中国校外教育 杂志教学方法
小概率事件原理的应用
s 徐
波
小概率事件原理是概率论中实用价值较高、应用泛围较广的基本理论, 本文从实际生活的典型事例出发, 运用该原理来分析解决
此类问题, 从而揭示独立重复随机试验中, 小概率事件发生的必然性。
概率统计 小概率事件 假设检验 应用
一、问题的提出
在概率统计中, 为了研究随机现象, 必须计算种种随机事件的概率, 由于随机现象的多样性, 我们不得不研究各种数学模型, 并对每一种模型进行具体分析。
问题(万峰湖鱼数量):假设从万峰湖里捕了1000条鱼, 系上红线后, 放回去, 过了一段时间后, 又捕了1000条鱼, 现在其中5条鱼系着红线, 试估计湖中鱼的总数。
此问题可用不退还抽样的概率公式求其估计值。我们将重点探讨如何利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。
二、小概率事件的认识
一小概率事件, 不管其概率是多么小, 其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加, 迟早会发生的概率趋近于1。事实上, 假如在某个随机试验中, 事件A 的概率为
P(A) =E , E 是一个充分小的正数, 则不论E 如何小, 只要不断独立地重复这一试验, 事件A 总是会发生的(即A 发生的概率为1) 。
设以A k 表示事件A 于第k 次试验中发生这一事件, 则P(Ak ) =E 。从而在前n 次试验中, A 都不发生的概率为:
由不退还抽样, 则知事件{X=N }的概率由超几何分布所确定, 代入上公式(*) 有:
数N, 自湖中捕出r 条鱼, 做上记号放回湖中; 然后再从湖中捕出s 条鱼, 结果发现这s 条鱼中有N 条标有记号。这里N 是未知常数, r 、s 是已知常数, 试问应如何估计N 的值?
问题分析:
具体问题:为了估计湖中的鱼
故在前n 次试验中, A 至少发生一次的概率为:当n y ]时, 由于0
n y ]
其中RV -N 为整数, 是第二次捕出的有记号的鱼数, 且满足
记事件Bn ={前n 次试验中A 至少发生一次},则必有
四、小概率事件在假设检验中的应用
设有一统计假设H, 当H 正确时, 事件A 是一个小概率事件, 即它发生
的可能性很小, 在一次试验中, 我们实际上可以认为A 不会发生。做一次
这就说明了虽然事件A 在一次试验中发生的概率很小, 但在不断地重复独立试验中, A 总会发生。
在概率论的基础理论研究中, 大量随机现象具有某种稳定的性质, 例如频率的稳定性, 平均结果的稳定性等等, 它反映了偶然性与必然性之间的辩证关系。为了揭示这种实际上的必然性或实际上的不可能性, 我们对概率接近于1或0的事件的研究, 具有重大的意义。概率论的基本问题之一, 就是要建立概率接近于1或0的规律。特别是对大量独立或弱相关因素的累积结果所发生的规律的研究, 将导致/依概率收剑0和/依概率1收剑0等概念的产生, 与此同时, 相应的(弱) 大数定律和强大数定律的研究也应运而生。
三、不退还抽样的计算公式
现在就假定有形状完全相同的N 个球装在坛子里, 其中N 1个是白的, N 2个是黑的, 我们从坛子里抽n 个球, 在抽的时候我们并不知道它的颜色。这里有两种情况:一种是抽出的球看了它的颜色之后再放到坛子里去; 一种是抽出的球不再放回去, 前者称为退还抽样, 后者称为不退还抽样。不退还抽样:这是在实际应用时常见的情形, 即从N 个事物组成的母体中抽出大小为n 的一个子样, 这种情形对于统计抽样技术是很重要的。在这种情形, 我们显然必须要求n [N , 此外, 显然所求的概率当v>N 1
或n -v>N 2时为零, 因为样本中白球的个数不可能大于N 1, 黑球的个数不可能大于N 2, 对于其它v 的值, 我们可借助古典概型, 计算其概率, 个
N 1N
事物中抽取n 个共有种方法, 有利于我们事件发生的方法共有#
n v N 2n-种方法, 于是有v 个白球, n -v 个黑球的概率计算公式为:
试验, 如果A 发生了, 则我们有理由怀疑假设H 的正确性, 从而拒绝H, 如
果A 没有发生, 我们就接受H 。于是小概率事件, 为我们提供了检验统计假设的方法。下面介绍利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。
万峰湖鱼数量问题解答:我们假定两次捕鱼都是从全部鱼中随机地进行的, 并且在第二次捕鱼时, 鱼的数量未发生变化, 如果变化不大, 对研究问题的影响也可忽略不计。
令N=湖中鱼的总数(未知) r =第一次捕鱼的鱼数=1000
s =第二次捕的鱼数=1000N =第二次捕的鱼中系着红线的鱼数=5
P N (N) =第二次捕的鱼中恰有N 条系红线的鱼的概率由不退还抽样的计算公式(*) 有:
上式中, s 、r 和N 是可以观察到的, 而N 是未知的, 但我们知道, 已有s +r -N 条鱼被捕到过, 从而s +r -N [N , 在我们的例子里s +r -N =1000+1000-5=1995, 故我们可以肯定湖中至少有1995条鱼, (下转第1271页)
中国校外教育 杂志
体会其文化。
4. 教师还可以根据教学内容, 设置交际语境, 给学生布置作业和测试, 让学生在实践中接触和体会英美文化, 找出他们在词汇运用上容易犯的文化错误, 有针对性地加以纠正, 并适时导入文化知识, 这样的效果往往是事半功倍。
四、导入词汇文化内涵的原则
词汇教学中的文化导入, 既要顺应词汇教学的要求, 又要体现文化导入的意义, 应遵循以下几个原则。
1. 适度性。英语词汇教学中的文化内涵导入并非重视文化而不重视语言, 要把握好尺度, 分清主次, 应该是以语言为主, 文化为辅, 不可喧宾夺主, 牵强附会。
2. 实用性。文化内涵导入对于跨文化交际实用价值大的文化点应着重考虑, 此外还要注重与学生今后所从事的职业相关的一些文化点。授课时要力求讲得更清楚, 让学生结合语言交际实践多操练, 学会学以致用。3. 阶段性。语言教学是由浅入深, 由简到繁, 文化内涵导入亦应如此, 要考虑到学生的语言水平、接受能力和领悟能力, 循序渐进, 逐步加深导入文化的难度, 使学生可以掌握好并能保持学生的新鲜感和学习学趣。
4. 科学性。词汇文化内涵导入要避免主观随意, 以偏概全, 应尽可能
教学方法
做到准确、全面、客观。文化导入要与语言教学结合自然, 不要机械呆板。
五、结束语
词汇作为语言三大要素之一, 负载着丰富的民族文化内涵, 英语词汇教学不能只停留在拼写、读音、字面意义等表面层次上, 必须在教学过程中进行文化内涵的导入, 使学生真正领会到词汇的涵义, 能正确运用所学到的词汇, 这才真正达到词汇教学的目的。此外, 在英语词汇教学中导入文化的内容, 有利于学生打开眼界、开拓思路, 提高学生对英美文化的敏感性和领悟力, 使其具备一种新的文化意识, 从而提高学生的跨文化交际能力。
参考文献:
[1]邓炎昌, 刘润清. 语言与文化[M].北京:外语教学与研究出版社, 1989. [2]刘莉娜. 浅析词汇的文化内涵与词汇教学. 宿州学院学报, 2006, (6):111-113. [3]裴文. 现代英语语体学[M].安徽:安徽大学出版社, 2000.
[4]林汝昌. 外语教学的三个层次与文化导入的三个层次[J].外语界,
1996, (4) 1-6.
(作者单位:广东增城广播电视大学)
(上接第1248页) 但如果我们作一假定N=1995, 则
利用stirli ng 公式:
可知它是一个很小的数, 其数量级为10, 即在n=1995的假设下, 第二次捕1000条鱼有5条系红线是一个概率很小很小的事件, 而小概率事件在一次试验中几乎不会发生。因此, 我们倾向于拒绝N =1995条的假设。
同理N 很大, 例如N =10这一假设, 也必须拒绝, 怎么办?
我们想办法找一个Ë, 使得P N (N) 当N =Ë时最大, 这个Ë叫做N 的极大似然估计。由极大似然原理的直观想法:一个随机试验如有若干个可能的结果A 、B 、C , . . 。若在一次试验中, 结果A 出现, 则一般认为试验条件对A 发生有利, 也即A 出现的概率最大。
为了找Ë考虑比值:
故我们就把Ë=200000看作是对湖中鱼的总数所作的合理的估计。上面给出的方法具有一般性, 可用同样方法估计一个城市的人口总数或汽车总数。这种检验法本身并不是从逻辑上严格论证假设H 的正确与否, 在数理统计中我们不能证明任何统计假设的真伪, 而是对统计假设作出拒绝或接受的选择。
在利用小概率事件检验假设H 时, 我们可能犯两种错误。如果H 真, 我们拒绝了它, 我们犯了第一类错误。因为只有当小概率事件A 发生时, 我们才拒绝H, 故犯第一类错误的概率为P(A) 。也有时H 不真, 我们接受了它, 这时我们犯了第二类错误。
在数理统计中, 制定检验法时, 常常是先控制犯第一种错误的概率, 然后使犯第二种错误的概率尽可能地小。
参考文献:
[1]魏宗舒. 概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版
社, 2001. [2]马文. 概率应用及思维方法[M].重庆:重庆大学出版社, 1989.
(作者单位:贵州黔西南民族师范高等专科学校)
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08/2008
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中国校外教育 杂志教学方法
小概率事件原理的应用
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小概率事件原理是概率论中实用价值较高、应用泛围较广的基本理论, 本文从实际生活的典型事例出发, 运用该原理来分析解决
此类问题, 从而揭示独立重复随机试验中, 小概率事件发生的必然性。
概率统计 小概率事件 假设检验 应用
一、问题的提出
在概率统计中, 为了研究随机现象, 必须计算种种随机事件的概率, 由于随机现象的多样性, 我们不得不研究各种数学模型, 并对每一种模型进行具体分析。
问题(万峰湖鱼数量):假设从万峰湖里捕了1000条鱼, 系上红线后, 放回去, 过了一段时间后, 又捕了1000条鱼, 现在其中5条鱼系着红线, 试估计湖中鱼的总数。
此问题可用不退还抽样的概率公式求其估计值。我们将重点探讨如何利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。
二、小概率事件的认识
一小概率事件, 不管其概率是多么小, 其值总是一个确定的正数。该事件随着试验次数的不断增加, 迟早会发生的概率趋近于1。事实上, 假如在某个随机试验中, 事件A 的概率为
P(A) =E , E 是一个充分小的正数, 则不论E 如何小, 只要不断独立地重复这一试验, 事件A 总是会发生的(即A 发生的概率为1) 。
设以A k 表示事件A 于第k 次试验中发生这一事件, 则P(Ak ) =E 。从而在前n 次试验中, A 都不发生的概率为:
由不退还抽样, 则知事件{X=N }的概率由超几何分布所确定, 代入上公式(*) 有:
数N, 自湖中捕出r 条鱼, 做上记号放回湖中; 然后再从湖中捕出s 条鱼, 结果发现这s 条鱼中有N 条标有记号。这里N 是未知常数, r 、s 是已知常数, 试问应如何估计N 的值?
问题分析:
具体问题:为了估计湖中的鱼
故在前n 次试验中, A 至少发生一次的概率为:当n y ]时, 由于0
n y ]
其中RV -N 为整数, 是第二次捕出的有记号的鱼数, 且满足
记事件Bn ={前n 次试验中A 至少发生一次},则必有
四、小概率事件在假设检验中的应用
设有一统计假设H, 当H 正确时, 事件A 是一个小概率事件, 即它发生
的可能性很小, 在一次试验中, 我们实际上可以认为A 不会发生。做一次
这就说明了虽然事件A 在一次试验中发生的概率很小, 但在不断地重复独立试验中, A 总会发生。
在概率论的基础理论研究中, 大量随机现象具有某种稳定的性质, 例如频率的稳定性, 平均结果的稳定性等等, 它反映了偶然性与必然性之间的辩证关系。为了揭示这种实际上的必然性或实际上的不可能性, 我们对概率接近于1或0的事件的研究, 具有重大的意义。概率论的基本问题之一, 就是要建立概率接近于1或0的规律。特别是对大量独立或弱相关因素的累积结果所发生的规律的研究, 将导致/依概率收剑0和/依概率1收剑0等概念的产生, 与此同时, 相应的(弱) 大数定律和强大数定律的研究也应运而生。
三、不退还抽样的计算公式
现在就假定有形状完全相同的N 个球装在坛子里, 其中N 1个是白的, N 2个是黑的, 我们从坛子里抽n 个球, 在抽的时候我们并不知道它的颜色。这里有两种情况:一种是抽出的球看了它的颜色之后再放到坛子里去; 一种是抽出的球不再放回去, 前者称为退还抽样, 后者称为不退还抽样。不退还抽样:这是在实际应用时常见的情形, 即从N 个事物组成的母体中抽出大小为n 的一个子样, 这种情形对于统计抽样技术是很重要的。在这种情形, 我们显然必须要求n [N , 此外, 显然所求的概率当v>N 1
或n -v>N 2时为零, 因为样本中白球的个数不可能大于N 1, 黑球的个数不可能大于N 2, 对于其它v 的值, 我们可借助古典概型, 计算其概率, 个
N 1N
事物中抽取n 个共有种方法, 有利于我们事件发生的方法共有#
n v N 2n-种方法, 于是有v 个白球, n -v 个黑球的概率计算公式为:
试验, 如果A 发生了, 则我们有理由怀疑假设H 的正确性, 从而拒绝H, 如
果A 没有发生, 我们就接受H 。于是小概率事件, 为我们提供了检验统计假设的方法。下面介绍利用小概率事件检验关于湖中鱼的个数的假设。
万峰湖鱼数量问题解答:我们假定两次捕鱼都是从全部鱼中随机地进行的, 并且在第二次捕鱼时, 鱼的数量未发生变化, 如果变化不大, 对研究问题的影响也可忽略不计。
令N=湖中鱼的总数(未知) r =第一次捕鱼的鱼数=1000
s =第二次捕的鱼数=1000N =第二次捕的鱼中系着红线的鱼数=5
P N (N) =第二次捕的鱼中恰有N 条系红线的鱼的概率由不退还抽样的计算公式(*) 有:
上式中, s 、r 和N 是可以观察到的, 而N 是未知的, 但我们知道, 已有s +r -N 条鱼被捕到过, 从而s +r -N [N , 在我们的例子里s +r -N =1000+1000-5=1995, 故我们可以肯定湖中至少有1995条鱼, (下转第1271页)
中国校外教育 杂志
体会其文化。
4. 教师还可以根据教学内容, 设置交际语境, 给学生布置作业和测试, 让学生在实践中接触和体会英美文化, 找出他们在词汇运用上容易犯的文化错误, 有针对性地加以纠正, 并适时导入文化知识, 这样的效果往往是事半功倍。
四、导入词汇文化内涵的原则
词汇教学中的文化导入, 既要顺应词汇教学的要求, 又要体现文化导入的意义, 应遵循以下几个原则。
1. 适度性。英语词汇教学中的文化内涵导入并非重视文化而不重视语言, 要把握好尺度, 分清主次, 应该是以语言为主, 文化为辅, 不可喧宾夺主, 牵强附会。
2. 实用性。文化内涵导入对于跨文化交际实用价值大的文化点应着重考虑, 此外还要注重与学生今后所从事的职业相关的一些文化点。授课时要力求讲得更清楚, 让学生结合语言交际实践多操练, 学会学以致用。3. 阶段性。语言教学是由浅入深, 由简到繁, 文化内涵导入亦应如此, 要考虑到学生的语言水平、接受能力和领悟能力, 循序渐进, 逐步加深导入文化的难度, 使学生可以掌握好并能保持学生的新鲜感和学习学趣。
4. 科学性。词汇文化内涵导入要避免主观随意, 以偏概全, 应尽可能
教学方法
做到准确、全面、客观。文化导入要与语言教学结合自然, 不要机械呆板。
五、结束语
词汇作为语言三大要素之一, 负载着丰富的民族文化内涵, 英语词汇教学不能只停留在拼写、读音、字面意义等表面层次上, 必须在教学过程中进行文化内涵的导入, 使学生真正领会到词汇的涵义, 能正确运用所学到的词汇, 这才真正达到词汇教学的目的。此外, 在英语词汇教学中导入文化的内容, 有利于学生打开眼界、开拓思路, 提高学生对英美文化的敏感性和领悟力, 使其具备一种新的文化意识, 从而提高学生的跨文化交际能力。
参考文献:
[1]邓炎昌, 刘润清. 语言与文化[M].北京:外语教学与研究出版社, 1989. [2]刘莉娜. 浅析词汇的文化内涵与词汇教学. 宿州学院学报, 2006, (6):111-113. [3]裴文. 现代英语语体学[M].安徽:安徽大学出版社, 2000.
[4]林汝昌. 外语教学的三个层次与文化导入的三个层次[J].外语界,
1996, (4) 1-6.
(作者单位:广东增城广播电视大学)
(上接第1248页) 但如果我们作一假定N=1995, 则
利用stirli ng 公式:
可知它是一个很小的数, 其数量级为10, 即在n=1995的假设下, 第二次捕1000条鱼有5条系红线是一个概率很小很小的事件, 而小概率事件在一次试验中几乎不会发生。因此, 我们倾向于拒绝N =1995条的假设。
同理N 很大, 例如N =10这一假设, 也必须拒绝, 怎么办?
我们想办法找一个Ë, 使得P N (N) 当N =Ë时最大, 这个Ë叫做N 的极大似然估计。由极大似然原理的直观想法:一个随机试验如有若干个可能的结果A 、B 、C , . . 。若在一次试验中, 结果A 出现, 则一般认为试验条件对A 发生有利, 也即A 出现的概率最大。
为了找Ë考虑比值:
故我们就把Ë=200000看作是对湖中鱼的总数所作的合理的估计。上面给出的方法具有一般性, 可用同样方法估计一个城市的人口总数或汽车总数。这种检验法本身并不是从逻辑上严格论证假设H 的正确与否, 在数理统计中我们不能证明任何统计假设的真伪, 而是对统计假设作出拒绝或接受的选择。
在利用小概率事件检验假设H 时, 我们可能犯两种错误。如果H 真, 我们拒绝了它, 我们犯了第一类错误。因为只有当小概率事件A 发生时, 我们才拒绝H, 故犯第一类错误的概率为P(A) 。也有时H 不真, 我们接受了它, 这时我们犯了第二类错误。
在数理统计中, 制定检验法时, 常常是先控制犯第一种错误的概率, 然后使犯第二种错误的概率尽可能地小。
参考文献:
[1]魏宗舒. 概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版
社, 2001. [2]马文. 概率应用及思维方法[M].重庆:重庆大学出版社, 1989.
(作者单位:贵州黔西南民族师范高等专科学校)
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