矩阵及其运算

矩阵及其运算

矩阵的线性运算

（1）加法：两同型矩阵A =(a ij )

m ´n

与B =(b ij )

m ´n

的和矩阵为A +B =(a ij +b ij )

m ´n

（2）数乘法：数k 与矩阵A =(a ij )

m ´n

的数量乘积矩阵kA =(ka ij )

m ´n

（3）m ´s 矩阵C =(c ij ) m ´s 称为矩阵A =(a ik ) m ´n 与B =(b kj ) n ´s 的乘积. 其中c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a in b nj （i =1, 2, L , m ; j =1, 2, L , s ）.

k 个6447448

(4）A =A A L A 为n 阶方阵A 的k 次幂，特别规定A 0=E .

(5）f (A ) =a m A +a m -1A

m m -1

+L +a 1A +a 0E （a i 为数）为方阵A 的多项式.

矩阵的转置

以A =(a ij )

m ´n

的行为列，列为行构成的n ´m 矩阵A T =(a ji ) n ´m 为A 的转置矩阵.

A 是n 阶方阵，如果A =A ，称A 为对称矩阵；如果A =-A ，称A 为反对称矩阵.

方阵的行列式

以n 阶方阵A 的元素构成的行列式a ij 称为方阵A 的行列式. 记为A 或det A .

矩阵运算注意事项：

利用运算定义和运算律进行运算.

注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.

（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变. （ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律. 即AB =AC 且A ¹O ，不一定有B =C ；BA =CA 且A ¹O ，不一定有B =C . 特别地，A B =O , 且A ≠O ，不一定有B =O .

（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A (BC ) =(AB ) C . （ⅴ）A , B 分别是m 创n , n

s 矩阵，则(AB ) =B A .

（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别.

可逆矩阵

1. 设A 是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.

2. 可逆矩阵的逆矩阵唯一. 3. 设A =(a ij )

n ⨯n

, , 称由以A 的第i (i =1, 2

n , 行元素在A 中的代数余子式

A ij (j =1, 2, , n ) 为第i 列元素构成的矩阵A =A ji

()

n ⨯n

为A 的伴随矩阵.

4. 设A 是n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则AA =A A =A E . 5. n 阶方阵A 是可逆的充分必要条件为A ≠0. 而且A 6. 可逆矩阵具有如下运算性质：

（ⅰ）A 是n 阶可逆矩阵，A 的逆矩阵A -1也可逆，且(A -1)

-1

A （A =A A

**-1

）.

=A ； =k

-1

（ⅱ）A 是n 阶可逆矩阵，k 是非零数，则kA 可逆，且(kA )（ⅲ）A , B 都是n 阶可逆矩阵, 那么A B 也可逆, 且(AB ) （ⅳ）A 是n 阶可逆矩阵, A T 也可逆，且(A T

-1

；

=B A ；

-1-1

)

-1

=(A

-1

)

；

（ⅴ）A 是m 阶可逆矩阵，B , C 都是m ⨯n 矩阵，且AB =AC , 则B =C ，

A 是n 阶可逆矩阵，B , C 都是m ⨯n 矩阵，且BA =CA , 则B =C .

常用解题方法:（设A 是n 阶方阵）

1. 求可逆矩阵的逆矩阵：A 明）

2. 利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A 的逆矩阵：

找到n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，则A 可逆，且A -1=B .

注意 A *的第i (i =1, 2, , n ) 列元素是A 的第i (i =1, 2, , n ) 行元素在A 的代数余子式；

A 的第i (i =1, 2, , n ) 行元素是A 的第i (i =1, 2, , n ) 列元素在A 的代数余子式.

-1

A （用于阶数较低的具体给定的数字矩阵求逆或理论证

分块矩阵及其运算

用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵. 我们将这些小块称为矩阵的子块. 1 加法对两个m ´n 矩阵A =(a ij )

m ´n

, B =(b ij )

m ´n

进行同样分块，则A +B 为对应块相

加得到的分块矩阵； 2 数乘法设A =(a ij ) 得到的分块矩阵；

3乘法设A =(a ik ) m ´n , B =(b kj ) n ´t ，将A , B 分块为

骣A 11ççççA 21

A =ççç... çççA s 1ç桫

A 12A 22... A s 2

... ... ... ...

骣A 1p ÷B 11

ç÷çç÷A 2p ÷B 21ç÷ç÷B =，ç÷ç... ÷... ÷ç÷ç÷çA sp ÷B p 1ç桫

B 12B 22... B p 2

... ... ... ...

骣B 1q ÷C 1

ç÷çç÷B 2q ÷C 2ç1÷ç÷A B =，则ç÷ç... ÷... ÷ç÷ç÷çB pq ÷C s 1ç桫

C 12C 2... C s 2

÷÷

÷... 2C q ÷÷÷÷.

... ... ÷÷÷÷... C sq ÷

m ´n

是一个m ´n 矩阵，k 是一个数，将kA 为由k 数乘每个子块矩阵

... C

其中A ik 为m i ´n k 矩阵，B kj 为n k ´t j 矩阵，C i j =A i 1B 1j +A i 2B 2j +L +A ip B p j . 4 转置设A =(a ij )

骣A 11çççA 21ççA =çç... ççççA s 1桫

A 12A 22... A s 2

m ´n

是一个m ´n 矩阵，将A 分块为

T 骣A 1t ÷A 11

ç÷çT ç÷A 2t ÷A 12çT ÷÷，则A =çç÷ç... ÷... ç÷÷ç÷çT çA st ÷A 1t 桫

... ... ... ...

A 21A 22

T T

... ... ... ...

... A 2t

A s 1÷

÷T ÷A s 2÷÷÷÷. ... ÷÷÷T ÷A st ÷

注意事项：

1. 利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便. 分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；

2. 第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即A ik 列数必须等于B kj 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；

3. 由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换. 即上面的A ik B kj 绝对不能写成B kj A ik .

4. 分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.

初等变换与初等矩阵

初等变换

1. 对调两行（或列）；2. 以数k (k ≠0) 乘矩阵某一行（或列）的所有元素； 2. 把矩阵的某行（或列）所有元素乘一个数加到另一行（或列）对应位置的元素上. 矩阵的等价标准形

1. 称具有如下特点m ⨯n 矩阵A 为行阶梯形矩阵：

（ⅰ）A 的前r (r ≤m ) 行，每行元素均不全为0，后m -r 行元素都为零； (ⅱ) 第k (1≤k ≤r ) 行的第一个非零元素为a kj ，且满足j 1

如果行阶梯形矩阵还满足：（ⅲ）第k (1≤k ≤r ) 行的第一个非零元素a kj =1，且

a kj k (k =1, 2, , r ) 所在的j k 列的其它元素都为0，就称A 为行最简形矩阵.

2. 任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵.

⎛E r

3. 任何一个m ⨯n 矩阵A 都可以通过初等变换化为

⎝(m -r )⨯r

O r ⨯(n -r ) O (m -r )⨯(n -r )

⎫

型矩阵. ⎪⎪⎭

初等矩阵

1. 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2. 设A 一个m ⨯n 矩阵，A 左乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行变换，

A 右乘一个n 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等列变换.

3. A 与B 等价当且仅当存在可逆矩阵P 与可逆矩阵Q ，使得A =PBQ . 4. n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以写成一些初等矩阵的乘积. 5. n 阶方阵A 可逆当且仅当A 可以只用初等行变换化为单位矩阵.

常用解题方法

1. 用初等行变换求可逆矩阵A 的逆矩阵的求法：(A

E )−−−−→(E

初等行变换

-1

A B )

-1

2. 用初等行变换求矩阵方程A X =B (A 可逆) 的求法：(A 则X =A

-1

B )−−−−→(E

B 即可求得.

矩阵基础部分习题

1. A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：A

骣骣11

珑鼢珑鼢-鼢鼢M =a M , (a 0) A 证明：设A 的行和为a ，则A 珑，所以珑珑鼢鼢珑鼢珑1鼢1桫桫

-1

也是行等和矩阵.

骣骣11

珑鼢鼢1珑-1鼢珑M =a M ，珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑1鼢1桫桫

即A

-1

是行等和矩阵.

⎛a 11

2. 设实矩阵A = a 21

a ⎝31

a 12a 22a 32a 13⎫

⎪T

a 23, 且A A =O , 证明A =O .

⎪a 33⎪⎭

3. 已知A =(a ij )

3´3

可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍

得到B , 求B -1A

骣1

珑珑

解：B =A 珑珑珑

珑珑桫

骣1

鼢鼢鼢鼢-2鼢鼢鼢1鼢桫

， B

-1

骣1

珑珑=珑-2珑珑珑珑桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

-1-1

-1

A ，

骣1珑珑-1

B A =珑-2珑珑珑珑桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

-1-1

骣1珑珑=珑2珑珑珑珑桫

11-5

骣1

= 2 1桫

1-5

4．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得

⎛1

C ，记P = 0

0⎝

110

-1

0⎫⎪

0，则 ⎪1⎪⎭

（A ）C =P AP .

（C ）C =P AP .

（B ）C =P A P .

（D ）C =PAP . 【】

-1

5. A , B 都为n 阶方阵，且A +B =AB 1) 证明：A -E 可逆

2）证明：AB =BA

骣1çç

3）如果B =çç2

ççç0桫

-310

0÷

÷÷0÷，求A ÷÷÷2÷

1）证明：由A +B =AB 有A -(A -E ) B =O ，所以A -E -(A -E ) B =-E ,

-1

即(A -E ) (B -E ) =E , 所以A -E 可逆，且(A -E ) =B -E

2）由(A -E ) (B -E ) =E ，有(B -E ) (A -E ) =E ，所以(A -E ) (B -E ) =(B -E ) (A -E ) ，即有AB =BA

3）由(A -E ) -1=B -E 有A =E +(B -E )

-1

骣1珑珑=珑0珑珑珑珑0桫

0100鼢

鼢鼢0鼢+鼢鼢鼢1鼢

骣020桫

-300

001

-1

骣1

çç=ç0çççç0桫

010

骣

珑0珑珑0÷珑珑珑÷1珑÷0÷+-珑÷珑÷珑3÷

1÷珑珑0珑珑珑珑桫

1200

骣

鼢0鼢1鼢鼢鼢鼢鼢1鼢0鼢=-鼢鼢3鼢鼢1鼢0鼢鼢鼢鼢桫

1210

00 2

骣2

ççç0çç6. 已知A =çç0çççç0桫

1-100

-2220-1÷

÷÷1÷-1-1÷÷, B =(A -E ) (A +E ), 求(B -E ) ÷1÷÷÷÷3÷

-1

解：由B =(A -E ) (A +E ), 有(A -E ) B =(A +E ), AB -B -A =E ,

A (B -E ) -(B -E ) =2E , 所以(A -E ) (B -E ) =2E , (B -E )

-1

(A -E )

7. 方阵A 满足A +2A -3E =O 1）求证：A +4E 可逆，并求其逆 2）讨论：A +nE (n Z ) 的可逆性

1）证明：由于A +2A -3E =O ，有(A +4E )(A -2E ) =-5E ，所以A +4E 可逆，其逆为(A +4E )

-1

(A -2E ) .

2）由于A +2A -3E =O ，

A -n -2) E =轾-n n -2) +3E =-有(A +nE ) 轾臌(臌(

(n 2-2n -3) E =-(n -3)(n +1) E ，

所以n 构3, n -1时，A +nE (n Z ) 可逆，

-1

其逆为(A +nE )

轾A -(n -2) E

-n (n -2) +3臌

当n =3时，

如果A -E =O ，则A +3E =4E 可逆；

如果A -E O ，由(A +3E )(A -E ) =O ，所以(A +3E ) X =O 有非零解，所以r (A +3E )

当n =-1时，如果A +3E =O ，则A -E =-4E 可逆；如果A +3E O ，与上面相同有r (A -E )

-1

也可逆，并求其逆

-1

(B +A ) B ，

-1

) B =

B +A , 所以(A

-1

) =

-1

可逆，且(A -1+B -)

-1

=B (B +A ) A .

9. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 3=0，则（） A ．E -A 不可逆，E +A 不可逆；B. E -A 不可逆，E +A 可逆； C. E -A 可逆，E +A 可逆; D. E -A 可逆，E +A 不可逆

⎛1 3

-1

10. 设A X A =6A +X A , 其中A = 0

0 ⎝

0140

⎫0⎪⎪

0⎪，求X . ⎪⎪1⎪⎪7⎭

11. 设A , B 均为2阶方阵，A , B 分别为A , B 的伴随矩阵，若A =3, B =2

⎛O ⎝B

A ⎫

⎪的伴随矩阵为（） O ⎭

*3A ⎫

⎪；B. O ⎪⎭

则

⎛O

A ．

2B *⎝⎛O 3B *⎝

*2A ⎫

⎪ ；C. O ⎪⎭

⎛O

3A *⎝

*2B ⎫

⎪ ；D. O ⎪⎭

⎛O

2A *⎝

*3B ⎫

⎪ O ⎪⎭

12. A 是3阶方阵, B 是2阶方阵, 且A =-2, B =1，则

，且(A

2A O

O -3B

= ；2A

=13. A ÎR 解：(A

3´3*

)

=16, det A >0, 求det (-2A )

)

=A =

(A )

=16, det A =2, det (-2A ) =(-2) 3det A =-16

14. 设A 是n 阶方阵，A =3, A 是A 的伴随矩阵，则2A

-1

-A

O ⎫⎪2B ⎭

-1

⎛A

15. 已知A ，B 都是3阶方阵, 且A =-9，AB +3E =O , 求B 及

⎝O

16. 设矩阵A =

⎛2⎝-11⎫

⎪，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足B A =B +2E ，则B = 2⎭

. 17. A =

(a ij ) n 可逆，且A , A

-1

所以元素都是整数，证明：A =1或-1

解：由于行列式是取自不同行、不同列元素乘积的代数和，且A , A -1所以元素都是整数，所以A , A

-1

都是整数，又AA

-1

=A A

-1

=1, 所以A =1或-1

18. 如果A B =B A , 则称矩阵B 与A 可交换, 求与矩阵A 可交换的矩阵具有的形式.

⎛1 0A =

0 ⎝0

0200

0011

0⎫⎪0

⎪； 0⎪⎪1⎭

矩阵的秩

1. 设A 是一个m ⨯n 矩阵，如果A 中存在r 阶子式不为零，而所有r +1阶子式（如果有的话）全为零，我们称r 为矩阵A 的秩，记为R (A ) 或秩(A ). 2. 矩阵的秩具有如下性质：（ⅰ）R (A ) =0当且仅当A =O ；（ⅱ）R (A ) =R (A T ) ；

（ⅲ）R (kA ) =R (A ) ，其中k 为非零数；

（ⅳ）n 阶方阵A 的秩R (A ) =n 的充分必要条件A ≠0；（ⅴ）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件为R (A ) =n . 3. 行阶梯形矩阵A 的非零行的行数等于A 的秩. 4. 初等变换不改变矩阵的秩.

5. 矩阵P ，Q 可逆，则R (PAQ )=R (A ).

6. 设A 是秩为r 的m ⨯n 矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得

⎛E r

PAQ =

⎝O

O ⎫⎪. O ⎭

常用方法

1. 求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩. 2. 如果A 是n 阶方阵，A ≠0时R (A ) =n .

求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出A ≠0时的参数取值，此时R (A ) =n ；对于使A =0的参数再特别讨论.

⎛λ

1. 已知A =1

1⎝

1⎫⎪

1，讨论λ为何值时（1）R (A ) =1;(2) R (A ) =2;(3)R (A ) =3. ⎪λ⎪⎭

2. 设A 是m ⨯n 矩阵，证明： R (A ) =1当且仅当存在m 维列向量矩阵α和n 维行向量矩阵β

, 使得A =αβ.

3. 设A 是秩为1的3阶方阵，证明:存在不全为零的数a 1, a 2, a 3和不全为零的数b 1, b 2, b 3，

⎛a 1b 1

使得A = a 2b 1

a b ⎝31

a 1b 2a 2b 2a 3b 2

a 1b 3⎫

⎪100

a 2b 3；并求A ⎪a 3b 3⎪⎭

4. （2010）2. 设A , B 分别为m ⨯n 和n ⨯m 矩阵，E 为单位矩阵，且AB =E ，则 A ．秩A =m ，秩B =m ；B. 秩A =m ，秩B =n ； C. 秩A =n ，秩B =m ；D. 秩A =n ，秩B =n

5. A , B 都为n 阶实方阵，G 为n ´m 矩阵，r (G ) =n ，证明：如果AG =BG 则A =B

证明：方法一：r (G ) =n ，则G 有n 个线性无关的列向量，可以通过列交换使的G 的前n 列线性无关，即存在可逆矩阵Q (是换位矩阵的乘积) 使得GQ =(G 1, G 2) , 其中G 1为n 阶可逆方阵，由AG =BG ，有AG Q =BG Q , 所以A (G 1, G 2) =B (G 1, G 2) 因此(AG 1, AG 2) =(BG 1, BG 2) ，所以AG 1=BG 1，即有A =B

方法二：由AG =BG ，有(A -B ) G =0，所以G 的列向量都是齐次线性方程组

(A -B ) x =0的解，所以(A -B ) x =0有n 个线性无关的解向量，所以r (A -B ) =0，

即A =B .

方法三：利用r (A ) =R (AA )

由于AG =BG ，则A G G =B G G , 而r (G G ) =r (G ) =n ，所以G G 是n 阶可逆方阵，

所以A =B .

6. A 是m ´n 实矩阵，证明：r (A ) =r (A T A ) =r (AA T ) 证明：先证明齐次线性方程组Ax =0与A Ax =0同解

如果x 0是Ax =0的解，则Ax 0=0，所以A A x 0=0，所以x 0是A Ax =0的解

T x 反之，则A A x 0是A Ax =0，

T T

=0，有x 0A A x 0=0，即(A x 0) A x 0=0，所以Ax 0=0

T T

即x 0是Ax =0的解，所以Ax =0与A Ax =0同解. 所以n -r (A ) =n -r (A T A ), 即r (A ) =r (A T A )

线性方程组的解部分知识概要

1. 线性方程组Ax =b （x 是n 维列向量）的系数矩阵为A , 增广矩阵为A =(A 则：（ⅰ）线性方程组无解的充分必要条件为R (A )

3. 矩阵方程A X =B （X 是n ⨯s 矩阵）的系数矩阵为A , 增广矩阵为A =(A 则关于方程A X =B 的解有与1中相同的结论.

1. 讨论a , b , t , k 取何值时下列方程组有解？并在有解时求解

ìx 1+x 2+x 3+x 4=0ï

ïïïx 2+2x 3+2x 4=1ï1）í；

ï-x 2+(a -3) x 3-2x 4=b ïï

ï3x +2x +x +ax =-1ï234ïî1

骣1珑珑珑0解：珑珑珑珑0珑珑珑珑3桫

11-12

12a -31

12-2a

0鼢

鼢鼢1鼢鼢鼢鼢b 鼢鼢鼢鼢-1鼢

骣1000桫

11-1-1

12a -3-2

12-2a -3

01b -1

骣1

0 0 0桫

0100

-12a -10

-120a -1

-1

1 b +1 0

b ) ，

B ) ,

a =1, b ? 1时，方程无解

a =1, b =-1时，方程有无穷多解，此时，

骣1珑珑珑0珑珑珑珑0010-12a -1-120-1鼢骣1

鼢鼢1鼢0鼢鼢鼢b +1鼢0鼢010-120-120-110ìïx 1=-1+x 3+x 4

，ï íïx =1-2x -2x 34ïî2

珑珑珑珑鼢桫

a -1

0鼢

鼢桫0

骣ç骣çx 1÷

ç÷珑çx ÷÷珑-1鼢骣珑鼢1骣1珑鼢方程组的通解为çç2÷ç÷珑1鼢ç珑鼢çx ÷=3÷珑鼢-2 ç÷珑鼢+c -2 1+c 2 (c 1, c 2为任意数） ç桫

x ÷÷珑0鼢珑鼢4÷珑鼢1 0 桫0鼢鼢桫0 桫1

a ¹1时，方程有唯一解，此时

骣骣1

ç000骣çççç1

0-1-1-1÷

ç0-1-1-1÷

ç1çççççç01221÷÷÷÷琪01221÷÷÷çç÷ççç100ççççç00a -10b +1÷÷÷ çb +1÷÷÷çç÷çç0010÷çç0ç桫

a -10÷÷÷

çça -1÷

÷÷ççç÷? 桫

0÷÷

çç0010ççç桫

ìï

ïb +1ïïx 1=-1+ïïa -1ï

1所以ïïíx =1-2b +2ïa -1；

ïïïïïx 3=b +1ïa -1ïïïî

x 4=0ìïïax 1+x 2+x 3=42）ïïíï

x 1+bx 2+x 3=3

ïïïîx 1+2bx 2+x 3=4骣珑a 114鼢骣a 1-b 01骣 a -1

102解：珑珑

珑珑1b 13鼢-1

鼢鼢珑鼢鼢 1b 13 1012 珑桫

12b

4鼢

鼢桫0

桫

骣骣1-(a -1) 2-2(a -1) çç÷

çç0çç01-b ¹0ç(a -1) 4-2a ÷÷

÷÷ ççç1012÷÷÷çç÷çç÷ç1012÷÷÷ç÷ç÷桫

÷÷ççç桫

1÷÷÷b

÷÷ -1+

b +1÷

a -1÷ ÷÷1-2b +1÷÷÷a -1÷÷÷b 1÷÷÷÷a -1÷÷÷0

÷÷÷11

骣ç0ççççç1ççççç0çç桫

001

-(a -1) 10

骣

1÷ç0ç4-2a -÷ççb ÷÷a ¹1ç÷ç÷÷2ç1÷ç÷ç÷ç÷1ç÷ç÷ç0÷b ç桫

001

110

4b -2ab -1÷

-(a -1) b ÷÷÷÷÷÷2 ÷÷÷÷1÷÷÷÷b

骣

ç0çççççç ç1çççççççç0ç桫

4b -2ab -1÷

-(a -1) b ÷÷÷÷÷÷1-2b ÷，所以a 构1, b ÷-(a -1) b ÷÷÷÷÷1÷÷÷÷b

骣4b -2ab -1÷

ç÷ç÷ç-a -1b () ÷ç÷骣x 1÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç1-2b ÷÷ ç÷0时方程组有唯一解çx = çç2÷÷çç÷-(a -1) b ÷çç÷÷ç÷x 3÷ç桫ç÷ç÷1÷ç÷ç÷ç÷桫b

当b =0时，方程组无解，当b ? 0, a

骣

珑04÷珑珑珑÷珑÷珑3÷ 1珑÷珑÷÷珑4÷珑珑0珑珑桫

001

-(a -1) 10

1时有

1鼢

鼢b 鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

骣

010桫

001

010

2-21b 1b

骣a ççç1ç琪çç1桫

1b 2b

111

4-2a -21b

所以a =1, b 构0, b

骣a

珑1珑a =1, b =时，珑1珑珑2珑珑1桫

1b 2b

时无解;

111

4鼢骣0

鼢鼢3鼢1鼢鼢鼢

4鼢桫0

001

010

骣骣骣x 2-1

珑1鼢鼢珑鼢珑 0 鼢x =2+c ，无穷多解. 解为（c 为珑2鼢 2

珑鼢珑鼢珑 1 x 3鼢桫02桫桫

任意数）

⎛2a

2 a

3）. 设A =

⎝

12a

⎫⎪⎪

，且A 满足A X =B ，x =(x 1, x 2, x 3) T , B =(1,0, 0) T 1⎪⎪2a ⎪⎭

(I)求证A =(n +1) a ；（II ）a 为何值时，方程组有唯一解，并求x 1 （III ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解

⎛λ

4）. A = 0

1⎝

1⎫⎛a ⎫⎪ ⎪

0，b =1，AX =b 存在两个不同解， ⎪ ⎪⎪ 1⎪λ⎭⎝⎭

λ-1

（1）求λ, a ；2）求AX =b 的通解

矩阵及其运算

矩阵的线性运算

（1）加法：两同型矩阵A =(a ij )

m ´n

与B =(b ij )

m ´n

的和矩阵为A +B =(a ij +b ij )

m ´n

（2）数乘法：数k 与矩阵A =(a ij )

m ´n

的数量乘积矩阵kA =(ka ij )

m ´n

（3）m ´s 矩阵C =(c ij ) m ´s 称为矩阵A =(a ik ) m ´n 与B =(b kj ) n ´s 的乘积. 其中c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a in b nj （i =1, 2, L , m ; j =1, 2, L , s ）.

k 个6447448

(4）A =A A L A 为n 阶方阵A 的k 次幂，特别规定A 0=E .

(5）f (A ) =a m A +a m -1A

m m -1

+L +a 1A +a 0E （a i 为数）为方阵A 的多项式.

矩阵的转置

以A =(a ij )

m ´n

的行为列，列为行构成的n ´m 矩阵A T =(a ji ) n ´m 为A 的转置矩阵.

A 是n 阶方阵，如果A =A ，称A 为对称矩阵；如果A =-A ，称A 为反对称矩阵.

方阵的行列式

以n 阶方阵A 的元素构成的行列式a ij 称为方阵A 的行列式. 记为A 或det A .

矩阵运算注意事项：

利用运算定义和运算律进行运算.

注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.

（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A (BC ) =(AB ) C . （ⅴ）A , B 分别是m 创n , n

s 矩阵，则(AB ) =B A .

（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别.

可逆矩阵

1. 设A 是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，称A 为可逆矩阵，称B 为A 的一个逆矩阵.

2. 可逆矩阵的逆矩阵唯一. 3. 设A =(a ij )

n ⨯n

, , 称由以A 的第i (i =1, 2

n , 行元素在A 中的代数余子式

A ij (j =1, 2, , n ) 为第i 列元素构成的矩阵A =A ji

()

n ⨯n

为A 的伴随矩阵.

4. 设A 是n 阶方阵，A *是A 的伴随矩阵，则AA =A A =A E . 5. n 阶方阵A 是可逆的充分必要条件为A ≠0. 而且A 6. 可逆矩阵具有如下运算性质：

（ⅰ）A 是n 阶可逆矩阵，A 的逆矩阵A -1也可逆，且(A -1)

-1

A （A =A A

**-1

）.

=A ； =k

-1

；

=B A ；

-1-1

)

-1

=(A

-1

)

；

（ⅴ）A 是m 阶可逆矩阵，B , C 都是m ⨯n 矩阵，且AB =AC , 则B =C ，

A 是n 阶可逆矩阵，B , C 都是m ⨯n 矩阵，且BA =CA , 则B =C .

常用解题方法:（设A 是n 阶方阵）

1. 求可逆矩阵的逆矩阵：A 明）

2. 利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A 的逆矩阵：

找到n 阶方阵B ，使得AB =BA =E ，则A 可逆，且A -1=B .

注意 A *的第i (i =1, 2, , n ) 列元素是A 的第i (i =1, 2, , n ) 行元素在A 的代数余子式；

A 的第i (i =1, 2, , n ) 行元素是A 的第i (i =1, 2, , n ) 列元素在A 的代数余子式.

-1

A （用于阶数较低的具体给定的数字矩阵求逆或理论证

分块矩阵及其运算

m ´n

, B =(b ij )

m ´n

进行同样分块，则A +B 为对应块相

加得到的分块矩阵； 2 数乘法设A =(a ij ) 得到的分块矩阵；

3乘法设A =(a ik ) m ´n , B =(b kj ) n ´t ，将A , B 分块为

骣A 11ççççA 21

A =ççç... çççA s 1ç桫

A 12A 22... A s 2

... ... ... ...

骣A 1p ÷B 11

ç÷çç÷A 2p ÷B 21ç÷ç÷B =，ç÷ç... ÷... ÷ç÷ç÷çA sp ÷B p 1ç桫

B 12B 22... B p 2

... ... ... ...

骣B 1q ÷C 1

ç÷çç÷B 2q ÷C 2ç1÷ç÷A B =，则ç÷ç... ÷... ÷ç÷ç÷çB pq ÷C s 1ç桫

C 12C 2... C s 2

÷÷

÷... 2C q ÷÷÷÷.

... ... ÷÷÷÷... C sq ÷

m ´n

是一个m ´n 矩阵，k 是一个数，将kA 为由k 数乘每个子块矩阵

... C

其中A ik 为m i ´n k 矩阵，B kj 为n k ´t j 矩阵，C i j =A i 1B 1j +A i 2B 2j +L +A ip B p j . 4 转置设A =(a ij )

骣A 11çççA 21ççA =çç... ççççA s 1桫

A 12A 22... A s 2

m ´n

是一个m ´n 矩阵，将A 分块为

T 骣A 1t ÷A 11

ç÷çT ç÷A 2t ÷A 12çT ÷÷，则A =çç÷ç... ÷... ç÷÷ç÷çT çA st ÷A 1t 桫

... ... ... ...

A 21A 22

T T

... ... ... ...

... A 2t

A s 1÷

÷T ÷A s 2÷÷÷÷. ... ÷÷÷T ÷A st ÷

注意事项：

1. 利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便. 分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；

2. 第一个矩阵列的分块方式与第二个矩阵行的分块方式必须相同，即A ik 列数必须等于B kj 的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；

3. 由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换. 即上面的A ik B kj 绝对不能写成B kj A ik .

4. 分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.

初等变换与初等矩阵

初等变换

1. 称具有如下特点m ⨯n 矩阵A 为行阶梯形矩阵：

（ⅰ）A 的前r (r ≤m ) 行，每行元素均不全为0，后m -r 行元素都为零； (ⅱ) 第k (1≤k ≤r ) 行的第一个非零元素为a kj ，且满足j 1

如果行阶梯形矩阵还满足：（ⅲ）第k (1≤k ≤r ) 行的第一个非零元素a kj =1，且

a kj k (k =1, 2, , r ) 所在的j k 列的其它元素都为0，就称A 为行最简形矩阵.

2. 任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵.

⎛E r

3. 任何一个m ⨯n 矩阵A 都可以通过初等变换化为

⎝(m -r )⨯r

O r ⨯(n -r ) O (m -r )⨯(n -r )

⎫

型矩阵. ⎪⎪⎭

初等矩阵

1. 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2. 设A 一个m ⨯n 矩阵，A 左乘一个m 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等行变换，

A 右乘一个n 阶初等矩阵相当于对A 作一次相应的初等列变换.

常用解题方法

1. 用初等行变换求可逆矩阵A 的逆矩阵的求法：(A

E )−−−−→(E

初等行变换

-1

A B )

-1

2. 用初等行变换求矩阵方程A X =B (A 可逆) 的求法：(A 则X =A

-1

B )−−−−→(E

B 即可求得.

矩阵基础部分习题

1. A 是行等和矩阵（各行元素之和都相等），且A 可逆，证明：A

骣骣11

珑鼢珑鼢-鼢鼢M =a M , (a 0) A 证明：设A 的行和为a ，则A 珑，所以珑珑鼢鼢珑鼢珑1鼢1桫桫

-1

也是行等和矩阵.

骣骣11

珑鼢鼢1珑-1鼢珑M =a M ，珑鼢珑鼢鼢珑鼢珑1鼢1桫桫

即A

-1

是行等和矩阵.

⎛a 11

2. 设实矩阵A = a 21

a ⎝31

a 12a 22a 32a 13⎫

⎪T

a 23, 且A A =O , 证明A =O .

⎪a 33⎪⎭

3. 已知A =(a ij )

3´3

可逆，将A 的第2列加上第3列的5倍，然后第1列减去第2列的2倍

得到B , 求B -1A

骣1

珑珑

解：B =A 珑珑珑

珑珑桫

骣1

鼢鼢鼢鼢-2鼢鼢鼢1鼢桫

， B

-1

骣1

珑珑=珑-2珑珑珑珑桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

-1-1

-1

A ，

骣1珑珑-1

B A =珑-2珑珑珑珑桫

骣1鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

1鼢桫

-1-1

骣1珑珑=珑2珑珑珑珑桫

11-5

骣1

= 2 1桫

1-5

4．设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得

⎛1

C ，记P = 0

0⎝

110

-1

0⎫⎪

0，则 ⎪1⎪⎭

（A ）C =P AP .

（C ）C =P AP .

（B ）C =P A P .

（D ）C =PAP . 【】

-1

5. A , B 都为n 阶方阵，且A +B =AB 1) 证明：A -E 可逆

2）证明：AB =BA

骣1çç

3）如果B =çç2

ççç0桫

-310

0÷

÷÷0÷，求A ÷÷÷2÷

1）证明：由A +B =AB 有A -(A -E ) B =O ，所以A -E -(A -E ) B =-E ,

-1

即(A -E ) (B -E ) =E , 所以A -E 可逆，且(A -E ) =B -E

2）由(A -E ) (B -E ) =E ，有(B -E ) (A -E ) =E ，所以(A -E ) (B -E ) =(B -E ) (A -E ) ，即有AB =BA

3）由(A -E ) -1=B -E 有A =E +(B -E )

-1

骣1珑珑=珑0珑珑珑珑0桫

0100鼢

鼢鼢0鼢+鼢鼢鼢1鼢

骣020桫

-300

001

-1

骣1

çç=ç0çççç0桫

010

骣

珑0珑珑0÷珑珑珑÷1珑÷0÷+-珑÷珑÷珑3÷

1÷珑珑0珑珑珑珑桫

1200

骣

鼢0鼢1鼢鼢鼢鼢鼢1鼢0鼢=-鼢鼢3鼢鼢1鼢0鼢鼢鼢鼢桫

1210

00 2

骣2

ççç0çç6. 已知A =çç0çççç0桫

1-100

-2220-1÷

÷÷1÷-1-1÷÷, B =(A -E ) (A +E ), 求(B -E ) ÷1÷÷÷÷3÷

-1

解：由B =(A -E ) (A +E ), 有(A -E ) B =(A +E ), AB -B -A =E ,

A (B -E ) -(B -E ) =2E , 所以(A -E ) (B -E ) =2E , (B -E )

-1

(A -E )

7. 方阵A 满足A +2A -3E =O 1）求证：A +4E 可逆，并求其逆 2）讨论：A +nE (n Z ) 的可逆性

1）证明：由于A +2A -3E =O ，有(A +4E )(A -2E ) =-5E ，所以A +4E 可逆，其逆为(A +4E )

-1

(A -2E ) .

2）由于A +2A -3E =O ，

A -n -2) E =轾-n n -2) +3E =-有(A +nE ) 轾臌(臌(

(n 2-2n -3) E =-(n -3)(n +1) E ，

所以n 构3, n -1时，A +nE (n Z ) 可逆，

-1

其逆为(A +nE )

轾A -(n -2) E

-n (n -2) +3臌

当n =3时，

如果A -E =O ，则A +3E =4E 可逆；

如果A -E O ，由(A +3E )(A -E ) =O ，所以(A +3E ) X =O 有非零解，所以r (A +3E )

当n =-1时，如果A +3E =O ，则A -E =-4E 可逆；如果A +3E O ，与上面相同有r (A -E )

-1

也可逆，并求其逆

-1

(B +A ) B ，

-1

) B =

B +A , 所以(A

-1

) =

-1

可逆，且(A -1+B -)

-1

=B (B +A ) A .

⎛1 3

-1

10. 设A X A =6A +X A , 其中A = 0

0 ⎝

0140

⎫0⎪⎪

0⎪，求X . ⎪⎪1⎪⎪7⎭

11. 设A , B 均为2阶方阵，A , B 分别为A , B 的伴随矩阵，若A =3, B =2

⎛O ⎝B

A ⎫

⎪的伴随矩阵为（） O ⎭

*3A ⎫

⎪；B. O ⎪⎭

则

⎛O

A ．

2B *⎝⎛O 3B *⎝

*2A ⎫

⎪ ；C. O ⎪⎭

⎛O

3A *⎝

*2B ⎫

⎪ ；D. O ⎪⎭

⎛O

2A *⎝

*3B ⎫

⎪ O ⎪⎭

12. A 是3阶方阵, B 是2阶方阵, 且A =-2, B =1，则

，且(A

2A O

O -3B

= ；2A

=13. A ÎR 解：(A

3´3*

)

=16, det A >0, 求det (-2A )

)

=A =

(A )

=16, det A =2, det (-2A ) =(-2) 3det A =-16

14. 设A 是n 阶方阵，A =3, A 是A 的伴随矩阵，则2A

-1

-A

O ⎫⎪2B ⎭

-1

⎛A

15. 已知A ，B 都是3阶方阵, 且A =-9，AB +3E =O , 求B 及

⎝O

16. 设矩阵A =

⎛2⎝-11⎫

⎪，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足B A =B +2E ，则B = 2⎭

. 17. A =

(a ij ) n 可逆，且A , A

-1

所以元素都是整数，证明：A =1或-1

解：由于行列式是取自不同行、不同列元素乘积的代数和，且A , A -1所以元素都是整数，所以A , A

-1

都是整数，又AA

-1

=A A

-1

=1, 所以A =1或-1

18. 如果A B =B A , 则称矩阵B 与A 可交换, 求与矩阵A 可交换的矩阵具有的形式.

⎛1 0A =

0 ⎝0

0200

0011

0⎫⎪0

⎪； 0⎪⎪1⎭

矩阵的秩

（ⅲ）R (kA ) =R (A ) ，其中k 为非零数；

5. 矩阵P ，Q 可逆，则R (PAQ )=R (A ).

6. 设A 是秩为r 的m ⨯n 矩阵，则存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q , 使得

⎛E r

PAQ =

⎝O

O ⎫⎪. O ⎭

常用方法

1. 求矩阵A 的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A 化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A 的秩. 2. 如果A 是n 阶方阵，A ≠0时R (A ) =n .

求元素含有参数的方阵A 的秩时，先求出A ≠0时的参数取值，此时R (A ) =n ；对于使A =0的参数再特别讨论.

⎛λ

1. 已知A =1

1⎝

1⎫⎪

1，讨论λ为何值时（1）R (A ) =1;(2) R (A ) =2;(3)R (A ) =3. ⎪λ⎪⎭

2. 设A 是m ⨯n 矩阵，证明： R (A ) =1当且仅当存在m 维列向量矩阵α和n 维行向量矩阵β

, 使得A =αβ.

3. 设A 是秩为1的3阶方阵，证明:存在不全为零的数a 1, a 2, a 3和不全为零的数b 1, b 2, b 3，

⎛a 1b 1

使得A = a 2b 1

a b ⎝31

a 1b 2a 2b 2a 3b 2

a 1b 3⎫

⎪100

a 2b 3；并求A ⎪a 3b 3⎪⎭

4. （2010）2. 设A , B 分别为m ⨯n 和n ⨯m 矩阵，E 为单位矩阵，且AB =E ，则 A ．秩A =m ，秩B =m ；B. 秩A =m ，秩B =n ； C. 秩A =n ，秩B =m ；D. 秩A =n ，秩B =n

5. A , B 都为n 阶实方阵，G 为n ´m 矩阵，r (G ) =n ，证明：如果AG =BG 则A =B

方法二：由AG =BG ，有(A -B ) G =0，所以G 的列向量都是齐次线性方程组

(A -B ) x =0的解，所以(A -B ) x =0有n 个线性无关的解向量，所以r (A -B ) =0，

即A =B .

方法三：利用r (A ) =R (AA )

由于AG =BG ，则A G G =B G G , 而r (G G ) =r (G ) =n ，所以G G 是n 阶可逆方阵，

所以A =B .

6. A 是m ´n 实矩阵，证明：r (A ) =r (A T A ) =r (AA T ) 证明：先证明齐次线性方程组Ax =0与A Ax =0同解

如果x 0是Ax =0的解，则Ax 0=0，所以A A x 0=0，所以x 0是A Ax =0的解

T x 反之，则A A x 0是A Ax =0，

T T

=0，有x 0A A x 0=0，即(A x 0) A x 0=0，所以Ax 0=0

T T

即x 0是Ax =0的解，所以Ax =0与A Ax =0同解. 所以n -r (A ) =n -r (A T A ), 即r (A ) =r (A T A )

线性方程组的解部分知识概要

1. 线性方程组Ax =b （x 是n 维列向量）的系数矩阵为A , 增广矩阵为A =(A 则：（ⅰ）线性方程组无解的充分必要条件为R (A )

3. 矩阵方程A X =B （X 是n ⨯s 矩阵）的系数矩阵为A , 增广矩阵为A =(A 则关于方程A X =B 的解有与1中相同的结论.

1. 讨论a , b , t , k 取何值时下列方程组有解？并在有解时求解

ìx 1+x 2+x 3+x 4=0ï

ïïïx 2+2x 3+2x 4=1ï1）í；

ï-x 2+(a -3) x 3-2x 4=b ïï

ï3x +2x +x +ax =-1ï234ïî1

骣1珑珑珑0解：珑珑珑珑0珑珑珑珑3桫

11-12

12a -31

12-2a

0鼢

鼢鼢1鼢鼢鼢鼢b 鼢鼢鼢鼢-1鼢

骣1000桫

11-1-1

12a -3-2

12-2a -3

01b -1

骣1

0 0 0桫

0100

-12a -10

-120a -1

-1

1 b +1 0

b ) ，

B ) ,

a =1, b ? 1时，方程无解

a =1, b =-1时，方程有无穷多解，此时，

骣1珑珑珑0珑珑珑珑0010-12a -1-120-1鼢骣1

鼢鼢1鼢0鼢鼢鼢b +1鼢0鼢010-120-120-110ìïx 1=-1+x 3+x 4

，ï íïx =1-2x -2x 34ïî2

珑珑珑珑鼢桫

a -1

0鼢

鼢桫0

骣ç骣çx 1÷

ç÷珑çx ÷÷珑-1鼢骣珑鼢1骣1珑鼢方程组的通解为çç2÷ç÷珑1鼢ç珑鼢çx ÷=3÷珑鼢-2 ç÷珑鼢+c -2 1+c 2 (c 1, c 2为任意数） ç桫

x ÷÷珑0鼢珑鼢4÷珑鼢1 0 桫0鼢鼢桫0 桫1

a ¹1时，方程有唯一解，此时

骣骣1

ç000骣çççç1

0-1-1-1÷

ç0-1-1-1÷

ç1çççççç01221÷÷÷÷琪01221÷÷÷çç÷ççç100ççççç00a -10b +1÷÷÷ çb +1÷÷÷çç÷çç0010÷çç0ç桫

a -10÷÷÷

çça -1÷

÷÷ççç÷? 桫

0÷÷

çç0010ççç桫

ìï

ïb +1ïïx 1=-1+ïïa -1ï

1所以ïïíx =1-2b +2ïa -1；

ïïïïïx 3=b +1ïa -1ïïïî

x 4=0ìïïax 1+x 2+x 3=42）ïïíï

x 1+bx 2+x 3=3

ïïïîx 1+2bx 2+x 3=4骣珑a 114鼢骣a 1-b 01骣 a -1

102解：珑珑

珑珑1b 13鼢-1

鼢鼢珑鼢鼢 1b 13 1012 珑桫

12b

4鼢

鼢桫0

桫

骣骣1-(a -1) 2-2(a -1) çç÷

çç0çç01-b ¹0ç(a -1) 4-2a ÷÷

÷÷ ççç1012÷÷÷çç÷çç÷ç1012÷÷÷ç÷ç÷桫

÷÷ççç桫

1÷÷÷b

÷÷ -1+

b +1÷

a -1÷ ÷÷1-2b +1÷÷÷a -1÷÷÷b 1÷÷÷÷a -1÷÷÷0

÷÷÷11

骣ç0ççççç1ççççç0çç桫

001

-(a -1) 10

骣

1÷ç0ç4-2a -÷ççb ÷÷a ¹1ç÷ç÷÷2ç1÷ç÷ç÷ç÷1ç÷ç÷ç0÷b ç桫

001

110

4b -2ab -1÷

-(a -1) b ÷÷÷÷÷÷2 ÷÷÷÷1÷÷÷÷b

骣

ç0çççççç ç1çççççççç0ç桫

4b -2ab -1÷

-(a -1) b ÷÷÷÷÷÷1-2b ÷，所以a 构1, b ÷-(a -1) b ÷÷÷÷÷1÷÷÷÷b

骣4b -2ab -1÷

ç÷ç÷ç-a -1b () ÷ç÷骣x 1÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç1-2b ÷÷ ç÷0时方程组有唯一解çx = çç2÷÷çç÷-(a -1) b ÷çç÷÷ç÷x 3÷ç桫ç÷ç÷1÷ç÷ç÷ç÷桫b

当b =0时，方程组无解，当b ? 0, a

骣

珑04÷珑珑珑÷珑÷珑3÷ 1珑÷珑÷÷珑4÷珑珑0珑珑桫

001

-(a -1) 10

1时有

1鼢

鼢b 鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢鼢

骣

010桫

001

010

2-21b 1b

骣a ççç1ç琪çç1桫

1b 2b

111

4-2a -21b

所以a =1, b 构0, b

骣a

珑1珑a =1, b =时，珑1珑珑2珑珑1桫

1b 2b

时无解;

111

4鼢骣0

鼢鼢3鼢1鼢鼢鼢

4鼢桫0

001

010

骣骣骣x 2-1

珑1鼢鼢珑鼢珑 0 鼢x =2+c ，无穷多解. 解为（c 为珑2鼢 2

珑鼢珑鼢珑 1 x 3鼢桫02桫桫

任意数）

⎛2a

2 a

3）. 设A =

⎝

12a

⎫⎪⎪

，且A 满足A X =B ，x =(x 1, x 2, x 3) T , B =(1,0, 0) T 1⎪⎪2a ⎪⎭

(I)求证A =(n +1) a ；（II ）a 为何值时，方程组有唯一解，并求x 1 （III ）a 为何值时，方程组有无穷多解，并求通解

⎛λ

4）. A = 0

1⎝

1⎫⎛a ⎫⎪ ⎪

0，b =1，AX =b 存在两个不同解， ⎪ ⎪⎪ 1⎪λ⎭⎝⎭

λ-1

（1）求λ, a ；2）求AX =b 的通解

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