第十一章 曲线积分与曲面积分
内容要点
一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为ρ(x , y ) ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1 设α，β为常数，则
⎰L [αf (x , y ) +βg (x , y )]ds =α⎰f (x , y ) ds +β
L
⎰L g (x , y ) ds ；
性质2设L 由L 1和L 2两段光滑曲线组成(记为L = L 1+L 2) ，则
⎰L +L
1
f (x , y ) ds =
2
⎰L
f (x , y ) ds +
1
⎰L
f (x , y ) ds .
2
注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.
性质3 设在L 有f (x , y ) ≤g (x , y ) ，则
⎰
L
f (x , y ) ds ≤
⎰g (x , y ) ds
L
性质4（中值定理）设函数f (x , y ) 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点(ξ, η) ，使
其中s 是曲线L 的长度.
三、第一类曲线积分的计算：⎨
⎧x =x (t ), ⎩y =y (t ),
(α≤t ≤β)
⎰
L
f (x , y ) ds =f (ξ, η) ⋅s
⎰L
⎰L ⎰L ⎰L
f (x , y ) ds =
⎰α
β
f [x (t ), y (t ) ]x '(t ) +y '(t ) dt (1.10)
22
如果曲线L 的方程为 y =y (x ), a ≤x ≤b ，则
f (x , y ) ds =
⎰a f [x , y (x ) ]⎰c
d
b
+y '(x ) dx (1.11)
2
如果曲线L 的方程为 x =x (y ), c ≤y ≤d ，则
f (x , y ) ds =
f [x (y ), y ]+x '(y ) dy (1.12)
2
如果曲线L 的方程为 r =r (θ), α≤θ≤β，则
f (x , y ) ds =
⎰α
β
22
f (r cos θ, r sin θ) r (θ) +r '(θ) d θ
222222
例5（E03）计算⎰|y |ds , 其中L 为双纽线（图10-1-4）(x +y ) =a (x -y ) 的
L
弧.
解 双纽线的极坐标方程为 r =a cos 2θ.
2
22
用隐函数求导得 r r '=-a s i n 2θ, r '=-
a s i n 2θ
r
2
,
ds =r +r 'd θ=
π
22
r +
2
a sin
r
2
42
2θ
2
d θ=
π
a
2
r
d θ.
所以
⎰
L
|y |ds =4⎰4r s i n θ⋅
a
r
d θ=4a
2
⎰
4
s i n θd θ=2(2-2) a .
2
内容要点
一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B , 在移动过程中，这质点受到力
F (x , y ) =P (x , y ) i +Q (x , y ) j
(2.1)
的作用，其中P (x , y ) ，Q (x , y ) 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力F (x , y ) 所作的功.
二、 第二类曲线积分的定义与性质：A (x , y ) =P (x , y ) i +Q (x , y ) j
⎰L
A ⋅t ds =
⎰L (P cos α
+Q cos β) ds
平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是
⎰L P (x , y ) dx ⎰-L P (x , y ) dx
+Q (x , y ) dy =
⎰L P (x , y ) dx +⎰L Q (x , y ) dy
；
性质1 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则
+Q (x , y ) dy =-⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
L
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2 如设L 由L 1和L 2两段光滑曲线组成，则
⎰L Pdx
+Qdy =
⎰L
Pdx +Qdy +
1
⎰L
Pdx +Qdy
2
.
三、第二类曲线积分的计算：x =x (t ), y =y (t ),
⎰L
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =
⎰α{P [x (t ), y (t )]x '(t ) +Q [x (t ), y (t )]y '(t )}dt . (2.9)
β
如果曲线L 的方程为 y =y (x ), 起点为a , 终点为b ，则
⎰L ⎰L
内容要点 一、格林公式
Pdx +Qdy =
⎰a {P [x , y (x )]+Q [x , y (x )]y '(x )}dx . ⎰c {P [x (y ), y ]x '(y ) +Q [x (y ), y ]}dy .
d
b
如果曲线L 的方程为x =x (y ), 起点为c , 终点为d ，则
Pdx +Qdy =
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
⎛∂Q ∂P ⎫ -⎰⎰ ∂x ∂y ⎪⎪dxdy =
⎭D ⎝
L Pdx
+Qdy
(3.1)
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
若在格林公式(3.1)中，令P =-y ,
Q =x , 得
2⎰⎰dxdy =
D
L xdy
-ydx 12
，
-ydx .
上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 A =
L xdy
二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分⎰Pdx +Qdy 在D 内与路径无关；
L
（2）表达式Pdx +Qdy 为某二元函数u (x , y ) 的全微分； （3）
∂P ∂y
=∂Q ∂x
在D 内恒成立；
（4）对D 内任一闭曲线L ，⎰Pdx +Qdy =0.
L
由定理的证明过程可见，若函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 满足定理的条件，则二元函数
u (x , y ) =
⎰(x , y ) P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy (3.3)
(x , y )
满足 du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ， 我们称u (x , y ) 为表达式P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 的原函数.
u (x , y ) =
⎰x ⎰x
x
P (x , y 0) dx +P (x , y ) dx +
⎰y
y
y
P (x , y ) dy +C
或 u (x , y ) =
2
x
⎰y
P (x 0, y ) dy +C
例4 计算⎰⎰e -y dxdy , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1) 为顶点的三角形闭区域.
D
解 令P =0, Q =xe -y , 则 应用格林公式, 得
2
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
=e
-y
2
.
⎰⎰
D
e
-y
2
dxdy =
⎰
xe
-y
2
dy =
⎰
xe
OA
-y
2
dy =
⎰
1
xe
-x
2
dx =
12
(1-e
-1
).
OA +AB +BO
例5（E03）计算xdy -ydx x +y
2
2
, 其中L 为一条无重点
(1)
L
, 分段光滑且不经过原点的连续
闭曲线, L 的方向为逆时针方向.
解 记L 所围成的闭区域为D , 令P =
∂Q ∂x
-y x +y ∂P ∂y .
2
2
, Q =
x x +y
2
2
,
则当x +y ≠0时，有
22
=
y -x
2
222
(x +y )
2
=
(1) 当(0, 0) ∉D 时，由格林公式知
2
2
2
xdy -ydx x +y
2
2
L
=0;
(2) 当(0, 0) ∈D 时，作位于D 内圆周
l :x +y =r , 记D 1由L 和l 所围成, 应用格林公式，得
xdy -ydx x +y
2
2
-
L
xdy -ydx x +y
2
2
l
=0.
2
2
2
2
故xdy -ydx x +y
2
2
=
L
xdy -ydx x +y
2
2
=
l
⎰
2π0
r cos θ+r sin θ
r
2
d θ=
⎰
2π0
d θ=2π.
例6（E04）求椭圆x =a cos θ，y =b sin θ所围成图形的面积A . 解 所求面积
A =
12xdy -ydx =
1
L
2⎰
2π0
(ab cos θ+ab sin θ) d θ=
22
12
ab
⎰
2π0
d θ=πab .
例7 计算抛物线(x +y ) 2=ax (a >0) 与x 轴所围成的面积. 解 O N A 为直线y =0. 曲线AMO 为 y =ax -x , x ∈[0, a ].
∴A =
1212
⎰⎰
a
xdy -ydx =
AMO
12
⎰
xdy -ydx +
ONA
12
⎰
xdy -ydx
AMO
=xdy -ydx =
AMO
1
⎛a ⎫
⎪dx -(ax -x ) dx x -1⎪2a ⎝2ax ⎭
⎰
=
4
⎰
a 0
x dx =
16
a .
(6, 8)
2
例10（E06）计算⎰
xdx +ydy x
2
, 积分沿不通过坐标原点的路径.
(1, 0)
+y
2
解 显然, 当(x , y ) ≠(0, 0) 时，
xdx +ydy x +y
2
2
=d x +y ,
22
于是
⎰
(6, 8) (1, 0)
x d x +y d y x +y
2
2
=
⎰
(6, 8)
d
(1, 0)
x +y
22
=x +y
2
2(6, 8)
(1, 0)
=9.
例 12 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证2 利用原函数法求全微分函数u (x , y ). 由
∂
u ∂y
=xy
2
u =⎰xy dx =
2
x y 2
22
+ϕ(y ),
其中ϕ(y ) 是y 的待定函数. 由此得
∂u ∂y
=x y +ϕ'(y ).
2
又u 必须满足
∂
u ∂y
=x y
2
x 2y +ϕ' (y ) =x
2y ϕ' (y ) =0 ϕ(y ) =C ,
所求函数为u =x 2y 2/2+C .
例13（E07）设函数Q (x , y ) 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有
(t , 1)
(1, t )
⎰
求Q (x , y ).
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy =
⎰
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy ,
解 由曲线积分与路径无关的条件知
∂Q ∂x
=2x ,
于是Q (x , y ) =x 2+C (y ), 其中C (y ) 为待定函数.
⎰⎰
(t , 1)
2xydx +Q (x , y ) dy =
(0, 0) (1, t )
⎰⎰
10t
(t +C (y )) dy =t +
22
⎰
t 0
10
C (y ) dy ,
2xydx +Q (x , y ) dy =
(0, 0)
1
(1+C (y )) dy =t +
t 0
⎰
C (y ) dy ,
由题意可知t 2+
⎰
C (y ) dy =t +
0⎰
C (y ) dy .
两边对t 求导, 得
2t =1+C (t ) 或C (t ) =2t -1. 所以Q (x , y ) =x 2+2y -1.
例14（E08）设曲线积分⎰xy 2dx +y ϕ(x ) dy 与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且
L
ϕ(0) =0, 计算⎰
(1, 1)
(0, 0)
xy dx +y ϕ(x ) dy .
2
解 P (x , y ) =xy 2, Q (x , y ) =y ϕ(x ),
∂P ∂y
=∂∂y
(xy ) =2xy ,
2
∂Q ∂x
=
∂∂x
[y ϕ(x )]=y ϕ' (x ).
因积分与路径无关散∂P ∂y
=
∂Q ∂x
,
由y ϕ' (x ) =2xy ϕ(x ) =x 2+C . 由ϕ(0) =0, 知C =0ϕ(x ) =x 2. 故⎰
(1, 1) (0, 0)
xy dx +y ϕ(x ) dy =
2
⎰
y
1
0dx +
0⎰
1
ydy =
12
.
例15 选取a , b 使表达式
[(x +y +1) e +ae ]dx +[be -(x +y +1) e ]dy
y
x
y
为某一函数的全微分, 并求出这个函数.
解
∂P ∂y
=∂∂y
[(x +y +1) e +ae ]=e +ae , ∂P ∂y
=∂Q ∂x
, 即
y
y
y y
∂Q ∂x
=
∂∂x
[be -(x +y +1) e ]=be
x y x
-e ,
y
若表达式全微分式, 则
e +ae =be -e .
x
y
x
y
得a =-1, b =1.
u (x , y ) =
⎰
x 0
x
[(x +0+1) e +(-1) e ]dx +
x 0
⎰
y 0y
[e -(x +y +1) e ]dy +C
x y
=
⎰
x 0
[(x +1) e -1]dx +
x
x
x
⎰
y 0
[e -(x +y +1) e ]dy +C
y
y
y
y
=[xe -x ]0+[e y -xe -ye ]0+C =(x +y )(e -e ) +C .
x
y
例16（E09）求方程(x 3-3xy 2) dx +(y 3-3x 2y ) dy =0的通解. 解
u (x , y ) =
∂P ∂y
=-6xy =
3
2
∂Q ∂x
, 原方程是全微分方程,
y
⎰
x
(x -3xy ) dx +
⎰
y dy =
3
x
4
4
-
32
x y +
22
y
4
4
,
原方程的通解为
x
4
4
-
32
x y +
22
y
4
4
2
=C .
例19求微分方程2x (1+解 将题设方程改写为
2xdx +2x
x -y dx -
2
x -y ) dx -x
2
-y dy =0的通解.
x -y dy =0, 即d (x ) +
22
x -y d (x ) -
22
x -y dy =0,
2
将方程左端重新组合, 有
d (x ) +
2
x -y d (x -y ) =0,
22
故题设方程的通解为 x 2+
23
(x -y )
23/2
=C .
内容要点
一、 第一类曲面积分的概念与性质
定义1 设曲面∑是光滑的, 函数f (x , y , z ) 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块∆S i (∆S i 同时也表示第i 小块曲面的面积), 在∆S i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积
f (ξi , ηi , ζi ) ⋅∆S i
(i =1, 2, , n )
n
并作和∑f (ξi , ηi , ζi ) ⋅∆S i , 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 这和式的极限存在,
i =1
则称此极限值为f (x , y , z ) 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
n
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS =lim
λ→0
∑
i =1
f (ξi , ηi , ζi ) ∆S i
其中f (x , y , z ) 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS =
⎰⎰
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy .
22
例4计算
∑
⎰⎰
xyz ,
其中∑为抛物面z =x +y (0≤z ≤1).
22
解 根据抛物面z =x 2+y 2对称性, 及函数|xyz |关于xOz 、yOz 坐标面对称, 有
∑
⎰⎰
xyz dS =4
∑1
π
20
1
2
⎰⎰xyzdS =4⎰⎰xy (x +y ) +(2x ) +(2y ) dxdy
D 'xy
2222
π
2
=4⎰dt ⎰r cos t sin t ⋅r
0+4r rdr =2⎰sin 2tdt
20
2
⎰
1
r
5
+4r dr
2
=
14
⎰
5
1
1255-1⎛u -1⎫
u . ⎪du =
4420⎝⎭
2
例5 计算
∑
xdS , 其中∑
是圆柱面x 2+y 2=1, 平面z =x +2及z =0所围成的空间
立体的表面.
解
∑
＝⎰⎰
∑1
+
∑2
⎰⎰
+
∑3
⎰⎰
，
∑
1
，∑
2
在xOy 面上得投影域D xy :x +y ≤1.
xdS =
22
于是
∑1
⎰⎰⎰⎰xdxdy
D xy
=0,
∑2
2
⎰⎰
xdS =
⎰⎰x
D xy
+1dxdy =0,
将∑3(∑31, ∑32:y =±1-x ) 投影到zOx 面上，得投影域
D xy :-1≤x ≤1, 0≤y ≤x +1.
∑3
⎰⎰
xdS =
∑31
⎰⎰
xdS +
∑32
⎰⎰xdS =2⎰⎰x +y x +y z dxdz
D zx
22
=2⎰⎰x +
D xz
x
22
1-x
dxdz =2⎰
1
x -x
2
-1
⎰
x +2
dz =π,
所以
∑
xdS
=0+0+π=π.
例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为h =36000km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km).
解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系. 卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为
z =
R -x -y ,
2
2
2
它在xOy 面上的投影区域
D xy :x +y ≤R sin α.
2
2
2
2
于是通讯卫星的覆盖面积为
A =2πR (1-cos α). R R +h
2
2
将cos α=代入上式得 A =2πR 1-
⎝
⎛
h ⎫2
=2πR ⋅. ⎪
R +h ⎭R +h
R
由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
A 4πR
2
≈42. 5%.
由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔2π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.
内容要点
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点(x , y , z ) 处的单位法向量
n =cos αi +cos βj +cos γk , 又设
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
其中函数P , Q , R 在∑上有界, 则函数
α+Q c o s β+R c o s γ v ⋅n =P c o s 则∑上的第一类曲面积分
⎰⎰v ⋅n dS
∑
=
⎰⎰(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) dS . (5.5)
称为函数A (x , y , z ) 在有向曲面∑上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面∑：z =z (x , y ) ，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为D xy , 则.
⎰⎰R (x , y , z ) dxdy
∑
=±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy
D yz
. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.
内容要点
一、高斯公式
定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数P (x , y , z ) 、Q (x , y , z ) 、R (x , y , z ) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎪++ ∂x ⎪dv =∂y ∂z ⎝⎭
Pdydz
∑
+Qdzdx +Rdxdy
(6.1)
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, cos α, cos β, cos γ是∑上点(x , y , z ) 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.
若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎪++ ∂x ⎪dv =∂y ∂z ⎝⎭
(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) dS .
二、通量与散度
一般地，设有向量场
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k ,
其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分
Φ=
A ⋅d S =
A ⋅n d S =
⎰⎰
∑
⎰⎰
∑
⎰⎰Pdydz
∑
+Qdzdx +Rdxdy
称为向量场A 通过曲面∑流向指定侧的通量. 而
∂P ∂x
+∂Q ∂y
+∂R ∂z
称为向量场A
的散度，记为div A ，即
∂P ∂Q ∂R div A =++
∂x ∂y ∂z
. (6.5)
例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则
⎰⎰⎰
Ω
v ∆udV =
∑
v
∂u ∂n
dS -
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫ ∂x ∂x +∂y ∂y +∂z ∂z ⎪⎪dV ⎝⎭
其中
∂u ∂n
为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u , v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导
∂
22
数，符号∆=
∂x
+
∂
22
∂y
+
∂
22
∂z
称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.
证 因为
∂u ∂n
=∂u ∂x cos α+
∂u ∂y cos β+
∂u ∂z
cos γ=∇u ⋅n
，其中n ={cosα, cos β, cos γ}是∑在点(x , y , z ) 处
的外法线的方向余弦，于是
∑
v
∂u ∂n
=
∑
v (∇u ⋅n ) dS =
∑
[(v ∇u ⋅n ) dS
=
∑
⎡⎛∂u ⎫⎤⎛∂u ⎫⎛∂u ⎫
⎪v cos α+v cos β+v cos γ⎪ ⎪⎢ ⎥dS ∂y ⎪∂x ∂z ⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎦⎡∂⎛∂u ⎫∂⎛∂u ⎫∂⎛∂u v + ⎪⎢ v ∂y ⎪⎪+∂z v ∂z ∂x ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎝⎭⎣
⎫⎤
⎪⎥dv ⎭⎦
=
⎰⎰⎰
Ω
=
⎰⎰⎰
Ω
v ∆udv +
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫
∂x ∂x +∂y ∂y +∂z ∂z ⎪dv .
⎭⎝
将上式右端移至左端即得所要证明的等式.
例5（E05）求向量场r =x i +y j +z k 的流量
(1) 穿过圆锥x 2+y 2≤z 2(0≤z ≤h ) 的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设S 1, S 2及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量
Q =
(1)
S
+
r ⋅d S =
⎰⎰⎰
V
div r dv =3
⎰⎰⎰dv
V
=πh .
3
穿过底面向上的流量
Q 1=
⎰⎰
S
+
r ⋅d S =
2
⎰⎰zdxdy
2
2
=
2
⎰⎰hdxdy
2
2
=πh .
3
x +y ≤z
z =h
x +y ≤z
(2)穿过侧表面向外的流量
Q 2=Q -Q 1=0.
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，
函数P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 在包含曲面∑在内的一个Γ的正向与∑的侧符合右手规则，
空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
⎛∂R ⎛∂Q ∂Q ⎫∂R ⎫∂P ⎫⎛∂P ⎪ ⎪-dydz +-dzdx +- ⎪⎰⎰ ⎪ ⎪dxdy =Pdx +Qdy +Rdz . (7.1)
∑⎝
∂y ∂z ⎭⎝∂z ∂x ⎭⎝∂x ∂y ⎭L
公式(7.1)称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
dydz dzdx dxdy ⎰⎰
∂∂∂∂x ∂y ∂z =
ΓPdx
+Qdy +Rdz
∑
P
Q
R
利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
c o s αc o s βc o s γ
⎰⎰
∂∂∂∂x ∂y ∂z =
ΓPdx
+Qdy +Rdz .
∑
P
Q
R
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度 设向量场
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z )
j +R (x , y , z ) k ,
则沿场
A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
Γ=
C Pdx
+Qdy +Rdz
称为向量场
A
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
⎨
⎧∂R -
∂Q ∂P ⎩∂y
∂z , ∂z -∂R ∂x , ∂Q ∂x -∂P ⎫
∂y ⎬
⎭
称为向量场
A 的旋度，记为rot A ，即
rot A =⎛ ∂R ∂Q ⎫ ⎛∂P ∂R ⎫ ⎪j +⎛ ∂Q
∂P ⎫ ⎝∂y -∂z ⎪⎪i + -⎭
⎝∂z ∂x ⎝∂x -∂y ⎪⎪k . ⎭ ⎭
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
i j k
rot A =
∂∂∂∂x ∂y ∂z .
P
Q
R
四、向量微分算子：∇=
∂ ∂x i +∂ ∂y j +∂ ∂z
k , 例2 计算曲线积分
(2Γ
y -z 2) dx +(z 2-x 2) dy +(x 2-y 2
) dz , 其中Γ是平面
x +y +z =3/2
截立方体：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1的表面所得的接痕，从x 轴的正向看
法，取逆时针方向.
解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量n ={1, 1, 3}
cos α=cos β=cos λ=3,
3, 即
3∂∂x
1∂∂y
2
3∂∂z
2
3
dS
2
原式=
∑
⎰⎰
z
2
y -z y -x
2
x -y
2
=-
4
3∑4⋅
⎰⎰(x +
3
y +z ) dS
=-
32∑
⎰⎰dS =-23⎰⎰
D xy
Γ
3dxdy =-
92
.
例3（E02）计算(y 2+z 2) dx +(x 2+z 2) dy +(x 2+y 2) dz , 式中Γ是
x +y +z =2Rx , x +y =2rx (00).
2
2
2
2
2
此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面x 2+y 2+z 2=2Rx 上的最小区域保持在左方.
解 由斯托克斯公式，有
原式=2⎰⎰[(y -z ) cos α+(z -x ) cos β+(x -y ) cos γ]dS
∑
=
⎡y z ⎤⎛x ⎫(y -z ) -1+(z -x ) +(x -y ) ⎪⎥dS ⎰⎰⎢
R R ⎦⎝R ⎭∑⎣
=2⎰⎰(z -y ) dS (利用对称性) =
∑
∑
⎰⎰zdS
=
∑
⎰⎰R cos γdS
=
∑
⎰⎰
Rdxdy =R
2
⎰⎰d σ=πr R ..
2
2
x +y ≤2rx
例5（E03）设u =x 2y +2xy 2-3yz 2, 求grad u ； div(gradu ) ；rot(gradu ). 解 g r a d u =⎨
⎧∂u ∂u ∂u ⎫
, , ⎬={2xy , 4xy , -6yz }.∂x ∂y ∂z ⎩⎭
div(gradu)
⎧∂(2xy ) ∂(4xy ) ∂(-6yz ) ⎫
=⎨++⎬=2y +4x -6y =4(x -y ).
∂x ∂y ∂z ⎩⎭
rot(gradu)
22222
⎧∂2u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎫=⎨-, -, -⎬. ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ⎩⎭
因为u =x 2y +2xy 2-3yz 2有二阶连续导数, 故二阶混合偏导数与求导次序无关, 故
rot(gradu)
=0.
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A =gradu 为势量场或保守场，而u 称
为场A 的势函数.
例6（E04）设一刚体以等角速度ω=ωx i +ωy j +ωz k 绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v 的旋度.
解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r =OM =x i +y j +z k , 则点M 的线速度
i
v =ω⨯r =x
j
ωy y
ωz =(ωy z -ωz y ) i +(ωz x -ωx z ) j +(ωx y -ωy x ) k , z
k
x
于是rot v =
i ∂∂x ωy z -ωz y
j ∂∂y ωz x -ωx z
k ∂∂z
ωx y -ωy x
=2(ωx i +ωy j +ωz k ) =2ω.
即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.
内容要点
点函数积分的概念 点函数积分的性质
点函数积分的分类及其关系
一、点函数积分的概念
定义1 设Ω为有界闭区域, 函数u =f (P )(P ∈Ω) 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域∆Ω1, ∆Ω2, , ∆Ωn , 其中∆Ωi 表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在∆Ωi 上任取一点P i , 作乘积
f (P i ) ∆Ωi
n
(i =1, 2, , n )
并作和
∑
i =1
f (P i ) ∆Ωi
如果当各子闭区域∆Ωi 的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数f (P ) 在Ω上的积分, 记为⎰f (P ) d Ω, 即
Ω
n
⎰
Ω
f (P ) d Ω=lim
λ→0
∑
i =1
f (P i ) ∆Ωi .
其中Ω称为积分区域, f (P ) 称为被积函数, P 称为积分变量, f (P ) d Ω称为被积表达式, d Ω称为Ω的度量微元.
点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为ρ=f (P )(P ∈Ω), 则该物体的质量
M =
⎰
Ω
f (P ) d Ω, (f (P ) ≥0)
特别地, 当f (P ) ≡1时, 有
n
⎰d Ω
Ω
=lim
λ→0
∑∆Ω
i =1
i
=Ω(度量).
如果点函数f (P ) 在有界闭区域Ω上连续, 则f (P ) 在Ω上可积.
二、点函数积分的性质
设f (P ), g (P ) 在有界闭区域Ω上都可积, 则有 性质1 ⎰[f (P ) ±g (P )]d Ω=
Ω
⎰
Ω
f (P ) d Ω±
⎰g (P ) d Ω.
Ω
性质2 性质3
⎰kf (P ) d Ω=k ⎰
Ω
Ω
f (P ) d Ω(k 为常数)
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
Ω1
f (P ) d Ω+
⎰
Ω2
f (P ) d Ω,
其中Ω1 Ω2=Ω, 且Ω1与Ω2无公共内点. 性质4 若f (P ) ≥0, P ∈Ω, 则⎰f (P ) d Ω≥0.
Ω
性质5 若f (P ) ≤g (P ), P ∈Ω, 则⎰f (P ) d Ω≤
Ω
⎰g (P ) d Ω.
Ω
特别地, 有
⎰
Ω
f (P ) d Ω≤
⎰|
Ω
f (P ) |d Ω.
性质6 若f (P ) 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则
m Ω≤
⎰
Ω
f (P ) d Ω≤M Ω.
*
性质7 (中值定理) 若f (P ) 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点P ∈Ω, 使得
⎰
Ω
f (P ) d Ω=f (P ) Ω.
*
其中f (P ) =
*
⎰
Ω
f (P ) d ΩΩ
称为函数f (P ) 在Ω上的平均值.
三、点函数积分的分类及其关系
1. 若Ω=[a , b ]⊂R , 这时f (P ) =f (x ), x ∈[a , b ],则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
b
a
f (x ) dx . (1)
这是一元函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分. 当f (x ) =1时,
⎰
b
a
dx =b -a 是区间长.
2. 右Ω=L ⊂R 2, 且L 是一平面曲线, 这时f (P ) =f (x , y ), (x , y ) ∈L , 于是
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
L
f (x , y ) ds (2)
当f (P ) ≡1时,
⎰ds
L
=s 是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.
3. 若Ω=Γ⊂R 3, 且Γ是空间曲线, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈Γ, 则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
Γ
f (x , y , z ) ds . (3)
当f (P ) ≡1时,
⎰ds
Γ
=s 是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分, 这说明⎰f (x , y ) ds , ⎰f (x , y , z ) ds 可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.
L
Γ
4. 若Ω=D ⊂R , 且D 是平面区域, 这时f (P ) =f (x , y ), (x , y ) ∈D , 则
2
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ (4)
(4)式称为二重积分. 当f (x , y ) =1时,
3
⎰⎰d σ
D
=σ是平面区域D 的面积.
5. 若Ω=∑⊂R , 且∑是空间曲面, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈∑, 则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS (5)
(5)式称为第一类曲面积分. 当f (P ) ≡1时,
⎰⎰dS
∑
=S 是空间曲面∑的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.
6. 若Ω⊂R 为空间立体, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈Ω, 则
3
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dv . (5)
(6)式称为三重积分. 当f (P ) ≡1, 则⎰⎰⎰dv =V 是空间立体Ω的体积.
Ω
更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.
第十一章 曲线积分与曲面积分
内容要点
一、引例 设有一曲线形构件所占的位置是xOy 面内的一段曲线L （图10-1-1），它的质量分布不均匀，其线密度为ρ(x , y ) ，试求该构件的质量. 二、第一类曲线积分的定义与性质
性质1 设α，β为常数，则
⎰L [αf (x , y ) +βg (x , y )]ds =α⎰f (x , y ) ds +β
L
⎰L g (x , y ) ds ；
性质2设L 由L 1和L 2两段光滑曲线组成(记为L = L 1+L 2) ，则
⎰L +L
1
f (x , y ) ds =
2
⎰L
f (x , y ) ds +
1
⎰L
f (x , y ) ds .
2
注： 若曲线L 可分成有限段，而且每一段都是光滑的，我们就称L 是分段光滑的，在以后的讨论中总假定L 是光滑的或分段光滑的.
性质3 设在L 有f (x , y ) ≤g (x , y ) ，则
⎰
L
f (x , y ) ds ≤
⎰g (x , y ) ds
L
性质4（中值定理）设函数f (x , y ) 在光滑曲线L 上连续，则在L 上必存在一点(ξ, η) ，使
其中s 是曲线L 的长度.
三、第一类曲线积分的计算：⎨
⎧x =x (t ), ⎩y =y (t ),
(α≤t ≤β)
⎰
L
f (x , y ) ds =f (ξ, η) ⋅s
⎰L
⎰L ⎰L ⎰L
f (x , y ) ds =
⎰α
β
f [x (t ), y (t ) ]x '(t ) +y '(t ) dt (1.10)
22
如果曲线L 的方程为 y =y (x ), a ≤x ≤b ，则
f (x , y ) ds =
⎰a f [x , y (x ) ]⎰c
d
b
+y '(x ) dx (1.11)
2
如果曲线L 的方程为 x =x (y ), c ≤y ≤d ，则
f (x , y ) ds =
f [x (y ), y ]+x '(y ) dy (1.12)
2
如果曲线L 的方程为 r =r (θ), α≤θ≤β，则
f (x , y ) ds =
⎰α
β
22
f (r cos θ, r sin θ) r (θ) +r '(θ) d θ
222222
例5（E03）计算⎰|y |ds , 其中L 为双纽线（图10-1-4）(x +y ) =a (x -y ) 的
L
弧.
解 双纽线的极坐标方程为 r =a cos 2θ.
2
22
用隐函数求导得 r r '=-a s i n 2θ, r '=-
a s i n 2θ
r
2
,
ds =r +r 'd θ=
π
22
r +
2
a sin
r
2
42
2θ
2
d θ=
π
a
2
r
d θ.
所以
⎰
L
|y |ds =4⎰4r s i n θ⋅
a
r
d θ=4a
2
⎰
4
s i n θd θ=2(2-2) a .
2
内容要点
一、引例：设有一质点在xOy 面内从点A 沿光滑曲线弧L 移动到点B , 在移动过程中，这质点受到力
F (x , y ) =P (x , y ) i +Q (x , y ) j
(2.1)
的作用，其中P (x , y ) ，Q (x , y ) 在L 上连续. 试计算在上述移动过程中变力F (x , y ) 所作的功.
二、 第二类曲线积分的定义与性质：A (x , y ) =P (x , y ) i +Q (x , y ) j
⎰L
A ⋅t ds =
⎰L (P cos α
+Q cos β) ds
平面上的第二类曲线积分在实际应用中常出现的形式是
⎰L P (x , y ) dx ⎰-L P (x , y ) dx
+Q (x , y ) dy =
⎰L P (x , y ) dx +⎰L Q (x , y ) dy
；
性质1 设L 是有向曲线弧, -L 是与L 方向相反的有向曲线弧，则
+Q (x , y ) dy =-⎰P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy
L
即第二类曲线积分与积分弧段的方向有关.
性质2 如设L 由L 1和L 2两段光滑曲线组成，则
⎰L Pdx
+Qdy =
⎰L
Pdx +Qdy +
1
⎰L
Pdx +Qdy
2
.
三、第二类曲线积分的计算：x =x (t ), y =y (t ),
⎰L
P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy =
⎰α{P [x (t ), y (t )]x '(t ) +Q [x (t ), y (t )]y '(t )}dt . (2.9)
β
如果曲线L 的方程为 y =y (x ), 起点为a , 终点为b ，则
⎰L ⎰L
内容要点 一、格林公式
Pdx +Qdy =
⎰a {P [x , y (x )]+Q [x , y (x )]y '(x )}dx . ⎰c {P [x (y ), y ]x '(y ) +Q [x (y ), y ]}dy .
d
b
如果曲线L 的方程为x =x (y ), 起点为c , 终点为d ，则
Pdx +Qdy =
定理1 设闭区域D 由分段光滑的曲线L 围成，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 上具有一阶连续偏导数，则有
⎛∂Q ∂P ⎫ -⎰⎰ ∂x ∂y ⎪⎪dxdy =
⎭D ⎝
L Pdx
+Qdy
(3.1)
其中L 是D 的取正向的边界曲线.
若在格林公式(3.1)中，令P =-y ,
Q =x , 得
2⎰⎰dxdy =
D
L xdy
-ydx 12
，
-ydx .
上式左端是闭区域D 的面积A 的两倍，因此有 A =
L xdy
二、平面曲线积分与路径无关的定义与条件
定理2 设开区域D 是一个单连通域，函数P (x , y ) 及Q (x , y ) 在D 内具有一阶连续偏导数，则下列命题等价：
（1） 曲线积分⎰Pdx +Qdy 在D 内与路径无关；
L
（2）表达式Pdx +Qdy 为某二元函数u (x , y ) 的全微分； （3）
∂P ∂y
=∂Q ∂x
在D 内恒成立；
（4）对D 内任一闭曲线L ，⎰Pdx +Qdy =0.
L
由定理的证明过程可见，若函数P (x , y ) ，Q (x , y ) 满足定理的条件，则二元函数
u (x , y ) =
⎰(x , y ) P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy (3.3)
(x , y )
满足 du (x , y ) =P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy ， 我们称u (x , y ) 为表达式P (x , y ) dx +Q (x , y ) dy 的原函数.
u (x , y ) =
⎰x ⎰x
x
P (x , y 0) dx +P (x , y ) dx +
⎰y
y
y
P (x , y ) dy +C
或 u (x , y ) =
2
x
⎰y
P (x 0, y ) dy +C
例4 计算⎰⎰e -y dxdy , 其中D 是以O (0, 0), A (1, 1), B (0, 1) 为顶点的三角形闭区域.
D
解 令P =0, Q =xe -y , 则 应用格林公式, 得
2
∂Q ∂x
-
∂P ∂y
=e
-y
2
.
⎰⎰
D
e
-y
2
dxdy =
⎰
xe
-y
2
dy =
⎰
xe
OA
-y
2
dy =
⎰
1
xe
-x
2
dx =
12
(1-e
-1
).
OA +AB +BO
例5（E03）计算xdy -ydx x +y
2
2
, 其中L 为一条无重点
(1)
L
, 分段光滑且不经过原点的连续
闭曲线, L 的方向为逆时针方向.
解 记L 所围成的闭区域为D , 令P =
∂Q ∂x
-y x +y ∂P ∂y .
2
2
, Q =
x x +y
2
2
,
则当x +y ≠0时，有
22
=
y -x
2
222
(x +y )
2
=
(1) 当(0, 0) ∉D 时，由格林公式知
2
2
2
xdy -ydx x +y
2
2
L
=0;
(2) 当(0, 0) ∈D 时，作位于D 内圆周
l :x +y =r , 记D 1由L 和l 所围成, 应用格林公式，得
xdy -ydx x +y
2
2
-
L
xdy -ydx x +y
2
2
l
=0.
2
2
2
2
故xdy -ydx x +y
2
2
=
L
xdy -ydx x +y
2
2
=
l
⎰
2π0
r cos θ+r sin θ
r
2
d θ=
⎰
2π0
d θ=2π.
例6（E04）求椭圆x =a cos θ，y =b sin θ所围成图形的面积A . 解 所求面积
A =
12xdy -ydx =
1
L
2⎰
2π0
(ab cos θ+ab sin θ) d θ=
22
12
ab
⎰
2π0
d θ=πab .
例7 计算抛物线(x +y ) 2=ax (a >0) 与x 轴所围成的面积. 解 O N A 为直线y =0. 曲线AMO 为 y =ax -x , x ∈[0, a ].
∴A =
1212
⎰⎰
a
xdy -ydx =
AMO
12
⎰
xdy -ydx +
ONA
12
⎰
xdy -ydx
AMO
=xdy -ydx =
AMO
1
⎛a ⎫
⎪dx -(ax -x ) dx x -1⎪2a ⎝2ax ⎭
⎰
=
4
⎰
a 0
x dx =
16
a .
(6, 8)
2
例10（E06）计算⎰
xdx +ydy x
2
, 积分沿不通过坐标原点的路径.
(1, 0)
+y
2
解 显然, 当(x , y ) ≠(0, 0) 时，
xdx +ydy x +y
2
2
=d x +y ,
22
于是
⎰
(6, 8) (1, 0)
x d x +y d y x +y
2
2
=
⎰
(6, 8)
d
(1, 0)
x +y
22
=x +y
2
2(6, 8)
(1, 0)
=9.
例 12 验证: 在整个xOy 面内, xy 2dx +x 2ydy 是某个函数的全微分, 并求出一个这样 的函数.
证2 利用原函数法求全微分函数u (x , y ). 由
∂
u ∂y
=xy
2
u =⎰xy dx =
2
x y 2
22
+ϕ(y ),
其中ϕ(y ) 是y 的待定函数. 由此得
∂u ∂y
=x y +ϕ'(y ).
2
又u 必须满足
∂
u ∂y
=x y
2
x 2y +ϕ' (y ) =x
2y ϕ' (y ) =0 ϕ(y ) =C ,
所求函数为u =x 2y 2/2+C .
例13（E07）设函数Q (x , y ) 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数, 曲线积分与路径无关, 并且对任意t , 总有
(t , 1)
(1, t )
⎰
求Q (x , y ).
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy =
⎰
(0, 0)
2xydx +Q (x , y ) dy ,
解 由曲线积分与路径无关的条件知
∂Q ∂x
=2x ,
于是Q (x , y ) =x 2+C (y ), 其中C (y ) 为待定函数.
⎰⎰
(t , 1)
2xydx +Q (x , y ) dy =
(0, 0) (1, t )
⎰⎰
10t
(t +C (y )) dy =t +
22
⎰
t 0
10
C (y ) dy ,
2xydx +Q (x , y ) dy =
(0, 0)
1
(1+C (y )) dy =t +
t 0
⎰
C (y ) dy ,
由题意可知t 2+
⎰
C (y ) dy =t +
0⎰
C (y ) dy .
两边对t 求导, 得
2t =1+C (t ) 或C (t ) =2t -1. 所以Q (x , y ) =x 2+2y -1.
例14（E08）设曲线积分⎰xy 2dx +y ϕ(x ) dy 与路径无关, 其中ϕ具有连续的导数, 且
L
ϕ(0) =0, 计算⎰
(1, 1)
(0, 0)
xy dx +y ϕ(x ) dy .
2
解 P (x , y ) =xy 2, Q (x , y ) =y ϕ(x ),
∂P ∂y
=∂∂y
(xy ) =2xy ,
2
∂Q ∂x
=
∂∂x
[y ϕ(x )]=y ϕ' (x ).
因积分与路径无关散∂P ∂y
=
∂Q ∂x
,
由y ϕ' (x ) =2xy ϕ(x ) =x 2+C . 由ϕ(0) =0, 知C =0ϕ(x ) =x 2. 故⎰
(1, 1) (0, 0)
xy dx +y ϕ(x ) dy =
2
⎰
y
1
0dx +
0⎰
1
ydy =
12
.
例15 选取a , b 使表达式
[(x +y +1) e +ae ]dx +[be -(x +y +1) e ]dy
y
x
y
为某一函数的全微分, 并求出这个函数.
解
∂P ∂y
=∂∂y
[(x +y +1) e +ae ]=e +ae , ∂P ∂y
=∂Q ∂x
, 即
y
y
y y
∂Q ∂x
=
∂∂x
[be -(x +y +1) e ]=be
x y x
-e ,
y
若表达式全微分式, 则
e +ae =be -e .
x
y
x
y
得a =-1, b =1.
u (x , y ) =
⎰
x 0
x
[(x +0+1) e +(-1) e ]dx +
x 0
⎰
y 0y
[e -(x +y +1) e ]dy +C
x y
=
⎰
x 0
[(x +1) e -1]dx +
x
x
x
⎰
y 0
[e -(x +y +1) e ]dy +C
y
y
y
y
=[xe -x ]0+[e y -xe -ye ]0+C =(x +y )(e -e ) +C .
x
y
例16（E09）求方程(x 3-3xy 2) dx +(y 3-3x 2y ) dy =0的通解. 解
u (x , y ) =
∂P ∂y
=-6xy =
3
2
∂Q ∂x
, 原方程是全微分方程,
y
⎰
x
(x -3xy ) dx +
⎰
y dy =
3
x
4
4
-
32
x y +
22
y
4
4
,
原方程的通解为
x
4
4
-
32
x y +
22
y
4
4
2
=C .
例19求微分方程2x (1+解 将题设方程改写为
2xdx +2x
x -y dx -
2
x -y ) dx -x
2
-y dy =0的通解.
x -y dy =0, 即d (x ) +
22
x -y d (x ) -
22
x -y dy =0,
2
将方程左端重新组合, 有
d (x ) +
2
x -y d (x -y ) =0,
22
故题设方程的通解为 x 2+
23
(x -y )
23/2
=C .
内容要点
一、 第一类曲面积分的概念与性质
定义1 设曲面∑是光滑的, 函数f (x , y , z ) 在∑上有界, 把∑任意分成n 小块∆S i (∆S i 同时也表示第i 小块曲面的面积), 在∆S i 上任取一点(ξi , ηi , ζi ), 作乘积
f (ξi , ηi , ζi ) ⋅∆S i
(i =1, 2, , n )
n
并作和∑f (ξi , ηi , ζi ) ⋅∆S i , 如果当各小块曲面的直径的最大值λ→0时, 这和式的极限存在,
i =1
则称此极限值为f (x , y , z ) 在∑上第一类曲面积分或对面积的曲面积分，记为
n
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS =lim
λ→0
∑
i =1
f (ξi , ηi , ζi ) ∆S i
其中f (x , y , z ) 称为被积函数，∑称为积分曲面. 二、对面积的曲面积分的计算法
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS =
⎰⎰
D xy
f [x , y , z (x , y )]+z x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy .
22
例4计算
∑
⎰⎰
xyz ,
其中∑为抛物面z =x +y (0≤z ≤1).
22
解 根据抛物面z =x 2+y 2对称性, 及函数|xyz |关于xOz 、yOz 坐标面对称, 有
∑
⎰⎰
xyz dS =4
∑1
π
20
1
2
⎰⎰xyzdS =4⎰⎰xy (x +y ) +(2x ) +(2y ) dxdy
D 'xy
2222
π
2
=4⎰dt ⎰r cos t sin t ⋅r
0+4r rdr =2⎰sin 2tdt
20
2
⎰
1
r
5
+4r dr
2
=
14
⎰
5
1
1255-1⎛u -1⎫
u . ⎪du =
4420⎝⎭
2
例5 计算
∑
xdS , 其中∑
是圆柱面x 2+y 2=1, 平面z =x +2及z =0所围成的空间
立体的表面.
解
∑
＝⎰⎰
∑1
+
∑2
⎰⎰
+
∑3
⎰⎰
，
∑
1
，∑
2
在xOy 面上得投影域D xy :x +y ≤1.
xdS =
22
于是
∑1
⎰⎰⎰⎰xdxdy
D xy
=0,
∑2
2
⎰⎰
xdS =
⎰⎰x
D xy
+1dxdy =0,
将∑3(∑31, ∑32:y =±1-x ) 投影到zOx 面上，得投影域
D xy :-1≤x ≤1, 0≤y ≤x +1.
∑3
⎰⎰
xdS =
∑31
⎰⎰
xdS +
∑32
⎰⎰xdS =2⎰⎰x +y x +y z dxdz
D zx
22
=2⎰⎰x +
D xz
x
22
1-x
dxdz =2⎰
1
x -x
2
-1
⎰
x +2
dz =π,
所以
∑
xdS
=0+0+π=π.
例8 设有一颗地球同步轨道卫星, 距地面的高度为h =36000km ，运行的角速度与地球自转的角速度相同. 试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比值(地球半径R =6400km).
解 取地心为坐标原点，地心到通讯卫星重心的连线为z 轴，建立如图坐标系. 卫星覆盖的曲面∑是上半球面倍半顶角为α的圆锥面所截得的部分. ∑的方程为
z =
R -x -y ,
2
2
2
它在xOy 面上的投影区域
D xy :x +y ≤R sin α.
2
2
2
2
于是通讯卫星的覆盖面积为
A =2πR (1-cos α). R R +h
2
2
将cos α=代入上式得 A =2πR 1-
⎝
⎛
h ⎫2
=2πR ⋅. ⎪
R +h ⎭R +h
R
由此得这颗通讯卫星的覆盖面积与地球表面积之比为
A 4πR
2
≈42. 5%.
由以上结果可知，卫星覆盖了全球三分之一以上的面积，故使用三颗相隔2π角度的通讯卫星就可以覆盖几乎地球全部表面.
内容要点
二、第二类曲面积分的概念与性质
定义1 设∑为光滑的有向曲面, 其上任一点(x , y , z ) 处的单位法向量
n =cos αi +cos βj +cos γk , 又设
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k
其中函数P , Q , R 在∑上有界, 则函数
α+Q c o s β+R c o s γ v ⋅n =P c o s 则∑上的第一类曲面积分
⎰⎰v ⋅n dS
∑
=
⎰⎰(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) dS . (5.5)
称为函数A (x , y , z ) 在有向曲面∑上的第二类曲面积分.
三、第二类曲面积分的计算法
设光滑曲面∑：z =z (x , y ) ，与平行于z 轴的直线至多交于一点，它在xOy 面上的投影区域为D xy , 则.
⎰⎰R (x , y , z ) dxdy
∑
=±⎰⎰R [x , y , z (x , y )]dxdy
D yz
. (5.9)
上式右端取“+”号或“-”号要根据γ是锐角还是钝角而定.
内容要点
一、高斯公式
定理1设空间闭区域Ω由分片光滑的闭曲面∑围成，函数P (x , y , z ) 、Q (x , y , z ) 、R (x , y , z ) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则有公式
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎪++ ∂x ⎪dv =∂y ∂z ⎝⎭
Pdydz
∑
+Qdzdx +Rdxdy
(6.1)
这里∑是Ω的整个边界曲面的外侧, cos α, cos β, cos γ是∑上点(x , y , z ) 处的法向量的方向余弦. (6.1)式称为高斯公式.
若曲面∑与平行于坐标轴的直线的交点多余两个，可用光滑曲面将有界闭区域Ω分割成若干个小区域，使得围成每个小区域的闭曲面满足定理的条件，从而高斯公式仍是成立的.
此外，根据两类曲面积分之间的关系，高斯公式也可表为
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂P ∂Q ∂R ⎫ ⎪++ ∂x ⎪dv =∂y ∂z ⎝⎭
(P cos α
∑
+Q cos β+R cos γ) dS .
二、通量与散度
一般地，设有向量场
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z ) j +R (x , y , z ) k ,
其中函数P 、Q 、R 有一阶连续偏导数，∑是场内的一片有向曲面，n 是曲面∑的单位法向量. 则沿曲面∑的第二类曲面积分
Φ=
A ⋅d S =
A ⋅n d S =
⎰⎰
∑
⎰⎰
∑
⎰⎰Pdydz
∑
+Qdzdx +Rdxdy
称为向量场A 通过曲面∑流向指定侧的通量. 而
∂P ∂x
+∂Q ∂y
+∂R ∂z
称为向量场A
的散度，记为div A ，即
∂P ∂Q ∂R div A =++
∂x ∂y ∂z
. (6.5)
例4（E04）证明: 若∑为包围有界域Ω的光滑曲面, 则
⎰⎰⎰
Ω
v ∆udV =
∑
v
∂u ∂n
dS -
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫ ∂x ∂x +∂y ∂y +∂z ∂z ⎪⎪dV ⎝⎭
其中
∂u ∂n
为函数u 沿曲面∑的外法线方向的方向导数，u , v 在Ω上具有一阶和二阶连续偏导
∂
22
数，符号∆=
∂x
+
∂
22
∂y
+
∂
22
∂z
称为拉普拉斯算子. 这个公式称为格林第一公式.
证 因为
∂u ∂n
=∂u ∂x cos α+
∂u ∂y cos β+
∂u ∂z
cos γ=∇u ⋅n
，其中n ={cosα, cos β, cos γ}是∑在点(x , y , z ) 处
的外法线的方向余弦，于是
∑
v
∂u ∂n
=
∑
v (∇u ⋅n ) dS =
∑
[(v ∇u ⋅n ) dS
=
∑
⎡⎛∂u ⎫⎤⎛∂u ⎫⎛∂u ⎫
⎪v cos α+v cos β+v cos γ⎪ ⎪⎢ ⎥dS ∂y ⎪∂x ∂z ⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎝⎦⎡∂⎛∂u ⎫∂⎛∂u ⎫∂⎛∂u v + ⎪⎢ v ∂y ⎪⎪+∂z v ∂z ∂x ∂x ∂y ⎝⎭⎝⎝⎭⎣
⎫⎤
⎪⎥dv ⎭⎦
=
⎰⎰⎰
Ω
=
⎰⎰⎰
Ω
v ∆udv +
⎰⎰⎰
Ω
⎛∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ⎫
∂x ∂x +∂y ∂y +∂z ∂z ⎪dv .
⎭⎝
将上式右端移至左端即得所要证明的等式.
例5（E05）求向量场r =x i +y j +z k 的流量
(1) 穿过圆锥x 2+y 2≤z 2(0≤z ≤h ) 的底(向上); (2) 穿过此圆锥的侧表面（向外）.
解 设S 1, S 2及S 分别为此圆锥的面，侧面及全表面，则穿过全表面向外的流量
Q =
(1)
S
+
r ⋅d S =
⎰⎰⎰
V
div r dv =3
⎰⎰⎰dv
V
=πh .
3
穿过底面向上的流量
Q 1=
⎰⎰
S
+
r ⋅d S =
2
⎰⎰zdxdy
2
2
=
2
⎰⎰hdxdy
2
2
=πh .
3
x +y ≤z
z =h
x +y ≤z
(2)穿过侧表面向外的流量
Q 2=Q -Q 1=0.
内容要点
一、斯托克斯公式
定理1 设Γ为分段光滑的空间有向闭曲线，∑是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，
函数P (x , y , z ), Q (x , y , z ), R (x , y , z ) 在包含曲面∑在内的一个Γ的正向与∑的侧符合右手规则，
空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式
⎛∂R ⎛∂Q ∂Q ⎫∂R ⎫∂P ⎫⎛∂P ⎪ ⎪-dydz +-dzdx +- ⎪⎰⎰ ⎪ ⎪dxdy =Pdx +Qdy +Rdz . (7.1)
∑⎝
∂y ∂z ⎭⎝∂z ∂x ⎭⎝∂x ∂y ⎭L
公式(7.1)称为斯托克斯公式.
为了便于记忆，斯托克斯公式常写成如下形式：
dydz dzdx dxdy ⎰⎰
∂∂∂∂x ∂y ∂z =
ΓPdx
+Qdy +Rdz
∑
P
Q
R
利用两类曲面积分之间的关系，斯托克斯公式也可写成
c o s αc o s βc o s γ
⎰⎰
∂∂∂∂x ∂y ∂z =
ΓPdx
+Qdy +Rdz .
∑
P
Q
R
二、空间曲线积分与路径无关的条件
三、环流量与旋度 设向量场
A (x , y , z ) =P (x , y , z ) i +Q (x , y , z )
j +R (x , y , z ) k ,
则沿场
A 中某一封闭的有向曲线C 上的曲线积分
Γ=
C Pdx
+Qdy +Rdz
称为向量场
A
沿曲线C 按所取方向的环流量. 而向量函数
⎨
⎧∂R -
∂Q ∂P ⎩∂y
∂z , ∂z -∂R ∂x , ∂Q ∂x -∂P ⎫
∂y ⎬
⎭
称为向量场
A 的旋度，记为rot A ，即
rot A =⎛ ∂R ∂Q ⎫ ⎛∂P ∂R ⎫ ⎪j +⎛ ∂Q
∂P ⎫ ⎝∂y -∂z ⎪⎪i + -⎭
⎝∂z ∂x ⎝∂x -∂y ⎪⎪k . ⎭ ⎭
旋度也可以写成如下便于记忆的形式：
i j k
rot A =
∂∂∂∂x ∂y ∂z .
P
Q
R
四、向量微分算子：∇=
∂ ∂x i +∂ ∂y j +∂ ∂z
k , 例2 计算曲线积分
(2Γ
y -z 2) dx +(z 2-x 2) dy +(x 2-y 2
) dz , 其中Γ是平面
x +y +z =3/2
截立方体：0≤x ≤1, 0≤y ≤1, 0≤z ≤1的表面所得的接痕，从x 轴的正向看
法，取逆时针方向.
解 取∑为题设平面的上侧被Γ所围成部分，则该平面的法向量n ={1, 1, 3}
cos α=cos β=cos λ=3,
3, 即
3∂∂x
1∂∂y
2
3∂∂z
2
3
dS
2
原式=
∑
⎰⎰
z
2
y -z y -x
2
x -y
2
=-
4
3∑4⋅
⎰⎰(x +
3
y +z ) dS
=-
32∑
⎰⎰dS =-23⎰⎰
D xy
Γ
3dxdy =-
92
.
例3（E02）计算(y 2+z 2) dx +(x 2+z 2) dy +(x 2+y 2) dz , 式中Γ是
x +y +z =2Rx , x +y =2rx (00).
2
2
2
2
2
此曲线是顺着如下方向前进的: 由它所包围在球面x 2+y 2+z 2=2Rx 上的最小区域保持在左方.
解 由斯托克斯公式，有
原式=2⎰⎰[(y -z ) cos α+(z -x ) cos β+(x -y ) cos γ]dS
∑
=
⎡y z ⎤⎛x ⎫(y -z ) -1+(z -x ) +(x -y ) ⎪⎥dS ⎰⎰⎢
R R ⎦⎝R ⎭∑⎣
=2⎰⎰(z -y ) dS (利用对称性) =
∑
∑
⎰⎰zdS
=
∑
⎰⎰R cos γdS
=
∑
⎰⎰
Rdxdy =R
2
⎰⎰d σ=πr R ..
2
2
x +y ≤2rx
例5（E03）设u =x 2y +2xy 2-3yz 2, 求grad u ； div(gradu ) ；rot(gradu ). 解 g r a d u =⎨
⎧∂u ∂u ∂u ⎫
, , ⎬={2xy , 4xy , -6yz }.∂x ∂y ∂z ⎩⎭
div(gradu)
⎧∂(2xy ) ∂(4xy ) ∂(-6yz ) ⎫
=⎨++⎬=2y +4x -6y =4(x -y ).
∂x ∂y ∂z ⎩⎭
rot(gradu)
22222
⎧∂2u ∂u ∂u ∂u ∂u ∂u ⎫=⎨-, -, -⎬. ∂y ∂z ∂z ∂y ∂z ∂x ∂x ∂z ∂x ∂y ∂y ∂x ⎩⎭
因为u =x 2y +2xy 2-3yz 2有二阶连续导数, 故二阶混合偏导数与求导次序无关, 故
rot(gradu)
=0.
注：一般地，如果u 是一单值函数，我们称向量场A =gradu 为势量场或保守场，而u 称
为场A 的势函数.
例6（E04）设一刚体以等角速度ω=ωx i +ωy j +ωz k 绕定轴L 旋转，求刚体内任意一点M 的线速度v 的旋度.
解 取定轴l 为z 轴，点M 的内径r =OM =x i +y j +z k , 则点M 的线速度
i
v =ω⨯r =x
j
ωy y
ωz =(ωy z -ωz y ) i +(ωz x -ωx z ) j +(ωx y -ωy x ) k , z
k
x
于是rot v =
i ∂∂x ωy z -ωz y
j ∂∂y ωz x -ωx z
k ∂∂z
ωx y -ωy x
=2(ωx i +ωy j +ωz k ) =2ω.
即速度场v 的旋等于角速度ω的 2 倍.
内容要点
点函数积分的概念 点函数积分的性质
点函数积分的分类及其关系
一、点函数积分的概念
定义1 设Ω为有界闭区域, 函数u =f (P )(P ∈Ω) 为Ω上的有界点函数. 将形体Ω任意分成n 个子闭区域∆Ω1, ∆Ω2, , ∆Ωn , 其中∆Ωi 表示第i 个子闭区域, 也表示它的度量, 在∆Ωi 上任取一点P i , 作乘积
f (P i ) ∆Ωi
n
(i =1, 2, , n )
并作和
∑
i =1
f (P i ) ∆Ωi
如果当各子闭区域∆Ωi 的直径中的最大值λ趋近于零时, 这和式的极限存在, 则称此极限为点函数f (P ) 在Ω上的积分, 记为⎰f (P ) d Ω, 即
Ω
n
⎰
Ω
f (P ) d Ω=lim
λ→0
∑
i =1
f (P i ) ∆Ωi .
其中Ω称为积分区域, f (P ) 称为被积函数, P 称为积分变量, f (P ) d Ω称为被积表达式, d Ω称为Ω的度量微元.
点函数积分具有如下物理意义: 设一物体占有有界闭区域Ω, 其密度为ρ=f (P )(P ∈Ω), 则该物体的质量
M =
⎰
Ω
f (P ) d Ω, (f (P ) ≥0)
特别地, 当f (P ) ≡1时, 有
n
⎰d Ω
Ω
=lim
λ→0
∑∆Ω
i =1
i
=Ω(度量).
如果点函数f (P ) 在有界闭区域Ω上连续, 则f (P ) 在Ω上可积.
二、点函数积分的性质
设f (P ), g (P ) 在有界闭区域Ω上都可积, 则有 性质1 ⎰[f (P ) ±g (P )]d Ω=
Ω
⎰
Ω
f (P ) d Ω±
⎰g (P ) d Ω.
Ω
性质2 性质3
⎰kf (P ) d Ω=k ⎰
Ω
Ω
f (P ) d Ω(k 为常数)
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
Ω1
f (P ) d Ω+
⎰
Ω2
f (P ) d Ω,
其中Ω1 Ω2=Ω, 且Ω1与Ω2无公共内点. 性质4 若f (P ) ≥0, P ∈Ω, 则⎰f (P ) d Ω≥0.
Ω
性质5 若f (P ) ≤g (P ), P ∈Ω, 则⎰f (P ) d Ω≤
Ω
⎰g (P ) d Ω.
Ω
特别地, 有
⎰
Ω
f (P ) d Ω≤
⎰|
Ω
f (P ) |d Ω.
性质6 若f (P ) 在积分区域Ω上的最大值为M , 最小值为m , 则
m Ω≤
⎰
Ω
f (P ) d Ω≤M Ω.
*
性质7 (中值定理) 若f (P ) 在有界闭区域Ω上连续, 则至少有一点P ∈Ω, 使得
⎰
Ω
f (P ) d Ω=f (P ) Ω.
*
其中f (P ) =
*
⎰
Ω
f (P ) d ΩΩ
称为函数f (P ) 在Ω上的平均值.
三、点函数积分的分类及其关系
1. 若Ω=[a , b ]⊂R , 这时f (P ) =f (x ), x ∈[a , b ],则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
b
a
f (x ) dx . (1)
这是一元函数f (x ) 在区间[a , b ]上的定积分. 当f (x ) =1时,
⎰
b
a
dx =b -a 是区间长.
2. 右Ω=L ⊂R 2, 且L 是一平面曲线, 这时f (P ) =f (x , y ), (x , y ) ∈L , 于是
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
L
f (x , y ) ds (2)
当f (P ) ≡1时,
⎰ds
L
=s 是曲线的弧长. (2)式称为第一类平面曲线积分.
3. 若Ω=Γ⊂R 3, 且Γ是空间曲线, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈Γ, 则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰
Γ
f (x , y , z ) ds . (3)
当f (P ) ≡1时,
⎰ds
Γ
=s 是曲线的弧长. (3)式称为第一类空间曲线积分.
2、3的特殊情形是曲线为直线段, 而直线段上的点函数积分本质上是一元函数的定积分, 这说明⎰f (x , y ) ds , ⎰f (x , y , z ) ds 可用一次定积分计算, 因此用了一次积分号.
L
Γ
4. 若Ω=D ⊂R , 且D 是平面区域, 这时f (P ) =f (x , y ), (x , y ) ∈D , 则
2
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰
D
f (x , y ) d σ (4)
(4)式称为二重积分. 当f (x , y ) =1时,
3
⎰⎰d σ
D
=σ是平面区域D 的面积.
5. 若Ω=∑⊂R , 且∑是空间曲面, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈∑, 则
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰
∑
f (x , y , z ) dS (5)
(5)式称为第一类曲面积分. 当f (P ) ≡1时,
⎰⎰dS
∑
=S 是空间曲面∑的面积.
由于(5)的特殊情形是平面区域上的二得积分, 说明该积分可化为两次定积分的计算, 因此用二重积分号.
6. 若Ω⊂R 为空间立体, 这时f (P ) =f (x , y , z ), (x , y , z ) ∈Ω, 则
3
⎰
Ω
f (P ) d Ω=
⎰⎰⎰
Ω
f (x , y , z ) dv . (5)
(6)式称为三重积分. 当f (P ) ≡1, 则⎰⎰⎰dv =V 是空间立体Ω的体积.
Ω
更进一步, 我们还可以利用点函数积分的概念统一来表述占有界闭区域Ω的物体的重心、转动惯量、引力等物理概念, 此处不再表述.