数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义1（ε-N 语言）：设{a n }是个数列，a 是一个常数，若∀ε>0，∃正整数N ，使得当n >N 时，都有a n -a
n →+∞存在.
定义2（A -N 语言）：若A >0, ∃正整数N ，使得当n >N 时，都有a n >A , 则称
+∞是数列{a n }当n 无限增大时的非正常极限，或称{a n }发散于+∞，记作
lim a n =+∞
n →+∞
或a n →+∞(n →+∞)，这时，称{a n }有非正常极限，对于-∞, ∞的定
义类似，就不作介绍了. 为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.
1.2 数列极限求法的常用定理
定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{a n }和{b n }为收敛数列，则
{a n +b n }, {a n -b n }, {a n ⋅b n }也都是收敛数列，且有
lim (a n ±b n )=lim a n ±lim b n ,
lim a ⋅b =lim a ⋅lim b .
(n n )n n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞n →∞n →∞
⎧a n ⎫
若再假设b n ≠0及lim b n ≠0，则⎨⎬也是收敛数列，且有
n →∞
⎩b n ⎭
⎛a ⎫
lim n ⎪=lim a n /lim b n . n →∞n →∞n →∞
⎝b n ⎭
定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理1.2.3（
n →+∞
∞
Stoltz 公式） 设有数列{x n }，{y n }，其中{x n }严格增，且
n →+∞
lim x n =+∞（注意：不必lim y n =+∞
）. 如果
n →+∞x -x =a （实数，+∞, -∞），
n n -1则 lim
00
y n x n
=a =lim
y n -y n -1x n -x n -1
.
lim
y n -y n -1
n →+∞n →+∞
定理1.2.3' （Stoltz 公式） 设{x n }严格减，且lim x n =0，lim y n =0. 若
n →+∞
n →+∞
n →+∞x -x =a （实数，+∞, -∞）， n n -1则 lim
y n x n
n →+∞
lim
y n -y n -1
=a =lim
y n -y n -1x n -x n -1
.
n →+∞
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim a n =a ，则
n →∞
（1）lim
a 1+a 2+... +a n
n
n →∞
=a ，
（2）若a n >0(n =
1, 2,... )，则lim =a .
n →∞
定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{a n }, {b n }都以a 为极限，数列{c n }满足：存在正数N 0，当n >N 0时，有 a n ≤c n ≤b n ， 则数列{c n }收敛，且lim c n =a .
n →∞
定理1.2.6（归结原则）设f 在U (x 0; δ')内有定义. lim f (x )存在的充要条件是：
x →x
对任何含于U (x 0; δ')且以x 0为极限的数列{x n }，极限lim f (x n )都存在且相等.
n →∞
数列极限的求法
2.1 极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N . 我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1
求lim a >0.
n →∞
解
：lim =1.
n →∞
1
事实上，当a =1时，结论显然成立. 现设a >1. 记α=a n -1，则α>0. 由
a =(1+α
)
n
⎛1⎫
≥1+n α=1+n a n -1⎪,
⎝⎭
1
得 a n -1≤
a -1n
. （5）
a -1
1
1
任给ε>0，由（5）式可见，当n >以lim =1.
n →∞
ε
=N 时，就有a n -1
对于0
1a
>
1，由上述结论知lim
n →∞
=1，故
lim =lim
n →∞
1n →∞=
11
=1.
综合得a >
0时，lim =1.
n →∞
例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.
证明：由lim a n =a ，则∀ε>0，存在N 1>0，使当n >N 1时，有
n →∞
a n -a
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
1n
(a
1
-a +... +a N 1-a +a N 1+1-a +... +a n -a
).
令c =a 1-a +... +a N -a ，那么
1
由lim
n →∞
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
c n
+
n -N 1ε
⋅n 2
.
c n
c n
=0，知存在N 2>0，使当n >N 2时，有
ε
2
.
再令N =max {N 1, N 2}, 故当n >N 时，由上述不等式知
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
ε
2
+
n -N 1εεε⋅
.
所以 lim
a 1+a 2+... +a n
n
7
n
n →∞
=a .
例 2.1.3 求lim
7
n
n →∞
n !
.
解：lim
n →∞
n !
=0.
7777777771
事实上，=⋅... ⋅... ⋅≤⋅=⋅.
n ! 1278n -1n 7! n 6! n
7
n 77
即
7
n
n !
-0≤
7
7
6! n
⋅
1
.
⎡771⎤
对∀ε>0，存在N =⎢⋅⎥，则当n >N 时，便有
⎣6! ε⎦
7
n
n !
-0≤
7
7
⋅
n →∞n ! 6! n
c
n
17
n
注：上述例题中的7可用c 替换，即lim
n →∞
n !
=0(c >0).
2.2 极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大. 若已知某些极限
的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求lim
a m n +a m -1n b k n +b k -1n
k m
m -1k -1
+... +a 1n +a 0+... +b 1n +b 0
n →∞
, 其中m ≤k ，a m ≠0，b k ≠0.
解：分子分母同乘n -k ，所求极限式化为
lim
a m n
m -k
+a m -1n
m -1-k
+... +a 1n
1-k
1-k
+a 0n
-k
-k
n →∞
b k +b k -1n
-1
+... +b 1n +b 0n
.
由lim n -α=0，(α>0)知，
n →∞
当m =k 时，所求极限等于
a m b m
；当m
极限等于0. 综上所述，得到 lim
a m n +a m -1n b k n +b k -1n
n
m m -1k -1
+... +a 1n +a 0+... +b 1n +b 0
n →∞
k
⎧a m
, k =m ⎪
=⎨b m . ⎪0, k >m ⎩
例2.2.2 求lim
a
n
，其中a ≠-1.
n →∞
a +1
a
n n
解: 若a =1，则显然有lim
n →∞
a +1
=
12
；
若a
n →∞
lim 若a >1，则
a
n
n
n
n →∞
n →∞
a +1
=lim a /lim a +1=0；
n
n →∞
()
lim
a
n
n
n →∞
a +1
=lim
11+
1a
n
n →∞
=
11+0
=1
.
2.3 夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限lim 解：因为
n -1=
，
2n =>=
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(2n )
.
n →∞
所以
0
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(
2n )
⋅=
因
lim
n →∞
=0，再由迫敛性知
lim
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(2n )
n →∞
=0
.
例2.3.2
求数列的极限.
解：
记a n ==1+h n ，这里h n >0(n >1)，则 n =(1+h n )>
n
n (n -1)2
h n ,
2
由上式得
0
n >1)，从而有
1≤a n =1+h n ≤1+
⎧⎪⎪⎩
是收敛于1
, （2）
2
数列⎨1+
1的，因对任给的ε>0，取N =1+
ε
2
，则当n >N 时
有+. 于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1, 故由迫敛性得
lim =1.
n →∞
例2.3.3 设a >1及k ∈N ，求lim
*
n a
k n
.
n →∞
解：lim
n →∞
n a
k n
=0.
事实上，先令k =1，把a 写作1+η，其中η>0. 我们有 0
n a
n
=
n
(1+η)
n
=1+n η+
n n (n -1)2
2
η+...
2
(n -1)η
2
.
由于lim
2
n →∞
(n -1)η
2
⎧n ⎫
=0(n ≥2)，可见⎨n ⎬
⎩a ⎭
是无穷小. 据等式
n a
k n
⎛
n =
a 1/k ⎝(
)
n
⎫⎪⎪⎭
k
，
注意到a
1/k
⎧⎪n
由方才所述的结果⎨>1，
1/k a ⎪(⎩
)
n
⎫
⎧n k ⎫⎪
⎬是无穷小. 最后的等式表明，⎨n ⎬可
⎩a ⎭⎪⎭
表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim
n →∞
n a
k n
=0.
2.4 单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会
对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的lim
n →∞
c
n
n !
=0(c >0).
解：lim
n →∞
c
n
n !
=0(c >0).
事实上，令x n =
c
n
n !
，n ∈N . 当n ≥c 时，
*
x n +1=x n
c
(n +1)
≤x n .
因此{x n }从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0. 因此，由单调有界原理知极限x =lim x n 存在，在等式x n +1=x n
n →∞
c
(n +1)
的等号两边令n →∞，得到
x =x ⋅0=0, 所以{x n }为无穷小. 从而
c
n
lim
n →∞
n !
=0(c >0).
例2.4.2
求极限lim n 个根号）.
n →∞
解
：设a n =>1，
又由a 1=
3，则a n +1=
因a n +1=>a n ，故{a n }单调递增. 综上知{a n }单增有上界，所以{a n }收敛. 令lim a n =a ，由a n +1=，
1≤a ≤3，
n →∞
对两边求极限得a =a =3. 2.5 函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.
例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,
即求lim n →∞
ln a
解
：先求lim lim =lim a
1/x
x →∞
x →∞x →∞
=lim e
x →∞
x
=e x →∞
lim
ln a x
=e =1,
再由归结原则知lim =1.
n →∞
例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,
即求lim n →∞lim
ln x
ln x x
解
：先求lim
x →∞
因lim
x →∞
=lim e
x →∞
x
=e x →∞
=e =1，
再由归结原则知lim =1.
n →∞
例2.5.3 用函数极限求例2.3.3, 即设a >1及k ∈N ，求lim
n →∞
k x
*
n a
k n
.
解：先求lim
x a
x →∞
. 因x →∞a x
n a
k n
lim
x
k
=lim
kx
x
k -1
x →∞
a ln a
=..... =lim
k ! a
x
x →∞
(ln a )
k
=0
（由洛比达法则），
再由归结原则知lim
n →∞
=0.
2.6 定积分定义法
通项中含有n ! 的数列极限，由于n ! 的特殊性，直接求非常困难，若转化成
定积分来求就相对容易多了.
例2.6.1
求lim
n
n →∞
.
解
：令y =
n
，则ln y =
n
1n
n
∑
i =1
ln
i n
. 而
lim ln y =lim
n →∞
1
n →∞
∑n
i =1
ln
i n
=
⎰
10
ln xdx =lim +
ε→0⎰εln xdx =εlim
→0
1
+
⎡⎣-1-(εln ε-ε)⎤⎦=-1,
也即ln lim y =-
1，所以lim y =lim
n →∞
n →∞
n
n →∞
=e
-1
.
π2π⎛⎫
sin sin ++... +sin π⎪. 例2.6.2 求极限lim ⎪n →∞11n +1 n +n +⎪
2n ⎭⎝
解：因为
sin
π+sin
2π
n +1
+... +sin π
sin
π
+n +1
sin
2π
+... +sin π 11n +n +
2n
sin
π+sin
2π+... +sin π1n
1⎡π⋅⎢
n +1π⎣n n
⋅⎫⎤⎪⎥⎭⎦
n +
sin lim
n →∞
πn
+sin
2π
n n +1
+... +sin π
=lim
n →∞
π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝⎫⎤
⎪⎥⎭⎦
=
⎡πlim ⎢πn →∞⎣n 1π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝
2
=
1
π
⎰
π
sin xdx =
π
，
类似地
sin
π+sin
2π+... +sin π1n
lim
n →∞
n +
n
2
=lim
n →∞
1⎡π⋅⎢2
n +1π⎣n
⋅π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝2⎫⎤
=⎪⎥⎭⎦π
，
由夹逼准则知
π2π⎛⎫sin sin ++... +sin π⎪=2lim . ⎪n →∞11n +1π n +n +⎪
2n ⎭⎝
注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法
y n x n
y n -y n -1x n -x n -1
Stoltz 公式，lim
n
n →+∞
=a =lim
n →+∞
. 在求某些极限时非常方便，尤其是当
y n =
∑a 时特别有效.
k
k =1
例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.
证明：前面用ε-N 定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令y n =a 1+a 2+... +a n , x n =n ，则由Stoltz 公式得到
lim
a 1+a 2+... +a n
n
n →∞
(a 1+a 2+... +a n )-(a 1+a 2+... +a n -1)=lim n →∞n -(n -1)
a n 1
n →∞
=lim
=lim a n =a .
n →∞k
例2.7.2 求n lim →+∞
k
1+2+... +n
n
k
k +1
k k
.
n n
k +1
k
k +1
解： lim
1+2+... +n
n
k +1
k
n →+∞
=lim
n →+∞
-(n -1)
n
k
（Stoltz 公式）
＝lim
1
n →+∞
C
1
k +1
n -C
1
k
2k +1
n
k -1
+... -(-1)
k +1
（二项式定理）
＝
C k +1
1
=
k +1
.
2.8 几何算术平均收敛公式法
上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,
下面我们通过例子会发现很多
*
类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. n
n →∞
例2.8.1 同例2.1.1
一样求lim a >0. 解：令a 1=a , a 2=a 3=... =a n =1, 由定理1.2.4（2）知
lim =lim a n =1.
n →∞
n →∞
例2.8.2 同例2.3.2
一样求lim .
n →∞
解：令a 1=1，a n =
n →∞
n n -1
(n =2, 3,... ), 由定理1.2.4（2）知
n n -1
n →∞
lim =lim a n =lim
n →∞
=1.
例2.8.3 同例2.6.1
相似求lim
n
n
n →∞.
(n +1)1⎫⎛
解：令a n = 1+⎪=, 则 n
n n ⎝⎭
a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅a n =
2
1
1
⋅
32
22
⋅
43
n
33
⋅⋅⋅⋅
(n +1)
n
n
n
n
＝所以
(n +1)
n !
=
n
n
n !
⋅
(n +1)
n
n
.
=
n
n +1n
，
=
n n +1
，而由定理1.2.4（2）知
n
lim 故
lim
n →∞n →∞
1⎫⎛
=lim a n =lim 1+⎪=e .
n →∞n →∞n ⎭⎝
=lim
n →∞
n n +1
=e ⋅lim
n n +1
n →∞
=e .
例2.8.3
求lim
1++
... +n
.
n →∞
解
：令a n =(n =1, 2, 3... )，则由定理1.2.4（1）知
lim
1+
+... +n
n →∞
=lim a n =lim
n →∞
n →∞
=1.
2.9 级数法
若一个级数收敛，其通项趋于0（n →0）, 我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. n
例2.9.1 用级数法求例2.1.3注lim
c
n →∞
n !
(c >0).
解：考虑级数∑c
n
n !
，由正项级数的比式判别法，因
+1
lim
c
n ，
n →∞
(n +1)!
/
c
n
n !
=lim
c n →∞
n +1
=0
c
n
c
n
n !
收敛，从而lim
n →∞
n !
=0(c >0).
k 例2.9.2 用级数法求例2.3.3, 即设a >1及k ∈N *
，求lim
n a
n
.
n →∞
k 解：考虑正项级数∑
n a
n
，由正项级数的比式判别法，因
k
n
k
k
lim
(n +1)
a
n +/a =lim 1a ⋅⎛n +1
1
n →∞ ⎫=1
n ⎝n ⎪⎭a
k
故正项级数∑n k a
n
收敛，所以lim
n n →∞
a
n
=0.
例
2.9.3 求极限⎡⎤
lim 11n (+n →∞⎢2+2... +1
2
⎥.
⎢⎣
n +1)(2n )⎥⎦
∞
解： 因级数∑
12
收敛，由级数收敛的柯西准则知，对∀ε>0，存在N >0, n =1
n
得当n >N 时，
2n
1
∑1
n -2
-∑
1
k =1
k
k =1
k
2
此即
1n
2
+
1
(+
1
n +1)
2
+... (2n )
2
所以
使
⎡111
lim ⎢2++... +22
n →∞n n +12n ()()⎢⎣⎤
⎥=0. ⎥⎦
例2.9.4 求极限lim ⎛
n →∞
1
⎝a
+
2a
2
+... +
n ⎫
(a >1). n ⎪a ⎭
∞
解：令x =
1a
，所以x
n =1
因为lim
a n +1a n
∞
n →∞
=lim
(n +1)x n +1
nx
n
n →∞
=x
∞
n
n -1
∞
令 s (x )=
x 0
∑nx ，则s (x )=x ⋅∑nx
n =1
n =1
. 再令f (x )=
∑nx
n =1
n -1
，
∞
⎰
f (t )dt =
∑⎰
n =1
x 0
∞
nt
n -1
dt =
∑x
n =1
n
=
x 1-x
.
所以
⎛x
f (x )=
⎝1-x
'1⎫
. =⎪2
⎭(1-x )
=
a
-1-1
2
而 s (x )=x ⋅f (x )=所以
x
(1-x )
2
(1-a )
,
2n ⎫a ⎛1
lim +2+... +n ⎪=s (x )=2
n →∞-1a ⎭⎝a a 1-a ()
-1
.
2.10 其它方法
除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们
可以再看几个例子.
例2.10.1
求lim sin 2π.
n →∞
(解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.
lim sin 2π=lim sin 2πn π
n →∞
n →∞
(
()
＝lim sin 2
n →∞
n =lim sin
n →∞
2
＝sin 2
c
π2
=1.
例2.10.2 设0
2
c 2
+
a n 2
2
,
证明：{a n }收敛，并求其极限.
解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 0
c 2
c 2
c 2
+
a n 2
2
2
c 2
+
c
2
2
c 2
+
c 2
=c .
令f (x )=
+
x
2
，则f '(x )=x .
a n +1-a n =f (a n )-f (a n -1)=f '(ξ)⋅a n -a n -1
＝ξ⋅a n -a n -1
其中ξ介于a n 和a n -1之间. 由于0
n →∞
c 2
≤l ≤c .
由于
a n +1=所以 l =
c 2+l
2
c 2
+
a n 2
2
，
2
, l -2l +c =0.
2
解得l =1+（舍去）
，l =1-
综上知lim a n =1-n →∞
注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.
函数极限
一、函数极限的定义
定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|
x →+∞
→+∞) 。
定义二：若当x 无限接近x 0时，恒有|f(x)-a|
x →x 0
二、函数极限的求法
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：
1、直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。 例1：求lim
2x +x -53x +1
2
x →2
分析：由于
x →2
lim (2x 2+x-5)=2lim x 2+lim x-lim 5=2·22+2-5=5,
x →2
x →2
x →2
x →2
lim （3x+1）=3lim x+lim 1=3·2+1=7
x →2
x →2
所以采用直接代入法。
lim （2x +x -5）
2
解：原式=
x →2
lim (3x +1)
x →2
=
2⋅2+2-53⋅2+1
2
=
57
2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若lim f(x)=A lim g （x ）=B
x →x 0
x →x 0
（1）lim [f(x)±g(x)]= lim f(x) ±lim g(x)=A+B
x →x 0
x →x 0
x →x 0
(2) lim [ f(x)·g(x)]= lim f(x) ·lim g(x)=A·B
x →x 0
x →x 0
x →x 0
(3)若B ≠0 则：
lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=
x →x 0
lim f (x ) lim g (x )
=
A B
x →x 0
(4) lim C ·f(x)=C·lim f(x)=CA （C 为常数）
x →x 0
x →x 0
上述性质对于x →∞，x →+∞，x →-∞时也同样成立 例2：求lim
x +3x +5x +4
2
x →2
2
2
解： lim
x +3x +5x +4
x →2
=
2+3⋅2+5
2+4
=
52
3、利用极限定义求解
函数极限ε-δ定义：
x →x 0
lim f (x ) =A: ∀ε>0, ∃δ>0, 当0
x →x 0
lim -f (x ) =A: ∀ε>0, ∃δ>0, 当-δ0, ∃δ>0, 当0
x →x 0
x →∞
lim f (x ) =A :∀ε>0, ∃M >0, 当|x|>M时，|f（x ）- A |
f (x ) =A :∀ε>0, ∃M >0, 当x>M时，|f（x ）- A |0, ∃X >0, 当xG
x -3x +2x -2
2
x →+∞
x →-∞
lim
例3：用极限定义证明：lim
x -3x +2x -2
2
2
x →2
=1
证：由-1=
x -4x +4x -2(x -2) x -2
2
=
∀ε>0 取δ
=x -2
=ε 则当0
2
x -3x +2x -2
-1
由函数极限ε-δ定义有：lim
4、利用无穷小量的性质求解
x -3x +2x -2
2
x →2
=1
性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为
无穷小量，且f(x)≠0, 则
1f （x ）
为无穷大量，反之亦然。
性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：
这函数f 、g 、h 在U 0(x0) 内有定义，且有f(x)~g(x) (x→x 0)
(1)若lim f(x)h(x)=A，则lim g(x)h(x)=A;
x →x 0
x →x 0
(2)若lim
h (x ) g (x )
x →x 0
=B；
(3)当x →0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e x -1~ln(x+1)并且
1-cosx~x 2。
21
例4：求lim xsin
x →0
1x
1x
解：因为|sin
1x
|≤1，所以|sin
1x
|是有界变量，又lim x=0，
x →0
所以当x →0时，xsin
的性质可知，xsin
1x
是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量
1x
是无穷小量，所以lim xsin
x →0
=0
1
注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x →∞是
x
无穷小量，2x 个这种无穷小之和的极限显然为2。
（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。
（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当 x→x 0时，x 2
是无穷大量，
1x
2
是有界量，显然x 2·
1x
2
→0。
⎧x 2，x ≠0
（4）X →*下，f(x)>0，其极限lim f(x)未必大于0，例如，f （x ）=⎨
x →*
⎩8，x =0
显然f(x)=0.
5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解
5x x
2
例5：求lim
x →2
-4
x -45x
2
解：因为lim x -4=0，lim 5x=10，所以我们可以求出lim
2
x →2x →2x →2
=
010
=0
这就是说，当x →2时，
数是无穷大量，所以
5x x
2
x -45x
2
为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒
5x x
2
-4
为x →2时的无穷大量，即lim
x →2
-4
=∞
6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限） 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果： （1） 若f(x)在x 0处连续，则lim f(x)= f(x 0) ；
x →x 0
lim f[ϕ(x)]=f(A); （2） 若x lim ϕ（x ）=A，y=f(u)在u=A处连续则x
→x →x
(x →∞) (x →∞)
g (x )
（3） 若x lim f(x)=A>0, x lim g(x)=B,则x lim =A B [f (x )]→x →x →x
(x →∞) (x →∞) (x →∞)
例6：lim ln 2（7x-6）
x →1
解：因为y=ln 2（7x-6）是初等函数，在定义域（
67
，+∞）内是连续的，所以
在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以lim ln 2（7x-6）
x →1=ln 2（7-6）=0
7、利用约零因子法求解
x -3x
2
例7：求x lim
→3
-9
分析 所给两个函数中, 分子、分母的极限均是0, 不能直接使用法则四, 故采用消去零因子法.
x -3
解： 原式=lim (因式分解)
x →3
(x-3)(x+3) 1
=lim (约分消去零因子
x →3
(x+3)
)
=
=
(应用法则
)
当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不
方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。
想例题这种含根式型（或差式∞-∞型）求极限时，一下看不出零因子，
00
常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。
8、利用等价无穷小量代换求解
当x →0时，有（1）sinx~x，（2）tanx~x，(3) arcsinx~x，(4) arctanx~x，(5)
e -1~x，
x
(6) ln(x+1) ~x， 例8：求lim
1-cos2x
x
2
x →0
1
2解：因为当x →0时，1-cos2x~2x ），
2
1
所以lim
1-cos2x
x
2
x →0
=lim
⨯（2x ）x
2
2
x →0
=lim
2x x
22
x →0
=2
（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，
而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。） 9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解
（1）第一个重要极限：lim
sinx x
x →0
=1：其变形为：lim
1
sin μ（x ）
μ（x ）→0
μ（x ）
=1
μ（x 1
x
（2）第二个重要极限：lim （1+x ）=e：其变形为：lim （1+μ（x ））
x →0μ（x ）→0
=e
1x 或lim （1+）=e：其变形为：lim （1+
μ（x ）→∞x →∞
x
）
μ（x ）
1
μ(x)
=e
例9：求lim
1-cosx x
2
x →0
00
解：先判断类型，是“”型，含三角函数（sin
x 2
→0），且不能消零因子，现
在我们利用第一个重要极限求解。
2sin
2
x 2=lim
x →0
解：原式=lim
x →0
x
2
2=1lim （
x 22x →0（2）2
sin
2
x
sin
x
1122）=×1=
x 22
2
10、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限）
00
洛比达法则是求“”型和“
∞∞
”未定式极限的有效方法，但是非未定式
00
极限却不能求。（0-∞，∞-∞，00，1∞，∞0型未定式可以转化为“”型和“
∞∞
”未定式）
定理：若
（i ）lim f(x)=0，lim g （x ）=0
x →x 0
x →x 0
（ii ）f 与g 在x 0的某空心领域U 0(x0) 内可导，且g （x ）≠0 （iii ）lim
f (x ) g (x )
00
x →x 0
=A（A 可为实数，也可为±∞或∞），则lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=lim
f (x ) g (x )
'
'
x →x 0
=A
此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。 例10：lim
x -3x +2x -x -x +1
3x -33x
2
2
3
23
x →1
（
00
型）
32
解：原式=lim
x →1
-2x -1
=lim x →1
6x 6x -2
=
注意：（1）并不是类似于“
x +sinx 例如：lim
x →∞
00
”型和“
∞∞
”型的极限都能用洛比达法则，利用
洛比达法则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。
1+x
1+cosx 解：原式=lim ，
x →∞
1
但是lim （1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。
x →∞
1
正确解法为原式=lim （1+cosx ）=1
x →∞
x
（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导
数。
（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇
到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。 （4）当lim
f (x ) g (x )
x →0
不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限
须用另外方法。
（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用，可简化
计算。
11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限
定理：函数极限lim f （x ）存在且等于A 的充分必要条件是左极限lim f （x ）及
x →x 0
x →x 0
-
右极限lim f （x ）都存在且都等于A 。即有：
x →x 0
+
lim f （x ）﹤=>lim f （x ）=lim f （x ）=A
x →x 0
x →x 0
-
x →x 0
+
例11：设
讨论
在点
处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数,
须从极限存在的充要条件入手.
是分段点, 要知
是否存在, 必
解 因为 lim f(x)= lim (x-1)= - 1
x →0
-
x →0
-
lim f(x)= lim (x+1)=1
x →0
+
x →0
+
lim f(x)≠lim f(x)
x →0
-
x →0
+
所以lim f(x)不存在.
x →0
注1： 因为 从
的左边趋于
, 则
注2： 因为 从
的右边趋于
, 则
, 故
, 故
. .
此题也可以转化为讨论函数f(x)在x=0处的连续性问题。 12、利用函数极限的迫敛性求解
迫敛性（两边夹）若lim f （x ）=lim g(x)=A,且在某U 0(x0; ∆) 内有f(x)≤h(x) ≤
x →x 0
x →x 0
g(x),则lim h(x)=A
x →x 0
例12：求lim x[
x →0
1x
]
1x
解：当x>0时有1-x
x →0
1x
]
1x
另一方面，当x
x →0
1x
]
x →0
]=1
1x
]=1
函数连续性
（一）函数在一点的连续性
定义1[1] 设函数f 在某U (x 0) 内有定义，若lim f (x ) =f (x 0) ，则称f 在点x 0连续。
x →x 0
（二）一致连续性
定义2[1] 设f 为定义域在区间I 上的函数，若对任何的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何x ' , x '' ∈I , 只要|x ' -x '' |
三、函数连续性的性质[1]
（一）连续函数的局部性质
定理1(局部有界性) 若函数f 在点x 0连续，则f 在某U (x 0) 内有界。
定理2(局部保号性) 若函数f 在点x 0连续，且f (x 0) >0（或
r
, 存在某U x (0，使得对一切x ∈U x 0(有) )
f (x ) >r (或f (x )
定理3(四则运算) 若函数f 和g 在点x 0连续，则f ±g , f ∙g , f /g (这里g (x 0) ≠0) 也都在点x 0连续。
定理4 若函数f 在点x 0连续，g 在点u 0连续，u 0=f (x 0) ，则复合函数f g 在点
x 0连续。
（二）闭区间上连续函数的基本性质
定理5（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值。
定理6（介值性定理）设函数f 在闭区间[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a) μ>f(b)）, 则至少存在一点x 0∈(a,b),使得f(x 0)=μ. （三）反函数的连续性
定理7 若函数f 在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f 或[f(b),f(a)]上连续。
定理8（一致连续性定理）若函数f 在区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续。
（四）初等函数的连续性
定理9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。 定理10 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 四、函数连续性的应用
（一）连续性在求函数极限中的应用
通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它表
-1
在其定义域[f(a),f(b)]
明了连续函数的记号f 与极限的记号lim 的可交换性。所以当我们知道某个函数
x →x 0
是连续函数时，求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理9和定理10，在理论上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一个求初等函数极限的简便方法。
总结出一个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点x 0，那么，只须将x 0代人f(x)，即可计算出f(x)在x 0的函数值，就立刻得到想要求的lim f (x ) 的值了。
x →x 0
例1 求lim 解：
ln(1+x )
x →0
cos x
ln(1+x ) cos x
是初等函数，点x=0是它定义域中的点，所以
ln(1+x ) cos x
1+x
lim 例2
求lim (
x →+0
x →0
=f (0)=
ln(1+0) cos 0
=0
2+x 3+x
)
分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所谓的“幂指函数”，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成
(
2+x 3+x
)
1+x
=2
log 2(
2+x 3+x
)
=2
1+x
2
2+x 3+x
即可将它看成是初等函数u =
1+x
2
2+x 3+x
与基本初等函数y =2u 复合一
次的结果，故是一个初等函数，而x=0是它的定义域中的点，所以很容易可以求出结果。
lim (解
x
→+0例3 求lim
2+x 3+x
x
)
1+x
=lim 2
x →+0
1+x
2
2+x 3+x
=2
1+0
2
2+03+0
=2
log 2
23
=
23
e -1x
.
e -1x
x
x →0
分析：x=0不是初等函数定义域中的点，不能直接运用我们的一般方
法求解，但利用对数运算性质，令t=e x -1, 则有x=ln(1+t)，函数变为
e -1x
x
e -1x
t
x
=
t ln(1+t )
1lim
t →0
1
lim[ln(1+t )]t →0t
1
解 lim
x →0
=lim
t →0
ln(1+t )
=
ln(1+t )
t
=
=
t →0
1
1
=
t →0
1
1
=
1ln e
=
11
=1
lim ln(1+t ) x ln(lim(1+t ) x )
注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求其他极限时直接运用。它常对某些包括指数、对数运算及幂运算的所谓“”不定式的极限求法有很大帮助。
00
例4
求lim
x →2
分析 因为点x=2
的定义域中，所以不能直接用一
般方法求解，但是，注意到分子在x=2时也是零，所以我们用消去零因子的方法，先将分子、
42，使零因子x-2分离出来，然后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点x=2在其定义域内，再进行求解。
解
lim
=lim
=lim
x →2x →2
=lim
=
=48=12
x →2x →2
（二）介值定理的应用
1、判定方程f(x)=0在区间[a,b]内是否有根
若f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)
例如 证明方程
f (x ) =x +x -1在
3
2x ∈(0,1)内必定有根。
证明 设f (x ) =x 3+x 2-1，它在[0,1]连续， 又f(0)= -10
故对于介于f(0)与f(1)之间的介值c=0，根据介值定理可知，
必存在ξ∈（0,1），使f(ξ) =0
即ξ3+ξ2-1=0，这说明x=ξ是方程x 3+x 2=1的根。
2、求方程的根达到的指定精确度的近似值 例如 求f (x ) =x 3+x 2-1中根ξ的一个近似值。
解 先取[0,1]的中点0.5，因f(x)= (0.5)3+(0.5)2-1
再取[0.5,1]的中点0.75，算得f(0.75)
这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根ξ的一个不足（或者过剩）近似值，它与根ξ的精确值误差已不超过所指定的精确度。 (三) 判断函数在区间上是否有界
若f(x)在区间[a,b]连续，则f(x)在区间[a,b]有界。 例如 判断函数f(x)=arcsin x在区间[-1,1]上是否有界 解 因为f(x)=arcsin x是初等函数，在定义域连续 f(-1)=-1.57 ,f(1)=1.57
所以-π/2≤f(x)≤π/2，即有界.
（四）利用连续性求表达式中的常数 例如 选择a 的值，使下面的函数处处连续
2⎧
, x ≥1，⎪⎪x
f (x ) =⎨
π⎪a sin x , x
解 当x>1时，f(x)=
2x
连续；当x
π
2
x ) =a，lim +f (x ) =lim
x →1
π
2
x
连续，又因
x →1
lim -f (x ) =lim (a sin
x →1
2x
x →1
=2，而f(1)=2
所以必须取a=2 (五) 求闭区间上连续函数最值点
闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定在该区间上取得最大值和最小值，要注意f(x)必
须满足在[a,b]上连续，若有一点使f(x)不连续，则结论就不成立。 例1 设f 在[a,+∞）上连续，且lim f(x)存在。证明：f(x)在[a,+∞）上
x →+∞
有界，又问f 在[a,+∞）上必有最大值或最小值吗？
证明 因为lim f(x)存在（设极限为B ），可以推出：对ε=1，存在M>0,
x →+∞
当x>M（M>a）时，有 |f(x)-B|
∴ |f(x)|≤|f(x)-B|+|B|=|B|+1
而在闭区间[a,M]上，因为f(x)连续，所以有界，即存在N>0,使 任意x ∈[a,M],有|f(x)|
∴任意x ∈[a,+∞），恒有|f(x)|
因为若记ζ是f 在[a,M]上的最大值，T 是最小值，改写①式为 B-ε
当B
当T
当T=ζ=B时，要保持上述两结果不出现，必须在M 变得任意大时，在闭区间[0,M]上，恒有f(x)=B→f(x)=B,x∈[a,+∞），自然最大值、最小值都是B
3⎧
1-|x -2|,≤x
例2 讨论函数f(x)= ⎨0, 3≤x
⎪x -4, 4≤x ≤6. ⎪⎩
分析：闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大值和最小值，哪些点有可能是最值点呢？很多教材指出：[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内极限点和区间端点取得。笔者认为这种说法是不正确的，事实上有些联系函数，其最值也可以在非极值点和非端点处取得。本题就是一个很好的例子。
函数f(x)在区间[3/2,6]上是连续的，但是最小值是在区间[3,4]上的所有点处取得。而根据极值点的定义知[3,4]上的点都不是极值点。
产生上述错误的原因是忽略了一个事实：若f(x)是[a,b]上的连续函数在（a,b ）的一个最大（小）值点x 0，则x 0可能是极大（小）值点，从而x 0是驻点或者是函数不可导点。x 0还可能不是极值点，这时存在一个小区间[c,d] ⊂(a,b), x 0∈[c,d]，函数在[c,d]上是一个常值，这个值就是函数在[a,b]上的最大（小）值。显然（c,d ）内的点都是驻点，端点c 和a 可能是驻点，也可能是不可导的点。
所以，严格地说，[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内的驻点，不可导的点，以及区间两断点处取得。 （六）压缩映射及其不动点
1、压缩映射的定义：若f(x)在区间[a,b]上有定义，且满足 （1）f([a,b])⊂[a,b];
（2）存在定值k ，0≤k
2、定理：压缩映射必定存在不动点，即若y=f(x)是[a,b]上的压缩映射，则存在x *∈[a,b]，使得f(x *)=x *
证明：1。任意x 0∈[a,b],若f(x 0) ≠x 0，令x 1=f（x 0），x 2=f(x 1), „,
x n =f(x n -1), 由定义，数列{x n }⊂[a,b].
[7]
。
2 |x n -x n -1|=|f (x n -1) -f (x n -2) |≤k |x n -1-x n -2|
=k |f (x n -2) -f (x n -3) |≤k |x n -2-x n -3|≤... ≤k
2n -1
|x 1-x 0|
3。对任何自然数p
|x n +p -x n |=|x n +p -x n +p -1+x n +p -1-x n +p -2+... +x n +1-x n |
≤|x n +p -x n +p -1|+|x n +p -1-x n +p -2|+... |x n +1-x n | ≤(k
n +p -1
+k
n +p -2
+... +k ) |x 1-x 0|
n
=
1-k
p
1-k
11-k
k |x 1-x 0|
n
≤
k |x 1-x 0|
n
ln(1-k )
。
4任意ε>0，存在N=[
ε
x 1-x 0
ln k
]
使得：n>N→
11-k
k |x 1-x 0|
n
所以对任何自然数p,| x n +p -x n |
所以数列{x n }收敛。
5。设lim x n =x *，因为{x n }⊂[a,b],所以x *∈[a,b]
n →∞
x n =f(x n -1) 两边求极限，因为f(x)连续，
所以x *=f(x *), 可见x *是f(x)的不动点。
6。用不动点原理求方程F(x)=0的根的近似值
方法：若已判断F(x)=0在[a,b]存在根，可将F(x)=0恒等变形为x=f(x),并使f(x)是[a,b]上的压缩映射。任意x 0∈[a,b]，构造数列x n =f(x n -1) （n=1，2，„）可见，方程的根x *=lim f(x *), 当n 大到一定程度，x n 就是根的近似值。
n →∞
总结负责人：李阳
数列、函数极限和函数连续性
数列极限
定义1（ε-N 语言）：设{a n }是个数列，a 是一个常数，若∀ε>0，∃正整数N ，使得当n >N 时，都有a n -a
n →+∞存在.
定义2（A -N 语言）：若A >0, ∃正整数N ，使得当n >N 时，都有a n >A , 则称
+∞是数列{a n }当n 无限增大时的非正常极限，或称{a n }发散于+∞，记作
lim a n =+∞
n →+∞
或a n →+∞(n →+∞)，这时，称{a n }有非正常极限，对于-∞, ∞的定
义类似，就不作介绍了. 为了后面数列极限的解法做铺垫，我们先介绍一些常用定理.
1.2 数列极限求法的常用定理
定理1.2.1（数列极限的四则运算法则） 若{a n }和{b n }为收敛数列，则
{a n +b n }, {a n -b n }, {a n ⋅b n }也都是收敛数列，且有
lim (a n ±b n )=lim a n ±lim b n ,
lim a ⋅b =lim a ⋅lim b .
(n n )n n
n →∞
n →∞
n →∞
n →∞n →∞n →∞
⎧a n ⎫
若再假设b n ≠0及lim b n ≠0，则⎨⎬也是收敛数列，且有
n →∞
⎩b n ⎭
⎛a ⎫
lim n ⎪=lim a n /lim b n . n →∞n →∞n →∞
⎝b n ⎭
定理1.2.2（单调有界定理） 在实数系中，有界的单调数列必有极限.
定理1.2.3（
n →+∞
∞
Stoltz 公式） 设有数列{x n }，{y n }，其中{x n }严格增，且
n →+∞
lim x n =+∞（注意：不必lim y n =+∞
）. 如果
n →+∞x -x =a （实数，+∞, -∞），
n n -1则 lim
00
y n x n
=a =lim
y n -y n -1x n -x n -1
.
lim
y n -y n -1
n →+∞n →+∞
定理1.2.3' （Stoltz 公式） 设{x n }严格减，且lim x n =0，lim y n =0. 若
n →+∞
n →+∞
n →+∞x -x =a （实数，+∞, -∞）， n n -1则 lim
y n x n
n →+∞
lim
y n -y n -1
=a =lim
y n -y n -1x n -x n -1
.
n →+∞
定理1.2.4（几何算术平均收敛公式） 设lim a n =a ，则
n →∞
（1）lim
a 1+a 2+... +a n
n
n →∞
=a ，
（2）若a n >0(n =
1, 2,... )，则lim =a .
n →∞
定理1.2.5（夹逼准则）设收敛数列{a n }, {b n }都以a 为极限，数列{c n }满足：存在正数N 0，当n >N 0时，有 a n ≤c n ≤b n ， 则数列{c n }收敛，且lim c n =a .
n →∞
定理1.2.6（归结原则）设f 在U (x 0; δ')内有定义. lim f (x )存在的充要条件是：
x →x
对任何含于U (x 0; δ')且以x 0为极限的数列{x n }，极限lim f (x n )都存在且相等.
n →∞
数列极限的求法
2.1 极限定义求法
在用数列极限定义法求时，关键是找到正数N . 我们前面一节的定理1.2.4（几何算术平均收敛公式）的证明就可用数列极限来证明，我们来看几个例子. 例2.1.1
求lim a >0.
n →∞
解
：lim =1.
n →∞
1
事实上，当a =1时，结论显然成立. 现设a >1. 记α=a n -1，则α>0. 由
a =(1+α
)
n
⎛1⎫
≥1+n α=1+n a n -1⎪,
⎝⎭
1
得 a n -1≤
a -1n
. （5）
a -1
1
1
任给ε>0，由（5）式可见，当n >以lim =1.
n →∞
ε
=N 时，就有a n -1
对于0
1a
>
1，由上述结论知lim
n →∞
=1，故
lim =lim
n →∞
1n →∞=
11
=1.
综合得a >
0时，lim =1.
n →∞
例2.1.2 定理1.2.4（1）式证明.
证明：由lim a n =a ，则∀ε>0，存在N 1>0，使当n >N 1时，有
n →∞
a n -a
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
1n
(a
1
-a +... +a N 1-a +a N 1+1-a +... +a n -a
).
令c =a 1-a +... +a N -a ，那么
1
由lim
n →∞
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
c n
+
n -N 1ε
⋅n 2
.
c n
c n
=0，知存在N 2>0，使当n >N 2时，有
ε
2
.
再令N =max {N 1, N 2}, 故当n >N 时，由上述不等式知
a 1+a 2+... +a n
n
-a ≤
ε
2
+
n -N 1εεε⋅
.
所以 lim
a 1+a 2+... +a n
n
7
n
n →∞
=a .
例 2.1.3 求lim
7
n
n →∞
n !
.
解：lim
n →∞
n !
=0.
7777777771
事实上，=⋅... ⋅... ⋅≤⋅=⋅.
n ! 1278n -1n 7! n 6! n
7
n 77
即
7
n
n !
-0≤
7
7
6! n
⋅
1
.
⎡771⎤
对∀ε>0，存在N =⎢⋅⎥，则当n >N 时，便有
⎣6! ε⎦
7
n
n !
-0≤
7
7
⋅
n →∞n ! 6! n
c
n
17
n
注：上述例题中的7可用c 替换，即lim
n →∞
n !
=0(c >0).
2.2 极限运算法则法
我们知道如果每次求极限都用定义法的话，计算量会太大. 若已知某些极限
的大小，用定理1.2.1就可以简化数列极限的求法. 例2.2.1 求lim
a m n +a m -1n b k n +b k -1n
k m
m -1k -1
+... +a 1n +a 0+... +b 1n +b 0
n →∞
, 其中m ≤k ，a m ≠0，b k ≠0.
解：分子分母同乘n -k ，所求极限式化为
lim
a m n
m -k
+a m -1n
m -1-k
+... +a 1n
1-k
1-k
+a 0n
-k
-k
n →∞
b k +b k -1n
-1
+... +b 1n +b 0n
.
由lim n -α=0，(α>0)知，
n →∞
当m =k 时，所求极限等于
a m b m
；当m
极限等于0. 综上所述，得到 lim
a m n +a m -1n b k n +b k -1n
n
m m -1k -1
+... +a 1n +a 0+... +b 1n +b 0
n →∞
k
⎧a m
, k =m ⎪
=⎨b m . ⎪0, k >m ⎩
例2.2.2 求lim
a
n
，其中a ≠-1.
n →∞
a +1
a
n n
解: 若a =1，则显然有lim
n →∞
a +1
=
12
；
若a
n →∞
lim 若a >1，则
a
n
n
n
n →∞
n →∞
a +1
=lim a /lim a +1=0；
n
n →∞
()
lim
a
n
n
n →∞
a +1
=lim
11+
1a
n
n →∞
=
11+0
=1
.
2.3 夹逼准则求法
定理1.2.5又称迫敛性，它不仅给出了判定数列收敛的一种方法，而且也提供了一个求极限的工具. 例2.3.1 求极限lim 解：因为
n -1=
，
2n =>=
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(2n )
.
n →∞
所以
0
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(
2n )
⋅=
因
lim
n →∞
=0，再由迫敛性知
lim
1⋅3⋅⋅⋅(2n -1)2⋅4⋅⋅⋅(2n )
n →∞
=0
.
例2.3.2
求数列的极限.
解：
记a n ==1+h n ，这里h n >0(n >1)，则 n =(1+h n )>
n
n (n -1)2
h n ,
2
由上式得
0
n >1)，从而有
1≤a n =1+h n ≤1+
⎧⎪⎪⎩
是收敛于1
, （2）
2
数列⎨1+
1的，因对任给的ε>0，取N =1+
ε
2
，则当n >N 时
有+. 于是，不等式（2）的左右两边的极限皆为1, 故由迫敛性得
lim =1.
n →∞
例2.3.3 设a >1及k ∈N ，求lim
*
n a
k n
.
n →∞
解：lim
n →∞
n a
k n
=0.
事实上，先令k =1，把a 写作1+η，其中η>0. 我们有 0
n a
n
=
n
(1+η)
n
=1+n η+
n n (n -1)2
2
η+...
2
(n -1)η
2
.
由于lim
2
n →∞
(n -1)η
2
⎧n ⎫
=0(n ≥2)，可见⎨n ⎬
⎩a ⎭
是无穷小. 据等式
n a
k n
⎛
n =
a 1/k ⎝(
)
n
⎫⎪⎪⎭
k
，
注意到a
1/k
⎧⎪n
由方才所述的结果⎨>1，
1/k a ⎪(⎩
)
n
⎫
⎧n k ⎫⎪
⎬是无穷小. 最后的等式表明，⎨n ⎬可
⎩a ⎭⎪⎭
表为有限个（k 个）无穷小的乘积，所以也是无穷小，即 lim
n →∞
n a
k n
=0.
2.4 单调有界定理求法
有的时候我们需要先判断一个数列是否收敛，再求其极限，此时该方法将会
对我们有很大帮助，我们来看几个例子. 例2.4.1 求例2.1.3注解中的lim
n →∞
c
n
n !
=0(c >0).
解：lim
n →∞
c
n
n !
=0(c >0).
事实上，令x n =
c
n
n !
，n ∈N . 当n ≥c 时，
*
x n +1=x n
c
(n +1)
≤x n .
因此{x n }从某一项开始是递减的数列，并且显然有下界0. 因此，由单调有界原理知极限x =lim x n 存在，在等式x n +1=x n
n →∞
c
(n +1)
的等号两边令n →∞，得到
x =x ⋅0=0, 所以{x n }为无穷小. 从而
c
n
lim
n →∞
n !
=0(c >0).
例2.4.2
求极限lim n 个根号）.
n →∞
解
：设a n =>1，
又由a 1=
3，则a n +1=
因a n +1=>a n ，故{a n }单调递增. 综上知{a n }单增有上界，所以{a n }收敛. 令lim a n =a ，由a n +1=，
1≤a ≤3，
n →∞
对两边求极限得a =a =3. 2.5 函数极限法
有些数列极限可先转化为函数极限求可能很方便，再利用归结原则即可求出数列极限.
例2.5.1 用函数极限法求例2.1.1,
即求lim n →∞
ln a
解
：先求lim lim =lim a
1/x
x →∞
x →∞x →∞
=lim e
x →∞
x
=e x →∞
lim
ln a x
=e =1,
再由归结原则知lim =1.
n →∞
例2.5.2 用函数极限求例2.3.2,
即求lim n →∞lim
ln x
ln x x
解
：先求lim
x →∞
因lim
x →∞
=lim e
x →∞
x
=e x →∞
=e =1，
再由归结原则知lim =1.
n →∞
例2.5.3 用函数极限求例2.3.3, 即设a >1及k ∈N ，求lim
n →∞
k x
*
n a
k n
.
解：先求lim
x a
x →∞
. 因x →∞a x
n a
k n
lim
x
k
=lim
kx
x
k -1
x →∞
a ln a
=..... =lim
k ! a
x
x →∞
(ln a )
k
=0
（由洛比达法则），
再由归结原则知lim
n →∞
=0.
2.6 定积分定义法
通项中含有n ! 的数列极限，由于n ! 的特殊性，直接求非常困难，若转化成
定积分来求就相对容易多了.
例2.6.1
求lim
n
n →∞
.
解
：令y =
n
，则ln y =
n
1n
n
∑
i =1
ln
i n
. 而
lim ln y =lim
n →∞
1
n →∞
∑n
i =1
ln
i n
=
⎰
10
ln xdx =lim +
ε→0⎰εln xdx =εlim
→0
1
+
⎡⎣-1-(εln ε-ε)⎤⎦=-1,
也即ln lim y =-
1，所以lim y =lim
n →∞
n →∞
n
n →∞
=e
-1
.
π2π⎛⎫
sin sin ++... +sin π⎪. 例2.6.2 求极限lim ⎪n →∞11n +1 n +n +⎪
2n ⎭⎝
解：因为
sin
π+sin
2π
n +1
+... +sin π
sin
π
+n +1
sin
2π
+... +sin π 11n +n +
2n
sin
π+sin
2π+... +sin π1n
1⎡π⋅⎢
n +1π⎣n n
⋅⎫⎤⎪⎥⎭⎦
n +
sin lim
n →∞
πn
+sin
2π
n n +1
+... +sin π
=lim
n →∞
π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝⎫⎤
⎪⎥⎭⎦
=
⎡πlim ⎢πn →∞⎣n 1π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝
2
=
1
π
⎰
π
sin xdx =
π
，
类似地
sin
π+sin
2π+... +sin π1n
lim
n →∞
n +
n
2
=lim
n →∞
1⎡π⋅⎢2
n +1π⎣n
⋅π2π⎛sin +sin +... +sin π
n n ⎝2⎫⎤
=⎪⎥⎭⎦π
，
由夹逼准则知
π2π⎛⎫sin sin ++... +sin π⎪=2lim . ⎪n →∞11n +1π n +n +⎪
2n ⎭⎝
注：在此式的求解中用到了放缩法和迫敛性. 2.7 Stoltz公式法
y n x n
y n -y n -1x n -x n -1
Stoltz 公式，lim
n
n →+∞
=a =lim
n →+∞
. 在求某些极限时非常方便，尤其是当
y n =
∑a 时特别有效.
k
k =1
例2.7.1 同例2.1.2，定理1.2.4（1）式证明.
证明：前面用ε-N 定义法证明，现用Stoltz 公式证明. 令y n =a 1+a 2+... +a n , x n =n ，则由Stoltz 公式得到
lim
a 1+a 2+... +a n
n
n →∞
(a 1+a 2+... +a n )-(a 1+a 2+... +a n -1)=lim n →∞n -(n -1)
a n 1
n →∞
=lim
=lim a n =a .
n →∞k
例2.7.2 求n lim →+∞
k
1+2+... +n
n
k
k +1
k k
.
n n
k +1
k
k +1
解： lim
1+2+... +n
n
k +1
k
n →+∞
=lim
n →+∞
-(n -1)
n
k
（Stoltz 公式）
＝lim
1
n →+∞
C
1
k +1
n -C
1
k
2k +1
n
k -1
+... -(-1)
k +1
（二项式定理）
＝
C k +1
1
=
k +1
.
2.8 几何算术平均收敛公式法
上面我们用Stoltz 公式已得出定理1.2.4,
下面我们通过例子会发现很多
*
类型的数列极限可以用此方法来简化其求法. n
n →∞
例2.8.1 同例2.1.1
一样求lim a >0. 解：令a 1=a , a 2=a 3=... =a n =1, 由定理1.2.4（2）知
lim =lim a n =1.
n →∞
n →∞
例2.8.2 同例2.3.2
一样求lim .
n →∞
解：令a 1=1，a n =
n →∞
n n -1
(n =2, 3,... ), 由定理1.2.4（2）知
n n -1
n →∞
lim =lim a n =lim
n →∞
=1.
例2.8.3 同例2.6.1
相似求lim
n
n
n →∞.
(n +1)1⎫⎛
解：令a n = 1+⎪=, 则 n
n n ⎝⎭
a 1⋅a 2⋅⋅⋅⋅a n =
2
1
1
⋅
32
22
⋅
43
n
33
⋅⋅⋅⋅
(n +1)
n
n
n
n
＝所以
(n +1)
n !
=
n
n
n !
⋅
(n +1)
n
n
.
=
n
n +1n
，
=
n n +1
，而由定理1.2.4（2）知
n
lim 故
lim
n →∞n →∞
1⎫⎛
=lim a n =lim 1+⎪=e .
n →∞n →∞n ⎭⎝
=lim
n →∞
n n +1
=e ⋅lim
n n +1
n →∞
=e .
例2.8.3
求lim
1++
... +n
.
n →∞
解
：令a n =(n =1, 2, 3... )，则由定理1.2.4（1）知
lim
1+
+... +n
n →∞
=lim a n =lim
n →∞
n →∞
=1.
2.9 级数法
若一个级数收敛，其通项趋于0（n →0）, 我们可以应用级数的一些性质来求数列极限，我们来看两个实例来领会其数学思想. n
例2.9.1 用级数法求例2.1.3注lim
c
n →∞
n !
(c >0).
解：考虑级数∑c
n
n !
，由正项级数的比式判别法，因
+1
lim
c
n ，
n →∞
(n +1)!
/
c
n
n !
=lim
c n →∞
n +1
=0
c
n
c
n
n !
收敛，从而lim
n →∞
n !
=0(c >0).
k 例2.9.2 用级数法求例2.3.3, 即设a >1及k ∈N *
，求lim
n a
n
.
n →∞
k 解：考虑正项级数∑
n a
n
，由正项级数的比式判别法，因
k
n
k
k
lim
(n +1)
a
n +/a =lim 1a ⋅⎛n +1
1
n →∞ ⎫=1
n ⎝n ⎪⎭a
k
故正项级数∑n k a
n
收敛，所以lim
n n →∞
a
n
=0.
例
2.9.3 求极限⎡⎤
lim 11n (+n →∞⎢2+2... +1
2
⎥.
⎢⎣
n +1)(2n )⎥⎦
∞
解： 因级数∑
12
收敛，由级数收敛的柯西准则知，对∀ε>0，存在N >0, n =1
n
得当n >N 时，
2n
1
∑1
n -2
-∑
1
k =1
k
k =1
k
2
此即
1n
2
+
1
(+
1
n +1)
2
+... (2n )
2
所以
使
⎡111
lim ⎢2++... +22
n →∞n n +12n ()()⎢⎣⎤
⎥=0. ⎥⎦
例2.9.4 求极限lim ⎛
n →∞
1
⎝a
+
2a
2
+... +
n ⎫
(a >1). n ⎪a ⎭
∞
解：令x =
1a
，所以x
n =1
因为lim
a n +1a n
∞
n →∞
=lim
(n +1)x n +1
nx
n
n →∞
=x
∞
n
n -1
∞
令 s (x )=
x 0
∑nx ，则s (x )=x ⋅∑nx
n =1
n =1
. 再令f (x )=
∑nx
n =1
n -1
，
∞
⎰
f (t )dt =
∑⎰
n =1
x 0
∞
nt
n -1
dt =
∑x
n =1
n
=
x 1-x
.
所以
⎛x
f (x )=
⎝1-x
'1⎫
. =⎪2
⎭(1-x )
=
a
-1-1
2
而 s (x )=x ⋅f (x )=所以
x
(1-x )
2
(1-a )
,
2n ⎫a ⎛1
lim +2+... +n ⎪=s (x )=2
n →∞-1a ⎭⎝a a 1-a ()
-1
.
2.10 其它方法
除去上述求数列极限的方法外，针对不同的题型可能还有不同的方法，我们
可以再看几个例子.
例2.10.1
求lim sin 2π.
n →∞
(解：对于这个数列极限可用三角函数的周期性.
lim sin 2π=lim sin 2πn π
n →∞
n →∞
(
()
＝lim sin 2
n →∞
n =lim sin
n →∞
2
＝sin 2
c
π2
=1.
例2.10.2 设0
2
c 2
+
a n 2
2
,
证明：{a n }收敛，并求其极限.
解：对于这个极限可以先用中值定理来说明其收敛. 首先用数学归纳法可以证明 0
c 2
c 2
c 2
+
a n 2
2
2
c 2
+
c
2
2
c 2
+
c 2
=c .
令f (x )=
+
x
2
，则f '(x )=x .
a n +1-a n =f (a n )-f (a n -1)=f '(ξ)⋅a n -a n -1
＝ξ⋅a n -a n -1
其中ξ介于a n 和a n -1之间. 由于0
n →∞
c 2
≤l ≤c .
由于
a n +1=所以 l =
c 2+l
2
c 2
+
a n 2
2
，
2
, l -2l +c =0.
2
解得l =1+（舍去）
，l =1-
综上知lim a n =1-n →∞
注：对于这个题可也以采用单调有界原理证明其极限的存在性.
函数极限
一、函数极限的定义
定义一：若当x 无限变大时，恒有|f(x)-a|
x →+∞
→+∞) 。
定义二：若当x 无限接近x 0时，恒有|f(x)-a|
x →x 0
二、函数极限的求法
下面我们以相关的概念、定理及公式为依据，解决常见函数极限的求解方法：
1、直接代入法
适用于分子、分母的极限不同时为零或不同时为∞。 例1：求lim
2x +x -53x +1
2
x →2
分析：由于
x →2
lim (2x 2+x-5)=2lim x 2+lim x-lim 5=2·22+2-5=5,
x →2
x →2
x →2
x →2
lim （3x+1）=3lim x+lim 1=3·2+1=7
x →2
x →2
所以采用直接代入法。
lim （2x +x -5）
2
解：原式=
x →2
lim (3x +1)
x →2
=
2⋅2+2-53⋅2+1
2
=
57
2、利用极限的四则运算法则求极限
这是求极限的基本方法，主要应用函数的和、差、积、商的极限法则及若干基本函数的极限结果进行极限的计算，为此有事往往要对函数作一些变形。 定理 若lim f(x)=A lim g （x ）=B
x →x 0
x →x 0
（1）lim [f(x)±g(x)]= lim f(x) ±lim g(x)=A+B
x →x 0
x →x 0
x →x 0
(2) lim [ f(x)·g(x)]= lim f(x) ·lim g(x)=A·B
x →x 0
x →x 0
x →x 0
(3)若B ≠0 则：
lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=
x →x 0
lim f (x ) lim g (x )
=
A B
x →x 0
(4) lim C ·f(x)=C·lim f(x)=CA （C 为常数）
x →x 0
x →x 0
上述性质对于x →∞，x →+∞，x →-∞时也同样成立 例2：求lim
x +3x +5x +4
2
x →2
2
2
解： lim
x +3x +5x +4
x →2
=
2+3⋅2+5
2+4
=
52
3、利用极限定义求解
函数极限ε-δ定义：
x →x 0
lim f (x ) =A: ∀ε>0, ∃δ>0, 当0
x →x 0
lim -f (x ) =A: ∀ε>0, ∃δ>0, 当-δ0, ∃δ>0, 当0
x →x 0
x →∞
lim f (x ) =A :∀ε>0, ∃M >0, 当|x|>M时，|f（x ）- A |
f (x ) =A :∀ε>0, ∃M >0, 当x>M时，|f（x ）- A |0, ∃X >0, 当xG
x -3x +2x -2
2
x →+∞
x →-∞
lim
例3：用极限定义证明：lim
x -3x +2x -2
2
2
x →2
=1
证：由-1=
x -4x +4x -2(x -2) x -2
2
=
∀ε>0 取δ
=x -2
=ε 则当0
2
x -3x +2x -2
-1
由函数极限ε-δ定义有：lim
4、利用无穷小量的性质求解
x -3x +2x -2
2
x →2
=1
性质1、无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量
性质2、无穷小量与无穷大量的关系：若在自变量的同一变化过程中f(x)为
无穷小量，且f(x)≠0, 则
1f （x ）
为无穷大量，反之亦然。
性质3、乘积因子的等价无穷小量代换：
这函数f 、g 、h 在U 0(x0) 内有定义，且有f(x)~g(x) (x→x 0)
(1)若lim f(x)h(x)=A，则lim g(x)h(x)=A;
x →x 0
x →x 0
(2)若lim
h (x ) g (x )
x →x 0
=B；
(3)当x →0时，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~e x -1~ln(x+1)并且
1-cosx~x 2。
21
例4：求lim xsin
x →0
1x
1x
解：因为|sin
1x
|≤1，所以|sin
1x
|是有界变量，又lim x=0，
x →0
所以当x →0时，xsin
的性质可知，xsin
1x
是有界变量与无穷小量的乘积，根据无穷小量
1x
是无穷小量，所以lim xsin
x →0
=0
1
注意：（1）无穷多个无穷小量之和不一定是无穷小量。例如，当x →∞是
x
无穷小量，2x 个这种无穷小之和的极限显然为2。
（2）无穷多个无穷小量之积也不一定是无穷小量。
（3）无穷大量乘以有界量不一定是无穷大量。例如，当 x→x 0时，x 2
是无穷大量，
1x
2
是有界量，显然x 2·
1x
2
→0。
⎧x 2，x ≠0
（4）X →*下，f(x)>0，其极限lim f(x)未必大于0，例如，f （x ）=⎨
x →*
⎩8，x =0
显然f(x)=0.
5、利用无穷大量与无穷小量的关系求解
5x x
2
例5：求lim
x →2
-4
x -45x
2
解：因为lim x -4=0，lim 5x=10，所以我们可以求出lim
2
x →2x →2x →2
=
010
=0
这就是说，当x →2时，
数是无穷大量，所以
5x x
2
x -45x
2
为无穷小量，由于恒不为零的无穷小量的倒
5x x
2
-4
为x →2时的无穷大量，即lim
x →2
-4
=∞
6、利用初等函数的连续性质求解（适用于求函数在连续点处的极限） 利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果： （1） 若f(x)在x 0处连续，则lim f(x)= f(x 0) ；
x →x 0
lim f[ϕ(x)]=f(A); （2） 若x lim ϕ（x ）=A，y=f(u)在u=A处连续则x
→x →x
(x →∞) (x →∞)
g (x )
（3） 若x lim f(x)=A>0, x lim g(x)=B,则x lim =A B [f (x )]→x →x →x
(x →∞) (x →∞) (x →∞)
例6：lim ln 2（7x-6）
x →1
解：因为y=ln 2（7x-6）是初等函数，在定义域（
67
，+∞）内是连续的，所以
在x=1处也连续，根据连续的定义，极限值等于函数值，所以lim ln 2（7x-6）
x →1=ln 2（7-6）=0
7、利用约零因子法求解
x -3x
2
例7：求x lim
→3
-9
分析 所给两个函数中, 分子、分母的极限均是0, 不能直接使用法则四, 故采用消去零因子法.
x -3
解： 原式=lim (因式分解)
x →3
(x-3)(x+3) 1
=lim (约分消去零因子
x →3
(x+3)
)
=
=
(应用法则
)
当分子和分母的极限同时为零时，可以考虑约去分子、分母的零因子（若不
方便约分，可以考虑用重要极限或等价无穷小量代换或洛比达法则求解）。
想例题这种含根式型（或差式∞-∞型）求极限时，一下看不出零因子，
00
常常需要分子、分母有理化（或通分），然后再因式分解约去零因子进行求解。
8、利用等价无穷小量代换求解
当x →0时，有（1）sinx~x，（2）tanx~x，(3) arcsinx~x，(4) arctanx~x，(5)
e -1~x，
x
(6) ln(x+1) ~x， 例8：求lim
1-cos2x
x
2
x →0
1
2解：因为当x →0时，1-cos2x~2x ），
2
1
所以lim
1-cos2x
x
2
x →0
=lim
⨯（2x ）x
2
2
x →0
=lim
2x x
22
x →0
=2
（注意：在利用等价无穷小做代换时，一般只是在以乘积形式出现时才进行互换，
而以和、差出现时，不要轻易代换，否则可能出现改变了它的无穷小量之比的“阶数”之情况。） 9、利用两个重要极限公式及其推导公式来解
（1）第一个重要极限：lim
sinx x
x →0
=1：其变形为：lim
1
sin μ（x ）
μ（x ）→0
μ（x ）
=1
μ（x 1
x
（2）第二个重要极限：lim （1+x ）=e：其变形为：lim （1+μ（x ））
x →0μ（x ）→0
=e
1x 或lim （1+）=e：其变形为：lim （1+
μ（x ）→∞x →∞
x
）
μ（x ）
1
μ(x)
=e
例9：求lim
1-cosx x
2
x →0
00
解：先判断类型，是“”型，含三角函数（sin
x 2
→0），且不能消零因子，现
在我们利用第一个重要极限求解。
2sin
2
x 2=lim
x →0
解：原式=lim
x →0
x
2
2=1lim （
x 22x →0（2）2
sin
2
x
sin
x
1122）=×1=
x 22
2
10、运用洛比达法则求解（适用于未定式极限）
00
洛比达法则是求“”型和“
∞∞
”未定式极限的有效方法，但是非未定式
00
极限却不能求。（0-∞，∞-∞，00，1∞，∞0型未定式可以转化为“”型和“
∞∞
”未定式）
定理：若
（i ）lim f(x)=0，lim g （x ）=0
x →x 0
x →x 0
（ii ）f 与g 在x 0的某空心领域U 0(x0) 内可导，且g （x ）≠0 （iii ）lim
f (x ) g (x )
00
x →x 0
=A（A 可为实数，也可为±∞或∞），则lim
f (x ) g (x )
x →x 0
=lim
f (x ) g (x )
'
'
x →x 0
=A
此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。 例10：lim
x -3x +2x -x -x +1
3x -33x
2
2
3
23
x →1
（
00
型）
32
解：原式=lim
x →1
-2x -1
=lim x →1
6x 6x -2
=
注意：（1）并不是类似于“
x +sinx 例如：lim
x →∞
00
”型和“
∞∞
”型的极限都能用洛比达法则，利用
洛比达法则求解，一定要先验证是否满足洛比达法则求解。
1+x
1+cosx 解：原式=lim ，
x →∞
1
但是lim （1+cosx）极限不存在，所以不能再用洛比达法则求解。
x →∞
1
正确解法为原式=lim （1+cosx ）=1
x →∞
x
（2）应用洛比达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导
数。
（3）要及时简化极限符号后面的分式，在化简以后检查时候仍是未定式，若遇
到不是未定式，应立即停止使用洛比达法则，否则会引起错误。 （4）当lim
f (x ) g (x )
x →0
不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限
须用另外方法。
（5）将等价无穷小量代换等求极限的方法与洛比达法则结合起来使用，可简化
计算。
11、利用左、右极限讨论分段函数在其分段点处的极限
定理：函数极限lim f （x ）存在且等于A 的充分必要条件是左极限lim f （x ）及
x →x 0
x →x 0
-
右极限lim f （x ）都存在且都等于A 。即有：
x →x 0
+
lim f （x ）﹤=>lim f （x ）=lim f （x ）=A
x →x 0
x →x 0
-
x →x 0
+
例11：设
讨论
在点
处的极限是否存在.
分析 所给函数是分段函数,
须从极限存在的充要条件入手.
是分段点, 要知
是否存在, 必
解 因为 lim f(x)= lim (x-1)= - 1
x →0
-
x →0
-
lim f(x)= lim (x+1)=1
x →0
+
x →0
+
lim f(x)≠lim f(x)
x →0
-
x →0
+
所以lim f(x)不存在.
x →0
注1： 因为 从
的左边趋于
, 则
注2： 因为 从
的右边趋于
, 则
, 故
, 故
. .
此题也可以转化为讨论函数f(x)在x=0处的连续性问题。 12、利用函数极限的迫敛性求解
迫敛性（两边夹）若lim f （x ）=lim g(x)=A,且在某U 0(x0; ∆) 内有f(x)≤h(x) ≤
x →x 0
x →x 0
g(x),则lim h(x)=A
x →x 0
例12：求lim x[
x →0
1x
]
1x
解：当x>0时有1-x
x →0
1x
]
1x
另一方面，当x
x →0
1x
]
x →0
]=1
1x
]=1
函数连续性
（一）函数在一点的连续性
定义1[1] 设函数f 在某U (x 0) 内有定义，若lim f (x ) =f (x 0) ，则称f 在点x 0连续。
x →x 0
（二）一致连续性
定义2[1] 设f 为定义域在区间I 上的函数，若对任何的ε>0,存在δ=δ(ε)>0,使得对任何x ' , x '' ∈I , 只要|x ' -x '' |
三、函数连续性的性质[1]
（一）连续函数的局部性质
定理1(局部有界性) 若函数f 在点x 0连续，则f 在某U (x 0) 内有界。
定理2(局部保号性) 若函数f 在点x 0连续，且f (x 0) >0（或
r
, 存在某U x (0，使得对一切x ∈U x 0(有) )
f (x ) >r (或f (x )
定理3(四则运算) 若函数f 和g 在点x 0连续，则f ±g , f ∙g , f /g (这里g (x 0) ≠0) 也都在点x 0连续。
定理4 若函数f 在点x 0连续，g 在点u 0连续，u 0=f (x 0) ，则复合函数f g 在点
x 0连续。
（二）闭区间上连续函数的基本性质
定理5（最大、最小值定理）若函数f 在闭区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上有最大值与最小值。
定理6（介值性定理）设函数f 在闭区间[a,b]上连续，f(a)≠f(b).若μ为介于f(a)与f(b)之间的任何实数（f(a) μ>f(b)）, 则至少存在一点x 0∈(a,b),使得f(x 0)=μ. （三）反函数的连续性
定理7 若函数f 在[a,b]上严格单调并连续，则反函数f 或[f(b),f(a)]上连续。
定理8（一致连续性定理）若函数f 在区间[a,b]上连续，则f 在[a,b]上一致连续。
（四）初等函数的连续性
定理9 一切基本初等函数都是其定义域上的连续函数。 定理10 任何初等函数都是在其定义区间上的连续函数。 四、函数连续性的应用
（一）连续性在求函数极限中的应用
通过函数连续性的意义分析连续问题实质是一种极限问题，形式上说，它表
-1
在其定义域[f(a),f(b)]
明了连续函数的记号f 与极限的记号lim 的可交换性。所以当我们知道某个函数
x →x 0
是连续函数时，求极限的问题可以转化为一个非常简单的求函数值问题，特别是以上的定理9和定理10，在理论上说明了连续函数的广泛程度，而实际上提供了一个求初等函数极限的简便方法。
总结出一个求初等函数极限一般的方法：先判断所给的极限函数是不是初等函数，若所给的极限函数f(x)是初等函数，并且自变量是趋向于它们定义域中某一点x 0，那么，只须将x 0代人f(x)，即可计算出f(x)在x 0的函数值，就立刻得到想要求的lim f (x ) 的值了。
x →x 0
例1 求lim 解：
ln(1+x )
x →0
cos x
ln(1+x ) cos x
是初等函数，点x=0是它定义域中的点，所以
ln(1+x ) cos x
1+x
lim 例2
求lim (
x →+0
x →0
=f (0)=
ln(1+0) cos 0
=0
2+x 3+x
)
分析：所给函数是否初等函数，从目前的函数关系表示尚看不出来，是一种所谓的“幂指函数”，但若采用“先对数，后指数”的方法，将它改写成
(
2+x 3+x
)
1+x
=2
log 2(
2+x 3+x
)
=2
1+x
2
2+x 3+x
即可将它看成是初等函数u =
1+x
2
2+x 3+x
与基本初等函数y =2u 复合一
次的结果，故是一个初等函数，而x=0是它的定义域中的点，所以很容易可以求出结果。
lim (解
x
→+0例3 求lim
2+x 3+x
x
)
1+x
=lim 2
x →+0
1+x
2
2+x 3+x
=2
1+0
2
2+03+0
=2
log 2
23
=
23
e -1x
.
e -1x
x
x →0
分析：x=0不是初等函数定义域中的点，不能直接运用我们的一般方
法求解，但利用对数运算性质，令t=e x -1, 则有x=ln(1+t)，函数变为
e -1x
x
e -1x
t
x
=
t ln(1+t )
1lim
t →0
1
lim[ln(1+t )]t →0t
1
解 lim
x →0
=lim
t →0
ln(1+t )
=
ln(1+t )
t
=
=
t →0
1
1
=
t →0
1
1
=
1ln e
=
11
=1
lim ln(1+t ) x ln(lim(1+t ) x )
注；本题的结果可以作为重要极限的结果，在求其他极限时直接运用。它常对某些包括指数、对数运算及幂运算的所谓“”不定式的极限求法有很大帮助。
00
例4
求lim
x →2
分析 因为点x=2
的定义域中，所以不能直接用一
般方法求解，但是，注意到分子在x=2时也是零，所以我们用消去零因子的方法，先将分子、
42，使零因子x-2分离出来，然后消去，得到一个新的初等函数，对于这个函数，点x=2在其定义域内，再进行求解。
解
lim
=lim
=lim
x →2x →2
=lim
=
=48=12
x →2x →2
（二）介值定理的应用
1、判定方程f(x)=0在区间[a,b]内是否有根
若f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)*f(b)
例如 证明方程
f (x ) =x +x -1在
3
2x ∈(0,1)内必定有根。
证明 设f (x ) =x 3+x 2-1，它在[0,1]连续， 又f(0)= -10
故对于介于f(0)与f(1)之间的介值c=0，根据介值定理可知，
必存在ξ∈（0,1），使f(ξ) =0
即ξ3+ξ2-1=0，这说明x=ξ是方程x 3+x 2=1的根。
2、求方程的根达到的指定精确度的近似值 例如 求f (x ) =x 3+x 2-1中根ξ的一个近似值。
解 先取[0,1]的中点0.5，因f(x)= (0.5)3+(0.5)2-1
再取[0.5,1]的中点0.75，算得f(0.75)
这时，我们就可以取小区间的左端点（或者右端点）作为根ξ的一个不足（或者过剩）近似值，它与根ξ的精确值误差已不超过所指定的精确度。 (三) 判断函数在区间上是否有界
若f(x)在区间[a,b]连续，则f(x)在区间[a,b]有界。 例如 判断函数f(x)=arcsin x在区间[-1,1]上是否有界 解 因为f(x)=arcsin x是初等函数，在定义域连续 f(-1)=-1.57 ,f(1)=1.57
所以-π/2≤f(x)≤π/2，即有界.
（四）利用连续性求表达式中的常数 例如 选择a 的值，使下面的函数处处连续
2⎧
, x ≥1，⎪⎪x
f (x ) =⎨
π⎪a sin x , x
解 当x>1时，f(x)=
2x
连续；当x
π
2
x ) =a，lim +f (x ) =lim
x →1
π
2
x
连续，又因
x →1
lim -f (x ) =lim (a sin
x →1
2x
x →1
=2，而f(1)=2
所以必须取a=2 (五) 求闭区间上连续函数最值点
闭区间[a,b]上的连续函数f(x)一定在该区间上取得最大值和最小值，要注意f(x)必
须满足在[a,b]上连续，若有一点使f(x)不连续，则结论就不成立。 例1 设f 在[a,+∞）上连续，且lim f(x)存在。证明：f(x)在[a,+∞）上
x →+∞
有界，又问f 在[a,+∞）上必有最大值或最小值吗？
证明 因为lim f(x)存在（设极限为B ），可以推出：对ε=1，存在M>0,
x →+∞
当x>M（M>a）时，有 |f(x)-B|
∴ |f(x)|≤|f(x)-B|+|B|=|B|+1
而在闭区间[a,M]上，因为f(x)连续，所以有界，即存在N>0,使 任意x ∈[a,M],有|f(x)|
∴任意x ∈[a,+∞），恒有|f(x)|
因为若记ζ是f 在[a,M]上的最大值，T 是最小值，改写①式为 B-ε
当B
当T
当T=ζ=B时，要保持上述两结果不出现，必须在M 变得任意大时，在闭区间[0,M]上，恒有f(x)=B→f(x)=B,x∈[a,+∞），自然最大值、最小值都是B
3⎧
1-|x -2|,≤x
例2 讨论函数f(x)= ⎨0, 3≤x
⎪x -4, 4≤x ≤6. ⎪⎩
分析：闭区间[a,b]上的连续函数一定能取到最大值和最小值，哪些点有可能是最值点呢？很多教材指出：[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内极限点和区间端点取得。笔者认为这种说法是不正确的，事实上有些联系函数，其最值也可以在非极值点和非端点处取得。本题就是一个很好的例子。
函数f(x)在区间[3/2,6]上是连续的，但是最小值是在区间[3,4]上的所有点处取得。而根据极值点的定义知[3,4]上的点都不是极值点。
产生上述错误的原因是忽略了一个事实：若f(x)是[a,b]上的连续函数在（a,b ）的一个最大（小）值点x 0，则x 0可能是极大（小）值点，从而x 0是驻点或者是函数不可导点。x 0还可能不是极值点，这时存在一个小区间[c,d] ⊂(a,b), x 0∈[c,d]，函数在[c,d]上是一个常值，这个值就是函数在[a,b]上的最大（小）值。显然（c,d ）内的点都是驻点，端点c 和a 可能是驻点，也可能是不可导的点。
所以，严格地说，[a,b]上连续函数的最大（小）值仅可能在区间内的驻点，不可导的点，以及区间两断点处取得。 （六）压缩映射及其不动点
1、压缩映射的定义：若f(x)在区间[a,b]上有定义，且满足 （1）f([a,b])⊂[a,b];
（2）存在定值k ，0≤k
2、定理：压缩映射必定存在不动点，即若y=f(x)是[a,b]上的压缩映射，则存在x *∈[a,b]，使得f(x *)=x *
证明：1。任意x 0∈[a,b],若f(x 0) ≠x 0，令x 1=f（x 0），x 2=f(x 1), „,
x n =f(x n -1), 由定义，数列{x n }⊂[a,b].
[7]
。
2 |x n -x n -1|=|f (x n -1) -f (x n -2) |≤k |x n -1-x n -2|
=k |f (x n -2) -f (x n -3) |≤k |x n -2-x n -3|≤... ≤k
2n -1
|x 1-x 0|
3。对任何自然数p
|x n +p -x n |=|x n +p -x n +p -1+x n +p -1-x n +p -2+... +x n +1-x n |
≤|x n +p -x n +p -1|+|x n +p -1-x n +p -2|+... |x n +1-x n | ≤(k
n +p -1
+k
n +p -2
+... +k ) |x 1-x 0|
n
=
1-k
p
1-k
11-k
k |x 1-x 0|
n
≤
k |x 1-x 0|
n
ln(1-k )
。
4任意ε>0，存在N=[
ε
x 1-x 0
ln k
]
使得：n>N→
11-k
k |x 1-x 0|
n
所以对任何自然数p,| x n +p -x n |
所以数列{x n }收敛。
5。设lim x n =x *，因为{x n }⊂[a,b],所以x *∈[a,b]
n →∞
x n =f(x n -1) 两边求极限，因为f(x)连续，
所以x *=f(x *), 可见x *是f(x)的不动点。
6。用不动点原理求方程F(x)=0的根的近似值
方法：若已判断F(x)=0在[a,b]存在根，可将F(x)=0恒等变形为x=f(x),并使f(x)是[a,b]上的压缩映射。任意x 0∈[a,b]，构造数列x n =f(x n -1) （n=1，2，„）可见，方程的根x *=lim f(x *), 当n 大到一定程度，x n 就是根的近似值。
n →∞
总结负责人：李阳