知识储备
基本知识
一、乘法公式与二项式定理
（1）(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2;(a -b ) 2=a 2-2ab +b 2
（2）(a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3;(a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3
0n 1n -12n -22k n -k k n -1n n
（3）(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b +C n ab n -1+C n b
（4）(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) =a 3+b 3+c 3-3abc ；
222
（5）(a +b -c )=a +b +c +2ab -2ac -2bc
2
经典习题： 1.
二、因式分解
（1）a -b =(a +b )(a -b )
33223322
（2）a +b =(a +b )a -ab +b ; a -b =(a -b )a +ab +b ；
22
n n
（3）a -b
(=(a -b )(a
)()
n -1
+a n -2b +... +b n -1)
三、分式裂项 （1）
四、指数运算 （1）a
-n
1111111
=- （2）=(-)
x (x +1) x x +1(x +a )(x +b ) b -a x +a x +b
m
10
=n (a ≠0) （2）a =1(a ≠1) （3
）a n =a ≥0) a n
m +n
（4）a a =a
m
（5）a ÷a =a
m n m -n
（6）(a ) =a
m n mn
b n b n n n n
（7）() =n (a ≠0) （8）(ab ) =a b （9
=a
a a
五、对数运算 （1）a
N log a
1
=N （2）log =n log （3）a =log b a
n
b n a
1
b a
（4）log a =1 （5）log a =0 （6）log a （7）log
M N a
M
=log a -log a （8）log a =
N
b
a MN
M N
=log a +log a
1a a
（9） lg a =log ,ln a =log a 10e
log b
六、函数
1、 若集合A 中有n (n ∈N ) 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2，所有非空
真子集的个数是2-2。
二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的对称轴方程是x =-
n
n
b
，顶点坐标是2a
⎛b 4ac -b 2⎫ 解析式的设法有三种形 -2a 4a ⎪⎪。用待定系数法求二次函数的解析式时，⎝⎭
式，即f (x ) =ax 2+bx +c （一般式），f (x ) =a (x -x 1) ⋅(x -x 2（零点式）和) 。 f (x ) =a (x -m ) 2+n 2、 幂函数y =x ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m
m
n
2
3、 函数y =x -5x +6的大致图象是
+∞) ，单调递增区间是[2，2. 5]和[3，+∞) ，单调递由图象知，函数的值域是[0，
减区间是(-∞，2]和[2. 5，3]。
七、 不等式
n n
1、若n 为正奇数，由a
若n 为正偶数呢？ （仅当a 、b 均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ）
能相乘吗？ （能，但有条件）
a +b
≥ab 2
a +b +c ≥abc 三个正数的均值不等式是：
3
3、两个正数的均值不等式是： n 个正数的均值不等式是：
a 1+a 2+ +a n ≥a 1a 2 a n
n
4、两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a +b
≤ab ≤≤112+a b
4、 双向不等式是：a -b ≤a ±b ≤a +b
2
a 2+b 2
2
左边在ab ≤0(≥0) 时取得等号，右边在ab ≥0(≤0) 时取得等号。
八、 数列
1、等差数列的通项公式是a n =a 1+(n -1) d ，前n 项和公式是：S n ==na 1+
n (a 1+a n )
2
1
n (n -1) d 。 2
2、等比数列的通项公式是a n =a 1q n -1，
⎧na 1(q =1) ⎪n
前n 项和公式是：S n =⎨a 1(1-q )
(q ≠1)
⎪⎩1-q
3、当等比数列{a n }的公比q 满足q
n →∞
a 1
。一般地，如果无穷数列1-q
S n 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项{a n }的前n 项和的极限lim n →∞
的和），用S 表示，即S=lim S n 。
n →∞
4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且m +n =p +q ，那么：当数列{a n }是等差数列时，有
a m +a n =a p +a q ；当数列{a n }是等比数列时，有a m ⋅a n =a p ⋅a q 。
5、 等差数列{a n }中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n 6、等比数列{a n }中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n
九、 排列组合、二项式定理
a) 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：P n =n (n -1) (n -m +1) =
m
排列数与组合数的关系是：P n m =m ！ ⋅C n
m
n ！
；
(n -m ) ！
组合数公式是：C n =
m
m
n (n -1) (n -m +1) n ！
=；
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！
m
n -m m -1m
组合数性质：C n =C n C n +C n =C n +1
n
∑C
r =0
r
n r -1
=2 rC n =nC n -1
n r
r r +1
C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1 012n C n +C n +C n + +C n =2n
3、 二项式定理：
0n 1n -12n -22r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b 二项展开式r n -r r
1，2 ，n ) 的通项公式：T r +1=C n a b (r =0，
十、 解析几何
a) 沙尔公式：AB =x B -x A
b) 数轴上两点间距离公式：AB =x B -x A c) 直角坐标平面内的两点间距离公式：P 1P 2=
(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
d) 若点P 分有向线段P 1P 2成定比λ，则λ=
P 1P
PP 2
e) 若点P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) ，点P 分有向线段P 1P 2成定比λ，则：λ
=
x -x 1y -y 1
=； x 2-x y 2-y
x 1+λx 2
1+λy 1+λy 2
1+λ
x =
y =
若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，C (x 3, y 3) ，则△ABC 的重心G 的坐标是
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3⎫
⎪。
33⎝⎭
6、求直线斜率的定义式为k=tg α，两点式为k=7、直线方程的几种形式：
点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ， 斜截式：y =kx +b 两点式：
y 2-y 1
。
x 2-x 1
y -y 1x -x 1x y
， 截距式：+=1 =
a b y 2-y 1x 2-x 1
一般式：Ax +By +C =0
经过两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系
方程是：A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0
8、 直线l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则从直线l 1到直线l 2的角θ满足：
tg θ=
k 2-k 1
1+k 1k 2
直线l 1与l 2的夹角θ满足：tg θ=
k 2-k 1
1+k 1k 2
直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则从直线l 1到直线l 2的角
θ满足：tg θ=
A 1B 2-A 2B 1
A 1A 2+B 1B 2
直线l 1与l 2的夹角θ满足：tg θ=
A 1B 2-A 2B 1
A 1A 2+B 1B 2
9、 点P (x 0, y 0) 到直线l ：Ax +By +C =0的距离：
d =
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
10、两条平行直线l 1：Ax +By +C 1=0，l 2：Ax +By +C 2=0距离是
d =
C 1-C 2A +B
2
2
11、圆的标准方程是：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
圆的一般方程是：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)
其中，半径是r =
D 2+E 2-4F E ⎫⎛D
，圆心坐标是 -，-⎪
2⎭2⎝2
思考：方程
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0在D 2+E 2-4F =0和
D 2+E 2-4F
12、若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则以线段AB 为直径的圆的方程是
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
经过两个圆
x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0
的交点的圆系方程是：
x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0
22
经过直线l ：Ax +By +C =0与圆x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程
是：x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0 13、圆x +y =r 的以P (x 0, y 0) 为切点的切线方程是
2
2
2
22
x 0x +y 0y =r 2
一般地，曲线Ax 2+Cy 2-Dx +Ey +F =0的以点P (x 0，y 0) 为切点的切线方程是：
Ax 0x +Cy 0y -D ⋅
x +x 0y +y 0
+E ⋅+F =0。例如，抛物线y 2=4x 的以点P (1，2) 为22
x +1
，即：y =x +1。 2
切点的切线方程是：2y =4⨯
注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：
①判别式法：Δ>0，=0，
十一、 立体几何
1、体积公式：
柱体：V =S ⋅h ，圆柱体：V =πr 2⋅h 。
斜棱柱体积：V =S '⋅l （其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；
锥体：V =
11
S ⋅h ，圆锥体：V =πr 2⋅h 。 33
台体：V =
1
⋅h (S +S ⋅S +S ') ， 圆台体：3
1
V =πh (R 2+R ⋅r +r 2)
3
球体：V =4、 侧面积：
直棱柱侧面积：S =c ⋅h ，斜棱柱侧面积：S =c '⋅l ；
4
πr 3。 3
正棱锥侧面积：S =
11
c ⋅h '，正棱台侧面积：S =(c +c ') h '； 22
1
c ⋅l =πrl ， 2
圆柱侧面积：S =c ⋅h =2πrh ，圆锥侧面积：S =
圆台侧面积：S =
1
(c +c ') l =π(R +r ) l ，球的表面积：S =4πr 2。 2
5、几个基本公式：
弧长公式：l =α⋅r （α是圆心角的弧度数，α>0）；
扇形面积公式：
S =
1
2
l ⋅r ； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：θ=
r
l
⋅2π； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：θ=
R -r
l
⋅2π。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l ，轴截面顶角是θ）：
⎧S =⎪1⋅l 2
sin θ(0
⋅l 2(π2
十一、比例的几个性质
1、比例基本性质：a b =c
d ⇔ad =bc 2、反比定理：a b =c d ⇔b a =d
c
3、更比定理：a c a b
b =d ⇔c =d
5、 合比定理；a c a +b b =d ⇒b =c +d
d
6、 分比定理：a c a -b b =d ⇒b =c -d
d
7、 合分比定理：a c a +b =b d ⇒a -b =c +d
c -d
8、 分合比定理：a c a -b b =d ⇒a +b =c -d
c +d
9、 等比定理：若
a 1b =a 2=a 3
a b = =n ，b 1+b 2+b 3+ +b n ≠0，1b 23b n
a 1+a 2+a 3+ +a n b =a 1
。
1+b 2+b 3+ +b n b 1
十二、复合二次根式的化简
A ±B =
A +A 2-B
±
A -A 2-B
2
2
则
当A >0，B >0，A -B 是一个完全平方数时，对形如式化简比较方便。
2
A ±B 的根式使用上述公
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基本知识
一、乘法公式与二项式定理
（1）(a +b ) 2=a 2+2ab +b 2;(a -b ) 2=a 2-2ab +b 2
（2）(a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3;(a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3
0n 1n -12n -22k n -k k n -1n n
（3）(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b +C n ab n -1+C n b
（4）(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc ) =a 3+b 3+c 3-3abc ；
222
（5）(a +b -c )=a +b +c +2ab -2ac -2bc
2
经典习题： 1.
二、因式分解
（1）a -b =(a +b )(a -b )
33223322
（2）a +b =(a +b )a -ab +b ; a -b =(a -b )a +ab +b ；
22
n n
（3）a -b
(=(a -b )(a
)()
n -1
+a n -2b +... +b n -1)
三、分式裂项 （1）
四、指数运算 （1）a
-n
1111111
=- （2）=(-)
x (x +1) x x +1(x +a )(x +b ) b -a x +a x +b
m
10
=n (a ≠0) （2）a =1(a ≠1) （3
）a n =a ≥0) a n
m +n
（4）a a =a
m
（5）a ÷a =a
m n m -n
（6）(a ) =a
m n mn
b n b n n n n
（7）() =n (a ≠0) （8）(ab ) =a b （9
=a
a a
五、对数运算 （1）a
N log a
1
=N （2）log =n log （3）a =log b a
n
b n a
1
b a
（4）log a =1 （5）log a =0 （6）log a （7）log
M N a
M
=log a -log a （8）log a =
N
b
a MN
M N
=log a +log a
1a a
（9） lg a =log ,ln a =log a 10e
log b
六、函数
1、 若集合A 中有n (n ∈N ) 个元素，则集合A 的所有不同的子集个数为2，所有非空
真子集的个数是2-2。
二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的对称轴方程是x =-
n
n
b
，顶点坐标是2a
⎛b 4ac -b 2⎫ 解析式的设法有三种形 -2a 4a ⎪⎪。用待定系数法求二次函数的解析式时，⎝⎭
式，即f (x ) =ax 2+bx +c （一般式），f (x ) =a (x -x 1) ⋅(x -x 2（零点式）和) 。 f (x ) =a (x -m ) 2+n 2、 幂函数y =x ，当n 为正奇数，m 为正偶数，m
m
n
2
3、 函数y =x -5x +6的大致图象是
+∞) ，单调递增区间是[2，2. 5]和[3，+∞) ，单调递由图象知，函数的值域是[0，
减区间是(-∞，2]和[2. 5，3]。
七、 不等式
n n
1、若n 为正奇数，由a
若n 为正偶数呢？ （仅当a 、b 均为非负数时才能） 2、同向不等式能相减，相除吗 （不能） 能相加吗？ （ 能 ）
能相乘吗？ （能，但有条件）
a +b
≥ab 2
a +b +c ≥abc 三个正数的均值不等式是：
3
3、两个正数的均值不等式是： n 个正数的均值不等式是：
a 1+a 2+ +a n ≥a 1a 2 a n
n
4、两个正数a 、b 的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是
a +b
≤ab ≤≤112+a b
4、 双向不等式是：a -b ≤a ±b ≤a +b
2
a 2+b 2
2
左边在ab ≤0(≥0) 时取得等号，右边在ab ≥0(≤0) 时取得等号。
八、 数列
1、等差数列的通项公式是a n =a 1+(n -1) d ，前n 项和公式是：S n ==na 1+
n (a 1+a n )
2
1
n (n -1) d 。 2
2、等比数列的通项公式是a n =a 1q n -1，
⎧na 1(q =1) ⎪n
前n 项和公式是：S n =⎨a 1(1-q )
(q ≠1)
⎪⎩1-q
3、当等比数列{a n }的公比q 满足q
n →∞
a 1
。一般地，如果无穷数列1-q
S n 存在，就把这个极限称为这个数列的各项和（或所有项{a n }的前n 项和的极限lim n →∞
的和），用S 表示，即S=lim S n 。
n →∞
4、若m 、n 、p 、q ∈N ，且m +n =p +q ，那么：当数列{a n }是等差数列时，有
a m +a n =a p +a q ；当数列{a n }是等比数列时，有a m ⋅a n =a p ⋅a q 。
5、 等差数列{a n }中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n 6、等比数列{a n }中，若S n =10，S 2n =30，则S 3n
九、 排列组合、二项式定理
a) 加法原理、乘法原理各适用于什么情形？有什么特点？ 加法分类，类类独立；乘法分步，步步相关。 2、排列数公式是：P n =n (n -1) (n -m +1) =
m
排列数与组合数的关系是：P n m =m ！ ⋅C n
m
n ！
；
(n -m ) ！
组合数公式是：C n =
m
m
n (n -1) (n -m +1) n ！
=；
1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！
m
n -m m -1m
组合数性质：C n =C n C n +C n =C n +1
n
∑C
r =0
r
n r -1
=2 rC n =nC n -1
n r
r r +1
C r r +C r r +1+C r r +2+ +C n =C n +1 012n C n +C n +C n + +C n =2n
3、 二项式定理：
0n 1n -12n -22r n -r r n n
(a +b ) n =C n a +C n a b +C n a b + +C n a b + +C n b 二项展开式r n -r r
1，2 ，n ) 的通项公式：T r +1=C n a b (r =0，
十、 解析几何
a) 沙尔公式：AB =x B -x A
b) 数轴上两点间距离公式：AB =x B -x A c) 直角坐标平面内的两点间距离公式：P 1P 2=
(x 1-x 2) 2+(y 1-y 2) 2
d) 若点P 分有向线段P 1P 2成定比λ，则λ=
P 1P
PP 2
e) 若点P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) ，点P 分有向线段P 1P 2成定比λ，则：λ
=
x -x 1y -y 1
=； x 2-x y 2-y
x 1+λx 2
1+λy 1+λy 2
1+λ
x =
y =
若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，C (x 3, y 3) ，则△ABC 的重心G 的坐标是
⎛x 1+x 2+x 3y 1+y 2+y 3⎫
⎪。
33⎝⎭
6、求直线斜率的定义式为k=tg α，两点式为k=7、直线方程的几种形式：
点斜式：y -y 0=k (x -x 0) ， 斜截式：y =kx +b 两点式：
y 2-y 1
。
x 2-x 1
y -y 1x -x 1x y
， 截距式：+=1 =
a b y 2-y 1x 2-x 1
一般式：Ax +By +C =0
经过两条直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0和l 2：A 2x +B 2y +C 2=0的交点的直线系
方程是：A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2) =0
8、 直线l 1：y =k 1x +b 1，l 2：y =k 2x +b 2，则从直线l 1到直线l 2的角θ满足：
tg θ=
k 2-k 1
1+k 1k 2
直线l 1与l 2的夹角θ满足：tg θ=
k 2-k 1
1+k 1k 2
直线l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0，则从直线l 1到直线l 2的角
θ满足：tg θ=
A 1B 2-A 2B 1
A 1A 2+B 1B 2
直线l 1与l 2的夹角θ满足：tg θ=
A 1B 2-A 2B 1
A 1A 2+B 1B 2
9、 点P (x 0, y 0) 到直线l ：Ax +By +C =0的距离：
d =
Ax 0+By 0+C
A +B
2
2
10、两条平行直线l 1：Ax +By +C 1=0，l 2：Ax +By +C 2=0距离是
d =
C 1-C 2A +B
2
2
11、圆的标准方程是：(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2
圆的一般方程是：x 2+y 2+Dx +Ey +F =0(D 2+E 2-4F >0)
其中，半径是r =
D 2+E 2-4F E ⎫⎛D
，圆心坐标是 -，-⎪
2⎭2⎝2
思考：方程
x 2+y 2+Dx +Ey +F =0在D 2+E 2-4F =0和
D 2+E 2-4F
12、若A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ，则以线段AB 为直径的圆的方程是
(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0
经过两个圆
x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0
的交点的圆系方程是：
x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2) =0
22
经过直线l ：Ax +By +C =0与圆x +y +Dx +Ey +F =0的交点的圆系方程
是：x +y +Dx +Ey +F +λ(Ax +By +C ) =0 13、圆x +y =r 的以P (x 0, y 0) 为切点的切线方程是
2
2
2
22
x 0x +y 0y =r 2
一般地，曲线Ax 2+Cy 2-Dx +Ey +F =0的以点P (x 0，y 0) 为切点的切线方程是：
Ax 0x +Cy 0y -D ⋅
x +x 0y +y 0
+E ⋅+F =0。例如，抛物线y 2=4x 的以点P (1，2) 为22
x +1
，即：y =x +1。 2
切点的切线方程是：2y =4⨯
注意：这个结论只能用来做选择题或者填空题，若是做解答题，只能按照求切线方程的常规过程去做。
14、研究圆与直线的位置关系最常用的方法有两种，即：
①判别式法：Δ>0，=0，
十一、 立体几何
1、体积公式：
柱体：V =S ⋅h ，圆柱体：V =πr 2⋅h 。
斜棱柱体积：V =S '⋅l （其中，S '是直截面面积，l 是侧棱长）；
锥体：V =
11
S ⋅h ，圆锥体：V =πr 2⋅h 。 33
台体：V =
1
⋅h (S +S ⋅S +S ') ， 圆台体：3
1
V =πh (R 2+R ⋅r +r 2)
3
球体：V =4、 侧面积：
直棱柱侧面积：S =c ⋅h ，斜棱柱侧面积：S =c '⋅l ；
4
πr 3。 3
正棱锥侧面积：S =
11
c ⋅h '，正棱台侧面积：S =(c +c ') h '； 22
1
c ⋅l =πrl ， 2
圆柱侧面积：S =c ⋅h =2πrh ，圆锥侧面积：S =
圆台侧面积：S =
1
(c +c ') l =π(R +r ) l ，球的表面积：S =4πr 2。 2
5、几个基本公式：
弧长公式：l =α⋅r （α是圆心角的弧度数，α>0）；
扇形面积公式：
S =
1
2
l ⋅r ； 圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角公式：θ=
r
l
⋅2π； 圆台侧面展开图（扇环）的圆心角公式：θ=
R -r
l
⋅2π。 经过圆锥顶点的最大截面的面积为（圆锥的母线长为l ，轴截面顶角是θ）：
⎧S =⎪1⋅l 2
sin θ(0
⋅l 2(π2
十一、比例的几个性质
1、比例基本性质：a b =c
d ⇔ad =bc 2、反比定理：a b =c d ⇔b a =d
c
3、更比定理：a c a b
b =d ⇔c =d
5、 合比定理；a c a +b b =d ⇒b =c +d
d
6、 分比定理：a c a -b b =d ⇒b =c -d
d
7、 合分比定理：a c a +b =b d ⇒a -b =c +d
c -d
8、 分合比定理：a c a -b b =d ⇒a +b =c -d
c +d
9、 等比定理：若
a 1b =a 2=a 3
a b = =n ，b 1+b 2+b 3+ +b n ≠0，1b 23b n
a 1+a 2+a 3+ +a n b =a 1
。
1+b 2+b 3+ +b n b 1
十二、复合二次根式的化简
A ±B =
A +A 2-B
±
A -A 2-B
2
2
则
当A >0，B >0，A -B 是一个完全平方数时，对形如式化简比较方便。
2
A ±B 的根式使用上述公