正态分布
【学习目标】
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【预习案】
1．正态分布密度曲线及性质 (1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝___________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线________对称； ③曲线在________处达到峰值____________； ④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b (a
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ
1．下列说法不．
正确的是( ) A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴 B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方 C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布 2
D．函数φ(x)＝1-x
2π
e2 (x∈R)的图象是一条两头
低、中间高、关于y轴对称的曲线
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2
)，则P(ξ
A.15 B.14 C.13 D.1
23．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
4．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布
第1页（共2页）
2
密度函数为φ(x)＝1-x
8π
e8，
则ξ的期望和标准差分别是( )
A．0和8 B．0和4 C．0和2
D．0和2
5.设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1σ2 C．μ1>μ2，σ1μ2，σ1>σ2 【合作探究】
题型一 正态曲线的性质
例1 如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．
探究1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1
2π
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率．
题型二 服从正态分布的概率计算 例2 设X～N(5,1)，求P(6
探究2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1
题型三 正态分布的应用
例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试
成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
探究3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？
【名师点睛】
1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φ＝
1
-x-u2
μ，σ(x)2πσe
2s
，x∈(－∞，＋∞)．2．正态曲线的特点：
第2页（共2页）
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ时达到峰值1
2πσ.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫
3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．
正态分布
预习案 1
1．(1)e
2πσ
x-m-2s
22
1
∴P(0
2
1-x2-sm1-x8
4．D [由φ(x)＝e对照得σe
σ8π
2
2
11
称，即μ＝0.由＝，
2π σ2π·4
得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
2
，x∈(－∞，＋∞) (2)①上
1
方 ②x＝μ ③x＝μ ④1 ⑤μ ⑥越小
＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝Dξ＝2.]
2越大
2
2．(1)b
φ(x)dx X2-x-80μ，
σ
～N(μ，σ)e128
a
(2)①0.682 6 ②0.954 4 ③0.997 4 预习自测 1．C
2．D [由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，
P(ξ3)＝1
2
.]
3．C [
∵P(ξ4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2， P(ξ4)＝0.2，
∴P(04)＝0.6.
5．A [由正态分布N(μ，σ)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1
越小，图象越高瘦，故σ1
合作探究
例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为
1
π，所以μ＝20.
由1σ＝1π
，解得σ＝2.
于是正态分布密度曲线的解析式是 2
φ-x-20μ，σ(x)＝
1π
e
4
，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
探究1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对
第3页（共2页）
2
φ)＝12π
e-xμ，σ(x32
，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4
例2
解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
解 由已知μ＝5，σ＝1. ∵P(4
2
0.135 9.
探究2 解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1
(2)∵P(3
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．
∴P(3
＝1
2[P(1－4
2[P(μ－2σ
2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝1
2[1－P(－3
＝1
2[1－P(1－4
2[1－P(μ－2σ
2
(1－0.954 4)＝0.022 8. 例3 解题导引 正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解 ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，
所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.
一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
探究3 解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85. 于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的
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正态分布
【学习目标】
利用实际问题的直方图，了解正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【预习案】
1．正态分布密度曲线及性质 (1)正态曲线的定义
函数φμ，σ(x)＝___________________(其中实数μ和σ (σ>0)为参数)的图象为正态分布密度曲线．
(2)正态分布密度曲线的特点
①曲线位于x轴________，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，它关于直线________对称； ③曲线在________处达到峰值____________； ④曲线与x轴之间的面积为____；
⑤当σ一定时，曲线随着____的变化而沿x轴移动；
⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ________，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ________，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
2．正态分布
(1)正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b (a
(2)正态分布的三个常用数据
①P(μ－σ
1．下列说法不．
正确的是( ) A．若X～N(0,9)，则其正态曲线的对称轴为y轴 B．正态分布N(μ，σ2)的图象位于x轴上方 C．所有的随机现象都服从或近似服从正态分布 2
D．函数φ(x)＝1-x
2π
e2 (x∈R)的图象是一条两头
低、中间高、关于y轴对称的曲线
2．已知随机变量ξ服从正态分布N(3，σ2
)，则P(ξ
A.15 B.14 C.13 D.1
23．已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ
A．0.6
B．0.4
C．0.3
D．0.2
4．某随机变量ξ服从正态分布，其正态分布
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2
密度函数为φ(x)＝1-x
8π
e8，
则ξ的期望和标准差分别是( )
A．0和8 B．0和4 C．0和2
D．0和2
5.设两个正态分布N(μ1，σ21) (σ1>0)和N(μ2，σ22) (σ2>0)的密度函数图象如图所示，则有( )
A．μ1σ2 C．μ1>μ2，σ1μ2，σ1>σ2 【合作探究】
题型一 正态曲线的性质
例1 如图所示，是一个正态曲线，试根据图象写出其正态分布密度曲线的解析式，并求出正态总体随机变量的均值和方差．
探究1 若一个正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为1
2π
(1)求该正态分布的概率密度函数的解析式； (2)求正态总体在(－4,4]的概率．
题型二 服从正态分布的概率计算 例2 设X～N(5,1)，求P(6
探究2 设X～N(1,22)，试求：
(1)P(－1
题型三 正态分布的应用
例3 在某次数学考试中，考生的成绩ξ服从一个正态分布，即ξ～N(90,100)．
(1)试求考试成绩ξ位于区间(70,110)上的概率是多少？
(2)若这次考试共有2 000名考生，试估计考试
成绩在(80,100)间的考生大约有多少人？
探究3 在某次大型考试中，某班同学的成绩服从正态分布N(80,52)，现已知该同学中成绩在80分～85分的有17人．试计算该班成绩在90分以上的同学有多少人？
【名师点睛】
1．正态分布密度曲线，简称正态曲线，其解析式为：φ＝
1
-x-u2
μ，σ(x)2πσe
2s
，x∈(－∞，＋∞)．2．正态曲线的特点：
第2页（共2页）
(1)曲线在x轴的上方，与x轴不相交． (2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称． (3)曲线在x＝μ时达到峰值1
2πσ.
(4)曲线与x轴之间的面积为1.
(5)当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中．3．3σ原则：从理论上讲，服从正态分布的随机变量ξ的取值范围是R，但实际上ξ取区间(μ－3σ，μ＋3σ)外的数值的可能性微乎其微(只有0.26%)，在实际问题中常常认为它是不会发生的．因此，往往认为它的取值是个有限区间，即区间(μ－3σ，μ＋3σ)，这就是实用中的三倍标准差规则，也叫
3σ原则．在企业管理中，经常应用这个原则进行产品质量检查和工艺生产过程控制．
正态分布
预习案 1
1．(1)e
2πσ
x-m-2s
22
1
∴P(0
2
1-x2-sm1-x8
4．D [由φ(x)＝e对照得σe
σ8π
2
2
11
称，即μ＝0.由＝，
2π σ2π·4
得σ＝4，
故该正态分布的正态分布密度函数的解析式是
2
，x∈(－∞，＋∞) (2)①上
1
方 ②x＝μ ③x＝μ ④1 ⑤μ ⑥越小
＝2，μ＝0，∴E(ξ)＝μ＝0，σ＝Dξ＝2.]
2越大
2
2．(1)b
φ(x)dx X2-x-80μ，
σ
～N(μ，σ)e128
a
(2)①0.682 6 ②0.954 4 ③0.997 4 预习自测 1．C
2．D [由正态分布图象知，μ＝3为该图象的对称轴，
P(ξ3)＝1
2
.]
3．C [
∵P(ξ4)＝0.2，
由题意知图象的对称轴为直线x＝2， P(ξ4)＝0.2，
∴P(04)＝0.6.
5．A [由正态分布N(μ，σ)性质知，x＝μ为正态分布密度函数图象的对称轴，故μ1
越小，图象越高瘦，故σ1
合作探究
例1 解题导引 要确定一个正态分布的正态分布密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 从给出的正态曲线可知，该正态曲线关于直线x＝20对称，最大值为
1
π，所以μ＝20.
由1σ＝1π
，解得σ＝2.
于是正态分布密度曲线的解析式是 2
φ-x-20μ，σ(x)＝
1π
e
4
，x∈(－∞，＋∞)．
均值和方差分别是20和2.
探究1 解 (1)由于该正态分布的正态分布密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对
第3页（共2页）
2
φ)＝12π
e-xμ，σ(x32
，x∈(－∞，＋∞)．
(2)P(－4
例2
解题导引 求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助于正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
解 由已知μ＝5，σ＝1. ∵P(4
2
0.135 9.
探究2 解 ∵X～N(1,22)，∴μ＝1，σ＝2.
(1)P(－1
(2)∵P(3
(1)由于正态变量在区间(μ－2σ，μ＋2σ)内取值的概率是0.954 4，而该正态分布中，μ－2σ＝90－2×10＝70，μ＋2σ＝90＋2×10＝110，于是考试成绩ξ位于区间(70,110)内的概率就是0.954 4.
(2)由μ＝90，σ＝10，得μ－σ＝80，μ＋σ＝100. 2.28%.
即有50×2.28%≈1(人)．即成绩在90分以上的仅有1人．
∴P(3
＝1
2[P(1－4
2[P(μ－2σ
2×(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. (3)∵P(X≥5)＝P(X≤－3)， ∴P(X≥5)＝1
2[1－P(－3
＝1
2[1－P(1－4
2[1－P(μ－2σ
2
(1－0.954 4)＝0.022 8. 例3 解题导引 正态分布已经确定，则总体的期望μ和标准差σ就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解．
解 ∵ξ～N(90,100)，∴μ＝90，σ＝100＝10.
由于正态变量在区间(μ－σ，μ＋σ)内取值的概率是0.682 6，
所以考试成绩ξ位于区间(80,100)内的概率是0.682 6.
一共有2 000名考生，所以考试成绩在(80,100)间的考生大约有2 000×0.682 6≈1 365(人)．
探究3 解 ∵成绩服从正态分布N(80,52)， ∴μ＝80，σ＝5，μ－σ＝75，μ＋σ＝85. 于是成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%.
这样成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%.
设该班有x名同学，则x×34.13%＝17，解得x≈50.
又μ－2σ＝80－10＝70，μ＋2σ＝80＋10＝90， ∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%.
∴成绩在90分以上的同学占全班同学的
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