解决至少与至多问题的根本思路是整体分类，局部分步的思路，但当类别较多时，也可以采用间接法来考虑，利用间接法解决问题时要注意不满足条件的情况有几种，每一种不满足条件的情况如何计算；同时要注意正确理解至少与至多的真正含义.
【例1】 将5本不同的书分给3人，每人至少1本，有几种不同的分法？
【思考与分析】 每人至少1本可以分成1人1本，其余两人各2本和1人3本，其余两人各1本两种情况，对这两种情况分别求解再求和即可.
解一： 每人至少1本，则出现两种情况：
（1）1人1本，其余两人各2本，先将5本书分成三份，再把这3
份分给三个不同的人，则
（2）1人3本，其余两人各1本，先将5本书分成三份，再把这3份分给三个不同的人，则
=60.共有
=150（种）不同的分法.
解二：甲、乙、丙三人只可能是1+2+2，2+2+1，2+1+2三种情况和1、1、3的排列所以有122221C5C4C5C3C5C390,与=60，共150种。
【小结】 在每一类中，都采用了先取元素分份，然后再将三份分给三个人的方法，体现了向基本类型转化的思路，此题若用间接法，就会很复杂.
【例2】 从7名男生和5名女生中选出5人组成代表队，其中最多有3名男生，则不同的选法种数有多少？
【思考与分析】 可以采用分类讨论求解也可以采用间接法求解.
方法1： 分类讨论
被选出的5人中最多有3名男生，则出现4类：
（1）3名男生和2名女生共有
的选法；（3）1名男生和4名女生共有种不同的选法；（2）2名男生和3名女生共有种不同的选法（4）5名女生共有种不同的选法， 种不同 由分类计数原理可得：不同的选法共有：
方法2： 间接法
从7名男生和5名女生中任选出5人共有596（种）排法. 种不同的方法，不满足条件的共有下列两种情况：（1）4名男生和1名女生共有种不同的选法；（2）5名男生共有
种不同的选法，则满足条件的选法共有
=596（种）.
【小结】 当分类的次数少于不满足条件的类别时，可采用分类，否则可采用间接法.分类解决比较直
接，而且在每一类中计算方便，间接法中要明确不满足条件的情况有几种，不可遗漏.
【例3】 6个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法有多少种？
【思考与分析】 “甲、乙之间至少有一个人”，共包括四种情况：两人之间有一个人、有两个人、有三个人、有四个人，进而转化为相邻问题或不相邻问题，分别利用“捆绑”法或“插空”法解决.
解： （1）两人之间有1个人：
（2）两人之间有2个人：=192（种）； =144（种）；
（3）两人之间有3个人：
（4）两人之间有4个人：=96（种）； =48（种）.
则不同的排法种数共有=480（种）.
【小结】 此种解法虽然分类较多，但在每一类中解决的方法都不是很难，可以使用，但如果对问题中的条件进一步理解：“甲、乙之间至少有一个人”的含义实质就是甲、乙两人不相邻，从而转化为不相邻问题，很简单就可以采用插空法来处理即：种.
可见，解决至少与至多问题要注意分清至少与至多的含义，准确地把握分类标准，若正面入手，分类较多，可以从反面入手，利用间接法可以简化计算过程.
解决至少与至多问题的根本思路是整体分类，局部分步的思路，但当类别较多时，也可以采用间接法来考虑，利用间接法解决问题时要注意不满足条件的情况有几种，每一种不满足条件的情况如何计算；同时要注意正确理解至少与至多的真正含义.
【例1】 将5本不同的书分给3人，每人至少1本，有几种不同的分法？
【思考与分析】 每人至少1本可以分成1人1本，其余两人各2本和1人3本，其余两人各1本两种情况，对这两种情况分别求解再求和即可.
解一： 每人至少1本，则出现两种情况：
（1）1人1本，其余两人各2本，先将5本书分成三份，再把这3
份分给三个不同的人，则
（2）1人3本，其余两人各1本，先将5本书分成三份，再把这3份分给三个不同的人，则
=60.共有
=150（种）不同的分法.
解二：甲、乙、丙三人只可能是1+2+2，2+2+1，2+1+2三种情况和1、1、3的排列所以有122221C5C4C5C3C5C390,与=60，共150种。
【小结】 在每一类中，都采用了先取元素分份，然后再将三份分给三个人的方法，体现了向基本类型转化的思路，此题若用间接法，就会很复杂.
【例2】 从7名男生和5名女生中选出5人组成代表队，其中最多有3名男生，则不同的选法种数有多少？
【思考与分析】 可以采用分类讨论求解也可以采用间接法求解.
方法1： 分类讨论
被选出的5人中最多有3名男生，则出现4类：
（1）3名男生和2名女生共有
的选法；（3）1名男生和4名女生共有种不同的选法；（2）2名男生和3名女生共有种不同的选法（4）5名女生共有种不同的选法， 种不同 由分类计数原理可得：不同的选法共有：
方法2： 间接法
从7名男生和5名女生中任选出5人共有596（种）排法. 种不同的方法，不满足条件的共有下列两种情况：（1）4名男生和1名女生共有种不同的选法；（2）5名男生共有
种不同的选法，则满足条件的选法共有
=596（种）.
【小结】 当分类的次数少于不满足条件的类别时，可采用分类，否则可采用间接法.分类解决比较直
接，而且在每一类中计算方便，间接法中要明确不满足条件的情况有几种，不可遗漏.
【例3】 6个人排成一排，甲、乙两人中间至少有一个人的排法有多少种？
【思考与分析】 “甲、乙之间至少有一个人”，共包括四种情况：两人之间有一个人、有两个人、有三个人、有四个人，进而转化为相邻问题或不相邻问题，分别利用“捆绑”法或“插空”法解决.
解： （1）两人之间有1个人：
（2）两人之间有2个人：=192（种）； =144（种）；
（3）两人之间有3个人：
（4）两人之间有4个人：=96（种）； =48（种）.
则不同的排法种数共有=480（种）.
【小结】 此种解法虽然分类较多，但在每一类中解决的方法都不是很难，可以使用，但如果对问题中的条件进一步理解：“甲、乙之间至少有一个人”的含义实质就是甲、乙两人不相邻，从而转化为不相邻问题，很简单就可以采用插空法来处理即：种.
可见，解决至少与至多问题要注意分清至少与至多的含义，准确地把握分类标准，若正面入手，分类较多，可以从反面入手，利用间接法可以简化计算过程.