五大模型（二）
知识框架
一、等积模型
A B
C D
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD =S △BCD ；
反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
S △ABC :S △
ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
(1)(2)(3)
(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①S 1:S 2=S 4:S 3或者S 1⨯S 3=S 2⨯S 4②AO :OC =(S 1+S 2):(S 4+S 3)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
D
A
S 2
B S 1S 3
C S 4
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①S 1:S 3=a 2:b 2
②S 1:S 3:S 2:S 4=a 2:b 2:ab :ab ；
③S 的对应份数为(a +b )． 2
A
S 2a S 1S 3S 4D
B
b C
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
A E
A F D
D
B
①F G E C B G C AD AE DE AF ； ===AB AC BC AG
22②S △ADE ：S △ABC =AF :AG ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．
五大模型（二）
知识框架
一、等积模型
A B
C D
①等底等高的两个三角形面积相等；
②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；
两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；
③夹在一组平行线之间的等积变形，如右图S △ACD =S △BCD ；
反之，如果S △ACD =S △BCD ，则可知直线AB 平行于CD ．
④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形) ； ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；
⑥两个平行四边形高相等，面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等，面积比等于它们的高之比．
二、共角定理（鸟头定理）
两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形．
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角) 两夹边的乘积之比．
S △ABC :S △
ADE =(AB ⨯AC ) :(AD ⨯AE )
(1)(2)(3)
(4)
三、蝴蝶定理
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
①S 1:S 2=S 4:S 3或者S 1⨯S 3=S 2⨯S 4②AO :OC =(S 1+S 2):(S 4+S 3)
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系．
D
A
S 2
B S 1S 3
C S 4
梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：
①S 1:S 3=a 2:b 2
②S 1:S 3:S 2:S 4=a 2:b 2:ab :ab ；
③S 的对应份数为(a +b )． 2
A
S 2a S 1S 3S 4D
B
b C
四、相似模型
(一) 金字塔模型 (二) 沙漏模型
A E
A F D
D
B
①F G E C B G C AD AE DE AF ； ===AB AC BC AG
22②S △ADE ：S △ABC =AF :AG ．
所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形(只要其形状不改变，不论大小怎样改变它们都相似) ，与相似三角形相关的常用的性质及定理如下：
⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；
⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；
⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．