高考数学猜题大法
技巧一：去最大和最小，求最小就选最小，求最大就就选最大
【2016新课标Ⅰ（理）】已知函数f （x ）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤x=﹣
为f （x ）的零点，x=
为y=f（x ）图象的对称轴，且f （x ）在（
），，
）单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B．9 C．7 D．5 【答案】 B
【解析】解法一：∵x=﹣∴
，即
ππ
为f （x ）的零点，x=为y=f（x ）图象的对称轴， 44
，（n ∈N ）
即ω=2n+1，（n ∈N ）
即ω为正奇数， ∵f （x ）在（即T=
≥
，
）则
﹣
=
≤
，
，解得：ω≤12，
+φ=kπ，k ∈Z ，
当ω=11时，﹣
π， 4π
∴φ=﹣，
4
∵|φ|≤此时f （x ）在（当ω=9时，﹣∵|φ|≤∴φ=
，
，
）单调，满足题意；
，
，
）不单调，不满足题意；
+φ=kπ，k ∈Z ，
此时f （x ）在（
故ω的最大值为9， 解法二：∵x=﹣
为f （x ）的零点，x=
为y=f（x ）图象的对称轴，
∴，
∴
又∵|φ|≤∴φ=
，
， 2
，
由解法一可得：ω=2n+1，（n ∈N ） ∵f （x ）在（
，
）单调，
∴，即（k ，n ∈Z ），
解得：，故n 的最大值为4，
故ω=2n+1≤9， 故选：B
2
【2016四川（理）】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y =2px（p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．1
【答案】 C
【解析】解：由题意可得F （，0），设P （显然当y 0＜0，k OM ＜0；当y 0＞0，k OM ＞0． 要求k OM 的最大值，设y 0＞0， 则
=
+
=
+
=
+（
﹣
）
，y 0），
=+=（+，），
可得k OM =
=≤=，
当且仅当y 0=2p，取得等号．
22
【2015新课标2理】已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，
【2012新课标理】设点P 在曲线y =
12
e x
上，点Q 在曲线y =ln(2x ) 上，则|PQ |的最小值为（ ） A ．1-ln 2
B -ln 2)
C ．1+ln 2
D +ln 2)
【解析】函数y =
12
e x
与函数y =ln(2x ) 互为反函数，图象关于直线y =x 对称。 问题转化为求曲线y =12
e x
上点P 到直线y =x 的距离的最小值d ，则|PQ |的最小值为
（用切线法）：
设直线y =x +b 与曲线y =12e x 相切于点P (t , 1
2
e t ) ， 因为y ' =12
e x
，所以根据导数的几何意义， 得
12
e t
=1，t =ln 2， 所以切点P (ln2,1) ，从而b =1-ln 2， 所以y =x +1-ln 2
2d
。
因此曲线y =
1x
e 上点P 到直线y =x 2
的距离的最小值d 为直线
y =x +1-ln 2与直线y =x 的距离，
从而d =
，所以|PQ |min =2d =-ln2) ，故选择B 。 【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。
技巧二：图像带0，带负数（有时-∞），带正数（有时+∞）
【2016新课标Ⅰ（理）】函数y=2x﹣e
2
|x |
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．B ．C ．
D ．
【答案】D
2
|x |
【解析】解：∵f （x ）=y=2x﹣e ，
2|﹣x |2|x |
∴f （﹣x ）=2（﹣x ）﹣e =2x﹣e ， 故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e ∈（0，1），故排除A ，B ；
2x
当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x﹣e ，
x
∴f ′（x ）=4x﹣e =0有解，
2|x |
故函数y=2x﹣e 在[0，2]不是单调的，故排除C ，
【2015新课标2理】如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数（f x ），则y=f（x ）的图象大致为（ ）
2
技巧三：带特殊值
【2016四川（文）】在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（
，
），当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
•①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ． ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
ƒ③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 ． 【答案】②③
【解析】解：①设A （0，1），则A 的“伴随点”为A ′（1，0）， 而A ′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A ，故①错误，
22
②若点在单位圆上，则x +y=1，
即P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P （y ，﹣x ），
22
满足y +（﹣x ）=1，即P ′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x 轴对称，设P （x ，y ），对称点为Q （x ，﹣y ）， 则Q （x ，﹣y ）的“伴随点”为Q ′（﹣
，
），
则Q ′（﹣，）与P ′（，）关于y 轴对称，故③正确，
④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上， ∴（﹣1，1）的“伴随点”为（
，
），即（，），
，﹣
），即（，﹣），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（
则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，
【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（
，
）；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所
有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）． 【答案】②③
【解析】解：①若点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（
，
），则点A ′（
，
）的“伴随点”是点（﹣x ，﹣y ），故不正确；
②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；
③若曲线C 关于x 轴对称，点A （x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，﹣y ），“伴随点”是点A ′（﹣
，
），则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b ≠0），点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（m ，n ），则 ∵点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（
，
），∴
，∴x=﹣
，y=
∵m=，∴代入整理可得
3
n ﹣1=0表示圆，故不正确．
2
（2014•新课标1文）已知函数f （x ）=ax﹣3x +1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
【2016四川（理）】设直线l 1，l 2分别是函数f （x ）=
图象上点P 1，P 2
处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）
A ．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D ．（1，+∞） 【答案】 A
【解析】解：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（0＜x 1＜1＜x 2）， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）=
，当x ＞1时，f ′（x ）=，
∴l 1的斜率，l 2的斜率
，
∵l 1与l 2垂直，且x 2＞x 1＞0，
∴
，即x 1x 2=1．
直线l 1：，l 2：
．
取x=0分别得到A （0，1﹣lnx 1），B （0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx 1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx 1+lnx2）|=|2﹣lnx 1x 2|=2． 联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=
，
∴
|AB|•|xP |=
=．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x 1＜1， ∴
，则
，
∴．
∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． （2014•新课标1文）已知双曲线
﹣
=1（a ＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A ．a ＜b B ．ab ＜ba C ．alog b c ＜blog a c D．log a c ＜log b c 【答案】C
【解析】解：∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1，
∴函数f （x ）=x在（0，+∞）上为增函数，故a ＞b ，故A 错误；
c ﹣1c ﹣1c ﹣1c c
函数f （x ）=x在（0，+∞）上为减函数，故a ＜b ，故ba ＜ab ，即c c
ab ＞ba ；故B 错误；
c
c
c
c
c
c
c
log a c ＜0，且log b c ＜0，log a b ＜1，即D 错误；
=＜1，即log a c ＞log b c ．故
0＜﹣log a c ＜﹣log b c ，故﹣blog a c ＜﹣alog b c ，即blog a c ＞alog b c ，即alog b c ＜blog a c ，故C 正确；
技巧四：向量类用坐标，圆锥曲线精准作图（方程，定义，图像）
（2014•新课标1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则
+
=（ ）
从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= 150 m ．
【答案】9
【解析】解：抛物线的准线为x=﹣1， ∵点M 到焦点的距离为10，
∴点M 到准线x=﹣1的距离为10， ∴点M 到y 轴的距离为9．
技巧五：数列类化为a 1和d/a1和q; 或者带特列1,2,3.... 得到a 1,a 2,a 3.... 从而判断数列的情况
【2016新课标Ⅰ（理）】已知等差数列{an }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=（ ）
A ．100 B．99 C．98 D．97 【答案】C
【解析】解：∵等差数列{an }前9项的和为27， ∴9a 5=27，a 5=3， 又∵a 10=8， ∴d=1，
∴a 100=a5+95d=98，
【2012新课标理】已知{a n }为等比数列，a 4+a 7=2，a 5a 6=-8，则a 1+a 10=（ ）
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
【解析】因为{a n }为等比数列，
所以由已知得⎨
⎧a 4+a 7=2
，
⎩a 4a 7=a 5a 6=-8
解得⎨
⎧a 4=-2⎧a 4=4
或⎨，
a =4a =-2⎩7⎩7
⎧a 1=-8
⎧a 1=1⎪所以⎨3或⎨31，
q =-⎩q =-2⎪⎩2
因此a 1+a 10=a 1(1+q 9) =-7，，故选择D 。
技巧七：三视图类体积找到边界点的公共值确定底面积和高。
【2016四川（文）】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==
，棱锥的高为h=1，
=
．
∴棱锥的体积V=Sh=
【2012新课标理】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为
底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
V =⨯(⨯6⨯3) ⨯3=9，故选择B 。
32
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。
【2016天津（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为 m
3
【答案】 2
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
2
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m， 棱锥的高h=3m， 故体积V=
=2m，
3
【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形， 结合给定的三棱锥的正视图， 可得：三棱锥的底面是底为2棱锥的高为1，
故棱锥的体积V=×（×2
，高为1，
×1）×1=，
技巧八：线性规划类答案常在交点处取得。
【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II ）若x ，y 满足约束条件
，则z=x+y的最
大值为 ． 【答案】
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大， 由
得D （1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
【2016天津（理）】设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最
小值为（ ） A ．﹣4 B ．6 C ．10 【答案】B
D ．17
【解析】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l 0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l 0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 故选：B ．
2014—2015高考数学试题汇编——三角函数
考点一：求最小周期、最值、单调区间； 技巧：化为f(x)=Asin(ϖx+ϕ) 的形式
【2016天津（理）】已知函数f （x ）=4tanxsin（
﹣x ）cos （x ﹣
）﹣，．
．
]上的单调性．
（1）求f （x ）的定义域与最小正周期；（2）讨论f （x ）在区间[﹣【解析】解：（1）∵f （x ）=4tanxsin（∴x ≠k π+
，即函数的定义域为{x|x≠k π+
sinx ）﹣
﹣x ）cos （x ﹣，k ∈Z}，
）﹣
则f （x ）=4tanxcosx•（cosx+=4sinx（cosx+
sinx ）﹣
2
=2sinxcosx+2sin x ﹣ =sin2x+（1﹣cos2x ）﹣=sin2x﹣cos2x =sin（2x ﹣
）
；
≤2x ﹣
则函数的周期T=（2）由2k π﹣得k π﹣
≤2k π+，k ∈Z ，
，k π+
]，k ∈Z ，
≤x ≤k π+，k ∈Z ，即函数的增区间为[kπ﹣
，
]，k ∈Z ， ，
]，
当k=0时，增区间为[﹣∵x ∈[﹣由2k π+得k π+
，
]，∴此时x ∈[﹣≤2k π+
≤2x ﹣≤x ≤k π+
，k ∈Z ，
，k π+
]，k ∈Z ，
，k ∈Z ，即函数的减区间为[kπ+
，﹣
]，k ∈Z ， ，﹣
]，
，﹣
当k=﹣1时，减区间为[﹣∵x ∈[﹣
，
]，∴此时x ∈[﹣，
即在区间[﹣]上，函数的减区间为∈[﹣]，增区间为[﹣，]．
【2015•北京】已知函数f （x ）=
sin cos ﹣
sin
．
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【解析】（Ⅰ）f （x ）==
sinx ﹣
（1﹣cosx ） +cosxsin）﹣
﹣，
sin cos ﹣
sin
=sinxcos=sin（x+
则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 ﹣
≤x+
≤
，
，
时，sin （x+
）取得最小值﹣1，
．
即有﹣1则当x=﹣
则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣
考点二：求边、角、面积
【2016新课标Ⅰ（理）】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=
，求△ABC 的周长．
【解析】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin （A+B）=sinC， ∵sinC ≠0，sin （A+B）=sinC ∴cosC=
，
，△ABC 的面积为
又0＜C ＜π，
∴C=；
2
2
（Ⅱ）由余弦定理得7=a+b﹣2ab •∴（a+b）﹣3ab=7， ∵S=
absinC=
ab=
，
2
，
∴ab=6，
∴（a+b）﹣18=7， ∴a+b=5，
∴△ABC 的周长为5+．
【2015新课标2】△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． （1）求
；（2）若AD=1，DC=
，求BD 和AC 的长．
2
【解析】（1）如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵==2∴BD=2DC，
∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD 中，在△ADC 中，
==
，∴sin ∠B=，∴sin ∠C==
．
；∴
=
=．
（2）由（1）知，BD=2DC=2×
过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，
∵AD 平分∠BAC ，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC ，∴cos ∠BAD=cos∠DAC ，
∴由余弦定理可得：
∴x=1，∴AC=1，∴BD 的长为
=
，AC 的长为1．
，
高考数学猜题大法
技巧一：去最大和最小，求最小就选最小，求最大就就选最大
【2016新课标Ⅰ（理）】已知函数f （x ）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤x=﹣
为f （x ）的零点，x=
为y=f（x ）图象的对称轴，且f （x ）在（
），，
）单调，则ω的最大值为（ ） A ．11 B．9 C．7 D．5 【答案】 B
【解析】解法一：∵x=﹣∴
，即
ππ
为f （x ）的零点，x=为y=f（x ）图象的对称轴， 44
，（n ∈N ）
即ω=2n+1，（n ∈N ）
即ω为正奇数， ∵f （x ）在（即T=
≥
，
）则
﹣
=
≤
，
，解得：ω≤12，
+φ=kπ，k ∈Z ，
当ω=11时，﹣
π， 4π
∴φ=﹣，
4
∵|φ|≤此时f （x ）在（当ω=9时，﹣∵|φ|≤∴φ=
，
，
）单调，满足题意；
，
，
）不单调，不满足题意；
+φ=kπ，k ∈Z ，
此时f （x ）在（
故ω的最大值为9， 解法二：∵x=﹣
为f （x ）的零点，x=
为y=f（x ）图象的对称轴，
∴，
∴
又∵|φ|≤∴φ=
，
， 2
，
由解法一可得：ω=2n+1，（n ∈N ） ∵f （x ）在（
，
）单调，
∴，即（k ，n ∈Z ），
解得：，故n 的最大值为4，
故ω=2n+1≤9， 故选：B
2
【2016四川（理）】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y =2px（p ＞0）上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．1
【答案】 C
【解析】解：由题意可得F （，0），设P （显然当y 0＜0，k OM ＜0；当y 0＞0，k OM ＞0． 要求k OM 的最大值，设y 0＞0， 则
=
+
=
+
=
+（
﹣
）
，y 0），
=+=（+，），
可得k OM =
=≤=，
当且仅当y 0=2p，取得等号．
22
【2015新课标2理】已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB=90°，C 为该球面上的动点，
【2012新课标理】设点P 在曲线y =
12
e x
上，点Q 在曲线y =ln(2x ) 上，则|PQ |的最小值为（ ） A ．1-ln 2
B -ln 2)
C ．1+ln 2
D +ln 2)
【解析】函数y =
12
e x
与函数y =ln(2x ) 互为反函数，图象关于直线y =x 对称。 问题转化为求曲线y =12
e x
上点P 到直线y =x 的距离的最小值d ，则|PQ |的最小值为
（用切线法）：
设直线y =x +b 与曲线y =12e x 相切于点P (t , 1
2
e t ) ， 因为y ' =12
e x
，所以根据导数的几何意义， 得
12
e t
=1，t =ln 2， 所以切点P (ln2,1) ，从而b =1-ln 2， 所以y =x +1-ln 2
2d
。
因此曲线y =
1x
e 上点P 到直线y =x 2
的距离的最小值d 为直线
y =x +1-ln 2与直线y =x 的距离，
从而d =
，所以|PQ |min =2d =-ln2) ，故选择B 。 【点评】本题主要考察导数的几何意义，函数的对称性，求函数最小值的方法。
技巧二：图像带0，带负数（有时-∞），带正数（有时+∞）
【2016新课标Ⅰ（理）】函数y=2x﹣e
2
|x |
在[﹣2，2]的图象大致为（ ）
A ．B ．C ．
D ．
【答案】D
2
|x |
【解析】解：∵f （x ）=y=2x﹣e ，
2|﹣x |2|x |
∴f （﹣x ）=2（﹣x ）﹣e =2x﹣e ， 故函数为偶函数，
当x=±2时，y=8﹣e ∈（0，1），故排除A ，B ；
2x
当x ∈[0，2]时，f （x ）=y=2x﹣e ，
x
∴f ′（x ）=4x﹣e =0有解，
2|x |
故函数y=2x﹣e 在[0，2]不是单调的，故排除C ，
【2015新课标2理】如图，长方形ABCD 的边AB=2，BC=1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP=x．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数（f x ），则y=f（x ）的图象大致为（ ）
2
技巧三：带特殊值
【2016四川（文）】在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（
，
），当P 是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：
•①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ． ‚②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．
ƒ③若两点关于x 轴对称，则他们的“伴随点”关于y 轴对称 ④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线． 其中的真命题是 ． 【答案】②③
【解析】解：①设A （0，1），则A 的“伴随点”为A ′（1，0）， 而A ′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A ，故①错误，
22
②若点在单位圆上，则x +y=1，
即P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P （y ，﹣x ），
22
满足y +（﹣x ）=1，即P ′也在单位圆上，故②正确，
③若两点关于x 轴对称，设P （x ，y ），对称点为Q （x ，﹣y ）， 则Q （x ，﹣y ）的“伴随点”为Q ′（﹣
，
），
则Q ′（﹣，）与P ′（，）关于y 轴对称，故③正确，
④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上， ∴（﹣1，1）的“伴随点”为（
，
），即（，），
，﹣
），即（，﹣），
（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（
则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，
【2016四川（理）】在平面直角坐标系中，当P （x ，y ）不是原点时，定义P 的“伴随点”为P ′（
，
）；当P 是原点时，定义P 的“伴随点“为它自身，平面曲线C 上所
有点的“伴随点”所构成的曲线C ′定义为曲线C 的“伴随曲线”．现有下列命题：
①若点A 的“伴随点”是点A ′，则点A ′的“伴随点”是点A ； ②单位圆的“伴随曲线”是它自身；
③若曲线C 关于x 轴对称，则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称； ④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．
其中的真命题是 （写出所有真命题的序列）． 【答案】②③
【解析】解：①若点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（
，
），则点A ′（
，
）的“伴随点”是点（﹣x ，﹣y ），故不正确；
②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；
③若曲线C 关于x 轴对称，点A （x ，y ）关于x 轴的对称点为（x ，﹣y ），“伴随点”是点A ′（﹣
，
），则其“伴随曲线”C ′关于y 轴对称，故正确；
④设直线方程为y=kx+b（b ≠0），点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（m ，n ），则 ∵点A （x ，y ）的“伴随点”是点A ′（
，
），∴
，∴x=﹣
，y=
∵m=，∴代入整理可得
3
n ﹣1=0表示圆，故不正确．
2
（2014•新课标1文）已知函数f （x ）=ax﹣3x +1，若f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，
【2016四川（理）】设直线l 1，l 2分别是函数f （x ）=
图象上点P 1，P 2
处的切线，l 1与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△PAB 的面积的取值范围是（ ）
A ．（0，1） B．（0，2） C．（0，+∞） D ．（1，+∞） 【答案】 A
【解析】解：设P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（0＜x 1＜1＜x 2）， 当0＜x ＜1时，f ′（x ）=
，当x ＞1时，f ′（x ）=，
∴l 1的斜率，l 2的斜率
，
∵l 1与l 2垂直，且x 2＞x 1＞0，
∴
，即x 1x 2=1．
直线l 1：，l 2：
．
取x=0分别得到A （0，1﹣lnx 1），B （0，﹣1+lnx2），
|AB|=|1﹣lnx 1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx 1+lnx2）|=|2﹣lnx 1x 2|=2． 联立两直线方程可得交点P 的横坐标为x=
，
∴
|AB|•|xP |=
=．
∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x 1＜1， ∴
，则
，
∴．
∴△PAB 的面积的取值范围是（0，1）． （2014•新课标1文）已知双曲线
﹣
=1（a ＞0）的离心率为2，则a=（ ）
A ．a ＜b B ．ab ＜ba C ．alog b c ＜blog a c D．log a c ＜log b c 【答案】C
【解析】解：∵a ＞b ＞1，0＜c ＜1，
∴函数f （x ）=x在（0，+∞）上为增函数，故a ＞b ，故A 错误；
c ﹣1c ﹣1c ﹣1c c
函数f （x ）=x在（0，+∞）上为减函数，故a ＜b ，故ba ＜ab ，即c c
ab ＞ba ；故B 错误；
c
c
c
c
c
c
c
log a c ＜0，且log b c ＜0，log a b ＜1，即D 错误；
=＜1，即log a c ＞log b c ．故
0＜﹣log a c ＜﹣log b c ，故﹣blog a c ＜﹣alog b c ，即blog a c ＞alog b c ，即alog b c ＜blog a c ，故C 正确；
技巧四：向量类用坐标，圆锥曲线精准作图（方程，定义，图像）
（2014•新课标1）设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则
+
=（ ）
从A 点测得M 点的仰角∠MAN=60°，C 点的仰角∠CAB=45°，以及∠MAC=75°；从C 点测得∠MCA=60°．已知山高BC=100m，则山高MN= 150 m ．
【答案】9
【解析】解：抛物线的准线为x=﹣1， ∵点M 到焦点的距离为10，
∴点M 到准线x=﹣1的距离为10， ∴点M 到y 轴的距离为9．
技巧五：数列类化为a 1和d/a1和q; 或者带特列1,2,3.... 得到a 1,a 2,a 3.... 从而判断数列的情况
【2016新课标Ⅰ（理）】已知等差数列{an }前9项的和为27，a 10=8，则a 100=（ ）
A ．100 B．99 C．98 D．97 【答案】C
【解析】解：∵等差数列{an }前9项的和为27， ∴9a 5=27，a 5=3， 又∵a 10=8， ∴d=1，
∴a 100=a5+95d=98，
【2012新课标理】已知{a n }为等比数列，a 4+a 7=2，a 5a 6=-8，则a 1+a 10=（ ）
A ．7
B ．5
C ．－5
D ．－7
【解析】因为{a n }为等比数列，
所以由已知得⎨
⎧a 4+a 7=2
，
⎩a 4a 7=a 5a 6=-8
解得⎨
⎧a 4=-2⎧a 4=4
或⎨，
a =4a =-2⎩7⎩7
⎧a 1=-8
⎧a 1=1⎪所以⎨3或⎨31，
q =-⎩q =-2⎪⎩2
因此a 1+a 10=a 1(1+q 9) =-7，，故选择D 。
技巧七：三视图类体积找到边界点的公共值确定底面积和高。
【2016四川（文）】已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==
，棱锥的高为h=1，
=
．
∴棱锥的体积V=Sh=
【2012新课标理】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（ ）
A ．6 B ．9 C ．12 D ．15 【解析】由三视图可知，该几何体为
三棱锥A-BCD ， 底面△BCD 为
底边为6，高为3的等腰三角形， 侧面ABD ⊥底面BCD ，
AO ⊥底面BCD ，
因此此几何体的体积为
11
V =⨯(⨯6⨯3) ⨯3=9，故选择B 。
32
【点评】本题主要考察空间几何体的三视图。
【2016天津（理）】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m ），则该四棱锥的体积为 m
3
【答案】 2
【解析】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，
2
棱锥的底面是底为2，高为1的平行四边形，故底面面积S=2×1=2m， 棱锥的高h=3m， 故体积V=
=2m，
3
【2016四川（理）】已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ．
【答案】
【解析】解：∵三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形， 结合给定的三棱锥的正视图， 可得：三棱锥的底面是底为2棱锥的高为1，
故棱锥的体积V=×（×2
，高为1，
×1）×1=，
技巧八：线性规划类答案常在交点处取得。
【2016新课标Ⅲ】（2015•新课标II ）若x ，y 满足约束条件
，则z=x+y的最
大值为 ． 【答案】
【解析】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D 点时，z 最大， 由
得D （1，），
所以z=x+y的最大值为1+；
【2016天津（理）】设变量x ，y 满足约束条件，则目标函数z=2x+5y的最
小值为（ ） A ．﹣4 B ．6 C ．10 【答案】B
D ．17
【解析】解：作出不等式组表示的可行域，
如右图中三角形的区域，
作出直线l 0：2x+5y=0，图中的虚线，
平移直线l 0，可得经过点（3，0）时，z=2x+5y取得最小值6． 故选：B ．
2014—2015高考数学试题汇编——三角函数
考点一：求最小周期、最值、单调区间； 技巧：化为f(x)=Asin(ϖx+ϕ) 的形式
【2016天津（理）】已知函数f （x ）=4tanxsin（
﹣x ）cos （x ﹣
）﹣，．
．
]上的单调性．
（1）求f （x ）的定义域与最小正周期；（2）讨论f （x ）在区间[﹣【解析】解：（1）∵f （x ）=4tanxsin（∴x ≠k π+
，即函数的定义域为{x|x≠k π+
sinx ）﹣
﹣x ）cos （x ﹣，k ∈Z}，
）﹣
则f （x ）=4tanxcosx•（cosx+=4sinx（cosx+
sinx ）﹣
2
=2sinxcosx+2sin x ﹣ =sin2x+（1﹣cos2x ）﹣=sin2x﹣cos2x =sin（2x ﹣
）
；
≤2x ﹣
则函数的周期T=（2）由2k π﹣得k π﹣
≤2k π+，k ∈Z ，
，k π+
]，k ∈Z ，
≤x ≤k π+，k ∈Z ，即函数的增区间为[kπ﹣
，
]，k ∈Z ， ，
]，
当k=0时，增区间为[﹣∵x ∈[﹣由2k π+得k π+
，
]，∴此时x ∈[﹣≤2k π+
≤2x ﹣≤x ≤k π+
，k ∈Z ，
，k π+
]，k ∈Z ，
，k ∈Z ，即函数的减区间为[kπ+
，﹣
]，k ∈Z ， ，﹣
]，
，﹣
当k=﹣1时，减区间为[﹣∵x ∈[﹣
，
]，∴此时x ∈[﹣，
即在区间[﹣]上，函数的减区间为∈[﹣]，增区间为[﹣，]．
【2015•北京】已知函数f （x ）=
sin cos ﹣
sin
．
（Ⅰ）求f （x ）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值． 【解析】（Ⅰ）f （x ）==
sinx ﹣
（1﹣cosx ） +cosxsin）﹣
﹣，
sin cos ﹣
sin
=sinxcos=sin（x+
则f （x ）的最小正周期为2π； （Ⅱ）由﹣π≤x ≤0，可得 ﹣
≤x+
≤
，
，
时，sin （x+
）取得最小值﹣1，
．
即有﹣1则当x=﹣
则有f （x ）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣
考点二：求边、角、面积
【2016新课标Ⅰ（理）】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若c=
，求△ABC 的周长．
【解析】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC （sinAcosB+sinBcosA）=sinC，
整理得：2cosCsin （A+B）=sinC， ∵sinC ≠0，sin （A+B）=sinC ∴cosC=
，
，△ABC 的面积为
又0＜C ＜π，
∴C=；
2
2
（Ⅱ）由余弦定理得7=a+b﹣2ab •∴（a+b）﹣3ab=7， ∵S=
absinC=
ab=
，
2
，
∴ab=6，
∴（a+b）﹣18=7， ∴a+b=5，
∴△ABC 的周长为5+．
【2015新课标2】△ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，△ABD 面积是△ADC 面积的2倍． （1）求
；（2）若AD=1，DC=
，求BD 和AC 的长．
2
【解析】（1）如图，过A 作AE ⊥BC 于E ，
∵==2∴BD=2DC，
∵AD 平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 在△ABD 中，在△ADC 中，
==
，∴sin ∠B=，∴sin ∠C==
．
；∴
=
=．
（2）由（1）知，BD=2DC=2×
过D 作DM ⊥AB 于M ，作DN ⊥AC 于N ，
∵AD 平分∠BAC ，∴DM=DN，∴==2，∴AB=2AC，
令AC=x，则AB=2x，
∵∠BAD=∠DAC ，∴cos ∠BAD=cos∠DAC ，
∴由余弦定理可得：
∴x=1，∴AC=1，∴BD 的长为
=
，AC 的长为1．
，