津市大学生数学竞赛中与该部分内容有关的题目
1、设f(x)在区间[a,+∞]具有二阶连续导数，且
f(x)≤M0,0
)证明：f′(x)≤（01年试题）
2、设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，且4少存在一点在ξ，使得f′(ξ)=0。（01年试题）
3、设f(x)具有二阶连续导数，且f(0)=0,f′(0)=0,f′′(0)>0.在曲线y=f(x)上任意取一点(x,f(x))(x≠0)作曲线的切线，此切线在x轴上的截距记作μ，求：lim
x→0
∫
13
4
f(x)dx=f(0)，求证：在(0,1)内至
xf(μ)μf(x)
（03年试题）
4、设f(x)在区间[0,1]上连续，在(0,1)可导，且f(0)=0,f(1)=1，试证明：对于任意给定的正数a和b，在开区间(0,1)内存在不同的ξ和η，使得（03年试题）
ab
+=a+b. ′′f(ξ)f(η)
5、设正整数n>1，证明方程x2n+a1x2n−1+
6、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得
4⎡⎤⎛a+b⎞
（05年试题） f(a)2ff(b)−+=f′′(ξ)。⎜⎟⎢⎥b−a⎣2⎝⎠⎦
7、设函数f(x)在闭区间[−2,2]上具有二阶导数，f(x)
2
2
明：存在一点ξ∈(−2,2)，使得f(ξ)+f′′(ξ)=0。（05年试题） 8、证明：当x>2时，(x−2)e
x−2
2
（07年试题） −xex+2e−2
π
9、设f(x)在[a,b]连续，在(a,b)可导，且有
∫
2
1
ef(x)arctanxdx=,f(1)=0，则至少存
2
在一点ξ∈(0,1)，使(1+ξ2)arctanξ⋅f′(ξ)=−1。（07年试题）
答案提示
1、对f(x)进行泰勒展开。
2、先利用积分中值定理，再利用罗尔定理。
3、过点(x,f(x))的曲线y=f(x)的切线方程为：Y−f(x)=f′(x)(X−x),
注意到：由于f′(0)=0,f′′(0)>0，在x=0的邻域内当x≠0时f′(x)≠0。因此，此直线在x轴上的截距为μ=x−
f(x)f(x)
，且limμ=limx−lim=0。
x→0x→0x→0′′f(x)f(x)
利用泰勒公式将f(x)在x=0点展开，得到
f(x)=f(0)+f′(0)x+f(μ)==
代入得
11
f′′(ξ1)x2=f′′(ξ1)x2 ξ1在0与x之间 22
1
f′′(ξ2)μ2 ξ2在0与μ之间 2
f(x)12−xxf′′(ξ2)μf′′(ξ2)xf(μ)xf′(x)−f(x)μf′(x)
=lim=lim=limlimlim=lim
x→0μf(x)x→0x→0f′x→0′(ξ1)x→0xx→0xxf′(x)μf′′(ξ1)x2
2
xf′′(x)f′′(x)f′′(0)1
=lim=lim==x→0f′(x)+xf′′(x)x→0f(x)′′′′
+f′′(x)f(0)+f(0)2x
4、提示：取数μ∈(0,1)，由介质定理知，存在c∈(0,1)，使得f(c)=μ，在区间[0，c]与[c，1]上分应用拉格朗日中值定理，得到f′(ξ),
f′(η)，代入要证明的式子中。再取
μ=
a
即得结论。 a+b
5、提示：把方程左边设为f(x)，则其在区间(−∞,+∞)上连续，且
f(x)=−1,limf(x)=+∞，因而必存在x1>0,x20,
x→∞
f(x2)>0
分别在(0,x1)和(x2,0)应用连续函数的介质定理即得结论。 6、对f(x)在x0=
a+b
作二阶泰勒展开，并分别将x=a和x=b代入，然后两式相加并2
根据f′′(x)的连续性利用介质定理即可证。
7、在区间[-2，0]和[0，2]上分别对f(x)应用拉格朗日中值定理得f′(η1)和f′(η2)， 令F(x)=[f(x)]+[f′(x)]，F(x)在[η1,η2]的最大值F(ξ)=max{F(x)}≥4
x∈(η1,η2)
22
由费马定理知F′(ξ)=0而由F(ξ)≥4知f′(ξ)≠0，故结论成立。 8、提示：方法一、利用曲线凹凸性定义； 方法二、令ϕ(x)=(x−2)e
x−22
−xex+2e−2.(x>−2)，则ϕ(−2)=0.
22⎛x−⎞x−2x−
22′e⎟−(ex+xex).(x>−2) 再令f(x)=ex+xex.对其应用拉格ϕ(x)=⎜e+
2⎝⎠
朗日中值定理即可判断ϕ′(x)的符号。 9、令F(x)=
∫
x
ef(x)arctanxdx，对其应用拉格朗日中值定理，再对F′(x)使用罗尔定理。