和差公式
sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β.......... .......... ..... 1 sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β.......... .......... ..... 2 cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β.......... .......... ..... 3 cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β.......... .......... ..... 4
0000
13
00
和
24
00
cos αcos β）
.......... .......... .......... ...... 5
tan α(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan βtan α-tan β1+tan αtan β
.......... .......... .......... ...... 6
tan α(α-β) =
倍角公式：
令1中的β=α令3中的β=α
2
2
00
： sin 2α=2sin αcos α.......... ..... 7 ： cos 2α=cos αsin α.......... ...... 8
2
2
2
用cos α+sin α=1： cos 2α=1-2sin α.......... 9 cos 2α=2cos α-1.......... 10 半角公式：
20
令9中的α=
π
2：
sin
2
x 2x 2
=
1-cos x
21+cos x
2
.......... ... 11
.......... ... 12
令10中的α=
π
2：
2
cos
2
=
1112
00
tan
x 2
=
1-cos x 1+cos x
.......... ......... 13
：
2
2
13右边分子分母同乘1-cosx(或1+cosx)再用cos α+sin α=1
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
) .......... ......... 14
20
tan
2
x 2
=(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 15
20
利用13, 14, 15
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
)
2
=(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 16
20
积化和差公式：
00
1+2： sin(α+β) +sin(α-β) =2sin αcos β.......... .......... 17
00
1-2： sin(α+β) -sin(α-β) =2cos αsin β.......... .......... 18
00
3+4： cos(α+β) +cos(α-β) =2cos αcos β.......... .......... 19
00
3-4： cos(α+β) -cos(α-β) =-2sin αsin β.......... .......... 20
和差化积公式公式：
x +y 2
x -y 2
令17～20中的
00
α+β=x , α-β=y ⇒α=, β=
所以有
sin x +sin y =2sin
x +y 2x +y 2
cos
x -y 2x -y 2
.......... .......... 21
sin x -sin y =2cos
.......... .......... 22
sin
.......... .......... 23
cos x +cos y =2cos
x +y 2x +y 2
cos
x -y 2x -y 2
.......... .......... 24
cos x -cos y =2sin sin
万能公式：
x =2α⇔α=
x 2
2200
利用7，8和cos α+sin α=1并令
可得
sin x =
sin 2α1
(=(
2sin αcos αcos α
2
2
2
)
cos α+sin
sin
2
α
α
x 2
)
：
2tan
sin x =
1+tan
x 2
.......... .......... 25
2
) )
cos x =
cos 2α1
(=(
cos α-sin
cos αcos α+sin
cos α
1-tan
2
2
2
2
αα
2
2
x
0.......... .......... 26x
cos x =
1+tan
2
2x 2
2
2tan
2526
00
tan x =
：
1-tan
x 2
.......... .......... 27
记忆方法：先照此公式的推导过程学习推导一遍，然后当场默推一遍，
以后隔三天（或三天以上）推导一次，再隔三天，再推一次，再隔三天，再推一次。即可记下这组公式
下面把这组公式的推导过程总结一下
1, 2
0000
1，2，3，4要用死记硬背的方法记下来，然后用3, 4
00
00
可得5，6，
00
220000000
又由1，3令β=α可得7，8，再由8及cos α+sin α=1可得9，10，
利用9，10令
00
α=
x 11
00
2可得110，120，由120可得13，由13可得14, 15, 16
00
另外，利用1±2，3±4可得17，18，19，20
000000
然后令
α+β=x , α-β=y ⇒α=
x +y 2
, β=
x -y 2
可得21，22，23，24
016最后再给出一种推导（包括14, 15, ）
00
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
)
2
(*)
=1+cos x
(
sin x
)
2
的方法： ∵
(1-cos x )(1+cos x ) =sin 1-cos x
sin x 1+cos x
2
x
∴sin x
=
再用万能公式（记
tan
π
2
=T
）
sin x =
2T 1+T
2
, cos x =
1-T 1+T
22
代入(*) 式右边得
(2T
2
1+T
=
1+cos x 1-T
(1+
1+T
tan
2
sin x
)
22
=)
2T 1+T
2
1+T 1-T
2
2
2
+1+T
=T =tan
x 2
2
x 2
∴
=(
1-cos x sin x
) =(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 16
20
和差公式
sin(α+β) =sin αcos β+cos αsin β.......... .......... ..... 1 sin(α-β) =sin αcos β-cos αsin β.......... .......... ..... 2 cos(α+β) =cos αcos β-sin αsin β.......... .......... ..... 3 cos(α-β) =cos αcos β+sin αsin β.......... .......... ..... 4
0000
13
00
和
24
00
cos αcos β）
.......... .......... .......... ...... 5
tan α(α+β) =
tan α+tan β1-tan αtan βtan α-tan β1+tan αtan β
.......... .......... .......... ...... 6
tan α(α-β) =
倍角公式：
令1中的β=α令3中的β=α
2
2
00
： sin 2α=2sin αcos α.......... ..... 7 ： cos 2α=cos αsin α.......... ...... 8
2
2
2
用cos α+sin α=1： cos 2α=1-2sin α.......... 9 cos 2α=2cos α-1.......... 10 半角公式：
20
令9中的α=
π
2：
sin
2
x 2x 2
=
1-cos x
21+cos x
2
.......... ... 11
.......... ... 12
令10中的α=
π
2：
2
cos
2
=
1112
00
tan
x 2
=
1-cos x 1+cos x
.......... ......... 13
：
2
2
13右边分子分母同乘1-cosx(或1+cosx)再用cos α+sin α=1
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
) .......... ......... 14
20
tan
2
x 2
=(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 15
20
利用13, 14, 15
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
)
2
=(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 16
20
积化和差公式：
00
1+2： sin(α+β) +sin(α-β) =2sin αcos β.......... .......... 17
00
1-2： sin(α+β) -sin(α-β) =2cos αsin β.......... .......... 18
00
3+4： cos(α+β) +cos(α-β) =2cos αcos β.......... .......... 19
00
3-4： cos(α+β) -cos(α-β) =-2sin αsin β.......... .......... 20
和差化积公式公式：
x +y 2
x -y 2
令17～20中的
00
α+β=x , α-β=y ⇒α=, β=
所以有
sin x +sin y =2sin
x +y 2x +y 2
cos
x -y 2x -y 2
.......... .......... 21
sin x -sin y =2cos
.......... .......... 22
sin
.......... .......... 23
cos x +cos y =2cos
x +y 2x +y 2
cos
x -y 2x -y 2
.......... .......... 24
cos x -cos y =2sin sin
万能公式：
x =2α⇔α=
x 2
2200
利用7，8和cos α+sin α=1并令
可得
sin x =
sin 2α1
(=(
2sin αcos αcos α
2
2
2
)
cos α+sin
sin
2
α
α
x 2
)
：
2tan
sin x =
1+tan
x 2
.......... .......... 25
2
) )
cos x =
cos 2α1
(=(
cos α-sin
cos αcos α+sin
cos α
1-tan
2
2
2
2
αα
2
2
x
0.......... .......... 26x
cos x =
1+tan
2
2x 2
2
2tan
2526
00
tan x =
：
1-tan
x 2
.......... .......... 27
记忆方法：先照此公式的推导过程学习推导一遍，然后当场默推一遍，
以后隔三天（或三天以上）推导一次，再隔三天，再推一次，再隔三天，再推一次。即可记下这组公式
下面把这组公式的推导过程总结一下
1, 2
0000
1，2，3，4要用死记硬背的方法记下来，然后用3, 4
00
00
可得5，6，
00
220000000
又由1，3令β=α可得7，8，再由8及cos α+sin α=1可得9，10，
利用9，10令
00
α=
x 11
00
2可得110，120，由120可得13，由13可得14, 15, 16
00
另外，利用1±2，3±4可得17，18，19，20
000000
然后令
α+β=x , α-β=y ⇒α=
x +y 2
, β=
x -y 2
可得21，22，23，24
016最后再给出一种推导（包括14, 15, ）
00
tan
2
x 2
=(
1-cos x sin x
)
2
(*)
=1+cos x
(
sin x
)
2
的方法： ∵
(1-cos x )(1+cos x ) =sin 1-cos x
sin x 1+cos x
2
x
∴sin x
=
再用万能公式（记
tan
π
2
=T
）
sin x =
2T 1+T
2
, cos x =
1-T 1+T
22
代入(*) 式右边得
(2T
2
1+T
=
1+cos x 1-T
(1+
1+T
tan
2
sin x
)
22
=)
2T 1+T
2
1+T 1-T
2
2
2
+1+T
=T =tan
x 2
2
x 2
∴
=(
1-cos x sin x
) =(
sin x 1+cos x
) .......... ......... 16
20