北师大版数学第八册（下）第三章第四节分式方程
第三课时 一、教材分析
１、教材的地位与作用 第四章的分式方程是继一元一次方程之后初中阶段对方程的进一步深入研究，是解决实际 问题的一种模型，在实际生活中有着广泛的应用． 分式方程是本章的重点内容之一，第一课时是将实际问题中的等量关系用分式方程表示， 第二课时是探索解分式方程的方法，第三课时内容是让学生经历从“实际问题－分式方程模型 －求解－解释解的合理性”的全过程，是对分式方程第一第二课时的综合运用 ２、教学目标 教学目标是从基础知识教学，基本技能训练和思维能力的培养三个方面，依据教学大纲中关于 “分式方程”的具体教学要求和学生的实际情况确定如下： 知识与技能目标： 经历从“实际问题－分式方程模型－求解－解释解的合理性”的全过程发展学生分析问题，解 决问题的能力，培养学生的应用意识。 过程与方法目标： （１）进一步渗透把未知转化为已知的辨证思想 （ 2 ）培养学生建立分式方程的数学模型思想 （ 3 ）通过学生自编有关生活中分式方程的应用题，培养学生的逆向思维能力． 情感与价值观目标： 培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度．
3 、重点 难点 关键 重点： （１）能够将实际问题的等量关系用分式方程表示，建立分式方程的模型． （２）体会运用分式方程解决问题的关键是正确寻找问题中的等量关系 难点：
正确分析实际问题中的等量关系 关键： 将生活中的实际问题转化为数学问 题，找出等量关系，建立数学模型，解决实际问题。
二、学情 教法 学法分析
1、学情分析: 八年级的学生已学习了一元一次方程，有初步解决问题的能力，但对方程的理解并不 一定很深刻，许多学生不能将实际问题抽象成数学问题，找不出等量关系 2、教法分析： 学生是学习的主体，本着充分尊重学生的认知规律，本节主要采用 １引导发现法２讨论探索法３自主练习法４当堂测试法５过程分步评价法 3、学法指导: 学习方法主要采用独立思考自主探索与小组合作交流相结合的方法
三、教学过程
根据八年级学生的理解能力和思维特征，为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作 用，教学过程设计了以下六个环节 （一）创设问题情境，激发情趣 2008年奥林匹克运动会将在北京举行，为此北京奥组委编写了一本有关奥运会的起源发展及现 代奥林匹克运动会项目简介。李明计划在一定的日期内读完这本200页的简介，读了5天后他改变 了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，
求他原计划平均每天读几页简介？ 解题方案： 设李明原计划每天读简介X 页，用含X 的代数式表示 （1）李明原计划读完这本简介需要（ （2）改变计划后已读了（ ）天 【1分】
【1分】 ）天 【1分】 ） 【4分】 【3分】 ）页，还剩（ ）页
（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需要（ （4）根据问题中的等量关系，列出相应的方程（ （5）李明原计划平均每天读（ ? 问题情境设计思路：
?
）页简介
奥运会是当前学生关心的社会热点问题，我设计此题不但贴近学生的生活，而 且通过此题将学生的积极性迅速调动起来，提高了学生的学习兴趣。为了让学生经 历从“实际问题-分式方程模型-求解-解释解的合理性”的全过程，本题作了适当铺 垫，这恰恰体现了知识
形成的过程，让学生体验将实际问题中的等量关系用分式方 程表示，体会分式方程的模型思想，从而突出了重点，突破了难点。
另外本题又不限制学生的思维，给学生充分的时间和空间独立思考，而后组织 学生讨论交流，探询解决问题的不同方法和途径，通过分步探索，用含未知数的分 式或整式表示未知量，分散了难点，使同学认识到寻求相关量及相关量的等量关系 是解决问题的关键。通过过程性评价，既激励了学生的学习，又改进教师的教学， 既关注学生的学习结果，更关注学习过程。最后，教师引导学生总结解分式方程的 一般步骤（即审、设、列、解、检、答） ?
（二）启发诱导、初步运用
——假如你是单位领导
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元， 所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
1、你能找出这一情境中的等量关系吗?
答：(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元 【1分】
(2)第一年出租房屋间数=第二年出租的房屋间数
【1分】
(3)出租房屋间数=(所有出租房屋的租金) ÷（每间房屋的租金) 【1分】
2、根据这一情境你能提出哪些问题?
答:(1) 分别求两年每间房屋的租金 (2)求出租的房屋总间数 【1分】 【1分】
3、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少?
解法1：设第一年每间房屋的租金为x 元，则第二年每间房屋的租金为（x+500）元， 根据题意，得 【1分】 【4分】
96000 102000 ? x x ? 500
解这个方程得： x=8000 经检验x=8000是所列方程的根 8000+500=8500（元） 答：第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元。
【2分】 【1分】 【1分】 【1分】
解法2:设共有x 间出租房, 则
102000 96000 － ＝500 X X
启发诱导设计思路：
? 本题是一个结论开放性问题，在上一题目中，学生
已经初步体验了解分式方程应用题的
方法，该题目是对学生所学知识的巩固运用提高。
? 探索过程中设计了三个探究性问题：第一问引导学生从不同角度寻求等量关系是解这一 问题的关键；第二问讨论所能解决的问题，这样设计更能发挥学生的主动性，激发学生的 求知欲望，采用自主探索与小组交流相结合，互相补充完善；第三问解答学生提出的问题， 可采用小组互答方式，而后小组代表采用过程得分法对另一小组作出评价，既发表了自己 的见解又吸取他人的不足。
（三）反馈矫正、练习巩固
试一试: 某市从今年1月1日起调整居民用水价格, 每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元, 而今年7月份 的水费是30元. 已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米, 求该市今年居民用水的价格.
----------在享受生活中感受数学
解:设该市去年居民用水的价格为x 元/立方米，则今年的水价为（1+1/3）x 元/立方米，【1分】
根据题意，得
30 （1+ 1 ）x 3 －
15 x
【3分】 =5
解这个方程得： x=1.5 经检验, x=1.5是所列方程的根
1.5 × （1+1/3）=2（元） 答:该市今年居民用水的价格为2元/立方米.
【2分】 【1分】 【1分】 【1分】
反馈矫正设计思路： 本题既切合了学生的生活实际，又关注社会热点---水资源问题，目的是再次强化学生 将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性，同时还要对学生进行节约用水 教育。
?
学生已有前两个题做铺垫，理解了解决实际问题的方法与一般步骤，所以该题作为练习 题进行处理。学生先进行独立思考，教师给予学生充分的时间和空间，再小组讨论交流，以 小组代表练习为例进行点评，得出分数，适时给予鼓励，然后同桌互评，得出分数，认识自 我，建立信心。
?
（四）、归纳小结、强化思想
学习了分式方程这一节你有哪些收获？ 一、本节主要学习了列分式方程解决实际问题方法，列方程解应用题的关键是找出等量关系，建立分式方程 的数学模型 二、列分式方程解决实际问题的一般步骤
审
设 列 解 验 答
分析题意, 找出数量关系和相等关系
.
选择恰当的未知数, 注意单位和语言完整. 根据数量和相等关系, 正确列出代数式和方程. 认真仔细. 有两次检验. 即一检验是否为方程的增根，二检验是否满足实际意义 注意单位和语言完整. 且答案要生活化.
归纳小结设计思路： 目的是培养学生的归纳能力和语言表达能力。教学时先让学 生小结，谈感想，谈收获，同学进行补充，教师加以引导，共 同提高共同进步。
?
（五）、随堂练习我来做
1、小明和同学一起去书店买书, 他们用15元
买了一种科普书, 又用15元买了一种文学书, 科普书的价格比文学书高出一半, 因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本. 这种科普书 和这种文学书的价格各是多少? 2、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为 每千克16元，为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖 果混合后（搅匀）销售，如果将混合后的糖果单价定为每千 克17.5元，那么混合后销售与分开销售的销售额相同，这包 甲种糖果有多少千克？
当堂训练设计思路：
随堂练习有两个小题，第一个题是同学购物问题，第二个是销售问 题，两题均贴近学生的生活。教学时由学生独立完成，当堂进行测试， 检验本节学习效果，教师适时作出调整，为下一步的复习巩固提供针对 性的方向。
?
（六）、布置作业
? 作业：
必做题： 课本85页习题1、2 选做题：发散思维 拓展运用
仔细观察下边的分式方程，结合自己生活实际，创设一个问题情境
5 X － ７ 2X
＝ 0.5
教师创编：
阳春三月，小明和小强约好星期天到公园游玩，已知小明距公园７千米，小 强距公园5千米，两人骑车同时在上午8时出发，而小明的速度是小强的两倍，结果 小明比小强提前半小时到达，问两人的速度各是多少？
作业设计思路：
? ?
为了让不同的学生有不同的发展，体现分层次教学，作业题设计了必做题和选做题。
必做题是为了落实培养学生的基础知识、基本技能、基本思想方法。选做题难度较大， 考察学生的逆向思维能力。首先学生应有一定的数学生活常识，而且要有较强的逻辑思维 能力、严密的推理能力和语言表达能力。根据学生的实际可提供有关的情境，如行程问题、 工程问题、购物问题、收费问题等，课后教师可提供自己创编的题目与同学们创编的优秀 情境进行交流，教师适时予以鼓励。
?
1、本节的设计的基本理念是“人人学有价值的数学，不同的学生在数学上有不同的发 展”。如设计问题情境时，遵循了学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经 验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学问模型并进行解释与应用的过程，进而 使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度等多方面得到进步和发展。
?
2、教学活动的设计是学生在自主探索和合作交流的过程中真正掌握基础知识、基本技 能、思想方法，为此对教材内容进行了适当的改编，练习题设计更符合学生的认知规律， 题型更具有层次性，当堂测试使教师更能把握学生的掌握情况。
? 3、评价的主要目的是为了全面了解数学学习历程，激励学生学习和改进教师教学。本 节对数学学习的评
价主要运用过程性评价，利用分步得分的方法既关注学习的结果，更 关注学习的过程。评价的主体不仅是老师，而且采用同学自评与他评相结合，不仅关注 学习水平，更关注学生情感态度。
北师大版数学第八册（下）第三章第四节分式方程
第三课时 一、教材分析
１、教材的地位与作用 第四章的分式方程是继一元一次方程之后初中阶段对方程的进一步深入研究，是解决实际 问题的一种模型，在实际生活中有着广泛的应用． 分式方程是本章的重点内容之一，第一课时是将实际问题中的等量关系用分式方程表示， 第二课时是探索解分式方程的方法，第三课时内容是让学生经历从“实际问题－分式方程模型 －求解－解释解的合理性”的全过程，是对分式方程第一第二课时的综合运用 ２、教学目标 教学目标是从基础知识教学，基本技能训练和思维能力的培养三个方面，依据教学大纲中关于 “分式方程”的具体教学要求和学生的实际情况确定如下： 知识与技能目标： 经历从“实际问题－分式方程模型－求解－解释解的合理性”的全过程发展学生分析问题，解 决问题的能力，培养学生的应用意识。 过程与方法目标： （１）进一步渗透把未知转化为已知的辨证思想 （ 2 ）培养学生建立分式方程的数学模型思想 （ 3 ）通过学生自编有关生活中分式方程的应用题，培养学生的逆向思维能力． 情感与价值观目标： 培养学生勇于探索的精神和实事求是的科学态度．
3 、重点 难点 关键 重点： （１）能够将实际问题的等量关系用分式方程表示，建立分式方程的模型． （２）体会运用分式方程解决问题的关键是正确寻找问题中的等量关系 难点：
正确分析实际问题中的等量关系 关键： 将生活中的实际问题转化为数学问 题，找出等量关系，建立数学模型，解决实际问题。
二、学情 教法 学法分析
1、学情分析: 八年级的学生已学习了一元一次方程，有初步解决问题的能力，但对方程的理解并不 一定很深刻，许多学生不能将实际问题抽象成数学问题，找不出等量关系 2、教法分析： 学生是学习的主体，本着充分尊重学生的认知规律，本节主要采用 １引导发现法２讨论探索法３自主练习法４当堂测试法５过程分步评价法 3、学法指导: 学习方法主要采用独立思考自主探索与小组合作交流相结合的方法
三、教学过程
根据八年级学生的理解能力和思维特征，为充分发挥学生的主体性和教师的主导辅助作 用，教学过程设计了以下六个环节 （一）创设问题情境，激发情趣 2008年奥林匹克运动会将在北京举行，为此北京奥组委编写了一本有关奥运会的起源发展及现 代奥林匹克运动会项目简介。李明计划在一定的日期内读完这本200页的简介，读了5天后他改变 了计划，每天多读5页，结果提前一天读完，
求他原计划平均每天读几页简介？ 解题方案： 设李明原计划每天读简介X 页，用含X 的代数式表示 （1）李明原计划读完这本简介需要（ （2）改变计划后已读了（ ）天 【1分】
【1分】 ）天 【1分】 ） 【4分】 【3分】 ）页，还剩（ ）页
（3）读了5天后，每天多读5页，读完剩余部分还需要（ （4）根据问题中的等量关系，列出相应的方程（ （5）李明原计划平均每天读（ ? 问题情境设计思路：
?
）页简介
奥运会是当前学生关心的社会热点问题，我设计此题不但贴近学生的生活，而 且通过此题将学生的积极性迅速调动起来，提高了学生的学习兴趣。为了让学生经 历从“实际问题-分式方程模型-求解-解释解的合理性”的全过程，本题作了适当铺 垫，这恰恰体现了知识
形成的过程，让学生体验将实际问题中的等量关系用分式方 程表示，体会分式方程的模型思想，从而突出了重点，突破了难点。
另外本题又不限制学生的思维，给学生充分的时间和空间独立思考，而后组织 学生讨论交流，探询解决问题的不同方法和途径，通过分步探索，用含未知数的分 式或整式表示未知量，分散了难点，使同学认识到寻求相关量及相关量的等量关系 是解决问题的关键。通过过程性评价，既激励了学生的学习，又改进教师的教学， 既关注学生的学习结果，更关注学习过程。最后，教师引导学生总结解分式方程的 一般步骤（即审、设、列、解、检、答） ?
（二）启发诱导、初步运用
——假如你是单位领导
某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元， 所有房屋的租金第一年为9.6万元，第二年为10.2万元。
1、你能找出这一情境中的等量关系吗?
答：(1)第二年每间房屋的租金=第一年每间房屋的租金+500元 【1分】
(2)第一年出租房屋间数=第二年出租的房屋间数
【1分】
(3)出租房屋间数=(所有出租房屋的租金) ÷（每间房屋的租金) 【1分】
2、根据这一情境你能提出哪些问题?
答:(1) 分别求两年每间房屋的租金 (2)求出租的房屋总间数 【1分】 【1分】
3、你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少?
解法1：设第一年每间房屋的租金为x 元，则第二年每间房屋的租金为（x+500）元， 根据题意，得 【1分】 【4分】
96000 102000 ? x x ? 500
解这个方程得： x=8000 经检验x=8000是所列方程的根 8000+500=8500（元） 答：第一年每间房屋的租金为8000元，第二年每间房屋的租金为8500元。
【2分】 【1分】 【1分】 【1分】
解法2:设共有x 间出租房, 则
102000 96000 － ＝500 X X
启发诱导设计思路：
? 本题是一个结论开放性问题，在上一题目中，学生
已经初步体验了解分式方程应用题的
方法，该题目是对学生所学知识的巩固运用提高。
? 探索过程中设计了三个探究性问题：第一问引导学生从不同角度寻求等量关系是解这一 问题的关键；第二问讨论所能解决的问题，这样设计更能发挥学生的主动性，激发学生的 求知欲望，采用自主探索与小组交流相结合，互相补充完善；第三问解答学生提出的问题， 可采用小组互答方式，而后小组代表采用过程得分法对另一小组作出评价，既发表了自己 的见解又吸取他人的不足。
（三）反馈矫正、练习巩固
试一试: 某市从今年1月1日起调整居民用水价格, 每立方米水费涨价1/3.小丽家去年12月份的水费15元, 而今年7月份 的水费是30元. 已知小丽家今年7月份的用水量比去年12月份的用水量多5立方米, 求该市今年居民用水的价格.
----------在享受生活中感受数学
解:设该市去年居民用水的价格为x 元/立方米，则今年的水价为（1+1/3）x 元/立方米，【1分】
根据题意，得
30 （1+ 1 ）x 3 －
15 x
【3分】 =5
解这个方程得： x=1.5 经检验, x=1.5是所列方程的根
1.5 × （1+1/3）=2（元） 答:该市今年居民用水的价格为2元/立方米.
【2分】 【1分】 【1分】 【1分】
反馈矫正设计思路： 本题既切合了学生的生活实际，又关注社会热点---水资源问题，目的是再次强化学生 将实际问题转化为数学模型，并进行解答，解释解的合理性，同时还要对学生进行节约用水 教育。
?
学生已有前两个题做铺垫，理解了解决实际问题的方法与一般步骤，所以该题作为练习 题进行处理。学生先进行独立思考，教师给予学生充分的时间和空间，再小组讨论交流，以 小组代表练习为例进行点评，得出分数，适时给予鼓励，然后同桌互评，得出分数，认识自 我，建立信心。
?
（四）、归纳小结、强化思想
学习了分式方程这一节你有哪些收获？ 一、本节主要学习了列分式方程解决实际问题方法，列方程解应用题的关键是找出等量关系，建立分式方程 的数学模型 二、列分式方程解决实际问题的一般步骤
审
设 列 解 验 答
分析题意, 找出数量关系和相等关系
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选择恰当的未知数, 注意单位和语言完整. 根据数量和相等关系, 正确列出代数式和方程. 认真仔细. 有两次检验. 即一检验是否为方程的增根，二检验是否满足实际意义 注意单位和语言完整. 且答案要生活化.
归纳小结设计思路： 目的是培养学生的归纳能力和语言表达能力。教学时先让学 生小结，谈感想，谈收获，同学进行补充，教师加以引导，共 同提高共同进步。
?
（五）、随堂练习我来做
1、小明和同学一起去书店买书, 他们用15元
买了一种科普书, 又用15元买了一种文学书, 科普书的价格比文学书高出一半, 因此他们所买的科普书比所买的文学书少1本. 这种科普书 和这种文学书的价格各是多少? 2、某商店甲种糖果的单价为每千克20元，乙种糖果的单价为 每千克16元，为了促销，现将10千克乙种糖果和一包甲种糖 果混合后（搅匀）销售，如果将混合后的糖果单价定为每千 克17.5元，那么混合后销售与分开销售的销售额相同，这包 甲种糖果有多少千克？
当堂训练设计思路：
随堂练习有两个小题，第一个题是同学购物问题，第二个是销售问 题，两题均贴近学生的生活。教学时由学生独立完成，当堂进行测试， 检验本节学习效果，教师适时作出调整，为下一步的复习巩固提供针对 性的方向。
?
（六）、布置作业
? 作业：
必做题： 课本85页习题1、2 选做题：发散思维 拓展运用
仔细观察下边的分式方程，结合自己生活实际，创设一个问题情境
5 X － ７ 2X
＝ 0.5
教师创编：
阳春三月，小明和小强约好星期天到公园游玩，已知小明距公园７千米，小 强距公园5千米，两人骑车同时在上午8时出发，而小明的速度是小强的两倍，结果 小明比小强提前半小时到达，问两人的速度各是多少？
作业设计思路：
? ?
为了让不同的学生有不同的发展，体现分层次教学，作业题设计了必做题和选做题。
必做题是为了落实培养学生的基础知识、基本技能、基本思想方法。选做题难度较大， 考察学生的逆向思维能力。首先学生应有一定的数学生活常识，而且要有较强的逻辑思维 能力、严密的推理能力和语言表达能力。根据学生的实际可提供有关的情境，如行程问题、 工程问题、购物问题、收费问题等，课后教师可提供自己创编的题目与同学们创编的优秀 情境进行交流，教师适时予以鼓励。
?
1、本节的设计的基本理念是“人人学有价值的数学，不同的学生在数学上有不同的发 展”。如设计问题情境时，遵循了学生学习数学的心理规律，强调从学生已有的生活经 验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学问模型并进行解释与应用的过程，进而 使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度等多方面得到进步和发展。
?
2、教学活动的设计是学生在自主探索和合作交流的过程中真正掌握基础知识、基本技 能、思想方法，为此对教材内容进行了适当的改编，练习题设计更符合学生的认知规律， 题型更具有层次性，当堂测试使教师更能把握学生的掌握情况。
? 3、评价的主要目的是为了全面了解数学学习历程，激励学生学习和改进教师教学。本 节对数学学习的评
价主要运用过程性评价，利用分步得分的方法既关注学习的结果，更 关注学习的过程。评价的主体不仅是老师，而且采用同学自评与他评相结合，不仅关注 学习水平，更关注学生情感态度。