巧求平面法向量

巧求平面法向量

沈兴灿1

(西安曲江第一中学 西安 710061)

Email: Tel:[1**********]

摘要: 利用平面的一般方程，给出了一种求法向量的新方法。 关键词:立体几何、空间向量、法向量

文献标识码：B 中图分类号：G633.5

在空间直角坐标系中，平面的一般方程是axbyczd0（其中系数a,b,c不同时为零），则向量n(a,b,c)为平面axbyczd0的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。

定理1：若平面α不经过原点,，取平面α内不共线的三点A、B、C，将其分别坐标代．．．．．入关于x,y,z的方程axbycz1（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c的一组值，则向量n(a,b,c)为平面α的法向量

定理2：若平面α经过原点,取平面α内与原点不共线的两点A、B，将其坐标代入关．．．．于x,y,z的方程axbycz0，求出系数a,b,c的一组值，则向量n(a,b,c)为平面α的法向量。

定理的证明比较简单，读者可以自行证明。但要注意的是定理1中方程







axbycz1右边的1也可以是其它任意非零常数；定理中平面是否经过原点这个条件

很关键，不过忽视。

例1：已知如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。

解（1）因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0，1，2)代入axbycz0得：

ab0ab

所以。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以n(2,2,1)是平面BDC1

b2cb2c0

的法向量

1

作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究

生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: [email protected] Tel:[1**********]

（2）因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入axbycz1得：

1

a2a2c1

1

ab1所以b

2b2c1

1

c4

所以n(,



111

,)为平面BDC1的法向量 224

(3) 因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B（1，1，0

C1(0，0，2)代入1代入axbycz2得

a2c2a0

ab2即b2所以n(0,2,1)是平面ABC1D1的法向量。 2c2c1

E、F分别是棱BC,CC1上例2（2010·天津）如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，

的点，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4 （1） 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2） 证明AF平面

A1ED

（3） 求二面角A1EDF的正弦值。

解：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A为坐标原点，设AB1,依题意得D(0,2,0),

3F(1,2,1),A1(0,0,4),E

1,,0

2

1

（1） 解：易得EF0,,1,A1D(0,2,4)

2

3EFA1D3

于是cosEF,A1D. 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为

55EFA1D

31

（2） 证明：已知 AF(1,2,1),EA11,,4,ED1,,0

22

AFED,又EA1EDE 于是AF·EA1=0，AF·ED=0.因此，AFEA1,

所以AF平面A1ED

2b4

3

(3)解：平面EFD不过原点，将D、E、F的坐标分别代入axbycz4，则ab4,

2a2bc4

a1



EFDb2即所以n(1,2,1)是平面的法向量。由（2）可知，AF为平面A1ED的一

c1



nAF2

=，从而sinn,AF个法向量。于是cosn,AF=

|n||AF|3

所以二面角A1-ED-F

巧求平面法向量

沈兴灿1

(西安曲江第一中学 西安 710061)

Email: Tel:[1**********]

摘要: 利用平面的一般方程，给出了一种求法向量的新方法。 关键词:立体几何、空间向量、法向量

文献标识码：B 中图分类号：G633.5

在空间直角坐标系中，平面的一般方程是axbyczd0（其中系数a,b,c不同时为零），则向量n(a,b,c)为平面axbyczd0的法向量。根据这一原理，我们可以按下列方法求平面的法向量。

定理1：若平面α不经过原点,，取平面α内不共线的三点A、B、C，将其分别坐标代．．．．．入关于x,y,z的方程axbycz1（等号右边的1也可以是其它任意非零常数），求出系数a,b,c的一组值，则向量n(a,b,c)为平面α的法向量

定理2：若平面α经过原点,取平面α内与原点不共线的两点A、B，将其坐标代入关．．．．于x,y,z的方程axbycz0，求出系数a,b,c的一组值，则向量n(a,b,c)为平面α的法向量。

定理的证明比较简单，读者可以自行证明。但要注意的是定理1中方程







axbycz1右边的1也可以是其它任意非零常数；定理中平面是否经过原点这个条件

很关键，不过忽视。

例1：已知如图正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的棱长AA1=2，AB=1，按图中所建立的坐标系，求平面BDC1，平面A1BC1，平面ABC1D1的法向量。

解（1）因为平面BDC1过原点D,将点B(1,1,0),C1(0，1，2)代入axbycz0得：

ab0ab

所以。不妨设c=1,可得b=－2, a=2。所以n(2,2,1)是平面BDC1

b2cb2c0

的法向量

1

作者简介：沈兴灿（1976-）,男,陕西西安人,西安市曲江第一中学教师，陕西师范大学数科院硕士研究

生毕业,主要从事分形几何学、课程与教学论、数学教育学等研究. Email: [email protected] Tel:[1**********]

（2）因为平面A1BC1不过原点D,将点A1(1,0,2),B（1，1，0）C1(0，1，2)代入axbycz1得：

1

a2a2c1

1

ab1所以b

2b2c1

1

c4

所以n(,



111

,)为平面BDC1的法向量 224

(3) 因为平面ABC1D1不过原点D,将A1(1,0,2),B（1，1，0

C1(0，0，2)代入1代入axbycz2得

a2c2a0

ab2即b2所以n(0,2,1)是平面ABC1D1的法向量。 2c2c1

E、F分别是棱BC,CC1上例2（2010·天津）如图，在长方体ABCDA1BC11D1中，

的点，CFAB2CE,AB:AD:AA11:2:4 （1） 求异面直线EF与A1D所成角的余弦值； （2） 证明AF平面

A1ED

（3） 求二面角A1EDF的正弦值。

解：如图所示，建立空间直角坐标系， 点A为坐标原点，设AB1,依题意得D(0,2,0),

3F(1,2,1),A1(0,0,4),E

1,,0

2

1

（1） 解：易得EF0,,1,A1D(0,2,4)

2

3EFA1D3

于是cosEF,A1D. 所以异面直线EF与A1D所成角的余弦值为

55EFA1D

31

（2） 证明：已知 AF(1,2,1),EA11,,4,ED1,,0

22

AFED,又EA1EDE 于是AF·EA1=0，AF·ED=0.因此，AFEA1,

所以AF平面A1ED

2b4

3

(3)解：平面EFD不过原点，将D、E、F的坐标分别代入axbycz4，则ab4,

2a2bc4

a1



EFDb2即所以n(1,2,1)是平面的法向量。由（2）可知，AF为平面A1ED的一

c1



nAF2

=，从而sinn,AF个法向量。于是cosn,AF=

|n||AF|3

所以二面角A1-ED-F