角的概念推广

课 题： 角的概念的推广（第一课时）

授 课 人：陈静文 授课时间：2009.11.26

教学目标：(一)知识目标

1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义.

2.象限角的概念.

3.终边相同的角的表示方法.

(二)能力目标

1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.

2.掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法.

(三)德育目标

树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.

教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

教学难点：终边相同的角的表示

教学方法：目标教学法，阅读自学指导法，讲练结合教学法

教 具：课件演示

教学过程：

一、复习提问：（课件出示）

（1）、初中都学过的角有 、直角、 、 、周角。

（2）、若0

若90

若为周角，,则角 ；

（3）角的怎样定义？

（锐角、钝角、平角；为锐角，90，为钝角、为平角，360；从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）（约5分钟）

二、新课引入：

初中阶段我们所研究的角都是0到360的角，但在日常生活、生产劳动和科学实

验中，我们经常会遇到大于360的角，所以仅运用初中已学过的角解决实际问题已远远不够，因此学习角的概念推广对解决实际问题大有必要。本节课我们角的概念的推广（板书）

三、讲解新课：

目标1．角的概念的推广（课件出示）

⑴“旋转”角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，

就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” ；注意：“顶点”“始边”“终边”

⑵．讲授“正角”与“负角”“零角” 的概念 把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， oooooooooo

把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，形成的角，叫做零角．

教法：（1）教师提出问题（课件出示），引导学生依据提出的问题阅读课本p1内

容（约5分钟）

（2）学生回答问题，集体订正

（3）强调、总结、归纳。

问题：（课件出示）

1、从旋转的角度来说什么叫做角？什么叫做角的始边？什么叫做角的终

边？什么叫做角的顶点？（课件演示，让学生指出角的定点、始边、终边）

2、什么叫正角？和什么叫负角？什么叫零角？

3、如图1中：AOB是 角？，COD是 角？（填“正”“负”）

在上图，若OA旋转60°到OB, 记做∠AOB= 60°则OA旋转60°到OC

时∠AOC=

4、零是正角还是负角？

5、角的概念推广后，角分为 角、 角、 角。

强调：（1）正角和负角是表示具有相反意义的旋转量“正角”与“负角”是由旋转

的方向决定的，“+”表示按逆时针方向旋转，“-” 表示按顺时针方

向旋转

（2）零角既不是正角也不是负角

（3）角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

目标2： “象限角”的概念

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落

第几象限，就说这个角是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，称其为界

限角。

教法：（1）教师提出问题（课件出示），引导学生依据提出的问题阅读课本p2内

容（约5分钟）

（2）学生回答问题，集体订正

（3）强调、总结、归纳。

问题：（课件演示引导）

1、什么叫做象限角？（在平面直角坐标系中，顶点在原点，并且终边和x轴

的正半轴重合的角叫做象限角）

2、如图2（a）中，1、2、3、4、都是象限角吗？为什么？（课

件演示）在图2（b）中分别找出各象限的角

00003、在平面直角坐标系中做出 30， 390 750 -330并分别指出下列

各角是第几象限的角

4、终边落在坐标轴上的象限角第几象限的角？

5、锐角是第几象限的角？第一象限的角都是锐角？（讨论）

强调： “象限角”条件：

① 角的顶点必须与坐标原点重合；

② 角的始边必须与x轴的正半轴重合。

终边落在第几象限就是第几象限角

注意：终边落在坐标轴上的象限角不属任何一个象限

目标3：终边相同的角及终边相同的角的集合的表示

⑴ 终边相同的角的定义：有相同的始边和终边的角

⑵ 观察、讨论：（课件演示引导）

（1）30°+360°；30°+2360°与30°角的终边相同角吗？

（2）30°-360°；30°-2360°与30°角的终边相同角吗？

⑶ 探究：① 猜想：30k360，kZ角与30°角终边相同的角吗？

② 验证

③ 思考：与30°角终边相同的角有多少个？都可以表示oo

30ok360o，kZ的形式？（有无数多个；是。）

④ 结论:与30°角的终边相同的角有无数多个，都可以表示为

30ok360o，kZ的形式）

⑤ 引申：（1）与角 终边相同的角有无数多个，都可以表示为

k360o，kZ的形式）

（2）所有与角 终边相同的角连同在内构成的集合可以表示为S

强调： (1) a是任意角；

(2) kZ

(3)如果k360,kZ,那么与的终边相同（即与是所在的

象限相同）；（约10分钟）

四、讲解范例：

例1：在0360之间，找出与下列各角终边相同的角，并判定各角所在的象限

ook360,kZ， Oo

（1） 1000 （2）573

教法：（1）教师引导，学生尝试

（2）集体订正，并板书示范

（3）强调归纳总结

分析：因为一方面0360的角是第几象限的角容易找出，另一方面与k360角

的终边相同，所以要想在0360之间，找出与1000终边相同的角，则必须先将1000角表示成k360 0O360O

解（板书）：（1） 1000o280o2360o



oOoooooooOkZ的形式 (280o,k2) 1000o角和280o角的终边相同 o又 280角在第四象限 1000o角也在第四象限

（2） 573o147o(2)360o(147o,k2) 573o角和147o角的终边相同

o又 147角在第二象限

573o角也在第二象限

例2：写出与下列各角终边相同的角的集合S

OOO (1) 45; (2) 75 ; (3) 335.

解（板书） (1) S45ok360O,kZ;

(2) S75ok360O,kZ ; (3) S335ok360O,kZ. 

课堂练习（约8分钟）

练习1、2、3、4.

五、小结：（约2分钟）

本节课我们学习了旋转意义的角的概念，正角、负角和零角的概念，象限角的概念，中变相同的角的概念以及相同的角的集合。要注意终边落在坐标轴上的象限角不属任何一个象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．（以板为提纲）

课 题： 角的概念的推广（第一课时）

授 课 人：陈静文 授课时间：2009.11.26

教学目标：(一)知识目标

1.推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义.

2.象限角的概念.

3.终边相同的角的表示方法.

(二)能力目标

1.理解并掌握正角、负角、零角的定义.

2.掌握所有与角终边相同的角(包括角)的表示方法.

(三)德育目标

树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.

教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。

教学难点：终边相同的角的表示

教学方法：目标教学法，阅读自学指导法，讲练结合教学法

教 具：课件演示

教学过程：

一、复习提问：（课件出示）

（1）、初中都学过的角有 、直角、 、 、周角。

（2）、若0

若90

若为周角，,则角 ；

（3）角的怎样定义？

（锐角、钝角、平角；为锐角，90，为钝角、为平角，360；从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形）（约5分钟）

二、新课引入：

初中阶段我们所研究的角都是0到360的角，但在日常生活、生产劳动和科学实

验中，我们经常会遇到大于360的角，所以仅运用初中已学过的角解决实际问题已远远不够，因此学习角的概念推广对解决实际问题大有必要。本节课我们角的概念的推广（板书）

三、讲解新课：

目标1．角的概念的推广（课件出示）

⑴“旋转”角

一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，

就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．

突出“旋转” ；注意：“顶点”“始边”“终边”

⑵．讲授“正角”与“负角”“零角” 的概念 把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角， oooooooooo

把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，

特别地，当一条射线没有作任何旋转时，形成的角，叫做零角．

教法：（1）教师提出问题（课件出示），引导学生依据提出的问题阅读课本p1内

容（约5分钟）

（2）学生回答问题，集体订正

（3）强调、总结、归纳。

问题：（课件出示）

1、从旋转的角度来说什么叫做角？什么叫做角的始边？什么叫做角的终

边？什么叫做角的顶点？（课件演示，让学生指出角的定点、始边、终边）

2、什么叫正角？和什么叫负角？什么叫零角？

3、如图1中：AOB是 角？，COD是 角？（填“正”“负”）

在上图，若OA旋转60°到OB, 记做∠AOB= 60°则OA旋转60°到OC

时∠AOC=

4、零是正角还是负角？

5、角的概念推广后，角分为 角、 角、 角。

强调：（1）正角和负角是表示具有相反意义的旋转量“正角”与“负角”是由旋转

的方向决定的，“+”表示按逆时针方向旋转，“-” 表示按顺时针方

向旋转

（2）零角既不是正角也不是负角

（3）角的概念推广以后，它包括任意大小的正角、负角和零角．

目标2： “象限角”的概念

角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，角的终边落

第几象限，就说这个角是第几象限的角；角的终边落在坐标轴上，称其为界

限角。

教法：（1）教师提出问题（课件出示），引导学生依据提出的问题阅读课本p2内

容（约5分钟）

（2）学生回答问题，集体订正

（3）强调、总结、归纳。

问题：（课件演示引导）

1、什么叫做象限角？（在平面直角坐标系中，顶点在原点，并且终边和x轴

的正半轴重合的角叫做象限角）

2、如图2（a）中，1、2、3、4、都是象限角吗？为什么？（课

件演示）在图2（b）中分别找出各象限的角

00003、在平面直角坐标系中做出 30， 390 750 -330并分别指出下列

各角是第几象限的角

4、终边落在坐标轴上的象限角第几象限的角？

5、锐角是第几象限的角？第一象限的角都是锐角？（讨论）

强调： “象限角”条件：

① 角的顶点必须与坐标原点重合；

② 角的始边必须与x轴的正半轴重合。

终边落在第几象限就是第几象限角

注意：终边落在坐标轴上的象限角不属任何一个象限

目标3：终边相同的角及终边相同的角的集合的表示

⑴ 终边相同的角的定义：有相同的始边和终边的角

⑵ 观察、讨论：（课件演示引导）

（1）30°+360°；30°+2360°与30°角的终边相同角吗？

（2）30°-360°；30°-2360°与30°角的终边相同角吗？

⑶ 探究：① 猜想：30k360，kZ角与30°角终边相同的角吗？

② 验证

③ 思考：与30°角终边相同的角有多少个？都可以表示oo

30ok360o，kZ的形式？（有无数多个；是。）

④ 结论:与30°角的终边相同的角有无数多个，都可以表示为

30ok360o，kZ的形式）

⑤ 引申：（1）与角 终边相同的角有无数多个，都可以表示为

k360o，kZ的形式）

（2）所有与角 终边相同的角连同在内构成的集合可以表示为S

强调： (1) a是任意角；

(2) kZ

(3)如果k360,kZ,那么与的终边相同（即与是所在的

象限相同）；（约10分钟）

四、讲解范例：

例1：在0360之间，找出与下列各角终边相同的角，并判定各角所在的象限

ook360,kZ， Oo

（1） 1000 （2）573

教法：（1）教师引导，学生尝试

（2）集体订正，并板书示范

（3）强调归纳总结

分析：因为一方面0360的角是第几象限的角容易找出，另一方面与k360角

的终边相同，所以要想在0360之间，找出与1000终边相同的角，则必须先将1000角表示成k360 0O360O

解（板书）：（1） 1000o280o2360o



oOoooooooOkZ的形式 (280o,k2) 1000o角和280o角的终边相同 o又 280角在第四象限 1000o角也在第四象限

（2） 573o147o(2)360o(147o,k2) 573o角和147o角的终边相同

o又 147角在第二象限

573o角也在第二象限

例2：写出与下列各角终边相同的角的集合S

OOO (1) 45; (2) 75 ; (3) 335.

解（板书） (1) S45ok360O,kZ;

(2) S75ok360O,kZ ; (3) S335ok360O,kZ. 

课堂练习（约8分钟）

练习1、2、3、4.

五、小结：（约2分钟）

本节课我们学习了旋转意义的角的概念，正角、负角和零角的概念，象限角的概念，中变相同的角的概念以及相同的角的集合。要注意终边落在坐标轴上的象限角不属任何一个象限．本节课重点是学习终边相同的角的表示法．（以板为提纲）