●知识梳理
1.若=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标. 2.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2）， 那么a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2）， a²b=x1x2+y1y2+z1z2， cos〈a，b〉=
x1x2+y1y2+z1z2
x1+y1+z1
2
2
2
x2+y2+z2
222
.
3.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）， 则|M1M2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. 4.对非零向量a与b，有
a∥b ⇔a=kb；a⊥b ⇔a²b=0. 一、向量在轴上的投影
1．几个概念
(2) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。
为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做
'
'
'
'
'
(3) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别
Prju。
2．投影定理
性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ
的余弦：
PrjuAB=cosϕ
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.
2．向量运算的坐标表示 设a={ax,ay,az}，b={bx,by,bz}即a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk 则
(1) 加法： a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k ◆ 减法： ◆ 乘数： ◆ 或
a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k
λa=(λax)i+(λay)j+(λaz)k
a+b={ax+bx,ay+by,az+bz} a-b={ax-bx,ay-by,az-bz}
λa={λax,λay,λaz}
◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b=λa，即 {bx,by,bz}=λ{ax,ay,az} 也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybz
==
axayaz
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a={ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角α、β、γ（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称α、β、γ为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式
cosα、cosβ、cosγ称为方向余弦。
1． 模
22
a=ax+ay+az2
图 7－6
2． 方向余弦
⎧a=α=acosα
⎪x⎪222
由性质1
知⎨ay=β=acosβ，当a=ax+ay+az≠0时，有
⎪
aγ=acosγ⎪⎩z
⎧aax⎪cosα=x=
22a⎪ax+ay+az2
⎪
ayay⎪
=⎨cosβ=222aax+ay+az⎪
⎪aaz⎪cosγ=z=
222a⎪a+a+axyz⎩
◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos2α+cos2β+cos2γ=1
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
a0=
aa
=
1a
{ax,ay,az}={cosα,cosβ,cosγ}
3． 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以
及与M1M2同向的单位向量。
解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}
=(-1)2+12+(-2)2=2
112ππ3π2
cosα=-，cosβ=，cosγ=-α=，β=，γ=
22334200
设a为与M1M2同向的单位向量，由于a={cosα,cosβ,cosγ}
即得a={-
112,,-} 222
●点击双基
1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则 A.x=1，y=1
B.x=
11
，y=－ 22
C.x=
13
，y=－ 62
D.x=－
13
，y= 62
解析：∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有
132x
==. 1-2y9
∴x=
13
，y=－.应选C. 62
2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）.故①②③错误.
答案：C
3.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是
A.1
B.
1
5
C.
3 5
D.
7 57. 5
解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－ （－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2³2=0.∴k=
答案：D
4.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与CA的夹角θ的大小是_________.
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2）， cos〈，〉=
(-2)⨯(-1)+(-1)⨯3+3⨯(-2)
⋅
=
1-7
=－，∴θ=〈，〉=120°.
214
答案：120°
5.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是__________.
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，
1⎧
x=-,⎪3⎧x-1=-2-2x,⎪
87718⎪⎪
4－z），即⎨y-2=6-2y,解得⎨y=,则||=(--1)2+(-1)2+(3-1)2=.
3333⎪z-1=8-2z,⎪
⎩⎪z=3,
⎪⎩
●典例剖析
【例1】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量. 解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n⊥且n⊥AC，即n²=0，且n²AC=0，
1⎧
1122n⎪x=,
即，单位法向量n=±=±（，－，）. ∴n=（，－1，1）
即
x+2y+1=0，
4x+5y+3=0，
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.
【例2】 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=29. （1）求证：SC⊥BC； 解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=29，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2
134
，，0）， =17（2
1313413
，，－23），=（－2，，0）. 1717（1）∵²=0，∴SC⊥BC.
（2）设SC与AB所成的角为α，∵AB=（0，0），|SC|| AB|=4， SC²AB=4，
，即为所求. 17
【例3】 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
∴cosα=
（1）求的长；
（2）求cos〈BA1，CB1〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜BN｜=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴BA1=（1，－1，2），CB1=（0，1，2），BA1²CB1=3，｜BA1｜=6，｜CB1｜=5. ∴cos〈BA1，CB1〉1130
. 10
（3）证明：C1（0，0，2），M（
11
，，2）， 2211
，C1M=（，，0），∴A1B²C1M=0，∴A1B⊥C1M. A1B=（－1，1，－2）
22
10
） 10
根据本题条件，还可以求直线AC1与平面A1ABB1所成的角.（答案是arcsin
1.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 = xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为
[1**********]2，，） B.（，，） C.（，，） D.（，，） [1**********]3
3333213
解析：∵= OG1= +AG1）=+ +）］=+
4444324
1111［（－）+（－）］=+ + ，而=x+y+z，4444
111∴x=，y=，z=.
444
A.（
答案：A
2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
AC1
A.arccos
2
B.arccos
10
C.arccos
3 5
D.arccos
2 5
解法一：∵AM=AA1 +A1M，CN = CB+BN，∴AM²CN=（AA1 + ²（+）=AA1²= A1）
1
. 2
51=. 24
而|==+
.如令α为所求之角，则 2
1
2
cosα2=，
55
4
同理，||=∴α=arccos
2. 5
解法二：建立如下图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，
1
，1），C（0，1，0），N（1，1，2
1）.
2
11
，1）－（1，0，0）=（0，，1）， 2211
CN=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）.
22
111
故AM²CN=0³1+³0+1³=，
222
∴=（1，
511|AM|=02+()2+12= ，|CN|=2+02+()2=.∴cosα22221
⋅22
答案：D
3.命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；④若A、B、C三
111
点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，则点M一定在平面ABC
333
上，且在△ABC内部.
上述命题中的真命题是_____________.
解法一：①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题.
=
22.∴α=arccos. 55
解法二：可以证明④中A、B、C、M四点共面.等式两边同加，则（ +）+（MO+OB）+（MO+OC）=0，即MA + MB+MC=0，MA=－MB－MC，则MA与MB、MC共面，又M是三个有向线段的公共点，故A、B、C、M四点共面.
答案：④
4.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值.
解：PA =（－1，－3，2），PB=（6，－1，4）.根据共面向量定理，设PC =xPA+yPB（x、y∈R），则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，
1
3
1313
⎧2a-1=-x+6y,⎪
2x+4y），∴⎨a+1=-3x-y,解得x=－7，y=4，a=16.
⎪2=2x+4y.⎩
6.已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）.试求这个三角形的面积.
解：S∆ABC=S∆ABC==
1
|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角.则 2
1
||||-cos2α 2
1
|AB||AC|
2=
12
.
在本题中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），AC=（－1，－1， －2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9， |AC|2=（－2）2+02+（－3）2=13，
AB²AC=1²（－2）+2²0+（－2）²（－3）=－2+6=4，
∴S∆ABC=
1
2
9⨯13-42=
. 2
探究创新
8.如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD.
（1）求cos〈，〉的值；
解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－0）.
∴=（
33aa
，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，
2222
3aa
a，，0），=（0，，－a）， 2222
则cos〈，〉=
aaa⨯0+⨯+0⨯(-a)(
2aa32a)+()2+02⨯02+()2+(-a)2222
=
1
. 4
【例1】 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求： （1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则OP=
11
（OA+OB）=［（3，2，1）+22
（1，0，4）］=（2，1），∴点P的坐标是（2，1），dAB=(1-3)2+(0-2)2+(4-1)2=.
（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等， 则(x-3)2+(y-2)2+(z-1)2 =(x-1)2+y2+(z-4)2.
化简得4x+4y－6z+3=0，即为P的坐标应满足的条件. 评述：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（且|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
5
252
x1+x2y1+y2z1+z2
），
222
●知识梳理
1.若=xi+yj+zk，那么（x，y，z）叫做向量的坐标，也叫点P的坐标. 2.设a=（x1，y1，z1），b=（x2，y2，z2）， 那么a±b=（x1±x2，y1±y2，z1±z2）， a²b=x1x2+y1y2+z1z2， cos〈a，b〉=
x1x2+y1y2+z1z2
x1+y1+z1
2
2
2
x2+y2+z2
222
.
3.设M1（x1，y1，z1），M2（x2，y2，z2）， 则|M1M2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2. 4.对非零向量a与b，有
a∥b ⇔a=kb；a⊥b ⇔a²b=0. 一、向量在轴上的投影
1．几个概念
(2) 空间一点A在轴u上的投影：通过点A作轴u的垂直平面，该平面与轴u的交点A叫做点A在轴u上的投影。
为点A和B，那么轴u上的有向线段的值AB叫做向量AB在轴u上的投影，记做
'
'
'
'
'
(3) 向量AB在轴u上的投影：设已知向量AB的起点A和终点B在轴u上的投影分别
Prju。
2．投影定理
性质1：向量在轴u上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角ϕ
的余弦：
PrjuAB=cosϕ
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标
注意：向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量a在坐标轴上的投影是三个数ax、ay、az， 向量a在坐标轴上的分向量是三个向量ax i 、 ayj 、 azk.
2．向量运算的坐标表示 设a={ax,ay,az}，b={bx,by,bz}即a=axi+ayj+azk，b=bxi+byj+bzk 则
(1) 加法： a+b=(ax+bx)i+(ay+by)j+(az+bz)k ◆ 减法： ◆ 乘数： ◆ 或
a-b=(ax-bx)i+(ay-by)j+(az-bz)k
λa=(λax)i+(λay)j+(λaz)k
a+b={ax+bx,ay+by,az+bz} a-b={ax-bx,ay-by,az-bz}
λa={λax,λay,λaz}
◆ 平行：若a≠0时，向量b//a相当于b=λa，即 {bx,by,bz}=λ{ax,ay,az} 也相当于向量的对应坐标成比例即
bxbybz
==
axayaz
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式 设a={ax,ay,az}，可以用它与三个坐标轴的夹角α、β、γ（均大于等于0，小于等于π）来表示它的方向，称α、β、γ为非零向量a的方向角，见图7－6，其余弦表示形式
cosα、cosβ、cosγ称为方向余弦。
1． 模
22
a=ax+ay+az2
图 7－6
2． 方向余弦
⎧a=α=acosα
⎪x⎪222
由性质1
知⎨ay=β=acosβ，当a=ax+ay+az≠0时，有
⎪
aγ=acosγ⎪⎩z
⎧aax⎪cosα=x=
22a⎪ax+ay+az2
⎪
ayay⎪
=⎨cosβ=222aax+ay+az⎪
⎪aaz⎪cosγ=z=
222a⎪a+a+axyz⎩
◆ 任意向量的方向余弦有性质：cos2α+cos2β+cos2γ=1
◆ 与非零向量a同方向的单位向量为：
a0=
aa
=
1a
{ax,ay,az}={cosα,cosβ,cosγ}
3． 例子：已知两点M1(2,2,2)、M2(1,3,0)，计算向量M1M2的模、方向余弦、方向角以
及与M1M2同向的单位向量。
解：M1M2＝{1-2，3-2，0-2}={-1，1，-2}
=(-1)2+12+(-2)2=2
112ππ3π2
cosα=-，cosβ=，cosγ=-α=，β=，γ=
22334200
设a为与M1M2同向的单位向量，由于a={cosα,cosβ,cosγ}
即得a={-
112,,-} 222
●点击双基
1.若a=（2x，1，3），b=（1，－2y，9），如果a与b为共线向量，则 A.x=1，y=1
B.x=
11
，y=－ 22
C.x=
13
，y=－ 62
D.x=－
13
，y= 62
解析：∵a=（2x，1，3）与b=（1，－2y，9）共线，故有
132x
==. 1-2y9
∴x=
13
，y=－.应选C. 62
2.在空间直角坐标系中，已知点P（x，y，z），下列叙述中正确的个数是
①点P关于x轴对称点的坐标是P1（x，－y，z） ②点P关于yOz平面对称点的坐标是P2（x，－y，－z） ③点P关于y轴对称点的坐标是P3（x，－y，z） ④点P关于原点对称的点的坐标是P4（－x，－y，－z）
A.3 B.2 C.1 D.0 解析：P关于x轴的对称点为P1（x，－y，－z），关于yOz平面的对称点为P2（－x，y，z），关于y轴的对称点为P3（－x，y，－z）.故①②③错误.
答案：C
3.已知向量a=（1，1，0），b=（－1，0，2），且ka＋b与2a－b互相垂直，则k值是
A.1
B.
1
5
C.
3 5
D.
7 57. 5
解析：ka+b=k（1，1，0）＋（－1，0，2）=（k－1，k，2），2a－b=2（1，1，0）－ （－1，0，2）=（3，2，－2）.∵两向量垂直，∴3（k－1）＋2k－2³2=0.∴k=
答案：D
4.已知空间三点A（1，1，1）、B（－1，0，4）、C（2，－2，3），则与CA的夹角θ的大小是_________.
解析：=（－2，－1，3），=（－1，3，－2）， cos〈，〉=
(-2)⨯(-1)+(-1)⨯3+3⨯(-2)
⋅
=
1-7
=－，∴θ=〈，〉=120°.
214
答案：120°
5.已知点A（1，2，1）、B（－1，3，4）、D（1，1，1），若=2，则| |的值是__________.
解析：设点P（x，y，z），则由=2，得（x－1，y－2，z－1）=2（－1－x，3－y，
1⎧
x=-,⎪3⎧x-1=-2-2x,⎪
87718⎪⎪
4－z），即⎨y-2=6-2y,解得⎨y=,则||=(--1)2+(-1)2+(3-1)2=.
3333⎪z-1=8-2z,⎪
⎩⎪z=3,
⎪⎩
●典例剖析
【例1】 已知=（2，2，1），=（4，5，3），求平面ABC的单位法向量. 解：设面ABC的法向量n=（x，y，1），则n⊥且n⊥AC，即n²=0，且n²AC=0，
1⎧
1122n⎪x=,
即，单位法向量n=±=±（，－，）. ∴n=（，－1，1）
即
x+2y+1=0，
4x+5y+3=0，
一般情况下求法向量用待定系数法.由于法向量没规定长度，仅规定了方向，所以有一个自由度，可把n的某个坐标设为1，再求另两个坐标.平面法向量是垂直于平面的向量，故法向量的相反向量也是法向量，所以本题的单位法向量应有两解.
【例2】 在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，AC=2，BC=，SB=29. （1）求证：SC⊥BC； 解法一：如下图，取A为原点，AB、AS分别为y、z轴建立空间直角坐标系，则有AC=2，BC=，SB=29，得B（0，，0）、S（0，0，2）、C（2
134
，，0）， =17（2
1313413
，，－23），=（－2，，0）. 1717（1）∵²=0，∴SC⊥BC.
（2）设SC与AB所成的角为α，∵AB=（0，0），|SC|| AB|=4， SC²AB=4，
，即为所求. 17
【例3】 如下图，直棱柱ABC—A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
∴cosα=
（1）求的长；
（2）求cos〈BA1，CB1〉的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
（1）解：依题意得B（0，1，0），N（1，0，1），
∴｜BN｜=(1-0)2+(0-1)2+(1-0)2=3.
（2）解：A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0），B1（0，1，2），
∴BA1=（1，－1，2），CB1=（0，1，2），BA1²CB1=3，｜BA1｜=6，｜CB1｜=5. ∴cos〈BA1，CB1〉1130
. 10
（3）证明：C1（0，0，2），M（
11
，，2）， 2211
，C1M=（，，0），∴A1B²C1M=0，∴A1B⊥C1M. A1B=（－1，1，－2）
22
10
） 10
根据本题条件，还可以求直线AC1与平面A1ABB1所成的角.（答案是arcsin
1.设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG=3GG1，若 = xOA+yOB+zOC，则（x，y，z）为
[1**********]2，，） B.（，，） C.（，，） D.（，，） [1**********]3
3333213
解析：∵= OG1= +AG1）=+ +）］=+
4444324
1111［（－）+（－）］=+ + ，而=x+y+z，4444
111∴x=，y=，z=.
444
A.（
答案：A
2.在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角为
AC1
A.arccos
2
B.arccos
10
C.arccos
3 5
D.arccos
2 5
解法一：∵AM=AA1 +A1M，CN = CB+BN，∴AM²CN=（AA1 + ²（+）=AA1²= A1）
1
. 2
51=. 24
而|==+
.如令α为所求之角，则 2
1
2
cosα2=，
55
4
同理，||=∴α=arccos
2. 5
解法二：建立如下图所示坐标系，把D点视作原点O，分别沿DA、DC、DD1方向为x轴、y轴、z轴的正方向，则A（1，0，0），M（1，
1
，1），C（0，1，0），N（1，1，2
1）.
2
11
，1）－（1，0，0）=（0，，1）， 2211
CN=（1，1，）－（0，1，0）=（1，0，）.
22
111
故AM²CN=0³1+³0+1³=，
222
∴=（1，
511|AM|=02+()2+12= ，|CN|=2+02+()2=.∴cosα22221
⋅22
答案：D
3.命题：①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；②向量a、b、c共面，则它们所在的直线也共面；③若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b=λa；④若A、B、C三
111
点不共线，O是平面ABC外一点，= + + ，则点M一定在平面ABC
333
上，且在△ABC内部.
上述命题中的真命题是_____________.
解法一：①中b为零向量时，a与c可以不共线，故①是假命题；②中a所在的直线其实不确定，故②是假命题；③中当a=0，而b≠0时，则找不到实数λ，使b=λa，故③是假命题；④中M是△ABC的重心，故M在平面ABC上且在△ABC内，故④是真命题.
=
22.∴α=arccos. 55
解法二：可以证明④中A、B、C、M四点共面.等式两边同加，则（ +）+（MO+OB）+（MO+OC）=0，即MA + MB+MC=0，MA=－MB－MC，则MA与MB、MC共面，又M是三个有向线段的公共点，故A、B、C、M四点共面.
答案：④
4.设点C（2a+1，a+1，2）在点P（2，0，0）、A（1，－3，2）、B（8，－1，4）确定的平面上，求a的值.
解：PA =（－1，－3，2），PB=（6，－1，4）.根据共面向量定理，设PC =xPA+yPB（x、y∈R），则（2a－1，a+1，2）=x（－1，－3，2）+y（6，－1，4）=（－x+6y，－3x－y，
1
3
1313
⎧2a-1=-x+6y,⎪
2x+4y），∴⎨a+1=-3x-y,解得x=－7，y=4，a=16.
⎪2=2x+4y.⎩
6.已知三角形的顶点是A（1，－1，1），B（2，1，－1），C（－1，－1，－2）.试求这个三角形的面积.
解：S∆ABC=S∆ABC==
1
|AB||AC|sinα，其中α是AB与AC这两条边的夹角.则 2
1
||||-cos2α 2
1
|AB||AC|
2=
12
.
在本题中，=（2，1，－1）－（1，－1，1）=（1，2，－2），AC=（－1，－1， －2）－（1，－1，1）=（－2，0，－3），
∴||2=12+22+（－2）2=9， |AC|2=（－2）2+02+（－3）2=13，
AB²AC=1²（－2）+2²0+（－2）²（－3）=－2+6=4，
∴S∆ABC=
1
2
9⨯13-42=
. 2
探究创新
8.如图，ABCD是边长为a的菱形，且∠BAD=60°，△PAD为正三角形，且面PAD⊥面ABCD.
（1）求cos〈，〉的值；
解：（1）选取AD中点O为原点，OB、AD、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－0）.
∴=（
33aa
，0），B（a，0，0），P（0，0，a），D（0，，
2222
3aa
a，，0），=（0，，－a）， 2222
则cos〈，〉=
aaa⨯0+⨯+0⨯(-a)(
2aa32a)+()2+02⨯02+()2+(-a)2222
=
1
. 4
【例1】 已知A（3，2，1）、B（1，0，4），求： （1）线段AB的中点坐标和长度；
（2）到A、B两点距离相等的点P（x，y，z）的坐标满足的条件. 解：（1）设P（x，y，z）是AB的中点，则OP=
11
（OA+OB）=［（3，2，1）+22
（1，0，4）］=（2，1），∴点P的坐标是（2，1），dAB=(1-3)2+(0-2)2+(4-1)2=.
（2）设点P（x，y，z）到A、B的距离相等， 则(x-3)2+(y-2)2+(z-1)2 =(x-1)2+y2+(z-4)2.
化简得4x+4y－6z+3=0，即为P的坐标应满足的条件. 评述：空间两点P1（x1，y1，z1）、P2（x2，y2，z2）的中点为（且|P1P2|=(x1-x2)2+(y1-y2)2+(z1-z2)2.
5
252
x1+x2y1+y2z1+z2
），
222