第四章 数列
一、知识导学
§4.1等差数列的通项与求和
1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„.
3. 通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7. 等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8. 等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析
a +b a +b
．我们把Ａ＝22
1. 数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同
而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，„，n ｝) 的函数.
2. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.
⎧S 1
3. 数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：a n =⎨
⎩S n -S n -1
a n (n>2),则a n 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
(n =1), (n ≥2).
若a 1适合
4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n, a n ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为
S n =
d 2d d d
n +(a 1-) n ，若令A ＝，B ＝a 1－，则S n ＝An 2+Bn.2222
6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，„，3n+7,其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+„+（3n －5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）a n =3n+7;
(2) 1+4+„+（3n －5）是该数列的前n 项之和. 错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项. （1）若令n=1,a1=10≠1, 显然3n+7不是它的通项. 正解：（1）a n =3n－2;
(2) 1+4+„+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.
[例2] 已知数列{a n }的前n 项之和为① S n =2n 2-n ② S n =n 2+n +1 求数列{a n }的通项公式。
错解： ① a n =2n 2-n -2(n -1) 2+(n -1) =4n -3 ② a n =n 2+n +1-(n -1) 2-(n -1) -1=2n
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S1. 正解： ①当n =1时，a 1=S 1=1
当n ≥2时，a n =2n 2-n -2(n -1) 2+(n -1) =4n -3 经检验 n =1时 a 1=1 也适合，∴a n =4n -3 ②当n =1时，a 1=S 1=3
当n ≥2时，a n =n 2+n +1-(n -1) 2-(n -1) -1=2n
(n =1) ⎧3
∴ a n =⎨
⎩2n (n ≥2)
[例3] 已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于错解：S 30= S10·2d. ∴ d＝30， ∴ S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中S m , S2m －S m , S3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S2m , S3m 成等差数列.
10⨯9⎧10a +d =10⎪22⎪12
正解：由题意：⎨得a 1=, d =
515⎪30a +30⨯29d =70
1⎪2⎩
代入得S 40 ＝40a 1+
40⨯39
⨯40d =120。2
[例4]等差数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n . 若
S n a 7n +1=(n ∈N +), 求7；T n 4n +27b 7
错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;bn =4n+27.
∴
a 77⨯7+110==b 74⨯7+2711
S n a n
=b n T n
错因：误认为
正解：∴
a 7a 7+a 7S 137⨯13+192
====b 7b 7+b 7T 134⨯13+2779
[例5]已知一个等差数列{a n }的通项公式a n =25－5n ，求数列{|a n |}的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5
∴ {a n }前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)
当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+„+｜a n ｜＝
(20-5n )(n -5)
2
, n ≤5⎧50
⎪
∴ Sn =⎨(20-5n )(n -5)
, n ≥6⎪2⎩
错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.
⎧n (45-5n )
, n ≤5⎪⎪2
正解： ⎨
(20-5n )(n -5) ⎪+50, n ≥6⎪2⎩
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： S 10=310 S 20=1220
⎧10a 1+45d =310⎧a 1=4得： ⎨ ⇒⎨
⎩d =6⎩20a 1+190d =1220
∴ S n =4n +
n (n -1)
⨯6=3n 2+n 2
1-n
[例7]已知：a n =1024+lg 2 （lg 2=0. 3010）n ∈N + （1） 问前多少项之和为最
大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
⎧a n =1024+(1-n ) lg 2≥010241024
⇒
lg 2lg 2a =1024-n lg 2
∴n =3402
（2） S n =1024n +
n (n -1)
(-lg 2) =02
当S n =0或S n 近于0时其和绝对值最小 令：S n =0 即 1024+ 得：n =
n (n -1)
(-lg 2) =02
2048
+1≈6804. 99lg 2
∵ n ∈N + ∴n =6805
[例8]项数是2n 的等差数列，中间两项为a n 和a n +1是方程x 2-px +q =0的两根，求证此数列的和S 2n 是方程 lg x -(lgn +lg p ) lg x +(lgn +lg p ) =0的根。 （S 2n >0） 证明：依题意a n +a n +1=p
2222
∵a 1+a 2n =a n +a n +1=p ∴S 2n =
2n (a 1+a 2n )
=np
2
∵lg 2x -(lgn 2+lg p 2) lg x +(lgn +lg p ) 2=0
2
∴ (lgx -lg np ) =0 ∴x =np =S 2n （获证）。 四、典型习题导练
1．已知a 1=3且a n =S n -1+2n ，求a n 及S n 。
n (n +1) (n +1) 2
3. 求和: 1+
111
++ +1+21+2+31+2+3+ +n
2
2
2
2
2
2
4. 求和： (100-99) +(98-97) + +(4-3) +(2-1)
2
2
2
22
5. 已知a , b , c 依次成等差数列，求证：a -bc , b -ac , c -ab 依次成等差数列. 6. 在等差数列{a n }中， a 5+a 13=40，则 a 8+a 9+a 10=（ ）。
A ．72 B ．60 C ．48 D ．36
7. 已知{a n }是等差数列，且满足a m =n , a n =m (m ≠n ) ，则a m +n 等于________。8. 已知数列⎨
⎧
11131⎫
a =-, a =-成等差数列，且，求a 8的值。⎬35
67⎩a n +2⎭
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
⎧n ⋅a 1⎪
3. 等比数列的前n 项和公式：S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n ⋅q
⎪1-q =1-q ⎩
(q =1) (q ≠1)
二、疑难知识导析
1. 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.
2. 对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3. “从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
n-1
4. 在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a1q , 可求出等比数列中的任一项.
n-m
5. 在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =am q 可求等比数列中任意一项.
6. 等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a1q 可改写为a n =
n-1
a 1n
⋅q . 当q>0，且q ≠1时，y=qx q
是一个指数函数，而y =
a 1x
⋅q 是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝q
的图象是函数y =
a 1x
⋅q 的图象上的一群孤立的点. q
7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列{a n }的前n 项之和S n =aq（a ≠0, q ≠1, q 为非零常数），则{a n }为（ ）。
n
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 既不是等差数列，也不是等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列
错解： a n +1=S n +1-S n =aq n +1-aq n =aq n (q -1)
∴a n =S n -S n -1=aq n -1(q -1)
∴
a n +1
=q （常数） a n
∴{a n }为等比数列，即B 。
错因：忽略了∴a n =S n -S n -1中隐含条件n ＞1. 正解：当n ＝1时，a 1=S1＝aq;
当n>1时，∴a n =S n -S n -1=aq n -1(q -1)
∴
a n +1
=q （常数） a n
a 2
=q -1≠q a 1
但
∴{a n }既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。
[例2] 已知等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S10·q . ∴ q ＝7，q ＝±
2
2
，∴ S40= S30·q =±.
错因：是将等比数列中S m , S2m －S m , S3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S2m , S3m 成等比数列.
⎧a 1(1-q 10)
=10⎧a 1⎪=-10⎪⎪1-q
1-q 正解：由题意：⎨得⎨， 30
⎪a 1(1-q ) =70⎪q 10=2或q 10=-3(舍去)
⎩⎪⎩1-q
∴S 40=
a 1
1-q 40）=200. 1-q
2
3
n
[例3] 求和：a+a+a+„+a.
1-a n
错解： a+a+a+„+a＝.
1-a
2
3
n
错因：是（1）数列｛a ｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.
23n
正解：当a ＝0时，a+a+a+„+a＝0;
23n
当a ＝1时，a+a+a+„+a＝n;
n
1-a n
当a ≠1时， a+a+a+„+a＝.
1-a
2
3
n
[例4]设a , b , c , d 均为非零实数，a +b d -2b (a +c )d +b +c =0，
2
2
2
2
2
()
求证：a , b , c 成等比数列且公比为d 。 证明：
证法一：关于d 的二次方程a 2+b 2d 2-2b (a +c )d +b 2+c 2=0有实根，
∴∆=4b 2(a +c )-4a 2+b 2(b 2+c 2) ≥0，∴-b 2-ac
2
2
2
()
()
()
2
≥0
则必有：b -ac =0，即b =ac ，∴非零实数a , b , c 成等比数列 设公比为q ，则b =aq ，c =aq 2代入
a 2+a 2q 2d 2-2aq a +aq 2d +a 2q 2+a 2q 4=0 ∵q 2+1a 2≠0，即d 2-2qd +q 2=0，即d =q ≠0。 证法二：∵a 2+b 2d 2-2b (a +c )d +b 2+c 2=0 ∴a 2d 2-2abd +b 2+b 2d 2-2bcd +c 2=0 ∴(ad -b )+(bd -c )=0，∴ad =b ，且bd =c
2
2
()()
()
()
()()
∵a , b , c , d 非零，∴
b c
==d 。 a b
[例5]在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前7项之积。 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4 ∵b 4=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积32[例6]求数列{n ⨯
2
()⨯3=3
3
7
=2187
1
前n 项和 n 21111
解：S n =1⨯+2⨯+3⨯+ +n ⨯n ①
2482
111111S n =1⨯+2⨯+3⨯+ +(n -1) ⨯n +n ⨯n +1 ② 2481622
11(1-n )
111111-n 两式相减：S n =+++ +n -n ⨯n +1=12248222n +11-2
1n 1n
∴S n =2(1-n -n +1) =2-n -1-n
2222
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每
次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，
问：(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：
112
×0.2（kg ）, a 3= () ×0.2（kg ） 22
1n 115114
由此可见：a n = () -×0.2（kg ）, a 5= () -×0.2= () ×0.2=0.0125（kg ）。
222
1
(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =
2
a 1= 0.2 （kg ）, a 2=
1) 6a 1(1-q ) ∴S 6===0. 39375(kg ) 11-q
1-2
0. 4-0. 39375=0. 00625(kg )
6
0. 2(1-
0. 00625÷2=0. 003125(kg )
答：第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ；6次倒出后，一共倒出0.39375kg
盐，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1. 求下列各等比数列的通项公式：
1) a 1=-2, a 3=-8
2) a 1=5, 且2a n +1=-3a n
3) a 1=5, 且
a n +1n
=
a n n +1
2. 在等比数列{a n }，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18. 3. 已知无穷数列10, 10, 10, 10
5
15
25
n -15
, ，
1， 10
求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4. 设数列{a n }为1, 2x , 3x , 4x nx
2
3
n -1
(x ≠0)求此数列前n 项的和。
5. 已知数列{a n }中，a 1=-2且a n +1=S n ，求a n ,S n
6. 是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列，且公比相同？ 7. 在等比数列{a n }中，a 1a 3=36, a 2+a 4=60, S n >400，求n 的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容. 解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n . 一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1. 首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，
a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫解决； 转化为解不等式⎧ 或⎨⎪⎨
⎩a n +1≤0⎝
⎪
⎩a n +1≥0⎭
2. 熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；
a n-m n -m
3. 等差数列中, am =an + (n－m)d, d =a m -a n ; 等比数列中，a n =am q ; q =n
m -n
a m
4. 当m+n=p+q（m 、n 、p 、q ∈N +）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +an =ap +aq ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =ap a q ；
5. 若{an }、{bn }是等差数列，则{kan +bbn }(k、b 是非零常数) 是等差数列；若{an }、{bn }是等比数列，则｛ka n ｝、{an b n }等也是等比数列；
6. 等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a2+a3,a 4+a5+a6,a 7+a8+a9„）仍是等差（或等比）数列；
7. 对等差数列｛a n ｝, 当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N +）； 8. 若一阶线性递推数列a n =kan －1+b（k ≠0,k ≠1）, 则总可以将其改写变形成如下形
式:a n +b =k (a n -1+b ) (n≥2) ，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
k -1k -1
三、经典例题导讲
[例1]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和. 证明：
log 1S n +log 1S n +2
2
2
2
错解：欲证
＞log 1S n +1。
2
log 1S n +log 1S n +2
2
2
2
2
＞log 1S n +1
2
只需证log 1S n +log 1S n +2＞2log 1S n +1
2
2
2
即证：log 1(S n ⋅S n +2) ＞log 1S n +1
2
2
2由对数函数的单调性，只需证(S n ⋅S n +2) ＜S n +1
S n ⋅S n +2－S
2n ＝－a 1q
2
n +1
a 12(1-q n )(1-q n +2) a 12(1-q n +1) 2＝ -22
(1-q ) (1-q )
2
∴ S n ⋅S n +2＜S n +1
∴ 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.
log 1S n +log 1S n +2
正解：欲证
2
2
2
2
＞log 1S n +1
2
只需证log 1S n +log 1S n +2＞2log 1S n +1
2
2
即证：log 1(S n ⋅S n +2) ＞log 1S n +1
2
2
2
2由对数函数的单调性，只需证(S n ⋅S n +2) ＜S n +1
由已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，
∴ q >0,a 1>0.
若q =1,
2则S n ⋅S n +2－S n 1(n +2) a 1-[(n +1) a 1] ＝－a 1＜0； +1＝na
2
2
若q ≠1,
2
n +1
S n ⋅S n +2－S
2
n
a 12(1-q n )(1-q n +2) a 12(1-q n +1) 2＝ -
(1-q ) 2(1-q ) 2
＝－a 1q
2
∴ S n ⋅S n +2＜S n +1
∴ 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它
第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形
成了一公比为1的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，2
共经过的路程应为前10项之和. 1100[1-() 10]即S 10=＝199（米） 11-2
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2⨯100＝100（米）„因此到球第10次着地时共经过的路程为 2
[**************]+100++2+3+ +8 2222
1100[1-() 9]＝100+≈300（米） 11-2
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解： 年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a
18为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a 19=a(1+r).
错因：只考虑了孩子出生时存入的a 元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a 元. 正解：不妨从每年存入的a 元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a 元到18年时变
18为a(1+r)，
171岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
162岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
„„
117岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
∴ a(1+r)18+ a(1+r)17+ „+ a(1+r)1 a (1+r )[1-(1+r ) 18]＝ 1-(1+r )
a [(1+r ) 19-(1+r )] r
a 19答：取出的钱的总数为[(1+r ) -(1+r )]。 r
1111 [例4]求数列1+1, +4, 2+7, 3+10, , n -1+(3n -2) , 的前n 项和。 a a a a
1 解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n =n -1+(3n -2) a ＝
∴S n =(1+111+2+ +n -1) +[1+4+7+ +(3n -2)] a a a
(1+3n -2) n 3n 2+n =当a =1时，S n =n + 22
1
n (1+3n -2) n a n -1(3n -1) n a 当a ≠1时，S n = +=n +122a -a n -11-a 1-
[例5]求数列6666, , , , , 前n 项和 1⨯22⨯33⨯4n (n +1)
611=6(-) n (n +1) n n +1解：设数列的通项为b n ，则b n =
11111∴S n =b 1+b 2+ +b n =6[(1-) +(-) + +(-)]223n n +1
=6(1-16n ) =n +1n +1
a n +12) (n ∈N +) ， 2 [例6]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(
求数列{a n }的前n 项和
解：取n =1，则a 1=(a 1+12) ⇒a 1=1 2
又由 S n =n (a 1+a n ) n (a 1+a n ) a +12=(n ) 可得：222
a n ≠-1(n ∈N *) ∴a n =2n -1
∴S n =1+3+5+ +(2n -1) =n 2
[例7]大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a ，则
S =a (1+2+ +k -1) +0+[1+2+ +(n -k )]
n 2+n =a [k -(n +1) k +]2
n +1当n 为奇数时，取k = S 达到最小值 22
当n 为偶数时，取k =n n +2或 S 达到最大值 22
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率
22为1%，每年平均新增住房面积为30万m ，求2000年底该城市人均住房面积为多少m ？(精
确到0.01)
3．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2，a 1=1
（1） 设b n =a n +1-2a n ，求证数列{b n }是等比数列；
（2） 设c n =a n ，求证数列{c n }是等差数列。 2n
4. 在△ABC 中，三边a , b , c a , , c 也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。
5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知
是一次函数，其图象过点
，又
成等差数列，求f (1) +f (2) + +f (n ) 的值.
第四章 数列
一、知识导学
§4.1等差数列的通项与求和
1. 数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.
2. 项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，„，第n 项，„.
3. 通项公式：一般地，如果数列｛a n ｝的第ｎ项与序号ｎ之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.
4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列. 5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列
6. 数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式. 递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a 1,a 2, 然后用递推关系逐一写出数列中的项.
7. 等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用ｄ表示．
8. 等差中项:如果ａ，Ａ，ｂ这三个数成等差数列，那么Ａ＝叫做ａ和ｂ的等差中项． 二、疑难知识导析
a +b a +b
．我们把Ａ＝22
1. 数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同
而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(｛1，2，3，„，n ｝) 的函数.
2. 一个数列的通项公式通常不是唯一的.
⎧S 1
3. 数列｛a n ｝的前n 项的和S n 与a n 之间的关系：a n =⎨
⎩S n -S n -1
a n (n>2),则a n 不用分段形式表示，切不可不求a 1而直接求a n .
(n =1), (n ≥2).
若a 1适合
4. 从函数的角度考查等差数列的通项公式：a n = a1+(n-1)d=d·n+ a1-d, an 是关于n 的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n, a n ）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.
5、对等差数列的前n 项之和公式的理解：等差数列的前n 项之和公式可变形为
S n =
d 2d d d
n +(a 1-) n ，若令A ＝，B ＝a 1－，则S n ＝An 2+Bn.2222
6、在解决等差数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1]已知数列1，4，7，10，„，3n+7,其中后一项比前一项大3. （1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+„+（3n －5）是该数列的前几项之和.
错解：（1）a n =3n+7;
(2) 1+4+„+（3n －5）是该数列的前n 项之和. 错因：误把最后一项（含n 的代数式）看成了数列的通项. （1）若令n=1,a1=10≠1, 显然3n+7不是它的通项. 正解：（1）a n =3n－2;
(2) 1+4+„+（3n －5）是该数列的前n －1项的和.
[例2] 已知数列{a n }的前n 项之和为① S n =2n 2-n ② S n =n 2+n +1 求数列{a n }的通项公式。
错解： ① a n =2n 2-n -2(n -1) 2+(n -1) =4n -3 ② a n =n 2+n +1-(n -1) 2-(n -1) -1=2n
错因：在对数列概念的理解上，仅注意了a n ＝S n －S n-1与的关系，没注意a 1=S1. 正解： ①当n =1时，a 1=S 1=1
当n ≥2时，a n =2n 2-n -2(n -1) 2+(n -1) =4n -3 经检验 n =1时 a 1=1 也适合，∴a n =4n -3 ②当n =1时，a 1=S 1=3
当n ≥2时，a n =n 2+n +1-(n -1) 2-(n -1) -1=2n
(n =1) ⎧3
∴ a n =⎨
⎩2n (n ≥2)
[例3] 已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于错解：S 30= S10·2d. ∴ d＝30， ∴ S40= S30+d =100.
错因：将等差数列中S m , S2m －S m , S3m －S 2m 成等差数列误解为S m , S2m , S3m 成等差数列.
10⨯9⎧10a +d =10⎪22⎪12
正解：由题意：⎨得a 1=, d =
515⎪30a +30⨯29d =70
1⎪2⎩
代入得S 40 ＝40a 1+
40⨯39
⨯40d =120。2
[例4]等差数列{a n }、{b n }的前n 项和为S n 、T n . 若
S n a 7n +1=(n ∈N +), 求7；T n 4n +27b 7
错解：因为等差数列的通项公式是关于n 的一次函数，故由题意令a n =7n+1;bn =4n+27.
∴
a 77⨯7+110==b 74⨯7+2711
S n a n
=b n T n
错因：误认为
正解：∴
a 7a 7+a 7S 137⨯13+192
====b 7b 7+b 7T 134⨯13+2779
[例5]已知一个等差数列{a n }的通项公式a n =25－5n ，求数列{|a n |}的前n 项和；错解：由a n ≥0得n ≤5
∴ {a n }前5项为非负，从第6项起为负，∴ S n =a1+a2+a3+a4+a5=50(n≤5)
当n ≥6时，S n =｜a 6｜+｜a 7｜+｜a 8｜+„+｜a n ｜＝
(20-5n )(n -5)
2
, n ≤5⎧50
⎪
∴ Sn =⎨(20-5n )(n -5)
, n ≥6⎪2⎩
错因：一、把n ≤5理解为n=5，二、把“前n 项和”误认为“从n ≥6起”的和.
⎧n (45-5n )
, n ≤5⎪⎪2
正解： ⎨
(20-5n )(n -5) ⎪+50, n ≥6⎪2⎩
[例6]已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，
由此可以确定求其前n 项和的公式吗？
解：理由如下：由题设： S 10=310 S 20=1220
⎧10a 1+45d =310⎧a 1=4得： ⎨ ⇒⎨
⎩d =6⎩20a 1+190d =1220
∴ S n =4n +
n (n -1)
⨯6=3n 2+n 2
1-n
[例7]已知：a n =1024+lg 2 （lg 2=0. 3010）n ∈N + （1） 问前多少项之和为最
大？（2）前多少项之和的绝对值最小？
⎧a n =1024+(1-n ) lg 2≥010241024
⇒
lg 2lg 2a =1024-n lg 2
∴n =3402
（2） S n =1024n +
n (n -1)
(-lg 2) =02
当S n =0或S n 近于0时其和绝对值最小 令：S n =0 即 1024+ 得：n =
n (n -1)
(-lg 2) =02
2048
+1≈6804. 99lg 2
∵ n ∈N + ∴n =6805
[例8]项数是2n 的等差数列，中间两项为a n 和a n +1是方程x 2-px +q =0的两根，求证此数列的和S 2n 是方程 lg x -(lgn +lg p ) lg x +(lgn +lg p ) =0的根。 （S 2n >0） 证明：依题意a n +a n +1=p
2222
∵a 1+a 2n =a n +a n +1=p ∴S 2n =
2n (a 1+a 2n )
=np
2
∵lg 2x -(lgn 2+lg p 2) lg x +(lgn +lg p ) 2=0
2
∴ (lgx -lg np ) =0 ∴x =np =S 2n （获证）。 四、典型习题导练
1．已知a 1=3且a n =S n -1+2n ，求a n 及S n 。
n (n +1) (n +1) 2
3. 求和: 1+
111
++ +1+21+2+31+2+3+ +n
2
2
2
2
2
2
4. 求和： (100-99) +(98-97) + +(4-3) +(2-1)
2
2
2
22
5. 已知a , b , c 依次成等差数列，求证：a -bc , b -ac , c -ab 依次成等差数列. 6. 在等差数列{a n }中， a 5+a 13=40，则 a 8+a 9+a 10=（ ）。
A ．72 B ．60 C ．48 D ．36
7. 已知{a n }是等差数列，且满足a m =n , a n =m (m ≠n ) ，则a m +n 等于________。8. 已知数列⎨
⎧
11131⎫
a =-, a =-成等差数列，且，求a 8的值。⎬35
67⎩a n +2⎭
§4.2等比数列的通项与求和
一、知识导学
1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示．
2. 等比中项：若ａ，Ｇ，ｂ成等比数列，则称Ｇ 为ａ 和ｂ 的等比中项．
⎧n ⋅a 1⎪
3. 等比数列的前n 项和公式：S n =⎨a 1(1-q n ) a 1-a n ⋅q
⎪1-q =1-q ⎩
(q =1) (q ≠1)
二、疑难知识导析
1. 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q 也不为0.
2. 对于公比q ，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒. 3. “从第2项起”是因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.
n-1
4. 在已知等比数列的a 1和q 的前提下，利用通项公式a n =a1q , 可求出等比数列中的任一项.
n-m
5. 在已知等比数列中任意两项的前提下，使用a n =am q 可求等比数列中任意一项.
6. 等比数列｛a n ｝的通项公式a n =a1q 可改写为a n =
n-1
a 1n
⋅q . 当q>0，且q ≠1时，y=qx q
是一个指数函数，而y =
a 1x
⋅q 是一个不为0 的常数与指数函数的积，因此等比数列｛a n ｝q
的图象是函数y =
a 1x
⋅q 的图象上的一群孤立的点. q
7．在解决等比数列问题时，如已知，a 1，a n ，d ，S n ，n 中任意三个，可求其余两个。
三、经典例题导讲
[例1] 已知数列{a n }的前n 项之和S n =aq（a ≠0, q ≠1, q 为非零常数），则{a n }为（ ）。
n
A. 等差数列 B. 等比数列
C. 既不是等差数列，也不是等比数列D. 既是等差数列，又是等比数列
错解： a n +1=S n +1-S n =aq n +1-aq n =aq n (q -1)
∴a n =S n -S n -1=aq n -1(q -1)
∴
a n +1
=q （常数） a n
∴{a n }为等比数列，即B 。
错因：忽略了∴a n =S n -S n -1中隐含条件n ＞1. 正解：当n ＝1时，a 1=S1＝aq;
当n>1时，∴a n =S n -S n -1=aq n -1(q -1)
∴
a n +1
=q （常数） a n
a 2
=q -1≠q a 1
但
∴{a n }既不是等差数列，也不是等比数列，选C 。
[例2] 已知等比数列{a n }的前n 项和记为S n ，S 10=10 ，S 30=70，则S 40等于. 错解：S 30= S10·q . ∴ q ＝7，q ＝±
2
2
，∴ S40= S30·q =±.
错因：是将等比数列中S m , S2m －S m , S3m －S 2m 成等比数列误解为S m , S2m , S3m 成等比数列.
⎧a 1(1-q 10)
=10⎧a 1⎪=-10⎪⎪1-q
1-q 正解：由题意：⎨得⎨， 30
⎪a 1(1-q ) =70⎪q 10=2或q 10=-3(舍去)
⎩⎪⎩1-q
∴S 40=
a 1
1-q 40）=200. 1-q
2
3
n
[例3] 求和：a+a+a+„+a.
1-a n
错解： a+a+a+„+a＝.
1-a
2
3
n
错因：是（1）数列｛a ｝不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n 项和公式（2）用等比数列前n 项和公式应讨论q 是否等于1.
23n
正解：当a ＝0时，a+a+a+„+a＝0;
23n
当a ＝1时，a+a+a+„+a＝n;
n
1-a n
当a ≠1时， a+a+a+„+a＝.
1-a
2
3
n
[例4]设a , b , c , d 均为非零实数，a +b d -2b (a +c )d +b +c =0，
2
2
2
2
2
()
求证：a , b , c 成等比数列且公比为d 。 证明：
证法一：关于d 的二次方程a 2+b 2d 2-2b (a +c )d +b 2+c 2=0有实根，
∴∆=4b 2(a +c )-4a 2+b 2(b 2+c 2) ≥0，∴-b 2-ac
2
2
2
()
()
()
2
≥0
则必有：b -ac =0，即b =ac ，∴非零实数a , b , c 成等比数列 设公比为q ，则b =aq ，c =aq 2代入
a 2+a 2q 2d 2-2aq a +aq 2d +a 2q 2+a 2q 4=0 ∵q 2+1a 2≠0，即d 2-2qd +q 2=0，即d =q ≠0。 证法二：∵a 2+b 2d 2-2b (a +c )d +b 2+c 2=0 ∴a 2d 2-2abd +b 2+b 2d 2-2bcd +c 2=0 ∴(ad -b )+(bd -c )=0，∴ad =b ，且bd =c
2
2
()()
()
()
()()
∵a , b , c , d 非零，∴
b c
==d 。 a b
[例5]在等比数列{b n }中，b 4=3，求该数列前7项之积。 解：b 1b 2b 3b 4b 5b 6b 7=(b 1b 7)(b 2b 6)(b 3b 5)b 4 ∵b 4=b 1b 7=b 2b 6=b 3b 5，∴前七项之积32[例6]求数列{n ⨯
2
()⨯3=3
3
7
=2187
1
前n 项和 n 21111
解：S n =1⨯+2⨯+3⨯+ +n ⨯n ①
2482
111111S n =1⨯+2⨯+3⨯+ +(n -1) ⨯n +n ⨯n +1 ② 2481622
11(1-n )
111111-n 两式相减：S n =+++ +n -n ⨯n +1=12248222n +11-2
1n 1n
∴S n =2(1-n -n +1) =2-n -1-n
2222
[例7]从盛有质量分数为20%的盐水2kg 的容器中倒出1kg 盐水，然后加入1kg 水，以后每
次都倒出1kg 盐水，然后再加入1kg 水，
问：(1)第5次倒出的的1kg 盐水中含盐多kg ？
(2)经6次倒出后，一共倒出多少kg 盐？此时加1kg 水后容器内盐水的盐的
质量分数为多少？
解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为{a n }，则：
112
×0.2（kg ）, a 3= () ×0.2（kg ） 22
1n 115114
由此可见：a n = () -×0.2（kg ）, a 5= () -×0.2= () ×0.2=0.0125（kg ）。
222
1
(2)由(1)得{a n }是等比数列 a 1=0.2 , q =
2
a 1= 0.2 （kg ）, a 2=
1) 6a 1(1-q ) ∴S 6===0. 39375(kg ) 11-q
1-2
0. 4-0. 39375=0. 00625(kg )
6
0. 2(1-
0. 00625÷2=0. 003125(kg )
答：第5次倒出的的1kg 盐水中含盐0.0125kg ；6次倒出后，一共倒出0.39375kg
盐，此时加1kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。
四、典型习题导练
1. 求下列各等比数列的通项公式：
1) a 1=-2, a 3=-8
2) a 1=5, 且2a n +1=-3a n
3) a 1=5, 且
a n +1n
=
a n n +1
2. 在等比数列{a n }，已知a 1=5，a 9a 10=100，求a 18. 3. 已知无穷数列10, 10, 10, 10
5
15
25
n -15
, ，
1， 10
求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的
（3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。 4. 设数列{a n }为1, 2x , 3x , 4x nx
2
3
n -1
(x ≠0)求此数列前n 项的和。
5. 已知数列{a n }中，a 1=-2且a n +1=S n ，求a n ,S n
6. 是否存在数列{a n }，其前项和S n 组成的数列{S n }也是等比数列，且公比相同？ 7. 在等比数列{a n }中，a 1a 3=36, a 2+a 4=60, S n >400，求n 的范围。
§4.3数列的综合应用
一、知识导学
1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容. 解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.
2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求S n 还是求a n . 一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增或减的量是百分数时，应用等比数列公式．若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.
二、疑难知识导析
1. 首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n 项和的最大（或最小）问题，
a n ≥0⎛⎧a n ≤0⎫解决； 转化为解不等式⎧ 或⎨⎪⎨
⎩a n +1≤0⎝
⎪
⎩a n +1≥0⎭
2. 熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n 项和公式，在用等比数列前n 项和公式时，勿忘分类讨论思想；
a n-m n -m
3. 等差数列中, am =an + (n－m)d, d =a m -a n ; 等比数列中，a n =am q ; q =n
m -n
a m
4. 当m+n=p+q（m 、n 、p 、q ∈N +）时，对等差数列｛a n ｝有：a m +an =ap +aq ；对等比数列｛a n ｝有：a m a n =ap a q ；
5. 若{an }、{bn }是等差数列，则{kan +bbn }(k、b 是非零常数) 是等差数列；若{an }、{bn }是等比数列，则｛ka n ｝、{an b n }等也是等比数列；
6. 等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a 1+a2+a3,a 4+a5+a6,a 7+a8+a9„）仍是等差（或等比）数列；
7. 对等差数列｛a n ｝, 当项数为2n 时，S 偶-S 奇＝nd ；项数为2n －1时，S 奇－S 偶＝a 中（n ∈N +）； 8. 若一阶线性递推数列a n =kan －1+b（k ≠0,k ≠1）, 则总可以将其改写变形成如下形
式:a n +b =k (a n -1+b ) (n≥2) ，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
k -1k -1
三、经典例题导讲
[例1]设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 是其前n 项和. 证明：
log 1S n +log 1S n +2
2
2
2
错解：欲证
＞log 1S n +1。
2
log 1S n +log 1S n +2
2
2
2
2
＞log 1S n +1
2
只需证log 1S n +log 1S n +2＞2log 1S n +1
2
2
2
即证：log 1(S n ⋅S n +2) ＞log 1S n +1
2
2
2由对数函数的单调性，只需证(S n ⋅S n +2) ＜S n +1
S n ⋅S n +2－S
2n ＝－a 1q
2
n +1
a 12(1-q n )(1-q n +2) a 12(1-q n +1) 2＝ -22
(1-q ) (1-q )
2
∴ S n ⋅S n +2＜S n +1
∴ 原不等式成立.
错因：在利用等比数列前n 项和公式时，忽视了q ＝1的情况.
log 1S n +log 1S n +2
正解：欲证
2
2
2
2
＞log 1S n +1
2
只需证log 1S n +log 1S n +2＞2log 1S n +1
2
2
即证：log 1(S n ⋅S n +2) ＞log 1S n +1
2
2
2
2由对数函数的单调性，只需证(S n ⋅S n +2) ＜S n +1
由已知数列{a n }是由正数组成的等比数列，
∴ q >0,a 1>0.
若q =1,
2则S n ⋅S n +2－S n 1(n +2) a 1-[(n +1) a 1] ＝－a 1＜0； +1＝na
2
2
若q ≠1,
2
n +1
S n ⋅S n +2－S
2
n
a 12(1-q n )(1-q n +2) a 12(1-q n +1) 2＝ -
(1-q ) 2(1-q ) 2
＝－a 1q
2
∴ S n ⋅S n +2＜S n +1
∴ 原不等式成立.
[例2] 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它
第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）
错解：因球 每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形
成了一公比为1的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，2
共经过的路程应为前10项之和. 1100[1-() 10]即S 10=＝199（米） 11-2
错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.
正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了2⨯100＝100（米）„因此到球第10次着地时共经过的路程为 2
[**************]+100++2+3+ +8 2222
1100[1-() 9]＝100+≈300（米） 11-2
答：共经过300米。
[例3] 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a 元一年定期，若年利率为r 保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？
错解： 年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a
18为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a 19=a(1+r).
错因：只考虑了孩子出生时存入的a 元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a 元. 正解：不妨从每年存入的a 元到18年时产生的本息 入手考虑，出生时的a 元到18年时变
18为a(1+r)，
171岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
162岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
„„
117岁生日时的a 元到18岁时成为a(1+r)，
∴ a(1+r)18+ a(1+r)17+ „+ a(1+r)1 a (1+r )[1-(1+r ) 18]＝ 1-(1+r )
a [(1+r ) 19-(1+r )] r
a 19答：取出的钱的总数为[(1+r ) -(1+r )]。 r
1111 [例4]求数列1+1, +4, 2+7, 3+10, , n -1+(3n -2) , 的前n 项和。 a a a a
1 解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n =n -1+(3n -2) a ＝
∴S n =(1+111+2+ +n -1) +[1+4+7+ +(3n -2)] a a a
(1+3n -2) n 3n 2+n =当a =1时，S n =n + 22
1
n (1+3n -2) n a n -1(3n -1) n a 当a ≠1时，S n = +=n +122a -a n -11-a 1-
[例5]求数列6666, , , , , 前n 项和 1⨯22⨯33⨯4n (n +1)
611=6(-) n (n +1) n n +1解：设数列的通项为b n ，则b n =
11111∴S n =b 1+b 2+ +b n =6[(1-) +(-) + +(-)]223n n +1
=6(1-16n ) =n +1n +1
a n +12) (n ∈N +) ， 2 [例6]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n =(
求数列{a n }的前n 项和
解：取n =1，则a 1=(a 1+12) ⇒a 1=1 2
又由 S n =n (a 1+a n ) n (a 1+a n ) a +12=(n ) 可得：222
a n ≠-1(n ∈N *) ∴a n =2n -1
∴S n =1+3+5+ +(2n -1) =n 2
[例7]大楼共n 层，现每层指定一人，共n 人集中到设在第k 层的临时会议室开会，问k 如何确定能使n 位参加人员上、下楼梯所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）
解：设相邻两层楼梯长为a ，则
S =a (1+2+ +k -1) +0+[1+2+ +(n -k )]
n 2+n =a [k -(n +1) k +]2
n +1当n 为奇数时，取k = S 达到最小值 22
当n 为偶数时，取k =n n +2或 S 达到最大值 22
四、典型习题导练
1．在［1000，2000］内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？
2．某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m 2，如果该城市每年人口平均增长率
22为1%，每年平均新增住房面积为30万m ，求2000年底该城市人均住房面积为多少m ？(精
确到0.01)
3．已知数列{a n }中，S n 是它的前n 项和，并且S n +1=4a n +2，a 1=1
（1） 设b n =a n +1-2a n ，求证数列{b n }是等比数列；
（2） 设c n =a n ，求证数列{c n }是等差数列。 2n
4. 在△ABC 中，三边a , b , c a , , c 也成等差数列，求证△ABC 为正三角形。
5． 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。
6. 已知
是一次函数，其图象过点
，又
成等差数列，求f (1) +f (2) + +f (n ) 的值.