圆知识点归纳
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。
1、圆的对称性：轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 推论：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
②平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
①同弧所对的圆周角相等。②直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其
余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d。
d d 点P 在⊙O 内
d = r
点P 在⊙O 上 d > r（r
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。）
8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。
d d 直线与圆相交。
d = r
直线与圆相切。 d > r（r
直线与圆相离。
22
9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则AB=(x 1-x 2) +(y 1-y 2)
10、圆的切线判定。
（1）d=r时，直线是圆的切线（切点不明确：画垂直，证半径）
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线（切点明确：连半径，证垂直） 11、圆的切线的性质（补充）。 （1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。 12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。 （2）切线长定理。
∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB，∠1=∠2。 13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。求：AD 、BE 、CF 的长。
P
5 B 5-x E 7-x 6 13(2)图
C
B 12（2）图
分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－
x.
可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3
（3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ，
得CD=CE=r
AD=AF=b－r ，BE=BF=a－r b －r ＋a －r=c 得r=
b-r
E a-r a +b -c
2
14、（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角。
（2）相交弦定理，圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC·PD 。 （3）切割线定理，如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB·PC 。 （4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC·PD 。
B
（1）
C （2）
C （3）
D （4）图
15、圆与圆的位置关系。
（1）外离：d>r1＋r 2， 交点有0个；
外切：d=r1＋r 2， 交点有1个； 相交：r 1－r 2
内切：d=r1－r 2， 交点有1个； 内含：0≤d
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。 L=
n n πR ⨯2πR = 360180
（2）扇形的面积用S 表示。
n πR R 1n n πR 22
⨯=lR ⨯πR = S= S=
360360
180（3）圆锥的侧面展开图是扇形。 r 为底面圆的半径，a 为母线长。 ✧ 扇形的圆心角α=
r
a
⨯3600 ✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2
22
圆知识点归纳
一、圆的定义。
1、以定点为圆心，定长为半径的点组成的图形。
2、在同一平面内，到一个定点的距离都相等的点组成的图形。 二、圆的各元素。
1、半径：圆上一点与圆心的连线段。 2、直径：连接圆上两点有经过圆心的线段。 3、弦：连接圆上两点线段（直径也是弦）。 4、弧：圆上两点之间的曲线部分。半圆周也是弧。
（1）劣弧：小于半圆周的弧。 （2）优弧：大于半圆周的弧。
5、圆心角：以圆心为顶点，半径为角的边。 6、圆周角：顶点在圆周上，圆周角的两边是弦。 7、弦心距：圆心到弦的垂线段的长。 三、圆的基本性质。
1、圆的对称性：轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形。
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，且平分这条弦所对的两条弧。 推论：①平分弦（非直径）的直径，垂直于弦且平分弦所对的两条弧。
②平分弧的直径，垂直平分弧所对的弦。
3、圆心角的度数等于它所对弧的度数。圆周角的度数等于它所对弧度数的一半。
①同弧所对的圆周角相等。②直径所对的圆周角是直角；圆周角为直角，它所对的弦是直径。
4、在同圆或等圆中，两条弦、两条弧、两个圆周角、两个圆心角、两条弦心距五对量中只要有一对量相等，其
余四对量也分别相等。 5、夹在平行线间的两条弧相等。 6、设⊙O 的半径为r ，OP=d。
d d 点P 在⊙O 内
d = r
点P 在⊙O 上 d > r（r
7、（1）过两点的圆的圆心一定在两点间连线段的中垂线上。
（2）不在同一直线上的三点确定一个圆，圆心是三边中垂线的交点，它到三个点的距离相等。 （直角三角形的外心就是斜边的中点。）
8、直线与圆的位置关系。d 表示圆心到直线的距离，r 表示圆的半径。
直线与圆有两个交点，直线与圆相交；直线与圆只有一个交点，直线与圆相切； 直线与圆没有交点，直线与圆相离。
d d 直线与圆相交。
d = r
直线与圆相切。 d > r（r
直线与圆相离。
22
9、平面直角坐标系中，A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），则AB=(x 1-x 2) +(y 1-y 2)
10、圆的切线判定。
（1）d=r时，直线是圆的切线（切点不明确：画垂直，证半径）
（2）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线（切点明确：连半径，证垂直） 11、圆的切线的性质（补充）。 （1）经过切点的直径一定垂直于切线。
（2）经过切点并且垂直于这条切线的直线一定经过圆心。 12、切线长定理。
（1）切线长：从圆外一点引圆的两条切线，切点与这点之间连线段的长叫这个点到圆的切线长。 （2）切线长定理。
∵ PA 、PB 切⊙O 于点 A 、B ∴ PA=PB，∠1=∠2。 13、内切圆及有关计算。
（1）三角形内切圆的圆心是三个内角平分线的交点，它到三边的距离相等。
（2）如图，△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，⊙O 切△ABC 三边于点D 、E 、F 。求：AD 、BE 、CF 的长。
P
5 B 5-x E 7-x 6 13(2)图
C
B 12（2）图
分析：设AD=x，则AD=AF=x，BD=BE=5－x ，CE=CF=7－
x.
可得方程：5－x ＋7－x=6，解得x=3
（3）△ABC 中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c。求内切圆的半径r 。
分析：先证得正方形ODCE ，
得CD=CE=r
AD=AF=b－r ，BE=BF=a－r b －r ＋a －r=c 得r=
b-r
E a-r a +b -c
2
14、（1）弦切角：角的顶点在圆周上，角的一边是圆的切线，另一边是圆的弦。 如图，BC 切⊙O 于点B ，AB 为弦，∠ABC 叫弦切角。
（2）相交弦定理，圆的两条弦AB 与CD 相交于点P ，则PA ·PB=PC·PD 。 （3）切割线定理，如图，PA 切⊙O 于点A ，PBC 是⊙O 的割线，则PA 2=PB·PC 。 （4）推论：如图，PAB 、PCD 是⊙O 的割线，则PA ·PB=PC·PD 。
B
（1）
C （2）
C （3）
D （4）图
15、圆与圆的位置关系。
（1）外离：d>r1＋r 2， 交点有0个；
外切：d=r1＋r 2， 交点有1个； 相交：r 1－r 2
内切：d=r1－r 2， 交点有1个； 内含：0≤d
相交两圆的连心线垂直平分公共弦。 相切两圆的连心线必经过切点。
16、圆中有关量的计算。
（1）弧长有L 表示，圆心角用n 表示，圆的半径用R 表示。 L=
n n πR ⨯2πR = 360180
（2）扇形的面积用S 表示。
n πR R 1n n πR 22
⨯=lR ⨯πR = S= S=
360360
180（3）圆锥的侧面展开图是扇形。 r 为底面圆的半径，a 为母线长。 ✧ 扇形的圆心角α=
r
a
⨯3600 ✧ S 侧=πar S 全=πar ＋πr 2
22