在尝试计算中发现规律，在抽象模型中验证规律
------确定起跑线教学设计
大王庄小学 孙宝锋
一、教学内容：人教版小学六年级数学上册
二、教学目标：
1. 结合实际生活，通过“确定起跑线”这一活动，让学生了解400米跑道的基本结构，理解相邻跑道的长度差与圆的周长以及起跑线位置之间的关系；掌握确定起跑线的方法。
2. 通过操作、观察与讨论，培养学生分析、推理、归纳的能力，在综合运用知识解决实际问题的过程中，进一步加深学生对所学知识和方法的理解。
3. 通过创设情境，体验数学与生活的密切联系，以及数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习热情，培养学生主动参与、解决的问题的意识。
三、教学重点：能运用周长的知识确定起跑线。
四、教学难点：为什么求周长差就是求相邻起跑线的距离？
如何利用分析、比较，推导出跑道长度差从而确定起跑线的位置。
五、教学准备：电脑课件、计算器、
六、教学过程：
一. 谈话引入，揭示课题。
初步了解起跑线中的问题：
问：课前老师想做一个小调查，看过田径比赛么？喜欢看么？
师：老师这儿正好有一段雅典奥运会田径比赛的录像，
是关于100米和400米赛跑的，想看看么？先听老师提个小要求。
问：认真观察、对比两项比赛，想想规则上有什么不同？
问：100米与400米赛跑的规则有什么不同么？
生：起跑线不同，100米是在同一起跑线上
400米的起跑线是不同的。
师：为什么100米站在同一起跑线，而400米比赛站在不同起跑线呢？
生：100米：在直道上跑，长度是一样的，所以起跑线相同。
400米：站在不同的跑道上，如果起跑线还一样，跑的长度就多了，外侧的人就吃亏了。 问：如果跑400米站在同一起跑线起跑，回到同一终点成么？
师：直道上大家跑的都是一样的，但弯道上的长度不一样，所以站在同一起跑线上就吃亏了！
问：是不是只有最外侧的人吃亏呢？
生：每条跑道的长都变了，所以外侧所有人都吃亏了，只不过最外侧的最吃亏。
师：对。任何体育比赛都要公平竞争！也就是说每条跑道上的人跑的长度应该是一样的。 板书课题：这就是我们今天要研究的内容：“确定起跑线” ——板书
问：这是标准的400米跑道，最内侧跑道长400米，如果逆时针跑，
怎么确定他们的位置呢？谁能到前边图上大概指一指？
问：外圈的人为什么要往前站？不往后站呢？
生：里圈跑的是400米，外圈跑道比里圈的长。
往前站点儿，跑的少，距离终点近了，2人跑的距离也就一样了，比赛更公平。
问：你们都认可么？我们看到的400米赛跑跑道才会是这样的。
（设计意图：通过观看视频，让学生明确不同的比赛起跑线是不同的，要经过弯道的比赛起跑线不同，激发学生探究确定起跑线的欲望。）
二、提出问题，尝试算法。
师：可是到底往前站多少米，
也就是说：相邻2道的起跑线到底应该相差多少才能保证比赛的公平呢？
3．出示条件： 问：想要研究这个问题，你们觉得我们需要哪些相关条件？ 生：半径或直径、直道长、每条跑道的宽度，需要画几条跑道等等 出示图：标准400米跑道 最内侧跑道总长度400米，直径为73米，直道长度85.39米 每条跑道宽1.25米，共6条跑道 4．解决问题：如何确定400m 比赛的起跑线 [1]出示设计任务： 师：我们就以1号和2号跑道为例进行研究可以么？谁来给大家读一读合作要求 ①分工合作，根据相关数据，计算1号和2号跑道起跑线相差的距离。
[2]组1：第1道： 列式：直径： 73（米） 跑道总长：73 × 3.14+ 85.39 ×2 =229.22+170.78 = 400（米） 第2道：直径：73+ 1.25 ×2 = 75.5 （米） 跑道总长：75.5 × 3.14 + 85.39 ×2 = 237.07 + 170.78 = 407.85（米） 周长差： 407.85 — 400 = 7.85 （米） 相邻起跑线的差 = 外跑道全长 — 内跑道全长 （板书） 组2： 直道的长度是不变的，求2条跑道的长度差，就是求圆的周长差。 第1道直径： 73（米） 圆周长：73 × 3.14 = 229.22（米） 第2道直径：73 + 1.25 ×2 = 75.5 （米） 圆周长：75.5 × 3.14 = 237.07（米） 周长差：237.07 — 229.22 = 7.85（米） 相邻起跑线的差 = 外跑道圆周长 — 内跑道圆周长 （板书） [3]对比评价 问：你们更欣赏哪种方法？说说理由。 生：第2组的计算相对于前一种方法简单。 （设计理念：学生自主寻找算法，在计算中悟理，有利于提高学生解决问题的能力） 三、深入探究，寻找规律 师：刚才只有2个人，要是有6个人参加400米比赛，你能继续研究起跑线的位置么？ 探究要求： ①确定其他4条跑道相邻起跑线相差的距离，在练习本上独立完成 ②小组交流你们用了哪些方法，说说各自的理由。 组1：继续算周长差 第直径：73+1.25 ×4 = 78（米） 跑道长：78×3.14 +85.39×2 = 244.92 + 170.78 = 415.7（米） 周长差：415.7 — 407.85 = 7.85（米） 4号直径：73+1.25 ×6 = 80.5（米）
跑道长：80.5×3.14 +85.39×2 = 252.77 + 170.78 = 423.55（米）
周长差：423.55 —415.7 = 7.85（米）
往下，不用计算了，都是相差7.85米
组2：继续算圆的周长差
3号直径：73+ 1.25 ×4= 78（米）
圆周长：78×3.14 = 244.92 （米）
周长差：244.92 — 237.07 = 7.85（米）
4号直径：73+ 1.25 ×6= 80.5（米）
圆周长：80.5×3.14 = 252.77 （米）
周长差：252.77—244.92 = 7.85（米）
（设计理念：让学生自己在计算中发现规律）
四、建立模型，验证规律
问：为什么不需要再往下计算，你也知道周长的差是7.85米呢？
追问：周长都相差7.85米只是你们的猜想？怎么验证你们的结论？
生1：继续计算
生2：列式中找规律：
例如：第1圈周长： 73π（米）
第2圈周长：（73 + 1.25×2）π = 75.5π（米）
圆的周长差： 1.25×2π = 7.85（米）
第3圈周长：（73+ 1.25×24）π = 78π（米）
圆的周长差：1.25 ×2π = 7.85（米）
相邻跑道长度差 = 1.25×2π = 直径差×π （板书）
生：也就是说每个相邻跑道的直径差：1.25×2 = 2.5（米）
周长差：1.25×2×π = 2.5π
所以相邻跑道的周长差一定，总是：1.25×2×π = 2.5π
起跑线的距离差也是：1.25×2×π = 2.5π
生3：公式推导
[5]跑道线的位置
问：刚才有同学还在思考一个问题，跑步的时候，我们并不是压在边线上跑，而是在跑道的正中间跑，这样会不会影响我们确定相邻起跑线之间的距离呢？
生：环宽都是一样的，相邻跑道的周长差一定，总是：1.25×2×π = 2.5π，
只与环宽有关，与半径、直径、直道长度都无关，所以不影响。
所以相邻起跑线距离差就是2.5π。（课件演示直道部分）
师：跑道宽度可能发生变化？ 400米比赛相邻起跑线的距离相差多少和跑道宽度有什么关系？
结论：400米比赛相邻两道相差跑道宽度的2∏倍。
（有效的帮助学生建立模型是学生的发展之本，用数学推理的方法由数字到式的推导过程有利于发展学生的逻辑推理能力，让学生真正明“理”，同时也让不同的学生得到不同的发展）
五、拓展应用，巩固提高。
问：我们刚才只研究了400米跑步时起跑线之间的位置关系，那其他情况呢？
问：你们还想了解那些田径项目起跑线的确定方法呢？ （50米、100米、200米、800米、1600米„„） 问：谁能解决第一个问题：50米的短跑，如何确定起跑线？ 生：只要在直道上跑完50米，就可以站在同一起跑线上。 问：谁能解决第2个问题：100米的短跑，如何确定起跑线？∏ 生：100米就不用，延长出去就可以在直道上跑。 师：看来你是个善于观察身边事的孩子，我们跑道设计图上真的有这样一段延长线。（出
示图）
问：如何确定200米的起跑线呢？用刚才研究的方法，自己算一算。
小结：200米比赛要经过1个弯道相邻起跑线要提前跑道宽度的∏倍。
（联系生活，让学生进一步明确200m 起跑线的确定方法, 让学生举一能反三）
三、全课小结，内化升华。
板书设计
确定起跑线
1. 第n 个跑道的弯道半径=最内圈跑道的半径+（n －1） 个跑道的宽度
2.400米比赛要经过2个弯道，相邻起跑线要提前跑道宽度的2∏倍。
3.200米比赛要经过1个弯道，相邻起跑线要提前跑道宽度的∏倍。
在尝试计算中发现规律，在抽象模型中验证规律
------确定起跑线教学设计
大王庄小学 孙宝锋
一、教学内容：人教版小学六年级数学上册
二、教学目标：
1. 结合实际生活，通过“确定起跑线”这一活动，让学生了解400米跑道的基本结构，理解相邻跑道的长度差与圆的周长以及起跑线位置之间的关系；掌握确定起跑线的方法。
2. 通过操作、观察与讨论，培养学生分析、推理、归纳的能力，在综合运用知识解决实际问题的过程中，进一步加深学生对所学知识和方法的理解。
3. 通过创设情境，体验数学与生活的密切联系，以及数学知识在实际生活中的广泛应用，激发学生学习热情，培养学生主动参与、解决的问题的意识。
三、教学重点：能运用周长的知识确定起跑线。
四、教学难点：为什么求周长差就是求相邻起跑线的距离？
如何利用分析、比较，推导出跑道长度差从而确定起跑线的位置。
五、教学准备：电脑课件、计算器、
六、教学过程：
一. 谈话引入，揭示课题。
初步了解起跑线中的问题：
问：课前老师想做一个小调查，看过田径比赛么？喜欢看么？
师：老师这儿正好有一段雅典奥运会田径比赛的录像，
是关于100米和400米赛跑的，想看看么？先听老师提个小要求。
问：认真观察、对比两项比赛，想想规则上有什么不同？
问：100米与400米赛跑的规则有什么不同么？
生：起跑线不同，100米是在同一起跑线上
400米的起跑线是不同的。
师：为什么100米站在同一起跑线，而400米比赛站在不同起跑线呢？
生：100米：在直道上跑，长度是一样的，所以起跑线相同。
400米：站在不同的跑道上，如果起跑线还一样，跑的长度就多了，外侧的人就吃亏了。 问：如果跑400米站在同一起跑线起跑，回到同一终点成么？
师：直道上大家跑的都是一样的，但弯道上的长度不一样，所以站在同一起跑线上就吃亏了！
问：是不是只有最外侧的人吃亏呢？
生：每条跑道的长都变了，所以外侧所有人都吃亏了，只不过最外侧的最吃亏。
师：对。任何体育比赛都要公平竞争！也就是说每条跑道上的人跑的长度应该是一样的。 板书课题：这就是我们今天要研究的内容：“确定起跑线” ——板书
问：这是标准的400米跑道，最内侧跑道长400米，如果逆时针跑，
怎么确定他们的位置呢？谁能到前边图上大概指一指？
问：外圈的人为什么要往前站？不往后站呢？
生：里圈跑的是400米，外圈跑道比里圈的长。
往前站点儿，跑的少，距离终点近了，2人跑的距离也就一样了，比赛更公平。
问：你们都认可么？我们看到的400米赛跑跑道才会是这样的。
（设计意图：通过观看视频，让学生明确不同的比赛起跑线是不同的，要经过弯道的比赛起跑线不同，激发学生探究确定起跑线的欲望。）
二、提出问题，尝试算法。
师：可是到底往前站多少米，
也就是说：相邻2道的起跑线到底应该相差多少才能保证比赛的公平呢？
3．出示条件： 问：想要研究这个问题，你们觉得我们需要哪些相关条件？ 生：半径或直径、直道长、每条跑道的宽度，需要画几条跑道等等 出示图：标准400米跑道 最内侧跑道总长度400米，直径为73米，直道长度85.39米 每条跑道宽1.25米，共6条跑道 4．解决问题：如何确定400m 比赛的起跑线 [1]出示设计任务： 师：我们就以1号和2号跑道为例进行研究可以么？谁来给大家读一读合作要求 ①分工合作，根据相关数据，计算1号和2号跑道起跑线相差的距离。
[2]组1：第1道： 列式：直径： 73（米） 跑道总长：73 × 3.14+ 85.39 ×2 =229.22+170.78 = 400（米） 第2道：直径：73+ 1.25 ×2 = 75.5 （米） 跑道总长：75.5 × 3.14 + 85.39 ×2 = 237.07 + 170.78 = 407.85（米） 周长差： 407.85 — 400 = 7.85 （米） 相邻起跑线的差 = 外跑道全长 — 内跑道全长 （板书） 组2： 直道的长度是不变的，求2条跑道的长度差，就是求圆的周长差。 第1道直径： 73（米） 圆周长：73 × 3.14 = 229.22（米） 第2道直径：73 + 1.25 ×2 = 75.5 （米） 圆周长：75.5 × 3.14 = 237.07（米） 周长差：237.07 — 229.22 = 7.85（米） 相邻起跑线的差 = 外跑道圆周长 — 内跑道圆周长 （板书） [3]对比评价 问：你们更欣赏哪种方法？说说理由。 生：第2组的计算相对于前一种方法简单。 （设计理念：学生自主寻找算法，在计算中悟理，有利于提高学生解决问题的能力） 三、深入探究，寻找规律 师：刚才只有2个人，要是有6个人参加400米比赛，你能继续研究起跑线的位置么？ 探究要求： ①确定其他4条跑道相邻起跑线相差的距离，在练习本上独立完成 ②小组交流你们用了哪些方法，说说各自的理由。 组1：继续算周长差 第直径：73+1.25 ×4 = 78（米） 跑道长：78×3.14 +85.39×2 = 244.92 + 170.78 = 415.7（米） 周长差：415.7 — 407.85 = 7.85（米） 4号直径：73+1.25 ×6 = 80.5（米）
跑道长：80.5×3.14 +85.39×2 = 252.77 + 170.78 = 423.55（米）
周长差：423.55 —415.7 = 7.85（米）
往下，不用计算了，都是相差7.85米
组2：继续算圆的周长差
3号直径：73+ 1.25 ×4= 78（米）
圆周长：78×3.14 = 244.92 （米）
周长差：244.92 — 237.07 = 7.85（米）
4号直径：73+ 1.25 ×6= 80.5（米）
圆周长：80.5×3.14 = 252.77 （米）
周长差：252.77—244.92 = 7.85（米）
（设计理念：让学生自己在计算中发现规律）
四、建立模型，验证规律
问：为什么不需要再往下计算，你也知道周长的差是7.85米呢？
追问：周长都相差7.85米只是你们的猜想？怎么验证你们的结论？
生1：继续计算
生2：列式中找规律：
例如：第1圈周长： 73π（米）
第2圈周长：（73 + 1.25×2）π = 75.5π（米）
圆的周长差： 1.25×2π = 7.85（米）
第3圈周长：（73+ 1.25×24）π = 78π（米）
圆的周长差：1.25 ×2π = 7.85（米）
相邻跑道长度差 = 1.25×2π = 直径差×π （板书）
生：也就是说每个相邻跑道的直径差：1.25×2 = 2.5（米）
周长差：1.25×2×π = 2.5π
所以相邻跑道的周长差一定，总是：1.25×2×π = 2.5π
起跑线的距离差也是：1.25×2×π = 2.5π
生3：公式推导
[5]跑道线的位置
问：刚才有同学还在思考一个问题，跑步的时候，我们并不是压在边线上跑，而是在跑道的正中间跑，这样会不会影响我们确定相邻起跑线之间的距离呢？
生：环宽都是一样的，相邻跑道的周长差一定，总是：1.25×2×π = 2.5π，
只与环宽有关，与半径、直径、直道长度都无关，所以不影响。
所以相邻起跑线距离差就是2.5π。（课件演示直道部分）
师：跑道宽度可能发生变化？ 400米比赛相邻起跑线的距离相差多少和跑道宽度有什么关系？
结论：400米比赛相邻两道相差跑道宽度的2∏倍。
（有效的帮助学生建立模型是学生的发展之本，用数学推理的方法由数字到式的推导过程有利于发展学生的逻辑推理能力，让学生真正明“理”，同时也让不同的学生得到不同的发展）
五、拓展应用，巩固提高。
问：我们刚才只研究了400米跑步时起跑线之间的位置关系，那其他情况呢？
问：你们还想了解那些田径项目起跑线的确定方法呢？ （50米、100米、200米、800米、1600米„„） 问：谁能解决第一个问题：50米的短跑，如何确定起跑线？ 生：只要在直道上跑完50米，就可以站在同一起跑线上。 问：谁能解决第2个问题：100米的短跑，如何确定起跑线？∏ 生：100米就不用，延长出去就可以在直道上跑。 师：看来你是个善于观察身边事的孩子，我们跑道设计图上真的有这样一段延长线。（出
示图）
问：如何确定200米的起跑线呢？用刚才研究的方法，自己算一算。
小结：200米比赛要经过1个弯道相邻起跑线要提前跑道宽度的∏倍。
（联系生活，让学生进一步明确200m 起跑线的确定方法, 让学生举一能反三）
三、全课小结，内化升华。
板书设计
确定起跑线
1. 第n 个跑道的弯道半径=最内圈跑道的半径+（n －1） 个跑道的宽度
2.400米比赛要经过2个弯道，相邻起跑线要提前跑道宽度的2∏倍。
3.200米比赛要经过1个弯道，相邻起跑线要提前跑道宽度的∏倍。