高二数学第三次周测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．下面给出四个点中，位于⎨
⎧x +y -1
表示的平面区域内的点是
x -y +1>0⎩
（ ）
2) A ．(0，
0) C．(0，-2) B ．(-2，0) D ．(2，
（ ）
2．已知a 和b 均为非零实数，且a
A ．a 2
b a
C ．a 2b
D ．
11
ab a b
（ ）
3．已知{a n }为等差数列，若a 3+a 4+a 8=9，则S 9的值为
A ．24
B ．27 C ．15 D ．54
4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度, 在C 点测得塔顶A 的仰角是45°, 在D 点测得塔
, 并测得水平面上的∠BCD =120°, CD =40m,则电视塔的顶A 的仰角是30°
高度为 （ ）
A ．102m B ．20m C ．20m
D ．40m
5．在∆ABC 中，a =x ，b =2, B =45︒，若∆ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）
A ．(2,+∞)
B ．(0,2)
C
．
D
．
（ ）
D ．[4, +∞)
6．已知log 2(x +y ) =log 2x +log 2y ，则x +y 的取值范围是
A ．(0, 1]
B ．[2, +∞)
C ．(0, 4]
⎧x -y ≤0⎪
7．若⎨x +y ≥0，若z =x +2y 的最大值为3，则a 的值是 ( )
⎪y ≤a ⎩
C ．3 D ．4
8．已知0
A ．1 A ．log 2a >0 C ．2
a b +b a
B ．2
B ．2
a -b
1 2
1
2
D ．log 2a +log 2b
9．已知等差数列{a n }的前项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且
ON =a 15OM +a 6OP (直线MP 不过点O ) ，则S 20等于
A ．15
B ．10
C ．40
（ ）
D ．20
，+∞)上为减函数，f (10．已知f (x ) 是定义R 在上的偶函数，f (x ) 在[0
等式f (log1x )
9
1
)=0，则不 2
（ ）
A ．(0,)
13
B ．(3,+∞) C ．(0,) (3,+∞) D ．(,1) (3,+∞)
1313
11．已知函数f (x ) =m (x -2m )(x +m+3),g (x )=2x -2，若对于任一实数x ，f (x ) 与g (x )
至少有一个为负数，则实数m 的取值范围是 A ．(-4, -1)
B ．(-4,0)
C ．(0,)
（ ）
12
D ．(-4,
1) 2
⎧x +y ≥3
x y ⎪
12．设x , y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，若目标函数z =+(a >0, b >0) 的最大值为10，
a b ⎪2x -y ≤3
⎩
则5a +4b 的最小值为
A
（ ）
D ．8
B
C ．10 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若x
2
11-x -的最小值是 ． x 2x
14．等差数列{a n }中, a 100, 且a 11>a 10，若{a n }的前n 项和S n
最大值是 ．
⎧log 1x , x >0
⎪
2若f (m )
16
．已知函数f (x ) =x cos x -cos x -
1
, x ∈R ，若∆ABC 内角A 、B 、C 的对 2
c =3, f (C ) =0a 、b 、c 边分别为，且，若向量m =(1,sin A ) 与n =(2,sinB ) 共线，
2
则a +b 的值为
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
17．已知向量m =(a +c , b ), n =(a -c , b -a ), 且m ⋅n =0，其中A , B , C 是∆ABC 的内角，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin A +sin B 的取值范围.
18．设a 为实数，函数f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |.
（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围; （2）求f (x ) 的最小值。19．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200
22
元/m 210元/m ，再在四个
角上铺草坪，造价为80元/m 2. 受地域影响，AD 的长最多能达到23m ，其余的边长没限制．
（1）设总造价为S
元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，S 最小，并求出这个最小值.
20．在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a , b , c ，其外接圆半径为6，
b 4
=24, sin A +sin C =.
1-cos B 3
（1）求cos B ；
（2）求∆ABC 的面积的最大值。
21．数列{a n }的前n 项和记为S n , a 1=t , 点(S n , a n +1) 在直线y =2x +1上, n ∈N *．
（1）当实数t 为何值时, 数列{a n }是等比数列？ （2）在（1）的结论下, 设b n =log 3a n +1, 且T n 是数列{
22．已知数列{b n }满足b n +1=
（1）求证：数列{b n -
1
的前n 项和, 求T 2012的值．
b n ⋅b n +1
711
b n +，且b 1=，T n 为{b n }的前n 项和. 242
1
是等比数列，并求{b n }的通项公式； 2
（2）如果对任意n ∈N *，不等式
12k
? 2n 7恒成立，求实数k 的取值范围.
12+n -2T n
高二数学第三次周测试题答案
一．CDBD CDAD BCBD
二．13．4 , 14. 19 , 15．(-1,0)
(1,+∞) , 16.
17. 解：（1）由m ⋅n =0得(a +c )(a -c ) +b (b -a ) =0⇒a 2+b 2-c 2=ab ， ……2分
a 2+b 2-c 2ab 1 由余弦定理得cos C ===。 ……………………4分
2ab 2ab 2π
。 ………………6分 3
π2π2π
（2） C =，∴A +B =，∴sin A +sin B =sin A +sin(-A )
3332π2π
=sin A +sin cos A -cos sin A
33
0
π31=A +) ………8分 =sin A A =
A +cos A )
622 0
2πππ5π1π
，∴
366626
π
6
18．解：（1）若f (0)≥1，则-a |a |≥1⇒⎨
⎧a
2
⎩a ≥1
⇒a ≤-1.
（2）当x ≥a 时，f (x ) =3x 2-2ax +a 2, f (x ) min
2
⎧f (a ), a ≥0⎧2a , a ≥0⎪⎪=⎨a =⎨2a 2； f (), a
当x ≤a 时，f (x ) =x 2+2ax -a 2, f (x ) min
⎧-2a 2, a ≥0
⎪=⎨2a 2．
, a
2
⎧f (-a ), a ≥0⎧⎪-2a , a ≥0=⎨=⎨2， f (a ), a
综上f (x ) min
1⎛200-x 2⎫22
⎪⨯80 19. 解（Ⅰ）由题意可得S =4200x +(200-x )⨯210+4⨯ ⎪2⎝4x ⎭
2
=4000x 2
+
400000
x 2
+38000 (0
（Ⅱ）S =4000x 2
+
400000x 2+38000≥24000x 2
⨯400000x 2
+38000 =80000+38000=118000 当且仅当4000x 2
=
400000x 2
, 即x =时, “=”成立. 答:当x =m 时, S 最小, 最小值为118000元. 20．（1）解：
b 1-cos B =24⇒2⨯6sin B
1-cos B
=24
2(1-cos B ) =sin B
4(1-cos B ) 2=sin 2B =(1-cos B )(1-cos B )
1-cos B ≠0, ∴4(1-cos B ) =1+cos B , ∴cos B =
3
5
， （2）sin A +sin C =4
3
，∴a 12+c 12=43, 即a +c =16.
又 cos B =
35, ∴sin B =4
5
. ∴S =
12ac sin B =25ac ≤25(a +c 2) 2=1285
. 而a =c =8时，S 128
max =5
. 21. 解： (Ⅰ) 由题意得a n +1=2S n +1，a n =2S n -1+1(n ≥2) ……1分 两式相减得a n +1-a n =2a n , 即a n +1=3a n (n ≥2) ，……4分 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列，
要使n ≥1时，{a a 22t +1n }是等比数列，则只需a ==3，从而t =1．1t
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得知a n -1
n =3，b n =log 3a n +1=n ，……9分
∴
1b ⋅b =1=1-1
……10分
n n +1(n +1) n n n +1
7分 ……
T 2012=
[1**********]2+⋅⋅⋅+=(1-) +(-) +⋅⋅⋅+(-)=1-= b 1b 2b 2012b [***********]32013
12分
1111122．解: (Ⅰ) 对任意n ∈N *, 都有b n +1=b n +，所以b n +1-=(b n -)
24222
111
则{b n -}成等比数列, 首项为b 1-=3，公比为…………2分
22211n -11n -11
所以b n -=3⨯() ，∴b n =3⨯() +…………4分
2222
1n -11
b =3⨯() + (Ⅱ) 因为n
22
13(1-n )
111n +n =6(1-1) +n …………6分 所以T n =3(1++2+... +n -1) +=n
122222221-2
因为不等式设c n =
12k 2n -7
≥2n -7，化简得k ≥对任意n ∈N *恒成立……7分 n
(12+n -2T n ) 2
2n -72(n +1) -72n -79-2n
c -c =-=n +1…………8分 ，则n +1n
2n 2n +12n 2
当n ≥5, c n +1≤c n , {c n }为单调递减数列，当1≤n c n , {c n }为单调递增数列
133
c =c 4
163232
2n -73*
k ≥所以, 要使k ≥对任意恒成立，…………12分 n ∈N
2n 32
高二数学第三次周测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的． 1．下面给出四个点中，位于⎨
⎧x +y -1
表示的平面区域内的点是
x -y +1>0⎩
（ ）
2) A ．(0，
0) C．(0，-2) B ．(-2，0) D ．(2，
（ ）
2．已知a 和b 均为非零实数，且a
A ．a 2
b a
C ．a 2b
D ．
11
ab a b
（ ）
3．已知{a n }为等差数列，若a 3+a 4+a 8=9，则S 9的值为
A ．24
B ．27 C ．15 D ．54
4．要测量底部不能到达的电视塔AB 的高度, 在C 点测得塔顶A 的仰角是45°, 在D 点测得塔
, 并测得水平面上的∠BCD =120°, CD =40m,则电视塔的顶A 的仰角是30°
高度为 （ ）
A ．102m B ．20m C ．20m
D ．40m
5．在∆ABC 中，a =x ，b =2, B =45︒，若∆ABC 有两解，则x 的取值范围是（ ）
A ．(2,+∞)
B ．(0,2)
C
．
D
．
（ ）
D ．[4, +∞)
6．已知log 2(x +y ) =log 2x +log 2y ，则x +y 的取值范围是
A ．(0, 1]
B ．[2, +∞)
C ．(0, 4]
⎧x -y ≤0⎪
7．若⎨x +y ≥0，若z =x +2y 的最大值为3，则a 的值是 ( )
⎪y ≤a ⎩
C ．3 D ．4
8．已知0
A ．1 A ．log 2a >0 C ．2
a b +b a
B ．2
B ．2
a -b
1 2
1
2
D ．log 2a +log 2b
9．已知等差数列{a n }的前项和为S n ，若M 、N 、P 三点共线，O 为坐标原点，且
ON =a 15OM +a 6OP (直线MP 不过点O ) ，则S 20等于
A ．15
B ．10
C ．40
（ ）
D ．20
，+∞)上为减函数，f (10．已知f (x ) 是定义R 在上的偶函数，f (x ) 在[0
等式f (log1x )
9
1
)=0，则不 2
（ ）
A ．(0,)
13
B ．(3,+∞) C ．(0,) (3,+∞) D ．(,1) (3,+∞)
1313
11．已知函数f (x ) =m (x -2m )(x +m+3),g (x )=2x -2，若对于任一实数x ，f (x ) 与g (x )
至少有一个为负数，则实数m 的取值范围是 A ．(-4, -1)
B ．(-4,0)
C ．(0,)
（ ）
12
D ．(-4,
1) 2
⎧x +y ≥3
x y ⎪
12．设x , y 满足约束条件⎨x -y ≥-1，若目标函数z =+(a >0, b >0) 的最大值为10，
a b ⎪2x -y ≤3
⎩
则5a +4b 的最小值为
A
（ ）
D ．8
B
C ．10 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．若x
2
11-x -的最小值是 ． x 2x
14．等差数列{a n }中, a 100, 且a 11>a 10，若{a n }的前n 项和S n
最大值是 ．
⎧log 1x , x >0
⎪
2若f (m )
16
．已知函数f (x ) =x cos x -cos x -
1
, x ∈R ，若∆ABC 内角A 、B 、C 的对 2
c =3, f (C ) =0a 、b 、c 边分别为，且，若向量m =(1,sin A ) 与n =(2,sinB ) 共线，
2
则a +b 的值为
三．解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤。
17．已知向量m =(a +c , b ), n =(a -c , b -a ), 且m ⋅n =0，其中A , B , C 是∆ABC 的内角，a , b , c 分别是角A , B , C 的对边.
（1）求角C 的大小；
（2）求sin A +sin B 的取值范围.
18．设a 为实数，函数f (x ) =2x 2+(x -a ) |x -a |.
（1）若f (0)≥1，求a 的取值范围; （2）求f (x ) 的最小值。19．某小区要建一座八边形的休闲公园，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200m 2的十字型地域，计划在正方形MNPQ 上建一座花坛，造价为4200
22
元/m 210元/m ，再在四个
角上铺草坪，造价为80元/m 2. 受地域影响，AD 的长最多能达到23m ，其余的边长没限制．
（1）设总造价为S
元，AD 的长为x m ，试建立S 关于x 的函数关系式； （2）当x 取何值时，S 最小，并求出这个最小值.
20．在∆ABC 中，内角A 、B 、C 所对的边分别为a , b , c ，其外接圆半径为6，
b 4
=24, sin A +sin C =.
1-cos B 3
（1）求cos B ；
（2）求∆ABC 的面积的最大值。
21．数列{a n }的前n 项和记为S n , a 1=t , 点(S n , a n +1) 在直线y =2x +1上, n ∈N *．
（1）当实数t 为何值时, 数列{a n }是等比数列？ （2）在（1）的结论下, 设b n =log 3a n +1, 且T n 是数列{
22．已知数列{b n }满足b n +1=
（1）求证：数列{b n -
1
的前n 项和, 求T 2012的值．
b n ⋅b n +1
711
b n +，且b 1=，T n 为{b n }的前n 项和. 242
1
是等比数列，并求{b n }的通项公式； 2
（2）如果对任意n ∈N *，不等式
12k
? 2n 7恒成立，求实数k 的取值范围.
12+n -2T n
高二数学第三次周测试题答案
一．CDBD CDAD BCBD
二．13．4 , 14. 19 , 15．(-1,0)
(1,+∞) , 16.
17. 解：（1）由m ⋅n =0得(a +c )(a -c ) +b (b -a ) =0⇒a 2+b 2-c 2=ab ， ……2分
a 2+b 2-c 2ab 1 由余弦定理得cos C ===。 ……………………4分
2ab 2ab 2π
。 ………………6分 3
π2π2π
（2） C =，∴A +B =，∴sin A +sin B =sin A +sin(-A )
3332π2π
=sin A +sin cos A -cos sin A
33
0
π31=A +) ………8分 =sin A A =
A +cos A )
622 0
2πππ5π1π
，∴
366626
π
6
18．解：（1）若f (0)≥1，则-a |a |≥1⇒⎨
⎧a
2
⎩a ≥1
⇒a ≤-1.
（2）当x ≥a 时，f (x ) =3x 2-2ax +a 2, f (x ) min
2
⎧f (a ), a ≥0⎧2a , a ≥0⎪⎪=⎨a =⎨2a 2； f (), a
当x ≤a 时，f (x ) =x 2+2ax -a 2, f (x ) min
⎧-2a 2, a ≥0
⎪=⎨2a 2．
, a
2
⎧f (-a ), a ≥0⎧⎪-2a , a ≥0=⎨=⎨2， f (a ), a
综上f (x ) min
1⎛200-x 2⎫22
⎪⨯80 19. 解（Ⅰ）由题意可得S =4200x +(200-x )⨯210+4⨯ ⎪2⎝4x ⎭
2
=4000x 2
+
400000
x 2
+38000 (0
（Ⅱ）S =4000x 2
+
400000x 2+38000≥24000x 2
⨯400000x 2
+38000 =80000+38000=118000 当且仅当4000x 2
=
400000x 2
, 即x =时, “=”成立. 答:当x =m 时, S 最小, 最小值为118000元. 20．（1）解：
b 1-cos B =24⇒2⨯6sin B
1-cos B
=24
2(1-cos B ) =sin B
4(1-cos B ) 2=sin 2B =(1-cos B )(1-cos B )
1-cos B ≠0, ∴4(1-cos B ) =1+cos B , ∴cos B =
3
5
， （2）sin A +sin C =4
3
，∴a 12+c 12=43, 即a +c =16.
又 cos B =
35, ∴sin B =4
5
. ∴S =
12ac sin B =25ac ≤25(a +c 2) 2=1285
. 而a =c =8时，S 128
max =5
. 21. 解： (Ⅰ) 由题意得a n +1=2S n +1，a n =2S n -1+1(n ≥2) ……1分 两式相减得a n +1-a n =2a n , 即a n +1=3a n (n ≥2) ，……4分 所以当n ≥2时，{a n }是等比数列，
要使n ≥1时，{a a 22t +1n }是等比数列，则只需a ==3，从而t =1．1t
(Ⅱ) 由(Ⅰ) 得知a n -1
n =3，b n =log 3a n +1=n ，……9分
∴
1b ⋅b =1=1-1
……10分
n n +1(n +1) n n n +1
7分 ……
T 2012=
[1**********]2+⋅⋅⋅+=(1-) +(-) +⋅⋅⋅+(-)=1-= b 1b 2b 2012b [***********]32013
12分
1111122．解: (Ⅰ) 对任意n ∈N *, 都有b n +1=b n +，所以b n +1-=(b n -)
24222
111
则{b n -}成等比数列, 首项为b 1-=3，公比为…………2分
22211n -11n -11
所以b n -=3⨯() ，∴b n =3⨯() +…………4分
2222
1n -11
b =3⨯() + (Ⅱ) 因为n
22
13(1-n )
111n +n =6(1-1) +n …………6分 所以T n =3(1++2+... +n -1) +=n
122222221-2
因为不等式设c n =
12k 2n -7
≥2n -7，化简得k ≥对任意n ∈N *恒成立……7分 n
(12+n -2T n ) 2
2n -72(n +1) -72n -79-2n
c -c =-=n +1…………8分 ，则n +1n
2n 2n +12n 2
当n ≥5, c n +1≤c n , {c n }为单调递减数列，当1≤n c n , {c n }为单调递增数列
133
c =c 4
163232
2n -73*
k ≥所以, 要使k ≥对任意恒成立，…………12分 n ∈N
2n 32