中考数学与函数有关的压轴题（解答题五）
21．（2014•甘肃白银, 第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y =x 2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M 、A 、B 坐标；
（2）联结AB 、AM 、BM ，求∠ABM 的正切值
（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．
22. （ 2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y =a （x ﹣h ）2+0），A （2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？
的图象经过原点O （0，
1
23. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，）；点F （0，1）
4
在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． （1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
考
二次函数综合题．
点： 专
综合题．
题： 分
（1）根据题意可设函数的解析式为y =ax 2，将点A 代入函数解析式，求出
析： a 的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，利用勾股定理求出PF ，表示出PM ，可得
PF =PM ，∠PFM =∠PMF ，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得∠FMH =30°，设点P 的坐标为（x ，可得关于x 的方程，求出x 的值即可得出答案． 解
（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ，
12
x ），根据PF =PM =FM ，4
答： ∴设二次函数的解析式为y =ax 2，
将点A （1，
11）代入y =ax 2得：a =， 44
12
x ； 4
12
x 上， 4
∴二次函数的解析式为y =
（2）证明：∵点P 在抛物线y =
∴可设点P 的坐标为（x ，
12
x ）， 4
12
x ﹣1，PB =x ， 4
过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =∴Rt △BPF 中，
PF =
∵PM ⊥直线y =﹣1，
1
∴PM =x 2+1，
4
=
12
x +1， 4
∴PF =PM ， ∴∠PFM =∠PMF ， 又∵PM ∥x 轴， ∴∠MFH =∠PMF ，
∴∠PFM =∠MFH ， ∴FM 平分∠OFP ；
（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°， ∴∠FMH =30°，
在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4， ∵PF =PM =FM ， ∴
12
x +1=4，
4
解得：x =±2∴
，
121
x =×12=3， 44
∴满足条件的点P 的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
点
本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线
评： 的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，
将所学知识融会贯通．
24. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l ：y =kx ，抛物线C ：y =ax 2+bx +1． （1）当b =1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值； （2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线
C 都只有一个交点． ①求此抛物线的解析式；
②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y =2交于Q 点，O 为原点．求证：OP =PQ ．
25. （2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y =x 2﹣x ﹣3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ．
（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；
（2）若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；
（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）令y =0，解方程x 2﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x =0，求出y =﹣3，可确定C 点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标．
解：（1）∵y =x 2﹣x ﹣3，∴当y =0时，x 2﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x =0，y =﹣3．
∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y =x 2﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x ==1．
∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，
∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：
①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x =1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）；
②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当
y =4时，x 2﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+∴M 点坐标为（1+
，3）或（1﹣
，x 2=1﹣，3）．
，
综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1．
，3）或（1﹣，3）；
由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A =6，BC =2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2．
∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y =x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y =x +n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b =﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y =x ﹣3．∵点P 2在抛物线y =x 2﹣x ﹣3上， ∴x 2﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2﹣6x =0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
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中考数学与函数有关的压轴题（解答题五）
21．（2014•甘肃白银, 第28题12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，顶点为M 的抛物线是由抛物线y =x 2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在该抛物线上，且横坐标为3．
（1）求点M 、A 、B 坐标；
（2）联结AB 、AM 、BM ，求∠ABM 的正切值
（3）点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当α=∠ABM 时，求P 点坐标．
22. （ 2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y =a （x ﹣h ）2+0），A （2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点？
的图象经过原点O （0，
1
23. 2014•广西贺州，第26题12分）二次函数图象的顶点在原点O ，经过点A （1，）；点F （0，1）
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在y 轴上．直线y =﹣1与y 轴交于点H ． （1）求二次函数的解析式；
（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线y =﹣1交于点M ，求证：FM 平分∠OFP ； （3）当△FPM 是等边三角形时，求P 点的坐标．
考
二次函数综合题．
点： 专
综合题．
题： 分
（1）根据题意可设函数的解析式为y =ax 2，将点A 代入函数解析式，求出
析： a 的值，继而可求得二次函数的解析式；
（2）过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，利用勾股定理求出PF ，表示出PM ，可得
PF =PM ，∠PFM =∠PMF ，结合平行线的性质，可得出结论； （3）首先可得∠FMH =30°，设点P 的坐标为（x ，可得关于x 的方程，求出x 的值即可得出答案． 解
（1）解：∵二次函数图象的顶点在原点O ，
12
x ），根据PF =PM =FM ，4
答： ∴设二次函数的解析式为y =ax 2，
将点A （1，
11）代入y =ax 2得：a =， 44
12
x ； 4
12
x 上， 4
∴二次函数的解析式为y =
（2）证明：∵点P 在抛物线y =
∴可设点P 的坐标为（x ，
12
x ）， 4
12
x ﹣1，PB =x ， 4
过点P 作PB ⊥y 轴于点B ，则BF =∴Rt △BPF 中，
PF =
∵PM ⊥直线y =﹣1，
1
∴PM =x 2+1，
4
=
12
x +1， 4
∴PF =PM ， ∴∠PFM =∠PMF ， 又∵PM ∥x 轴， ∴∠MFH =∠PMF ，
∴∠PFM =∠MFH ， ∴FM 平分∠OFP ；
（3）解：当△FPM 是等边三角形时，∠PMF =60°， ∴∠FMH =30°，
在Rt △MFH 中，MF =2FH =2×2=4， ∵PF =PM =FM ， ∴
12
x +1=4，
4
解得：x =±2∴
，
121
x =×12=3， 44
∴满足条件的点P 的坐标为（2，3）或（﹣2，3）．
点
本题考查了二次函数的综合，涉及了待定系数法求函数解析式、角平分线
评： 的性质及直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练基本知识，数形结合，
将所学知识融会贯通．
24. （2014•广西玉林市、防城港市，第26题12分）给定直线l ：y =kx ，抛物线C ：y =ax 2+bx +1． （1）当b =1时，l 与C 相交于A ，B 两点，其中A 为C 的顶点，B 与A 关于原点对称，求a 的值； （2）若把直线l 向上平移k 2+1个单位长度得到直线r ，则无论非零实数k 取何值，直线r 与抛物线
C 都只有一个交点． ①求此抛物线的解析式；
②若P 是此抛物线上任一点，过P 作PQ ∥y 轴且与直线y =2交于Q 点，O 为原点．求证：OP =PQ ．
25. （2014年广东汕尾，第25题10分）如图，已知抛物线y =x 2﹣x ﹣3与x 轴的交点为A 、D （A 在D 的右侧），与y 轴的交点为C ．
（1）直接写出A 、D 、C 三点的坐标；
（2）若点M 在抛物线上，使得△MAD 的面积与△CAD 的面积相等，求点M 的坐标；
（3）设点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，在抛物线上是否存在点P ，使得以A 、B 、C 、P 四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）令y =0，解方程x 2﹣x ﹣3=0可得到A 点和D 点坐标；令x =0，求出y =﹣3，可确定C 点坐标；
（2）根据抛物线的对称性，可知在在x 轴下方对称轴右侧也存在这样的一个点；再根据三角形的等面积法，在x 轴上方，存在两个点，这两个点分别到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离； （3）根据梯形定义确定点P ，如图所示：①若BC ∥AP 1，确定梯形ABCP 1．此时P 1与D 点重合，即可求得点P 1的坐标；②若AB ∥CP 2，确定梯形ABCP 2．先求出直线CP 2的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P 2的坐标．
解：（1）∵y =x 2﹣x ﹣3，∴当y =0时，x 2﹣x ﹣3=0， 解得x 1=﹣2，x 2=4．当x =0，y =﹣3．
∴A 点坐标为（4，0），D 点坐标为（﹣2，0），C 点坐标为（0，﹣3）；
（2）∵y =x 2﹣x ﹣3，∴对称轴为直线x ==1．
∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，
∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：
①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x =1对称， ∵C 点坐标为（0，﹣3），∴M 点坐标为（2，﹣3）；
②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3．当
y =4时，x 2﹣x ﹣3=3，解得x 1=1+∴M 点坐标为（1+
，3）或（1﹣
，x 2=1﹣，3）．
，
综上所述，所求M 点坐标为（2，﹣3）或（1+（3）结论：存在．
如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意： ①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1．
，3）或（1﹣，3）；
由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合， ∴P 1（﹣2，0）．∵P 1A =6，BC =2，∴P 1A ≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形； ②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2．
∵A 点坐标为（4，0），B 点坐标为（2，﹣3），∴直线AB 的解析式为y =x ﹣6， ∴可设直线CP 2的解析式为y =x +n ，将C 点坐标（0，﹣3）代入，得b =﹣3， ∴直线CP 2的解析式为y =x ﹣3．∵点P 2在抛物线y =x 2﹣x ﹣3上， ∴x 2﹣x ﹣3=x ﹣3，化简得：x 2﹣6x =0，解得x 1=0（舍去），x 2=6， ∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2（6，6）． ∵AB ∥CP 2，AB ≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形．
综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为（﹣2，0）或（6，6）．
点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线与坐标轴的交点坐标求法，三角形的面积，梯形的判定．综合性较强，有一定难度．运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．
======*以上是由明师教育编辑整理======