6.2 三对角线矩阵法(Tri diagonal matrix method)
将MESH方程按类型分成三组，即修正的M-方程、S-方程和H-方程，然后分别求解。适合于操作型计算，具有计算速度快和占内存少等优点。
6.2.1方程的离解方法和三对角矩阵方程的托玛斯法
一、 方程的离解
将方程组离解成为某个组分i在N块板上的一个矩阵方程进行求解，C个组分的体系就有C个矩阵方程。
E
将式Gi,j=yi,j−Ki,jxi,j=0代入
GiM,j=Lj−1xi,j−1+Vj+1yi,j+1+Fjzi,j−(Lj+Uj)xi,j−(Vj+Wj)yi,j=0
消去yi,j得：
Lj−1xi,j−1+Vj+1Ki,jxi,j+1+Fjzi,j−(Lj+Uj)xi,j−(Vj+Wj)Ki,jxi,j=0 (6-9)
总物料衡算(从顶到j级)：
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-10)
m=1j
(6-10)代入(6-9)消去Lij，
Ajxi,j−1+Bi,jxi,j+Ci,jxi,j+1=Di,j (6-11)
式中：Aj=Vj+∑(Fm−Um−Wm)−V1 2≤j≤N (6-12)
m=1j-1
Bi,j=−[Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1+Uj+(Vj+Wj)Ki,j] 1≤j≤N (6-13)
m=1
j
Ci,j=Vj+1Ki,j+1 1≤j≤N-1 (6-14)
Di,j=−Fjzi,j 1≤j≤N (6-15)
其中Bj，Cj，Dj与组分i有关，xi,0不存在(=0)，Vi,N+1不存在(=0)，W1=0，UN=0
对组分i ，式(6-11)展开为：
j=1： Bi,1xi,1+Ci,1xi,2=Di,1 j=2： A2xi,1+Bi,jxi,2+Ci,jxi,2+1=Di,2 # # # j=j： Ajxi,j−1+Bi,jxi,j+Ci,jxi,j+1=Di,j
(6-11a) # # #
j=N-1： AN-1xi,N−2+Bi,N-1xi,N−1+Ci,N-1xi,N=Di,N-1
j=N： ANxi,N−1+Bi,Nxi,N=Di,N
(6-11a)可写成矩阵形式：
⎡Bi,1Ci,1⎤⎡xi,1⎤⎡Di,1⎤⎢AB⎥⎢x⎥⎢D⎥Ci,2i,2⎢2⎥⎢i,2⎥⎢i,2⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
AjBi,jCi,j
⎢⎥⎢xi,j⎥=⎢Di,j⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎥ (6-16) ⎢⎥⎢⎥⎢
AN-1Bi,N−1Ci,N−1⎥⎢xi,N−1⎥⎢Di,N−1⎥⎢
⎢⎥⎢x⎥⎢D⎥ABi,N⎦⎣i,N⎦N⎣⎣i,N⎦
共有C个矩阵。
上式即成为求解液相组成的线性方程组(修正的M—方程)。
假定各级温度Tj和气相流率Vj，计算相平衡常数K后，用托玛斯法可简便地求解(6-16)得到xi,j。然后：
yi,j=Ki,jxi,j；
jm=1
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1
这样就求出了各级的xij,yij,Lj,Vj,Tj。
MESH中的另外两组方程S-方程和H-方程用来迭代和收敛变量Tj和Vj。 因方程和变量的不同组合可给出不同的解法(泡点法和流量加和法)。
二、 三对角线矩阵的托玛斯法
对于具有三对角线矩阵的线性方程组，常用追赶法(或称托玛斯法)求解。该法仍属高斯消元法。变换(6-16)第一行(式)：
j=1： Bi,1xi,1+Ci,1xi,2=Di,1， 其中：Ci,j=Vj+1Ki,j+1=V2Ki,2，
jm=1
Bi,j=−[Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1+Uj+(Vj+Wj)Ki,j]
解出：
xi,1=qi,1-pi,1xi,2 (6-18)
C式中: pi,1Di,1
i,1=B，qi,1=i,1B
i,1
类似地，变换第二行：
xi,2=qi,2-pi,2xi,3
式中: pi,2
i,2=CB−Ap qi,2
=
Di,2−A2qi,1
i,22i,1
Bi,2−A2pi,1
第j行：
xi,j=qi,j-pi,jxi,j+1
Cj−Ajqi,j−1
式中: pi,j
Di,i,j=Bi,j−Ajp qi,j=i,j−1Bi,j−Ajpi,j
−1 第N行：xi,N=qi,N
式中:
qi,N
=
Di,N−ANqi,N−1
Bi,N−ANpi,N−1
(pi,N=0)
矩阵式(6-16)可写为：
⎡⎢1pi,1pi,N⎤⎢
1pi,2⎥⎡xi,1⎤⎡qi,1⎤⎢⎥⎢⎢
⎢i,2⎥⎥
i,j⎢⎥⎢
⎢x⎥⎢⎢⎥⎥i,j⎥=⎢qi,j⎢
⎥⎢⎥
⎥⎢1
p⎥
⎢⎥⎢⎥⎢i,N−1⎥⎢xi,N−1⎥⎣
1⎥⎦⎢⎢qi,N−1⎥
⎣xi,N⎥⎦⎢⎣qi,N⎥⎦
(6-22)
求解过程，先解得xi,N,然后逐级回代直至xi,1，得到xi,j、Tj、Vj、yi,j、Lj。
6.2.2 泡点法(BP)法
组分的汽液平衡常数变化范围窄时，用泡点方程计算新的级温度是特别有效的，然后求解三对角矩阵的方法称为泡点法。
泡点法计算，用修正的M-方程计算xi,j，在内层循环用S-方程计算Tj，而在外层循环中用H-方程迭代求Vj。
一般已知总级数N，回流量L1，馏出量U1、塔顶馏出量V1，各级进料F和各级侧线流量W，U。
初值确定：
① 恒摩尔流假定得到一组Vj；
② 塔顶和塔底温度差线性插值确定各级温度，③ 线性插值各级压力；
④ 第一次迭代假定理想溶液的K值和xi,j。
计算过程：图6-3。
T
j初=TD+(
TB−TD
j−1)；N−1
框图说明
①归一化方法：
xi,j=xi,j∑xi,j (6-24)
i=1
C
②求塔顶冷凝器和塔釜再沸器热负荷： 因L1，F1，U1，V1已规定，
由(6-10)： V2=L1+(F1−U1)+V1 (6-25)
塔顶冷凝器热负荷：
由(6-5) Q1=V2H2+F1HF,1−(L1+U1)h1−V1H1 (6-26)
塔釜再沸器热负荷：由(6-10) 总物料衡算
LN=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-27)
m=1N
由(6-5)：QN=Lj=Vj+1+∑(FmHF,m−Umhm−WmHm)−∑Qm−V1H1−LNhN (6-28)
NN
m=1
m=1
⑤ 修正H-方程求Vj 由
(6-5)式GHj=Lj−1hj−1+Vj+1Hj+1+FjHF,j−(Lj+Uj)hj−(Vj+Wj)Hj−Q=0
j
把Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1代入，消去Lj， Lm=1
j−1，整理为：
αjVj+βjVj+1=γj (6-29) 式中：
αj=hj−1−Hj (6-30)
βj=Hj+1−hj (6-31)
γj-1
j=Vj+1+[∑(Fm−Um−Wm)−V1](hj−hj−1)+Fj(hj−HF,j)+Wj(H1
j−hj)+Qm=j(6-32)
从第2级到N-1级，写出(6-29)：
⎡⎢β2⎤⎥⎡V3⎤⎡γ2−α2V2⎤⎢α3β3
⎢⎥⎢⎢
⎥⎢V⎥⎢γ⎥
4⎥3⎢α⎥⎢j
βj
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢V⎥⎢⎢⎥j ⎥=⎢γ⎥
j⎥
⎢α⎥⎢⎢N-2βN-2
⎥⎢⎥⎢V⎥⎢⎢⎥⎥ (6-33) N−1⎥⎢γN−2⎣
αN-1
βN-1⎥⎦⎢⎣N⎥⎦⎢⎥V⎣γN−1⎥⎦
逐级求解的通式：
：
γj−1−αjVj−1
Vj= (6-36)
βj-1
⑥迭代终止标准：
(6-37)
εT=∑[(Tj)k−(Tj)k−1]2≤0.01N (6-38)
⑦对迭代结果调整
应对级温度给出上、下限；
级间流率为负值时，变成接近于零的正值；
迭代过程发生振荡，采用阻尼因子来限制，使两次迭代之间值的变化小于10%。
例题
解：D=U1=50 mol/h， L1=100 mol/h，V2=150 mol/h 估计初值:
级序号(j) Vj/(mol/h) Tj/(K)
平衡常数：
按(6-12)~(6-15)计算常数A、B、C、D，得到方程组的矩阵(6-16)的形式:
000⎤⎡x1,1⎤⎡0⎤⎡−150244.5
⎥⎢x⎥⎢0⎥⎢100−344.5325.500⎥⎥⎢1,2⎥⎢⎢
⎢0100525.54050⎥⎢x1,3⎥=⎢−30⎥
⎥⎥⎢⎥⎢⎢
x[1**********].50−⎥⎥⎢1,4⎥⎢⎢
⎥⎣0⎥⎢00200549.5⎥⎦⎦⎢⎣0⎣x1,5⎦⎢
转换系数(6-22)形式：
000⎤⎡x1,1⎤⎡0⎤⎡1−1.63
⎥⎢x⎥⎢0⎥⎢011.79300−⎥⎥⎢1,2⎥⎢⎢
⎢0010⎥⎢x1,3⎥=⎢0.0867⎥ −1.170
⎥⎥⎢⎥⎢⎢
x00011.3460.0867−⎥⎥⎢1,4⎥⎢⎢
⎥⎣0.0867⎥⎢0001⎥⎦⎦⎢⎣0⎣x1,5⎦⎢
求解得到液相组成：
归一化后(6-3)求泡点温度分布，并与初值比较：
计算流体的焓值：
液相 hj=∑xi,jhi,j ； 汽相 Hj=
∑yi,jHi,j
j=1
j=1
C
C
按(6-30)、(6-31)、(6-32)计算系数α、β、γ得到(6-33)形式的矩阵
:
求解得到汽相流量分布：
(6-38)计算收敛判别式τ：
需要继续迭代。
例6-2： 初值迭代次数的影响
:
初值的设定和收敛的迭代次数：
温度分布：
6.2.3 流率加和法 (Sum-Rates method，1964)
在气体吸收和解吸计算时，组分间的沸点差较大，热量平衡对级温度比对级间流率敏感得多。
用S－方程计算Vj、用H－方程计算xi,j的另一类三对角线矩阵法，称之为流率加和法。
由物料平衡方程和相平衡方程校正各级的气、液相流率为内循环，由热平衡方程校正各级温度为外循环，迭代直至收敛。流率加和法适用于各组分沸点差较大的体系。
规定变量：进料状态：Fj,zi,j,pF,j,TF,j,(HF,j,)，
气、液相侧线：Wj，Uj，
各级的热负荷(Qj)、压力(pj)和总级数(N)。
设定初值：Tj(塔顶、塔底线性分布)，Vj(简单物料衡算)。 计算方法：与泡点法相同计算xi,j，但不归一就计算Lj
L
(k+1)j
(k)j
=L
∑x
i=1
C
i,j
(6-39)
式中Lj(k)由(6-10)从Vj(k)计算
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-10)
m=1j
对应的，Vj(k+1)由物料衡算(6-40)计算
Vj=Lj−1+LN+∑(Fm−Wm−Um) (6-40)
m=1N
然后(6-23)归一化xi,j，用泡点方程计算各级新的温度Tj、yi,j。
至此，可列出以一组以Tj(k+1)为未知数的N个热量平衡式：
GHj=Lj−1hj−1+Vj+1Hj+1+FjHF,j−(Lj+Uj)hj−(Vj+Wj)Hj−Q=0
(6-5)
(k+1)
热量平衡计算式是温度的非线性函数，若一组Tj满足热量平衡式，即：
(k+1)(k+1)(k+1)
GH=f(T,T,Tjj−1jj+1)=0
对热量平衡式作线性化处理：
H(k)
GH=G+(jj
∂GHj∂Tj-1
k)
)(k)ΔTj(−1+(
∂GHj∂Tj
(k)ΔTj(k)+(
∂GHj∂Tj+1
k)
(k)ΔTj(+1=0
移项：
HH
∂GH∂G∂Gj(k)j(k)j()ΔTj(−k1)+()ΔTj(k)+()(k)ΔTj(+k1)=−GH(k)j (6-41) ∂Tj-1∂Tj∂Tj+1
式中：
ΔTj(k)=Tj(k+1)−Tj(k) (6-42)
(((∂GHj∂Tj-1∂GHj∂Tj-1∂GHj∂Tj+1
))
(k)
=Lj−1(
∂hj−1∂Tj−1
6.2 三对角线矩阵法(Tri diagonal matrix method)
将MESH方程按类型分成三组，即修正的M-方程、S-方程和H-方程，然后分别求解。适合于操作型计算，具有计算速度快和占内存少等优点。
6.2.1方程的离解方法和三对角矩阵方程的托玛斯法
一、 方程的离解
将方程组离解成为某个组分i在N块板上的一个矩阵方程进行求解，C个组分的体系就有C个矩阵方程。
E
将式Gi,j=yi,j−Ki,jxi,j=0代入
GiM,j=Lj−1xi,j−1+Vj+1yi,j+1+Fjzi,j−(Lj+Uj)xi,j−(Vj+Wj)yi,j=0
消去yi,j得：
Lj−1xi,j−1+Vj+1Ki,jxi,j+1+Fjzi,j−(Lj+Uj)xi,j−(Vj+Wj)Ki,jxi,j=0 (6-9)
总物料衡算(从顶到j级)：
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-10)
m=1j
(6-10)代入(6-9)消去Lij，
Ajxi,j−1+Bi,jxi,j+Ci,jxi,j+1=Di,j (6-11)
式中：Aj=Vj+∑(Fm−Um−Wm)−V1 2≤j≤N (6-12)
m=1j-1
Bi,j=−[Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1+Uj+(Vj+Wj)Ki,j] 1≤j≤N (6-13)
m=1
j
Ci,j=Vj+1Ki,j+1 1≤j≤N-1 (6-14)
Di,j=−Fjzi,j 1≤j≤N (6-15)
其中Bj，Cj，Dj与组分i有关，xi,0不存在(=0)，Vi,N+1不存在(=0)，W1=0，UN=0
对组分i ，式(6-11)展开为：
j=1： Bi,1xi,1+Ci,1xi,2=Di,1 j=2： A2xi,1+Bi,jxi,2+Ci,jxi,2+1=Di,2 # # # j=j： Ajxi,j−1+Bi,jxi,j+Ci,jxi,j+1=Di,j
(6-11a) # # #
j=N-1： AN-1xi,N−2+Bi,N-1xi,N−1+Ci,N-1xi,N=Di,N-1
j=N： ANxi,N−1+Bi,Nxi,N=Di,N
(6-11a)可写成矩阵形式：
⎡Bi,1Ci,1⎤⎡xi,1⎤⎡Di,1⎤⎢AB⎥⎢x⎥⎢D⎥Ci,2i,2⎢2⎥⎢i,2⎥⎢i,2⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
AjBi,jCi,j
⎢⎥⎢xi,j⎥=⎢Di,j⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎥ (6-16) ⎢⎥⎢⎥⎢
AN-1Bi,N−1Ci,N−1⎥⎢xi,N−1⎥⎢Di,N−1⎥⎢
⎢⎥⎢x⎥⎢D⎥ABi,N⎦⎣i,N⎦N⎣⎣i,N⎦
共有C个矩阵。
上式即成为求解液相组成的线性方程组(修正的M—方程)。
假定各级温度Tj和气相流率Vj，计算相平衡常数K后，用托玛斯法可简便地求解(6-16)得到xi,j。然后：
yi,j=Ki,jxi,j；
jm=1
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1
这样就求出了各级的xij,yij,Lj,Vj,Tj。
MESH中的另外两组方程S-方程和H-方程用来迭代和收敛变量Tj和Vj。 因方程和变量的不同组合可给出不同的解法(泡点法和流量加和法)。
二、 三对角线矩阵的托玛斯法
对于具有三对角线矩阵的线性方程组，常用追赶法(或称托玛斯法)求解。该法仍属高斯消元法。变换(6-16)第一行(式)：
j=1： Bi,1xi,1+Ci,1xi,2=Di,1， 其中：Ci,j=Vj+1Ki,j+1=V2Ki,2，
jm=1
Bi,j=−[Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1+Uj+(Vj+Wj)Ki,j]
解出：
xi,1=qi,1-pi,1xi,2 (6-18)
C式中: pi,1Di,1
i,1=B，qi,1=i,1B
i,1
类似地，变换第二行：
xi,2=qi,2-pi,2xi,3
式中: pi,2
i,2=CB−Ap qi,2
=
Di,2−A2qi,1
i,22i,1
Bi,2−A2pi,1
第j行：
xi,j=qi,j-pi,jxi,j+1
Cj−Ajqi,j−1
式中: pi,j
Di,i,j=Bi,j−Ajp qi,j=i,j−1Bi,j−Ajpi,j
−1 第N行：xi,N=qi,N
式中:
qi,N
=
Di,N−ANqi,N−1
Bi,N−ANpi,N−1
(pi,N=0)
矩阵式(6-16)可写为：
⎡⎢1pi,1pi,N⎤⎢
1pi,2⎥⎡xi,1⎤⎡qi,1⎤⎢⎥⎢⎢
⎢i,2⎥⎥
i,j⎢⎥⎢
⎢x⎥⎢⎢⎥⎥i,j⎥=⎢qi,j⎢
⎥⎢⎥
⎥⎢1
p⎥
⎢⎥⎢⎥⎢i,N−1⎥⎢xi,N−1⎥⎣
1⎥⎦⎢⎢qi,N−1⎥
⎣xi,N⎥⎦⎢⎣qi,N⎥⎦
(6-22)
求解过程，先解得xi,N,然后逐级回代直至xi,1，得到xi,j、Tj、Vj、yi,j、Lj。
6.2.2 泡点法(BP)法
组分的汽液平衡常数变化范围窄时，用泡点方程计算新的级温度是特别有效的，然后求解三对角矩阵的方法称为泡点法。
泡点法计算，用修正的M-方程计算xi,j，在内层循环用S-方程计算Tj，而在外层循环中用H-方程迭代求Vj。
一般已知总级数N，回流量L1，馏出量U1、塔顶馏出量V1，各级进料F和各级侧线流量W，U。
初值确定：
① 恒摩尔流假定得到一组Vj；
② 塔顶和塔底温度差线性插值确定各级温度，③ 线性插值各级压力；
④ 第一次迭代假定理想溶液的K值和xi,j。
计算过程：图6-3。
T
j初=TD+(
TB−TD
j−1)；N−1
框图说明
①归一化方法：
xi,j=xi,j∑xi,j (6-24)
i=1
C
②求塔顶冷凝器和塔釜再沸器热负荷： 因L1，F1，U1，V1已规定，
由(6-10)： V2=L1+(F1−U1)+V1 (6-25)
塔顶冷凝器热负荷：
由(6-5) Q1=V2H2+F1HF,1−(L1+U1)h1−V1H1 (6-26)
塔釜再沸器热负荷：由(6-10) 总物料衡算
LN=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-27)
m=1N
由(6-5)：QN=Lj=Vj+1+∑(FmHF,m−Umhm−WmHm)−∑Qm−V1H1−LNhN (6-28)
NN
m=1
m=1
⑤ 修正H-方程求Vj 由
(6-5)式GHj=Lj−1hj−1+Vj+1Hj+1+FjHF,j−(Lj+Uj)hj−(Vj+Wj)Hj−Q=0
j
把Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1代入，消去Lj， Lm=1
j−1，整理为：
αjVj+βjVj+1=γj (6-29) 式中：
αj=hj−1−Hj (6-30)
βj=Hj+1−hj (6-31)
γj-1
j=Vj+1+[∑(Fm−Um−Wm)−V1](hj−hj−1)+Fj(hj−HF,j)+Wj(H1
j−hj)+Qm=j(6-32)
从第2级到N-1级，写出(6-29)：
⎡⎢β2⎤⎥⎡V3⎤⎡γ2−α2V2⎤⎢α3β3
⎢⎥⎢⎢
⎥⎢V⎥⎢γ⎥
4⎥3⎢α⎥⎢j
βj
⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢V⎥⎢⎢⎥j ⎥=⎢γ⎥
j⎥
⎢α⎥⎢⎢N-2βN-2
⎥⎢⎥⎢V⎥⎢⎢⎥⎥ (6-33) N−1⎥⎢γN−2⎣
αN-1
βN-1⎥⎦⎢⎣N⎥⎦⎢⎥V⎣γN−1⎥⎦
逐级求解的通式：
：
γj−1−αjVj−1
Vj= (6-36)
βj-1
⑥迭代终止标准：
(6-37)
εT=∑[(Tj)k−(Tj)k−1]2≤0.01N (6-38)
⑦对迭代结果调整
应对级温度给出上、下限；
级间流率为负值时，变成接近于零的正值；
迭代过程发生振荡，采用阻尼因子来限制，使两次迭代之间值的变化小于10%。
例题
解：D=U1=50 mol/h， L1=100 mol/h，V2=150 mol/h 估计初值:
级序号(j) Vj/(mol/h) Tj/(K)
平衡常数：
按(6-12)~(6-15)计算常数A、B、C、D，得到方程组的矩阵(6-16)的形式:
000⎤⎡x1,1⎤⎡0⎤⎡−150244.5
⎥⎢x⎥⎢0⎥⎢100−344.5325.500⎥⎥⎢1,2⎥⎢⎢
⎢0100525.54050⎥⎢x1,3⎥=⎢−30⎥
⎥⎥⎢⎥⎢⎢
x[1**********].50−⎥⎥⎢1,4⎥⎢⎢
⎥⎣0⎥⎢00200549.5⎥⎦⎦⎢⎣0⎣x1,5⎦⎢
转换系数(6-22)形式：
000⎤⎡x1,1⎤⎡0⎤⎡1−1.63
⎥⎢x⎥⎢0⎥⎢011.79300−⎥⎥⎢1,2⎥⎢⎢
⎢0010⎥⎢x1,3⎥=⎢0.0867⎥ −1.170
⎥⎥⎢⎥⎢⎢
x00011.3460.0867−⎥⎥⎢1,4⎥⎢⎢
⎥⎣0.0867⎥⎢0001⎥⎦⎦⎢⎣0⎣x1,5⎦⎢
求解得到液相组成：
归一化后(6-3)求泡点温度分布，并与初值比较：
计算流体的焓值：
液相 hj=∑xi,jhi,j ； 汽相 Hj=
∑yi,jHi,j
j=1
j=1
C
C
按(6-30)、(6-31)、(6-32)计算系数α、β、γ得到(6-33)形式的矩阵
:
求解得到汽相流量分布：
(6-38)计算收敛判别式τ：
需要继续迭代。
例6-2： 初值迭代次数的影响
:
初值的设定和收敛的迭代次数：
温度分布：
6.2.3 流率加和法 (Sum-Rates method，1964)
在气体吸收和解吸计算时，组分间的沸点差较大，热量平衡对级温度比对级间流率敏感得多。
用S－方程计算Vj、用H－方程计算xi,j的另一类三对角线矩阵法，称之为流率加和法。
由物料平衡方程和相平衡方程校正各级的气、液相流率为内循环，由热平衡方程校正各级温度为外循环，迭代直至收敛。流率加和法适用于各组分沸点差较大的体系。
规定变量：进料状态：Fj,zi,j,pF,j,TF,j,(HF,j,)，
气、液相侧线：Wj，Uj，
各级的热负荷(Qj)、压力(pj)和总级数(N)。
设定初值：Tj(塔顶、塔底线性分布)，Vj(简单物料衡算)。 计算方法：与泡点法相同计算xi,j，但不归一就计算Lj
L
(k+1)j
(k)j
=L
∑x
i=1
C
i,j
(6-39)
式中Lj(k)由(6-10)从Vj(k)计算
Lj=Vj+1+∑(Fm−Um−Wm)−V1 (6-10)
m=1j
对应的，Vj(k+1)由物料衡算(6-40)计算
Vj=Lj−1+LN+∑(Fm−Wm−Um) (6-40)
m=1N
然后(6-23)归一化xi,j，用泡点方程计算各级新的温度Tj、yi,j。
至此，可列出以一组以Tj(k+1)为未知数的N个热量平衡式：
GHj=Lj−1hj−1+Vj+1Hj+1+FjHF,j−(Lj+Uj)hj−(Vj+Wj)Hj−Q=0
(6-5)
(k+1)
热量平衡计算式是温度的非线性函数，若一组Tj满足热量平衡式，即：
(k+1)(k+1)(k+1)
GH=f(T,T,Tjj−1jj+1)=0
对热量平衡式作线性化处理：
H(k)
GH=G+(jj
∂GHj∂Tj-1
k)
)(k)ΔTj(−1+(
∂GHj∂Tj
(k)ΔTj(k)+(
∂GHj∂Tj+1
k)
(k)ΔTj(+1=0
移项：
HH
∂GH∂G∂Gj(k)j(k)j()ΔTj(−k1)+()ΔTj(k)+()(k)ΔTj(+k1)=−GH(k)j (6-41) ∂Tj-1∂Tj∂Tj+1
式中：
ΔTj(k)=Tj(k+1)−Tj(k) (6-42)
(((∂GHj∂Tj-1∂GHj∂Tj-1∂GHj∂Tj+1
))
(k)
=Lj−1(
∂hj−1∂Tj−1