隐含波动率研究
隐含波动率（Implied Volatility）是将市场上的期权交易价格代入期权理论价格模型，反推出来的波动率数值。在期权定价公式的五个参数中，除了标的波动率外，其他参数均可在市场中获得精确值。一般来说，通过模型反推的隐含波动率比历史波动率更能反映市场的真实状态，具有更高的参考应用价值。
一、隐含波动率的计算方法
隐含波动率按计算方式分为优化搜索法和直接近似法。优化搜索法是采用数值优化算法，主要有二分法和Newton-Raphson （N-R ）迭代法；直接近似法是对期权定价公式进行多项式或微分近似，进而求出隐含波动率的近似解析解，主要有Brenner & Subrahmanyam 1988年提出的“B-Sub 法”和Corrado & Miller 1996年提出的Corrado-Miller （C-M ）法。
（一）二分法
二分法需要确定隐含波动率的估计范围，可以参考标的资产的最低、最高历史波动率值。通过内插值方法得出隐含波动率的估计并计算相应的期权理论价值，如果理论价值与市场价格的距离小于指定精度，则计算终止，否则，将计算得出的期权理论价值作为新的最低或最高值代入迭代公式
更新隐含波动率的估计。迭代计算公式如下：
(P−BSl)(σℎ−σl)
σ=σl+(BSℎ−BSl)
使得：
|BS−P|≤ε
其中，σ为隐含波动率的估计；σℎ为隐含波动率的较高估计；σl为隐含波动率的较低估计；BSℎ为σℎ对应的期权理论价值；BSl为σl对应的期权理论价值；BS为σ对应的期权理论价值；P为期权的市场价格；ε为指定精度。
（二）N-R 迭代法
Newton-Raphson 迭代算法需要指定隐含波动率的初始值，利用Vega 值作为权数，不断更新隐含波动率估计值并计算相应的期权理论价值，直至理论价值与市场价格的距离小于指定精度。迭代计算公式如下：
σi+1
使得：
|BSi−P|≤ε
其中， σi为隐含波动率的估计值；BSi为σi对应的期权理论价值；P为期权的市场价格；Vi为理论价值为BSi的期权Vega 值；ε为指定精度。
（三）B-Sub 法
定义标的资产价格S等于期权执行价格K的贴现值时，期
(BSi−P)
=σi−
Vi
权处于平价状态，即：S =Ke−r(T−t) 。将累积正态分布函数在零值附近进行一阶泰勒展开，进而推导出平值看涨期权的隐含波动率近似估计如下：
2πCσ=√
TS
其中，C为平值看涨期权的市场价格；S为平值看涨期权对应的标的资产价格；T为平值看涨期权的存续期限。
不难看出，B-Sub 方法计算隐含波动率非常简单，与期权的市场价格成正比，与标的资产价格、期权存续期限成反比。B-Sub 方法更适用于平值期权，对实值、虚值期权的隐含波动率计算通常偏差较大。
（四）C-M 法
Corrado-Miller 方法利用累积正态分布函数在零值附近的二阶泰勒展开，推导出隐含波动率的近似估计如下： 2π1S−XS−X2(S−X) 2
σ=√+√(C−[C−−]
TS+X22π其中，X= Ke−r(T−t) ；C为看涨期权的市场价格；S为标的资产价格；K为期权的执行价格；T为期权的存续期限。
与B-Sub 方法相比，Corrado-Miller 方法考虑了期权所处的实值虚值状态（通过S−X体现），扩大了适用范围。
二、隐含波动率实证研究
波动率在期权定价公式中是唯一不能确定的参数，选取
的波动率并不像定价公式计算的权利金，存在唯一且稳定的精确解。在比较各类波动率的特征过程中，我们并不能寻找到一个公允的标准。因此，数据实证成为对各类波动率研究的必要工具。
（一）隐含波动率与历史波动率对比
通过定价公式倒推的隐含波动率与通过统计标的一段期限内收盘价计算的历史波动率，二者在计算方式上差别很大，对比二者时间序列数据是这部分的主要目的。
数据选取截止到2012年11月30日的ICE 白糖3月期货收盘价，分别计算90天和120天历史波动率；选取2012年11月1日到2012年11月30日的白糖3月期货看涨、看跌期权结算价，以delta0.5为标准确定平值，通过二分法计算平值的隐含波动率。
图1：ICE 白糖3月合约隐含波动率与90、120天历史波动率对比
数据来源：ICE 网站
通过图1数据对比，得出以下结论：
第一，历史波动率90天与120天具有一定相关性，隐含波动率与历史波动率无显著相关性，如下表。
第二，利用看涨期权与看跌期权权利金计算得到的隐含波动率基本一致。
历史波动率与隐含波动率实际上分别代表了标的市场和标的的期权市场，二者既有关联又相互独立。形态上，隐含波动率与历史波动率曲线相互缠绕，当二者偏离达到一定程度时，就可通过两个市场对冲的手段使偏离减小，有效的保证两个市场的联动性。
（二）二叉树美式期货期权隐含波动率精度与步长个数关系
二叉树模型不同于标准BS 模型，并不存在解析解表达式，需要通过增加步长个数来提高计算精度，在计算隐含波
动率的时候，这种步长个数的选取对隐含波动率的精度影响如何，是这部分需要考虑的问题。
方法上，以场景测试为主，按照不同的给定波动率设置实值、平值和虚值，以500步二叉树模型计算的权利金作为基准价，用二分法反推计算对应步长的隐含波动率，然后与给定波动率对比偏差。初始日期设为2012年12月4日，结束日期设为2013年2月15日，无风险利率设为5%，执行价格5300元/吨。
通过观察表3，步长个数对隐含波动率计算是有影响的，随着步长个数的增加隐含波动率计算也更加精确。当步长个数设置为500的时候，可以精确到百分数的小数点后两位。
这个结论和步长个数对权利金的影响相比，计算权利金的时候对步长个数要求会更高一些。在实际运算中，可考虑计算隐含波动率的时候适当降低步长个数，以增加计算效率。
（三）二分法与N-R 迭代法比较
二分法和Newton-Raphson 迭代法均采用数值优化算法，通过迭代达到所需精度。因此，从计算精度的角度来看，二者是相同的；而从计算的效率来看，二者却有较大差异，这里的效率是指达到同样精度的前提下，迭代的次数少则效率高。
比较二分法与N-R 迭代法，能够影响迭代次数的最基本原因是初始值的选取，如二分法需要估计一个波动率的最低值和最高值，而N-R 更是要求指定一个初始值。当初始值或最低值与最高值距离真实值过远时，迭代次数将会增加，计算效率将会降低。
这里通过计算11月30日ICE 白糖3月期权合约序列隐含波动率，比较二分法（最低值设为接近0，最高值50%）与N-R 法（初始值设为σ=√|(log+rT) ）的效率。
X
T
S
2
从表4可以看出，在计算相同精度的隐含波动率过程中，N-R 法比二分法的迭代次数少，效率更高。N-R 法的高效率得益于其动态初始值的设置，在还原该表达式后发现，这个初始值实际上是BS 公式中d 2=0时得到的σ，这使得该值更加接近真实的波动率，从而提高了运算效率。
（四）迭代法与近似解析法比较
本报告的近似解析法介绍了B-sub 法和C-M 法，其原理是依据累积正态分布函数在零值附近的一阶和二阶泰勒展开得到。由于B-Sub 方法更适用于平值期权，在实值和虚值偏差较大，因此本部分只对二分法和C-M 法进行精度计算的比较。
方法上，采用时间序列对比与截面数据对比的双维度观察。首先选取ICE 白糖3月标的的期权合约，收集从2012年11月1日到2012年11月30日的期权结算数据，分别用两种算法计算比较每个交易日平值附近的隐含波动率。
图2：二分法与C-M 法在平值的隐含波动率比较
数据来源：ICE 网站
图2显示，二分法与C-M 法在计算平值附近的隐含波动率精度相差不大，21个数据显示，两种方法计算的隐含波动率差距仅限于百分数的小数点后两位。下面，截取11月30日白糖3月期权各执行价格看涨期权与看跌期权结算数据，用两种方法计算比较各执行价格对应的隐含波动率。
图3：二分法与C-M 法在期权合约序列的隐含波动率对比（看涨）
数据来源：ICE 网站
图4：二分法与C-M 法在期权合约序列的隐含波动率对比（看跌）
数据来源：ICE 网站
比较图3和图4主要观察红圈内数据情况，这是因为对深度实值、虚值期权进行计算时，存在(C−
S−X22
−
(S−X) 2
π
为
负的情形，产生错误结果，而本报告依据的模型为了完整绘制出执行价格对应的隐含波动率轨迹而对模型进行了修正，因此圈外的C-M 数据并不真实。通过对比图3和图4，得出以下结论：
第一，二分法与C-M 法在圈内的数据比较中，精度较高，可以精确到百分数小数点后一位；
第二，二分法（蓝色）在描述该组数据表现出了良好的波动率微笑特性，与预期相符。
考虑到解析解计算速度快的高效特点，实际运用中更多被做市商采用，对于不能够用该方法计算的深实值和深虚值隐含波动率，则以波动率微笑为依据，通过可计算的部分推出不可计算的部分。
三、结论
本报告总结归纳市场常见的几类隐含波动率算法，同时展开相关讨论，得出以下结论：
1. 隐含波动率与历史波动率并无明显相关性，分别代表两个市场的情绪，相同执行价格的看涨期权与看跌期权隐含波动率基本一致；
2. 利用二叉树模型计算的隐含波动率精度与其步长个数相关，步长个数越多，精度越高，但差别较小，影响有限，可考虑定价模型运算与隐含波动率运算采用不同步长，用以提高效率；
3. 二分法和N-R 法在运算效率上有差别，可选用修正初始值后的N-R 法提高计算隐含波动率的效率；
4. 与迭代法相比，近似解析法运算效率更高，但仅平值附近执行价格隐含波动率计算较精确，对深实值与深虚值期权则无法计算，迭代法能够精确刻画波动率微笑。
隐含波动率研究
隐含波动率（Implied Volatility）是将市场上的期权交易价格代入期权理论价格模型，反推出来的波动率数值。在期权定价公式的五个参数中，除了标的波动率外，其他参数均可在市场中获得精确值。一般来说，通过模型反推的隐含波动率比历史波动率更能反映市场的真实状态，具有更高的参考应用价值。
一、隐含波动率的计算方法
隐含波动率按计算方式分为优化搜索法和直接近似法。优化搜索法是采用数值优化算法，主要有二分法和Newton-Raphson （N-R ）迭代法；直接近似法是对期权定价公式进行多项式或微分近似，进而求出隐含波动率的近似解析解，主要有Brenner & Subrahmanyam 1988年提出的“B-Sub 法”和Corrado & Miller 1996年提出的Corrado-Miller （C-M ）法。
（一）二分法
二分法需要确定隐含波动率的估计范围，可以参考标的资产的最低、最高历史波动率值。通过内插值方法得出隐含波动率的估计并计算相应的期权理论价值，如果理论价值与市场价格的距离小于指定精度，则计算终止，否则，将计算得出的期权理论价值作为新的最低或最高值代入迭代公式
更新隐含波动率的估计。迭代计算公式如下：
(P−BSl)(σℎ−σl)
σ=σl+(BSℎ−BSl)
使得：
|BS−P|≤ε
其中，σ为隐含波动率的估计；σℎ为隐含波动率的较高估计；σl为隐含波动率的较低估计；BSℎ为σℎ对应的期权理论价值；BSl为σl对应的期权理论价值；BS为σ对应的期权理论价值；P为期权的市场价格；ε为指定精度。
（二）N-R 迭代法
Newton-Raphson 迭代算法需要指定隐含波动率的初始值，利用Vega 值作为权数，不断更新隐含波动率估计值并计算相应的期权理论价值，直至理论价值与市场价格的距离小于指定精度。迭代计算公式如下：
σi+1
使得：
|BSi−P|≤ε
其中， σi为隐含波动率的估计值；BSi为σi对应的期权理论价值；P为期权的市场价格；Vi为理论价值为BSi的期权Vega 值；ε为指定精度。
（三）B-Sub 法
定义标的资产价格S等于期权执行价格K的贴现值时，期
(BSi−P)
=σi−
Vi
权处于平价状态，即：S =Ke−r(T−t) 。将累积正态分布函数在零值附近进行一阶泰勒展开，进而推导出平值看涨期权的隐含波动率近似估计如下：
2πCσ=√
TS
其中，C为平值看涨期权的市场价格；S为平值看涨期权对应的标的资产价格；T为平值看涨期权的存续期限。
不难看出，B-Sub 方法计算隐含波动率非常简单，与期权的市场价格成正比，与标的资产价格、期权存续期限成反比。B-Sub 方法更适用于平值期权，对实值、虚值期权的隐含波动率计算通常偏差较大。
（四）C-M 法
Corrado-Miller 方法利用累积正态分布函数在零值附近的二阶泰勒展开，推导出隐含波动率的近似估计如下： 2π1S−XS−X2(S−X) 2
σ=√+√(C−[C−−]
TS+X22π其中，X= Ke−r(T−t) ；C为看涨期权的市场价格；S为标的资产价格；K为期权的执行价格；T为期权的存续期限。
与B-Sub 方法相比，Corrado-Miller 方法考虑了期权所处的实值虚值状态（通过S−X体现），扩大了适用范围。
二、隐含波动率实证研究
波动率在期权定价公式中是唯一不能确定的参数，选取
的波动率并不像定价公式计算的权利金，存在唯一且稳定的精确解。在比较各类波动率的特征过程中，我们并不能寻找到一个公允的标准。因此，数据实证成为对各类波动率研究的必要工具。
（一）隐含波动率与历史波动率对比
通过定价公式倒推的隐含波动率与通过统计标的一段期限内收盘价计算的历史波动率，二者在计算方式上差别很大，对比二者时间序列数据是这部分的主要目的。
数据选取截止到2012年11月30日的ICE 白糖3月期货收盘价，分别计算90天和120天历史波动率；选取2012年11月1日到2012年11月30日的白糖3月期货看涨、看跌期权结算价，以delta0.5为标准确定平值，通过二分法计算平值的隐含波动率。
图1：ICE 白糖3月合约隐含波动率与90、120天历史波动率对比
数据来源：ICE 网站
通过图1数据对比，得出以下结论：
第一，历史波动率90天与120天具有一定相关性，隐含波动率与历史波动率无显著相关性，如下表。
第二，利用看涨期权与看跌期权权利金计算得到的隐含波动率基本一致。
历史波动率与隐含波动率实际上分别代表了标的市场和标的的期权市场，二者既有关联又相互独立。形态上，隐含波动率与历史波动率曲线相互缠绕，当二者偏离达到一定程度时，就可通过两个市场对冲的手段使偏离减小，有效的保证两个市场的联动性。
（二）二叉树美式期货期权隐含波动率精度与步长个数关系
二叉树模型不同于标准BS 模型，并不存在解析解表达式，需要通过增加步长个数来提高计算精度，在计算隐含波
动率的时候，这种步长个数的选取对隐含波动率的精度影响如何，是这部分需要考虑的问题。
方法上，以场景测试为主，按照不同的给定波动率设置实值、平值和虚值，以500步二叉树模型计算的权利金作为基准价，用二分法反推计算对应步长的隐含波动率，然后与给定波动率对比偏差。初始日期设为2012年12月4日，结束日期设为2013年2月15日，无风险利率设为5%，执行价格5300元/吨。
通过观察表3，步长个数对隐含波动率计算是有影响的，随着步长个数的增加隐含波动率计算也更加精确。当步长个数设置为500的时候，可以精确到百分数的小数点后两位。
这个结论和步长个数对权利金的影响相比，计算权利金的时候对步长个数要求会更高一些。在实际运算中，可考虑计算隐含波动率的时候适当降低步长个数，以增加计算效率。
（三）二分法与N-R 迭代法比较
二分法和Newton-Raphson 迭代法均采用数值优化算法，通过迭代达到所需精度。因此，从计算精度的角度来看，二者是相同的；而从计算的效率来看，二者却有较大差异，这里的效率是指达到同样精度的前提下，迭代的次数少则效率高。
比较二分法与N-R 迭代法，能够影响迭代次数的最基本原因是初始值的选取，如二分法需要估计一个波动率的最低值和最高值，而N-R 更是要求指定一个初始值。当初始值或最低值与最高值距离真实值过远时，迭代次数将会增加，计算效率将会降低。
这里通过计算11月30日ICE 白糖3月期权合约序列隐含波动率，比较二分法（最低值设为接近0，最高值50%）与N-R 法（初始值设为σ=√|(log+rT) ）的效率。
X
T
S
2
从表4可以看出，在计算相同精度的隐含波动率过程中，N-R 法比二分法的迭代次数少，效率更高。N-R 法的高效率得益于其动态初始值的设置，在还原该表达式后发现，这个初始值实际上是BS 公式中d 2=0时得到的σ，这使得该值更加接近真实的波动率，从而提高了运算效率。
（四）迭代法与近似解析法比较
本报告的近似解析法介绍了B-sub 法和C-M 法，其原理是依据累积正态分布函数在零值附近的一阶和二阶泰勒展开得到。由于B-Sub 方法更适用于平值期权，在实值和虚值偏差较大，因此本部分只对二分法和C-M 法进行精度计算的比较。
方法上，采用时间序列对比与截面数据对比的双维度观察。首先选取ICE 白糖3月标的的期权合约，收集从2012年11月1日到2012年11月30日的期权结算数据，分别用两种算法计算比较每个交易日平值附近的隐含波动率。
图2：二分法与C-M 法在平值的隐含波动率比较
数据来源：ICE 网站
图2显示，二分法与C-M 法在计算平值附近的隐含波动率精度相差不大，21个数据显示，两种方法计算的隐含波动率差距仅限于百分数的小数点后两位。下面，截取11月30日白糖3月期权各执行价格看涨期权与看跌期权结算数据，用两种方法计算比较各执行价格对应的隐含波动率。
图3：二分法与C-M 法在期权合约序列的隐含波动率对比（看涨）
数据来源：ICE 网站
图4：二分法与C-M 法在期权合约序列的隐含波动率对比（看跌）
数据来源：ICE 网站
比较图3和图4主要观察红圈内数据情况，这是因为对深度实值、虚值期权进行计算时，存在(C−
S−X22
−
(S−X) 2
π
为
负的情形，产生错误结果，而本报告依据的模型为了完整绘制出执行价格对应的隐含波动率轨迹而对模型进行了修正，因此圈外的C-M 数据并不真实。通过对比图3和图4，得出以下结论：
第一，二分法与C-M 法在圈内的数据比较中，精度较高，可以精确到百分数小数点后一位；
第二，二分法（蓝色）在描述该组数据表现出了良好的波动率微笑特性，与预期相符。
考虑到解析解计算速度快的高效特点，实际运用中更多被做市商采用，对于不能够用该方法计算的深实值和深虚值隐含波动率，则以波动率微笑为依据，通过可计算的部分推出不可计算的部分。
三、结论
本报告总结归纳市场常见的几类隐含波动率算法，同时展开相关讨论，得出以下结论：
1. 隐含波动率与历史波动率并无明显相关性，分别代表两个市场的情绪，相同执行价格的看涨期权与看跌期权隐含波动率基本一致；
2. 利用二叉树模型计算的隐含波动率精度与其步长个数相关，步长个数越多，精度越高，但差别较小，影响有限，可考虑定价模型运算与隐含波动率运算采用不同步长，用以提高效率；
3. 二分法和N-R 法在运算效率上有差别，可选用修正初始值后的N-R 法提高计算隐含波动率的效率；
4. 与迭代法相比，近似解析法运算效率更高，但仅平值附近执行价格隐含波动率计算较精确，对深实值与深虚值期权则无法计算，迭代法能够精确刻画波动率微笑。