2016理
(7)将函数y =sin(2x -
π
3
) 图像上的点P （
π
，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点4
P ′. 若 P ′位于函数y =sin(2x ) 的图像上，则
（A ）t =
ππ13
，s 的最小值为 （B ）t =，s 的最小值为 2266ππ13
，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为 2233
（C ）t =
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
x 2y 2
（13）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，
a b
点B 为该双曲线的焦点。若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.
⎧x 3-3x
（14）设函数f (x ) =⎨
⎩-2x
x ≤0x >a
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；
②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________。 （18）（本小题13分）
设函数f(x)=xe a -x +bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4， （I ）求a,b 的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。
（19）（本小题14分）
X 2y 2已知椭圆C ：2+2=1（a>b>0
A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），
a b △OAB 的面积为1.
（I ）求椭圆C 的方程；
(I I)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：AN ·BM 为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A ：a 1，a 2, „a N (N≥2) 。如果对小于n(2≤n ≤N) 的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。 （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G （A ）≠∅；
(I I I）证明：若数列A 满足a n -a n -1≤1（n=2,3, „,N ）, 则G （A ）的元素个数不小于a N -a 1。
2016海淀理
⎧sin(x +a ), x ≤07．已知函数f (x ) =⎨是偶函数，则下列结论可能成立的是
cos(x +b ), x >0⎩
2ππ
, b =
4436ππ5π2π
, b =C ．a =, b = D ．a =
3663
A ．a =
π
, b =-
π
B ．a =
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值
如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是
A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作
13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．
14．已知函数f (x ) ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：∀x ∈[t -a , t +b ]，使得
． |f (x ) -f (t ) |≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）（ⅰ）当f (x ) ＝2x 时，H （0）＝ _______．
（ⅱ）当f (x ) =x 且t ∈[1,2]时，函数H （t ）的值域为_______． 18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋
2
1x -1
－1，g (x ) =
ln x x
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小值；
（Ⅱ）求函数g (x ) 的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线y ＝x 不是曲线y ＝g (x ) 的切线。 19．（本小题满分14 分）
x 2y 2已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) ，椭圆C 与y 轴交于A ，B 两点，
a b 且｜AB ｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧．直线P A ，PB 与直线x ＝ 4 分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ，F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值． 20．（本小题满分13 分） 给定正整数n (n ≥3)，集合U n ={1,2, ⋅⋅⋅, n }．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下 列条件：
①U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝B ∩C ＝A ∩C ＝∅；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合A ，B ，C 中各元素之和分别记为SA ，SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 则称集合Un 为可分集合．
（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ，B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un 不是可分集合； （Ⅲ）若Un 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2016西城理
7．设函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A ，ω，ϕ是常数，A >0，ω>0），且函数f (x )的
部分图像如图所示，则有（ ）．
A ．f -
⎛3π⎫⎛5π
⎝4⎭⎝3⎫⎛7π
⎫
⎪ ⎭⎫⎪ ⎭
B ．f -
⎛3π⎫⎛7π
⎝4⎭⎝6⎛5π⎝3
⎫⎛3π
⎫⎛5π
⎫
⎪ ⎭
C ． f
⎛5π⎝3⎫⎛7π⎫⎛3π
6⎭⎝⎭⎝4
D ．f
⎫⎛7π⎫
6⎭⎝⎭
8．如图，在棱长为a (a >0)的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，
AD 上，且平面B 1C 1D 1∥平面BCD ，A 1为△BCD 内一点，记三棱锥A 1-B 1C 1D 1的
体积为V ，设
AD 1
=x ，对于函数V =F (x )，则（ ）． AD
A
B B
A C
D 1
A ．当x =
2
时，函数f (x )取得最大值 3
B ．函数f (x )在
⎛1⎫
,1⎪上是减函数 2⎝⎭
1
对称 2
C ．函数f (x )的图像关于直线x =
D ．存在x 0，使得f (x 0)>V A -BCD （其中V A -BCD 为四面体ABCD 的体积）
13．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有种不同的志愿者分配方案________．（用数字作答）
14．一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
1
3
根据图1，有一些四个说法：
①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹． 其中，所有正确说法的序号是________． 18．（本小题满分13分）
已知函数f (x )=x e x -a e x -1 ，且f ' (1)=e ． （Ⅰ）求a 的值及f (x )的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的方程f (x )=kx -2(k >2)存在两不相等的正实数根x 1，x 2，证明：
2
x 1-x 2>ln
4
． e
19．（本小题满分14分）
22
已知椭圆C :mx +3my =1(m >
0)的长轴长为O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设点A (3,0)，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若
BA =BP ，求四边形OPAB 面积的最小值．
20．（本小题满分13分）
设数列{a n }和{b n }的项均为m ，则将数列和的距离定义为
∑a -b
i i =1
m
i
．
（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离 （Ⅱ）设A 为满足递推关系a n +1=
1+a n
的所有数列{a n }的集合，{b n }和{c n }为A 中的两1-a n
个元素，且项数均为m ，若b 1=2，c 1=3，{b n }和{c n }的距离小于2016，求m 得最大值；
素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16．
2016朝阳理
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
11B ． 32
3
C ．1D ．
2
A ．
俯视图
正视图
侧视图
(第7题图)
8．若圆x 2+(y -1) 2=r 2与曲线(x -1) y =1的没有公共点，则半径r 的取值范围是
C
．0
．0
13．已知M 为∆ABC 所在平面内的一点，且AM =AB +nAC ．若点M 在∆ABC 的内部(不
4
A
．0
．0
含边界) ，则实数n 的取值范围是____．
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
⎧0, 如果某学生不具有第i 项能力特征，
i （i =1,2, ,12）项能力特征用x i 表示，x i =⎨
1，如果某学生具有第i 项能力特征. ⎩
若学生A , B 的十二项能力特征分别记为A =(a 1, a 2, , a 12) ，B =(b 1, b 2, , b 12) ，则A , B 两名学生的不同能力特征项数为（用a i , b i 表示）．如果两个
同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名
学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为． 18．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x +a ln x , a ∈R ． （Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈[1,2]时，都有f (x ) >0成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P (1，3) 可作多少条直线与曲线y =f (x ) 相切？并说明理由．
19．（本小题满分14分）
x 2y 2
+=1． 已知点P 和椭圆C :42
（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，试求∆PF 1F 2的周长及椭圆的离心率； （Ⅱ）若直线l :
-2y +m =0(m ≠0) 与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，
PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：PM =PN ．
20．（本小题满分13分）
*
已知等差数列{a n }的通项公式a n =3n -1(n ∈N ) . 设数列{b n }为等比数列, 且b n =a k n .
（Ⅰ）若b 1=a 1=2, 且等比数列{b n }的公比最小， （ⅰ）写出数列{b n }的前4项； （ⅱ）求数列{k n }的通项公式；
（Ⅱ）证明：以b 1=a 2=5为首项的无穷等比数列{b n }有无数多个.
2016东城理
（7）已知三点P （5，2）、F 1（－6，0）、 F 2（6，0）那么以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3
（B ）6
（C ）9
（D ）12
（8）已知e 1,e 2为平面上的单位向量，e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，e 1与e 2夹角为
π. 3
⎧λ+μ≤1,
u u u v ⎪
平面区域D 由所有满足OP =λe 1+μe 2的点P 组成，其中⎨0≤λ, ，那么平面区域D
⎪0≤μ⎩
的面积为 （A ）
1 （B
（C
） （D
） 224
（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.
（14）已知函数f (x ) =ln x ，关于x 的不等式f (x ) -f (x 0) ≥c (x -x 0) 的解集为(0,+∞) , 其中x 0∈(0,+∞) ，c 为常数. 当x 0=1时，c 的取值范围是___;当x 0=（18）（本小题共14分）
设函数f (x ) =ae -x -1，a ∈R ．
x
1
时，c 的值是___; 2
（Ⅰ）当a =1时，求f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) >0恒成立，求a 的取值范围；
e x -1x
>． （Ⅲ）求证：当x ∈(0, +∞) 时，ln x 2
（19）（本小题共13分）
已知抛物线C :y 2=2px (p >0) ，焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于A , B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为-p ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：
OD OM
>2.
（20）（本小题共13分）
数列{a n }中，给定正整数m (m >1) ，V (m ) =
∑a
i =1
m -1
i +1
-a i . 定义:数列{a n }满足
，称数列{a n }的前m 项单调不增. a i +1≤a i (i =1, 2, L L m , -1) （Ⅰ）若数列{a n }通项公式为：a n =(-1) n ，(n ∈N *) ，求V (5).
*
（Ⅱ）若数列{a n }满足：a 1=a , a m =b , (m>1, m ∈N , a >b ) ，求证V (m ) =a -b 的
充分必要条件是数列{a n }的前m 项单调不增.
（Ⅲ）给定正整数m (m >1) ，若数列{a n }满足：a n ≥0, (n =1,2, L L , m ) ，且数列{a n }的前m 项和m ，求V (m ) 的最大值与最小值.(写出答案即可)
2
2016文
（19）（本小题14分）
x 2y 2
已知椭圆C ：2+2=1过点A （2, 0），B （0, 1）两点.
a b
（I ）求椭圆C 的方程及离心率；
（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数f (x )=x +ax +bx +c .
3
2
（I ）求曲线y =f (x ). 在点0, f (0)处的切线方程；
（II ）设a =b =4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围；学科&网
2
（III ）求证：a -3b ＞0是f (x ). 有三个不同零点的必要而不充分条件.
()
2016海淀文
7．已知函数f (x ) =⎨
⎧sin(x +a ), x ≤0π
，则“α=”是“函数f (x ) 是偶函数“的（ ）
4⎩cos(x +b ), x >0
A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）
A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．获得的效益值总和为78 13．已知函数f (x ) =sin(2x +ϕ) ，若f (
5π
-f (-=2，则函数f (x ) 的单调增区间为1212
π
_________
14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{X 1, X 2, , X k }，均满足∀X i , X j ∈M , ∃X s , X t ∈M ，使得直线X i X j ⊥X s X t ，则k 的所有可能取值是_________ 19．（本小题满分14 分）
x 2y 2已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜
a b AB ｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝
1-x
e x
（Ⅰ）求曲线y =f (x)在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意x 1, x 2∈[a , +∞) ，都有f (x 1) -f (x 2) ≥-
1
成立，求实数a 的最小值。 2e
2016西城文
7. 设函数f (x ) =log 1x +x -a ，则“a ∈(1,3)”是
2
“函数f (x ) 在(2,8)上存在零点”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
1，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ） ．．3
（A ）最多可以购买4份一等奖奖品 （B ）最多可以购买16份二等奖奖品 （C ）购买奖品至少要花费100元 （D ）共有20种不同的购买奖品方案
13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜
色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.
⎧4
x ≥4, ⎪+1,
14. 设函数f (x ) =⎨x 则f (8)=______；若f (a ) =f (b ) =c ，f '(b )
⎪⎩log 2x , 0
a , b , c 的大小关系是______. 19．（本小题满分14分）
x 2y 2
已知椭圆C ：+=1(m >
0) 的长轴长为O 为坐标原点.
3m m
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线l 与y 轴相交于点B ，点A (3,0) 关于直线l 的对称点P 在椭圆C 上，求|OB |的最小值.
20．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x ln x +ax 2-1，且f '(1)=-1. （Ⅰ）求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若对于任意x ∈(0,+∞) ，都有f (x ) -mx ≤-1，求m 的最小值；
（Ⅲ）证明：函数y =f (x ) -x e x +x 2的图象在直线y =-2x -1的下方.
2016朝阳文
7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示, 下列说法中错误的是 ．．
A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月份
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
月
8. 若圆x 2+(y -1) 2=r
2与曲线(x -1) y =1的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A
．0
B
．0
C
．0
13. 已知圆C :(x -3) 2+(y -5) 2=5，过圆心C 的直线l 交圆C 于A , B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为.
14. 甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，„，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜. 如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是. 18. （本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC =90︒，AB =AC =2，
AA 1M , N 分别为BC 和CC 1的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面BBC 11C ；
（Ⅱ）若P 为线段BB 1的中点，求证：A 1N //平面APM ； （Ⅲ）试判断直线BC 1与平面APM 是否能够垂直.
若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．
19.(本小题共14分）
M
B
A 1
C B 1 P
C
x 2y 2
+=1的焦点分别为F 1, F 2. 已知椭圆C :42
（Ⅰ）求以线段F 1F 2为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M , N . 在x 轴上是否存在点Q ，
使得∠PQM +∠PQN =180︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分13分） 已知函数f (x ) =
k +x x
⋅e (k ∈R ) . k -x
（Ⅰ）若k =1, 求曲线y =f (x ) 在点(0，f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x ) 的单调区间； （Ⅲ）设k ≤0，若函数f (x
) 在区间
上存在极值点，求k 的取值范围.
2016东城文
（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执
行该程序框图，若输入a , b , i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为 （A ）0, 3 （B ）0, 4 （C ）2, 3（D ）2, 4
（8）函数f (x ) 的定义域为[-1,1]，图象如图1所示；函数g (x ) 的定义域为[-1,2]，图象
g (x ) ) =0如图2所示．若集合A =x f (
为
{
}, B ={x g (f (x )) =0}，则 A B 中元素的个数
图1
图2
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（13）如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，且满足AB =3AE ，
BC =3CF ，若OB =λOE +μOF (λ, μ∈R ) ，则λ+μ=．
C B E
O
（14）每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加
“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A , B 两组，A 组负责种植150棵银杏树苗，B 组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时
32
h ，种植一棵紫薇树苗用时h . 假定A , B 两组同时开
55
始种植, 若使植树活动持续时间最短，则A 组的家庭数为，此时活动持续的时间为h ．
（19）（本小题共13分）
x 2y 2
已知F 1(-1, 0) 和F 2(1,0) 是椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，且点
a b
3
P (1,) 在椭圆C 上．
2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线l :y =kx +m (m >0) 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于
点M , N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．
（20）（本小题共14分）
已知函数f (x ) =x 2-a ln x ，a ∈R ． （Ⅰ）若f (x ) 在x =1处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求f (x ) 在区间[1,+∞) 上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若h (x ) =x -f (x ) ，求证：当1
成立．
2
2
4+h (x )
4-h (x )
2016理
(7)将函数y =sin(2x -
π
3
) 图像上的点P （
π
，t ）向左平移s （s ﹥0） 个单位长度得到点4
P ′. 若 P ′位于函数y =sin(2x ) 的图像上，则
（A ）t =
ππ13
，s 的最小值为 （B ）t =，s 的最小值为 2266ππ13
，s 的最小值为 （D ）t = ，s 的最小值为 2233
（C ）t =
（8）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半。甲、乙、丙是三个空盒。每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒. 重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则 （A ）乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 （B ）乙盒中红球与丙盒中黑球一样多
（C ）乙盒中红球不多于丙盒中红球 （D ）乙盒中黑球与丙盒中红球一样多
x 2y 2
（13）双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的渐近线为正方形OABC 的边OA ，OC 所在的直线，
a b
点B 为该双曲线的焦点。若正方形OABC 的边长为2，则a=_______________.
⎧x 3-3x
（14）设函数f (x ) =⎨
⎩-2x
x ≤0x >a
①若a=0，则f(x)的最大值为____________________；
②若f(x)无最大值，则实数a 的取值范围是_________________。 （18）（本小题13分）
设函数f(x)=xe a -x +bx，曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e-1)x+4， （I ）求a,b 的值；
(I I) 求f(x)的单调区间。
（19）（本小题14分）
X 2y 2已知椭圆C ：2+2=1（a>b>0
A （a,0）,B(0,b)，O （0，0），
a b △OAB 的面积为1.
（I ）求椭圆C 的方程；
(I I)设P 是椭圆C 上一点，直线PA 与Y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N 。 求证：AN ·BM 为定值。
（20）（本小题13分）
设数列A ：a 1，a 2, „a N (N≥2) 。如果对小于n(2≤n ≤N) 的每个正整数k 都有a k ＜a n ，则称n 是数列A 的一个“G 时刻”。记G （A ）是数列A 的所有“G 时刻”组成的集合。 （I ）对数列A ：-2，2，-1，1，3，写出G （A ）的所有元素； (I I)证明：若数列A 中存在a n 使得a n >a 1，则G （A ）≠∅；
(I I I）证明：若数列A 满足a n -a n -1≤1（n=2,3, „,N ）, 则G （A ）的元素个数不小于a N -a 1。
2016海淀理
⎧sin(x +a ), x ≤07．已知函数f (x ) =⎨是偶函数，则下列结论可能成立的是
cos(x +b ), x >0⎩
2ππ
, b =
4436ππ5π2π
, b =C ．a =, b = D ．a =
3663
A ．a =
π
, b =-
π
B ．a =
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值
如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是
A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．丁可以承担第三项工作
13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个． （ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种； （ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．
14．已知函数f (x ) ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：∀x ∈[t -a , t +b ]，使得
． |f (x ) -f (t ) |≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）（ⅰ）当f (x ) ＝2x 时，H （0）＝ _______．
（ⅱ）当f (x ) =x 且t ∈[1,2]时，函数H （t ）的值域为_______． 18．（本小题满分13 分） 已知函数f (x ) ＝ln x ＋
2
1x -1
－1，g (x ) =
ln x x
（Ⅰ）求函数f (x ) 的最小值；
（Ⅱ）求函数g (x ) 的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线y ＝x 不是曲线y ＝g (x ) 的切线。 19．（本小题满分14 分）
x 2y 2已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) ，椭圆C 与y 轴交于A ，B 两点，
a b 且｜AB ｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在y 轴的右侧．直线P A ，PB 与直线x ＝ 4 分别交于M ，N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ，F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值． 20．（本小题满分13 分） 给定正整数n (n ≥3)，集合U n ={1,2, ⋅⋅⋅, n }．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下 列条件：
①U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝B ∩C ＝A ∩C ＝∅；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合A ，B ，C 中各元素之和分别记为SA ，SB ，SC ，有SA ＝SB ＝SC ； 则称集合Un 为可分集合．
（Ⅰ）已知U8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ，B ，C ； （Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则Un 不是可分集合； （Ⅲ）若Un 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值． （考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
2016西城理
7．设函数f (x )=A sin (ωx +ϕ)（A ，ω，ϕ是常数，A >0，ω>0），且函数f (x )的
部分图像如图所示，则有（ ）．
A ．f -
⎛3π⎫⎛5π
⎝4⎭⎝3⎫⎛7π
⎫
⎪ ⎭⎫⎪ ⎭
B ．f -
⎛3π⎫⎛7π
⎝4⎭⎝6⎛5π⎝3
⎫⎛3π
⎫⎛5π
⎫
⎪ ⎭
C ． f
⎛5π⎝3⎫⎛7π⎫⎛3π
6⎭⎝⎭⎝4
D ．f
⎫⎛7π⎫
6⎭⎝⎭
8．如图，在棱长为a (a >0)的正四面体ABCD 中，点B ，C ，D 分别在棱AB ，AC ，
AD 上，且平面B 1C 1D 1∥平面BCD ，A 1为△BCD 内一点，记三棱锥A 1-B 1C 1D 1的
体积为V ，设
AD 1
=x ，对于函数V =F (x )，则（ ）． AD
A
B B
A C
D 1
A ．当x =
2
时，函数f (x )取得最大值 3
B ．函数f (x )在
⎛1⎫
,1⎪上是减函数 2⎝⎭
1
对称 2
C ．函数f (x )的图像关于直线x =
D ．存在x 0，使得f (x 0)>V A -BCD （其中V A -BCD 为四面体ABCD 的体积）
13．在冬奥会志愿者活动中，甲、乙等5人报名参加了A ，B ，C 三个项目的志愿者工作，因工作需要，每个项目仅需1名志愿者工作，且甲不能参加A ，B 项目，乙不能参加B ，C 项目，共有种不同的志愿者分配方案________．（用数字作答）
14．一辆赛车在一个周长为3km 的封闭跑道上行驶，跑道由几段直道和弯道组成，图1反映了赛车在“计时赛”整个第二圈的行驶速度与行驶路程之间的关系．
1
3
根据图1，有一些四个说法：
①在这第二圈的2.6km 到2.8km 之间，赛车速度逐渐增加； ②在整个跑道中，最长的直线路程不超过0.6km ；
③大约在这第二圈的0.4km 到0.6km 之间，赛车开始了那段最长直线路程的行驶； ④在图2的四条曲线（注：s 为初始记录数据位置）中，曲线B 最能符合赛车的运动轨迹． 其中，所有正确说法的序号是________． 18．（本小题满分13分）
已知函数f (x )=x e x -a e x -1 ，且f ' (1)=e ． （Ⅰ）求a 的值及f (x )的单调区间；
（Ⅱ）若关于x 的方程f (x )=kx -2(k >2)存在两不相等的正实数根x 1，x 2，证明：
2
x 1-x 2>ln
4
． e
19．（本小题满分14分）
22
已知椭圆C :mx +3my =1(m >
0)的长轴长为O 为坐标原点
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设点A (3,0)，动点B 在y 轴上，动点P 在椭圆C 上，且P 在y 轴的右侧，若
BA =BP ，求四边形OPAB 面积的最小值．
20．（本小题满分13分）
设数列{a n }和{b n }的项均为m ，则将数列和的距离定义为
∑a -b
i i =1
m
i
．
（Ⅰ）该出数列1,3,5,6和数列2,3,10,7的距离 （Ⅱ）设A 为满足递推关系a n +1=
1+a n
的所有数列{a n }的集合，{b n }和{c n }为A 中的两1-a n
个元素，且项数均为m ，若b 1=2，c 1=3，{b n }和{c n }的距离小于2016，求m 得最大值；
素的距离大于或等于3，证明：中的元素个数小于或等于16．
2016朝阳理
7．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
11B ． 32
3
C ．1D ．
2
A ．
俯视图
正视图
侧视图
(第7题图)
8．若圆x 2+(y -1) 2=r 2与曲线(x -1) y =1的没有公共点，则半径r 的取值范围是
C
．0
．0
13．已知M 为∆ABC 所在平面内的一点，且AM =AB +nAC ．若点M 在∆ABC 的内部(不
4
A
．0
．0
含边界) ，则实数n 的取值范围是____．
14．某班主任在其工作手册中，对该班每个学生用十二项能力特征加以描述．每名学生的第
⎧0, 如果某学生不具有第i 项能力特征，
i （i =1,2, ,12）项能力特征用x i 表示，x i =⎨
1，如果某学生具有第i 项能力特征. ⎩
若学生A , B 的十二项能力特征分别记为A =(a 1, a 2, , a 12) ，B =(b 1, b 2, , b 12) ，则A , B 两名学生的不同能力特征项数为（用a i , b i 表示）．如果两个
同学不同能力特征项数不少于7，那么就说这两个同学的综合能力差异较大．若该班有3名
学生两两综合能力差异较大，则这3名学生两两不同能力特征项数总和的最小值为． 18．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x +a ln x , a ∈R ． （Ⅰ）求函数f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈[1,2]时，都有f (x ) >0成立，求a 的取值范围；
（Ⅲ）试问过点P (1，3) 可作多少条直线与曲线y =f (x ) 相切？并说明理由．
19．（本小题满分14分）
x 2y 2
+=1． 已知点P 和椭圆C :42
（Ⅰ）设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，试求∆PF 1F 2的周长及椭圆的离心率； （Ⅱ）若直线l :
-2y +m =0(m ≠0) 与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，直线PA ，
PB 与x 轴分别交于M ，N 两点，求证：PM =PN ．
20．（本小题满分13分）
*
已知等差数列{a n }的通项公式a n =3n -1(n ∈N ) . 设数列{b n }为等比数列, 且b n =a k n .
（Ⅰ）若b 1=a 1=2, 且等比数列{b n }的公比最小， （ⅰ）写出数列{b n }的前4项； （ⅱ）求数列{k n }的通项公式；
（Ⅱ）证明：以b 1=a 2=5为首项的无穷等比数列{b n }有无数多个.
2016东城理
（7）已知三点P （5，2）、F 1（－6，0）、 F 2（6，0）那么以F 1、F 2为焦点且过点 P 的椭圆的短轴长为 （A ）3
（B ）6
（C ）9
（D ）12
（8）已知e 1,e 2为平面上的单位向量，e 1与e 2的起点均为坐标原点O ，e 1与e 2夹角为
π. 3
⎧λ+μ≤1,
u u u v ⎪
平面区域D 由所有满足OP =λe 1+μe 2的点P 组成，其中⎨0≤λ, ，那么平面区域D
⎪0≤μ⎩
的面积为 （A ）
1 （B
（C
） （D
） 224
（13）某货运员拟运送甲、乙两种货物，每件货物的体积、重量、可获利润以及运输限制如
在最合理的安排下，获得的最大利润的值为__.
（14）已知函数f (x ) =ln x ，关于x 的不等式f (x ) -f (x 0) ≥c (x -x 0) 的解集为(0,+∞) , 其中x 0∈(0,+∞) ，c 为常数. 当x 0=1时，c 的取值范围是___;当x 0=（18）（本小题共14分）
设函数f (x ) =ae -x -1，a ∈R ．
x
1
时，c 的值是___; 2
（Ⅰ）当a =1时，求f (x ) 的单调区间；
（Ⅱ）当x ∈(0, +∞) 时，f (x ) >0恒成立，求a 的取值范围；
e x -1x
>． （Ⅲ）求证：当x ∈(0, +∞) 时，ln x 2
（19）（本小题共13分）
已知抛物线C :y 2=2px (p >0) ，焦点F ，O 为坐标原点，直线AB （不垂直x 轴）过点F 且与抛物线C 交于A , B 两点，直线OA 与OB 的斜率之积为-p ． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；
（Ⅱ）若M 为线段AB 的中点，射线OM 交抛物线C 于点D ，求证：
OD OM
>2.
（20）（本小题共13分）
数列{a n }中，给定正整数m (m >1) ，V (m ) =
∑a
i =1
m -1
i +1
-a i . 定义:数列{a n }满足
，称数列{a n }的前m 项单调不增. a i +1≤a i (i =1, 2, L L m , -1) （Ⅰ）若数列{a n }通项公式为：a n =(-1) n ，(n ∈N *) ，求V (5).
*
（Ⅱ）若数列{a n }满足：a 1=a , a m =b , (m>1, m ∈N , a >b ) ，求证V (m ) =a -b 的
充分必要条件是数列{a n }的前m 项单调不增.
（Ⅲ）给定正整数m (m >1) ，若数列{a n }满足：a n ≥0, (n =1,2, L L , m ) ，且数列{a n }的前m 项和m ，求V (m ) 的最大值与最小值.(写出答案即可)
2
2016文
（19）（本小题14分）
x 2y 2
已知椭圆C ：2+2=1过点A （2, 0），B （0, 1）两点.
a b
（I ）求椭圆C 的方程及离心率；
（II ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.
（20）（本小题13分）
设函数f (x )=x +ax +bx +c .
3
2
（I ）求曲线y =f (x ). 在点0, f (0)处的切线方程；
（II ）设a =b =4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围；学科&网
2
（III ）求证：a -3b ＞0是f (x ). 有三个不同零点的必要而不充分条件.
()
2016海淀文
7．已知函数f (x ) =⎨
⎧sin(x +a ), x ≤0π
，则“α=”是“函数f (x ) 是偶函数“的（ ）
4⎩cos(x +b ), x >0
A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则下列叙述正确的是（ ）
A ．甲只能承担第四项工作 B ．乙不能承担第二项工作 C ．丙可以不承担第三项工作 D ．获得的效益值总和为78 13．已知函数f (x ) =sin(2x +ϕ) ，若f (
5π
-f (-=2，则函数f (x ) 的单调增区间为1212
π
_________
14．给定正整数k ≥2，若从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点中任取k 个顶点，组成一个集合M ＝{X 1, X 2, , X k }，均满足∀X i , X j ∈M , ∃X s , X t ∈M ，使得直线X i X j ⊥X s X t ，则k 的所有可能取值是_________ 19．（本小题满分14 分）
x 2y 2已知椭圆C ：2+2=1(a >b >
0) ，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点，且｜
a b AB ｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且直线PA ，PB 与直线x ＝4分别交于M ， N 两点．是否存在点P 使得以MN 为直径的圆经过点（2,0）？若存在，求出点P 的横坐标；若不存在，说明理由。 20．（本小题满分13 分） 已知函数f (x) ＝
1-x
e x
（Ⅰ）求曲线y =f (x)在点（0，f （0））处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x)的零点和极值；
（Ⅲ）若对任意x 1, x 2∈[a , +∞) ，都有f (x 1) -f (x 2) ≥-
1
成立，求实数a 的最小值。 2e
2016西城文
7. 设函数f (x ) =log 1x +x -a ，则“a ∈(1,3)”是
2
“函数f (x ) 在(2,8)上存在零点”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件
（D ）既不充分也不必要条件
8. 在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元. 已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于
1，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（ ） ．．3
（A ）最多可以购买4份一等奖奖品 （B ）最多可以购买16份二等奖奖品 （C ）购买奖品至少要花费100元 （D ）共有20种不同的购买奖品方案
13. 有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色的涂料，且三个房间的颜
色各不相同．三个房间的粉刷面积和三种颜色的涂料费用如下表：
那么在所有不同的粉刷方案中，最低的涂料总费用是 _______元.
⎧4
x ≥4, ⎪+1,
14. 设函数f (x ) =⎨x 则f (8)=______；若f (a ) =f (b ) =c ，f '(b )
⎪⎩log 2x , 0
a , b , c 的大小关系是______. 19．（本小题满分14分）
x 2y 2
已知椭圆C ：+=1(m >
0) 的长轴长为O 为坐标原点.
3m m
（Ⅰ）求椭圆C 的方程和离心率；
（Ⅱ）设动直线l 与y 轴相交于点B ，点A (3,0) 关于直线l 的对称点P 在椭圆C 上，求|OB |的最小值.
20．（本小题满分13分）
已知函数f (x ) =x ln x +ax 2-1，且f '(1)=-1. （Ⅰ）求f (x ) 的解析式；
（Ⅱ）若对于任意x ∈(0,+∞) ，都有f (x ) -mx ≤-1，求m 的最小值；
（Ⅲ）证明：函数y =f (x ) -x e x +x 2的图象在直线y =-2x -1的下方.
2016朝阳文
7. 某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示, 下列说法中错误的是 ．．
A. 收入最高值与收入最低值的比是3:1
B. 结余最高的月份是7月份
C.1至2月份的收入的变化率与4至5月份的收入的变化率相同 D. 前6个月的平均收入为40万元 （注：结余=收入-支出）
月
8. 若圆x 2+(y -1) 2=r
2与曲线(x -1) y =1的没有公共点，则半径r 的取值范围是 A
．0
B
．0
C
．0
13. 已知圆C :(x -3) 2+(y -5) 2=5，过圆心C 的直线l 交圆C 于A , B 两点，交y 轴于点P . 若A 恰为PB 的中点，则直线l 的方程为.
14. 甲乙两人做游戏，游戏的规则是：两人轮流从1（1必须报）开始连续报数，每人一次最少要报一个数，最多可以连续报7个数（如，一个人先报数“1，2”，则下一个人可以有“3”， “3，4”，„，“3，4，5，6，7，8，9”等七种报数方法），谁抢先报到“100”则谁获胜. 如果从甲开始，则甲要想必胜，第一次报的数应该是. 18. （本小题共14分）
如图，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AA 1⊥底面ABC ，∠BAC =90︒，AB =AC =2，
AA 1M , N 分别为BC 和CC 1的中点，P 为侧棱BB 1上的动点．
（Ⅰ）求证：平面APM ⊥平面BBC 11C ；
（Ⅱ）若P 为线段BB 1的中点，求证：A 1N //平面APM ； （Ⅲ）试判断直线BC 1与平面APM 是否能够垂直.
若能垂直，求PB 的值；若不能垂直，请说明理由．
19.(本小题共14分）
M
B
A 1
C B 1 P
C
x 2y 2
+=1的焦点分别为F 1, F 2. 已知椭圆C :42
（Ⅰ）求以线段F 1F 2为直径的圆的方程；
（Ⅱ）过点P (4,0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M , N . 在x 轴上是否存在点Q ，
使得∠PQM +∠PQN =180︒？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
20. （本题满分13分） 已知函数f (x ) =
k +x x
⋅e (k ∈R ) . k -x
（Ⅰ）若k =1, 求曲线y =f (x ) 在点(0，f (0))处的切线方程； （Ⅱ）求函数f (x ) 的单调区间； （Ⅲ）设k ≤0，若函数f (x
) 在区间
上存在极值点，求k 的取值范围.
2016东城文
（7）右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执
行该程序框图，若输入a , b , i 的值分别为6，8，0，则输出a 和i 的值分别为 （A ）0, 3 （B ）0, 4 （C ）2, 3（D ）2, 4
（8）函数f (x ) 的定义域为[-1,1]，图象如图1所示；函数g (x ) 的定义域为[-1,2]，图象
g (x ) ) =0如图2所示．若集合A =x f (
为
{
}, B ={x g (f (x )) =0}，则 A B 中元素的个数
图1
图2
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
（13）如图，在矩形OABC 中，点E ，F 分别在线段AB ，BC 上，且满足AB =3AE ，
BC =3CF ，若OB =λOE +μOF (λ, μ∈R ) ，则λ+μ=．
C B E
O
（14）每年的三月十二号是植树节，某学校组织高中65个学生及其父母以家庭为单位参加
“种一棵小树，绿一方净土”的义务植树活动．活动将65个家庭分成A , B 两组，A 组负责种植150棵银杏树苗，B 组负责种植160棵紫薇树苗．根据往年的统计，每个家庭种植一棵银杏树苗用时
32
h ，种植一棵紫薇树苗用时h . 假定A , B 两组同时开
55
始种植, 若使植树活动持续时间最短，则A 组的家庭数为，此时活动持续的时间为h ．
（19）（本小题共13分）
x 2y 2
已知F 1(-1, 0) 和F 2(1,0) 是椭圆C ：2+2=1(a >b >0) 的两个焦点，且点
a b
3
P (1,) 在椭圆C 上．
2
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线l :y =kx +m (m >0) 与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于
点M , N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．
（20）（本小题共14分）
已知函数f (x ) =x 2-a ln x ，a ∈R ． （Ⅰ）若f (x ) 在x =1处取得极值，求a 的值； （Ⅱ）求f (x ) 在区间[1,+∞) 上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，若h (x ) =x -f (x ) ，求证：当1
成立．
2
2
4+h (x )
4-h (x )