学士学位论文模板

分类号 UDC 单位代码 10644 密 级 公 开 学 号

2007040xxx

四川文理学院

学士学位论文

论文题目 （小二号宋体加粗，一般不超过20字）

论文作者： （仿宋GB2312小三加粗） 指导教师： （仿宋GB2312小三加粗） 学科专业： 数学与应用数学 提交论文日期：2011 年5 月 20 日 论文答辩日期：2011 年 5 月 28 日 学位授予单位： 四川文理学院

中 国  达 州 2011 年5 月

四川文理学院数学与财经系 学士学位毕业论文指导记录（2007级）

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目录

摘要 ..................................................................... - 1 - 第一章 绪论 ................................................................................................................ - 1 -

1.1引言 ............................................................................................................... - 1 - 第二章 实数完备性的基本命题 .................................................................................... - 1 -

2.1 确界原理........................................................................................................ - 1 - 2.2 单调有界定理................................................................................................. - 1 -

2.3区间套定理 ..................................................................................................... - 1 - 2.4海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理 .................................................... - 2 - 2.5魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理............................................................. - 2 - 2.6致密性定理 ..................................................................................................... - 2 - 2.7柯西(Cauchy)收敛准则 ................................................................................... - 2 - 第三章 定理的等价性证明 ........................................................................................... - 2 -

3.1用柯西收敛准则证明单调有界性:.................................................................... - 3 - 3.2 单调有界定理证明确界原理: .......................................................................... - 3 - 3.3 用确界原理证明区间套定理: .......................................................................... - 4 - 3.4 用区间套定理来证明聚点定理: ...................................................................... - 5 - 3.5 用聚点定理证明有限覆盖定理: ...................................................................... - 6 - 3.6 有限覆盖定理证明致密性定理：..................................................................... - 7 - 3.7 致密性定理证明柯西收敛准则:..................................................................... - 7 - 第四章 基本定理的应用 ............................................................................................... - 8 -

4.1 确界原理的应用 ............................................................................................. - 8 - 4.2 单调有界定理的应用 .....................................................................................- 10 - 4.3 柯西收敛准则的应用 .....................................................................................- 12 - 4.4 区间套定理的应用.........................................................................................- 14 - 4.5 聚点定理的应用 ............................................................................................- 16 - 4.6 致密性定理的应用.........................................................................................- 17 - 4.7 海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理的应用 ......................................- 18 - 第五章 结论 ...............................................................................................................- 19 - 参考文献.....................................................................................................................- 20 - 致谢............................................................................................................................- 21 -

R的完备性研究

学生：maths02 指导教师：maths01

摘要 实数完备性的七个基本定理:确界原理,单点有界定理,区间套定理,海涅-博雷

尔(Heine-Borel)有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西（Cauchy)收敛准则.这七个定理中除了有限覆盖定理外的其余六个属于同一类型，它们是等价的，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在，这种点分别是：确界原理中的确界(点)，单点有界定理、柯西（Cauchy)收敛准则中的极限点，区间套定理中的公共点，聚点定理中的聚点，致密性定理中的子列的收敛点，有限覆盖定理不与某种“点”有关，属于另一种形式，它是其余六个定理的逆否形式．因此，不论是从其它定理出发证有限覆盖定理，还是从有限覆盖定理出发证其它定理，都运用反证法完成，而其余六个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是先从已知出发构造某一个点．然后证明这个点就是要求的点。本文采取循环证明的方式来说明它们之间的等价性。

关键词：实数完备性；基本定理；点；等价性；循环证明

REAL NUMBER COMPLETE RESEARCH

Student:maths02 Supervisor:maths01

ABSTRACT

real number complete seven fundamental theorems: The true

principle, the simple point has the theorem, the nested interval theorem, Heine - Borell the (Heine-Borel) finite covering theorem, the limiting point theorem, the compact theorem, west the tan oak (Cauchy) restrains the criterion. In these seven theorems belongs to the identical type besides finite covering theorem's other six, they are equal, they pointed out that under some condition, then has some kind “the spot” the existence, this kind of spot respectively is: In the true principle indeed (spot), the simple point has west the theorem, the tan oak (Cauchy) to restrain in the criterion the limiting point, in the nested interval theorem common point, in the limiting point theorem limiting point, in compact theorem sub-row convergence point, finite covering theorem not with some kind “spot” related, belongs to another form, it is the other six theorem counter otherwise form. Therefore, no matter embarks from other theorems the card finite covering theorem, embarks card other theorems from the finite covering theorem, utilizes the reduction to absurdity to complete, but other six theorems may push mutually directly, so long as holds these spots which above mentioned then, the method is from known embarks first constructs some spot. Then proved that this spot is the request spot. This article adopts the circulationproof the way to show between them the equivalence.

Key words: Real number completeness， Fundamental theorem， Spot， Equivalence， The circulation proved .

第一章 绪论

1.1引言

实数系的连续性和完备性是实数的一个重要特征，与之相关的若干基本定理，即：单调收敛定理、上(下)确界定理、戴德金分割定理、聚点原理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则，它们是彼此等价的。这些定理从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且他们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数的介值定理、一致连续性定理等，因此在理论上具有重要价值。

实数系的连续性和完备性传统的论证方法一般是假定某一定理成立，例如将上(下)确界定理作为公理(参见文献[1])，然后在此基础论证其他的定理，这种论证本身失于严谨性和可靠性。另一论证方法是从戴德金分割理论人手，构造实数，然后论证其他定理的等价性(参见文献[3])，但戴德金分割理论相当繁琐难懂。近些年，一些文献(如文献[1]，以十进制小数作为实数定义，证明上(下)确界定理，进而给出一些常见的实数系连续性和完备性定理。本文从柯西(Cauchy)收敛准则出发,按单调有界原理、确界原理、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理，最后再回到柯西（Cauchy)收敛准则的顺序进行一一证明，从中，可以发现它们之间如此美妙的等价性。

第二章 实数完备性的基本命题

2.1 确界原理

设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则必有下确界.

2.2 单调有界定理

在实数系中,有界的单调数列必有极限.

2.3区间套定理

若an,bn是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得∈an,bn ，n=1,2,....，即n=1,2,3,......

2.4海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

2.5魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理

实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

2.6致密性定理

有界数列必含有收敛子列. 2.7柯西(Cauchy)收敛准则

数列an收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anbn.

第三章 定理的等价性证明

以上七大基本定理以不同方式从各个角度分别刻划了实数系的一种特性，通常称为完备性或连续性。这七个基本定理是等价的，即从其中任何一个可以推出另外六个，但必须首先证其中一个命题是正确的，因此即使完成了上述七个命题是互相等价的证明，但这并不意味着它们就是正确的，若其中一个假命题，则全部均为假命题。因此．对于这七个命题中的起点是极其重要的．本质上，问题就归结为实数的如何引入。常用的引入实数的方法有三种：第一是用十进位小数定义，这样可证明确界定理,可参阅文献[1]；第二种是用有理数的Cauchy数列定义．从该定义出发可证明数列的Cauchy收敛准则(充分性)；第三种是用戴德金分划定义，由此定义可证明确界定理，可参阅文献[3]。在这里,我们从柯西定理出发,按以下的顺序加以证明它们之间的等价关系。 柯西收敛准则

聚点定理

3.1用柯西收敛准则证明单调有界性

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anbn.

单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

证明:设an为一递增且有上界M的数列.用反证法(借助柯西收敛准则)可以证明:倘若

an无极限,则可找到一个子列an以+为其广义极限,从而与an有上界相矛盾.现在

来构造这样的an.

首先,对于单调数列an而言,柯西条件可改述为:“0,NN，当nN时，满足”.这是因为它同时保证了对一切nmN,恒有

anamanaN

由于假设an不收敛,故由上述柯西条件的否定陈述,必存在某个00,对无论多大的N,均有某个nN,使anaNanaN0 依次取

N11,n1N1,使an1a10

N2n1,n2N2,使anka10

.................................

Nknk1,nkNk使ankank10

把这k个式子相加，得到

anka1k0.

由此易知，当k

Ma1时，可使

ankM，矛盾.所以单调有界数列必有极限.

0

3.2 单调有界定理证明确界原理

单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

确界原理:设为S非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 证明:只证“在实数系R内，非空有下界的数集必有下确界存在。”对于上确界定理可类似证明。设数集S非空，且有下界。故存在a1,b1R，使得a1是S的下界，b1不是S的下界。如果a1b12不是S的下界，则取a2a1,b2a1b12,如果a1b12是S的下界，则取a2a1b12,b2b1.如果

a2b22

不是S的下界，则取

a3a2,b3a2b22；如果a2b22是的S下界，则取a3a2b22,b3b2。

,bn。如此继续下去，可得到两个数列an其中an都是S的下界且an单调递增有上界(例

如b1)，bn都不是S的下界且bn单调递减有下界(例如a1)。并且

bnanb1a12n0(当n时)。由bn单调递减有下界知数列bn存在极限，设

limbn。以下证infS。

n

n

先证明是S的下界。假设存在x0S，使得x0，则有anbnbnb1a12，

n

“知limanlimbnlimb1a12。故存在某个an0，使得x0an0.这与“an都是S

n

n

n

的下界”矛盾。再证明是S的最大下界。事实上，因为limbn，所以对任意的0，

n

存在N0，当nN时有bn，即有bn成立。又因为bn都不是S的下界，所以对每一个N，存在xS，使得bNx。故对任意的0，存在xS，使得

bNx。综上即有infS。

3.3 用确界原理证明区间套定理

确界原理:设为S非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得

an,bn,n1,2,...,即anbn,n1,2....

证明: an,bn为区间套. 根据区间套的定义知,

a1a2...an...bn...b2b1.

故每个am为数列bn的下界, 而每个bm为数列an的上界. 由确界原理 , 数列an有上确界, 数列bn有下确界 . 设 infbn, supan.易见有

anbn 和anbn.

故有bnan

. 由b，a0 , ( n )nn

且有an,bn,n1,2,... 下证满足上式的是唯一的. 设

也满足上式,即有anbn,假设,则有anbn

ba0 , ( n ). nn,故

即区间套定理得证.

3.4 用区间套定理来证明聚点定理

区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得

an,bn,n1,2,...,即anbn,n1,2...

聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

证明:因为S=x是有界点集，故存在a,b,使得对任意xS有axb，即Sa,b.将

a,b等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间“含有S中的无限多个点”，记这个子区

间为a1,b1；再将a1,b1等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间“含有S中的无限多

an,bnn1,2,3....... ，个点”，记这个子区间为a2,b2；如此继续下去，得到一区间列

它的每一个区间都含有S中的无限多个点，而且满足： (1)an,bnan1,bn1n1,2,......； (2)limbnanlim

n

ba

0

n2n

于是，由区间套定理，存在唯一的一点an,bn,n1,2,.....。今作的邻域U,。 因为(2)，故当n充分大时，必有an,bnU,,由an,bn的作法可知，U,中含

有S的无限多个点，依聚点的定义知为S的一个聚点. 故命题得证.

3.5 用聚点定理证明有限覆盖定理

聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

有限覆盖定理：设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

证明:反证法.假设有限覆盖定理的结论不成立,即不能用H中有限个开区间来覆盖a,b.将a,b等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖，记这个子区间为a1,b1，则a1,b1a,b，且b1a1

1

ba再将a1,b1等分成两个2

子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为

a2,b2,则a2,ba1,b1,且b2a2

2

1

ba.重复上述步骤并不断地进行下去,则22

得到一个闭区间列an,bn,它满足

an,bnan1,bn1,n1,2,....

bnan

1

ba0n n2

且每一个闭区间an,bn都不能用H中的有限个开区间来覆盖,由于an是内有界数列,所以由聚点定理知存在an的收敛子列ank,即limank,从而也有limbnk.由于H

k

k



为闭区间a,b的一个开覆盖,故存在开区间,H,使,.于是当k充分大时有

a





nk

,bnk,.



这表明ank,bnk只需用H中的一个开区间就能覆盖,,与挑选ank,bnk时的假设“不能用H中的有限个开区间来覆盖”相矛盾,从而得证必存在属于H的有限个开区间能覆盖



a,b.

即有限覆盖定理得证.

3.6 有限覆盖定理证明致密性定理

有限覆盖定理：设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b

致密性定理：有界必含有收敛子列.

证明：反证法.设数列xn,xnan,bnn1,2,......若xn中无收敛子列,则对任意的

xna,b,x不是xn中任意一子列的极限.由此可知,存在x0,在xx,xx中

至多只含有

xn

中的有限项.于是得一满足上述条件的开区间族

G*xx,xx|xa,b,显然G*为的一个开覆盖.由有限覆盖定理,G*中存在有

限个开区间Gkxkxk,xkxkk1,2,...n,

n



G

k1

n

k

a,b.根据Gk的构造性质可知,

G

k1

k

中也只含有xn中的有限项,从而a,b中也只含有中的有限项,矛盾,所以结论得证.

3.7 致密性定理证明柯西收敛准则

致密性定理:单调数列必含有收敛子列.

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anam.

证明：充分性.设数列an满足柯西条件.先证明an是有界的.为此,取1,则存在正整数N,当mN1及nN时有

anaN11

由此得ananaN1aN1anaN1aN1aN11. 令Mmaxa1,a2,....,aN,aN11, 则对一切正整数n均有anM.



于是,由致密性定理,有界数列an必有收敛子列ank,设.对任给的0,存在K0,当



m,n,kK时,同时有limankA

n

anamankA

因而当取makkK时,得到



22

（柯西条件），



（limankA).

n

anAanankankA

这就证明了limanA.

n



2





 2

必要性.若an收敛,limana则由极限定义,0,N0,当nN时,有

n

ana

于是,对任何n,mN,有



2

.

anamanaama.

所以柯西条件成立.所以柯西定理得证.

第四章 基本定理的应用

实数完备性中的这七大基本定理,在数学分析中占有至关重要的地位,使极限理论乃至整个数学分析建立在了一个坚实的基础之上,下面就简单谈一下这七大基本定理的应用。

4.1 确界原理的应用

确界原理的表述虽然简单,但是一方面由于本身的不易理解,另一方面在实数中处于的重要地位,以下就简单介绍以下确界原理的应用. 例4.1.1 用确界原理证明最大值、最小值定理。

最大值、最小值定理：若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值. 证明:由闭区间上连续函数有上界,故由确界原理知,f的值域fa,b有上确界,记为M.以

下证明:存在a,b,使fM.倘若不然,对一切xa,b都有fxM令

gx

1

，xa,b

Mfx易见函数g在a,b上连续，故g在a,b上有上界.设G是g的一个上界，则

0gx

从而推得

1

G,xa,b.

MfxfxM

1

,xa,b G

但这与M为fa,b的上确界（最小上界）相矛盾.所以必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值.

同理,由闭区间上连续函数有下界,故由确界原理知,f的值域fa,b有下确界，记为g,以下证明存在a,b使fm.倘若不然,对一切xa,b都有fxm.令

hx

1

,xa,b

fxm

易见函数h在a,b上连续，故h在上有下界.设h是hx的一个下界，则

hx

从而推得

1

h,xa,b fxm

fxm

1

,但这与m为f的下确界（最大下界）相矛盾.所以必存在,使fm,即fh

在上有最小值.

例4.2.2 用确界原理证明介值性定理。

设函数f在闭区间a,b上连续,且fafb.若为介于fa与fb)之间的任何数(fafb或fafb,则存在x0a,b,使得fx0

证明:不妨设fafb.令gxfx-,则g也是a,b上的连续函数,且

ga0,gb0.于是定理的结论转化为:存在x0a,b,使得gx00.

记Ex|gx0.xa,b.显然E为非空有界数集(Ea,b,且bE),故由确界原理,

E有下确界,记x0infE.因ga0,gb0,由连续函数的局部保号性，存在0，使

得在a,a内gx0，在b,b内gx0，由此易见x0a,x0b即x0a,b.

下证gx00.倘若gx00.不妨设gx00,则由局部保号性,存在

Ux0;a,b,使在其内gx0,特别有gx00x0E.但这与

22x0infE相矛盾,故必有gx00

例4.3.3 证明有界闭区间a,b上的连续函数fx一定有界.

证明:令Ex|fx在a,x上有界，xa,b.因为fx在a点连续,所以存在



0,ba,使fx在a,a上有界,即aE,由此可知E,又因为E显然有上

界b,于是存在supEa,b.下证b且E.

若b,即a,b,,则由fx在点的连续性知,存在00,mina,b,有f在0,0有上界M10;又由为E的上确界知,存在x00,E，即f在a,x0有上界M20.于是M1M2为f在a,0的一个上界,即

0E,这与的定义矛盾.这即说明b

类似地,由fx在b点的连续性知,存在10,ba,使fx在b1,b上有上界;又由b知,存在x1b1,bE，使fx在a,x1上有界，从而fx在a,b上有界。 故有界闭区间上的连续函数一定有界.

4.2 单调有界定理的应用

单调有界原理主要运用于求极限，通常可以从正面（反面）展开论述.解题的具体思路:寻找有界无限点集,着眼于该点集构造与题目相关的单调有界数列,运用单调有界原理确定数列的极限存在,联系实际问题最终解决问题.

例4.2.1 运用单调有界定理论证有限覆盖定理。

证明：假设一区间a,b的一个开覆盖无有限个子覆盖，将a,b二等分，则至少有一半区间，它不能用的有限子集盖住，将此半区间记为a1,b1（如果两个半区间都如此，可任选其中一个），然后将a1,b1再二等分，重复上述步骤，无限的进行下去，便得一个区间套an,bn，an单调递增，bn单调递减，且anbn，由单调有界定理知an,bn有极限，当n时，所以存在一开区间1,，使得，limanlimbn,a,b，

n

n

但limanlimbn所以n充分大时有ab，这表明an,bn已被nnnn

1,所覆盖，与假设矛盾，得证．

例4.2.2 设f、g满足：①f、g在0,1上连续，在0,1上可导；②

f0g00,g11；③对任意的x0,1，有0f(x)g(x).证明：⑴对任意的x,

存在y0,1，使得gyfx；⑵任取x00,1，由下述的递推公式确定数列xn,

gxnfxn1,(n1,2,....)，那么limxn0.

n

证明：⑴依题意，有f0g00,,因为0f(x)g(x)，所以gxfx,x0,1.若对任意的x0,1，f00,fxcf1g11则gxc，即cg0,g1.因为gx在0,1上连续，且gx单调递减，所以由介值性定理，存在y0,1使得

gycfx且yx.若yx,则gygxfx矛盾.

⑵对任意的x00,1,存在x10,1,使得fx0gx1;对x1,存在x20,1,使得

fx1gx2;,…,依次类推,gxnfxn1,且0xnxn11,所以xn单调有界.由单

调有界原理知,limxn存在,设为A,则fx、gx连续,对fxn1gxn;两边取极限,得

n

fAgA;,所以A0

例4.3.3 设x1

a和xn1

axn

.证明xn收敛,并求limxn

1xnn

证明:令fx

ax1a

0,所以fx在0,a上严格单调递减.从而由数,则f(x)2

1x1x

学归纳法x1a及xn1

axn

可知

1xn

1x2nax2n1a,n1,2.....

故由x1

a和xn1

axn

可得

1xn

ax2n12aa1x2n2ax22nx2nx2n0 x2n2x2n

1x2n11a2x2n1a2x2n

所以x2n是单调有界数列,故存在极限，即为.同理可知x2n1单调递减有界数列,故存在极限,即为.令n,则有



解此方程组可得

aa

,

11

a

所以数列xn收敛,且limxn=a.

n

4.3 柯西收敛准则的应用

例4.3.1 用柯西收敛准则来证明区间套定理。 区间套定理：设

an,bn,n1,2......

是一列有界闭区间,满足⑴

nN,有anan1bn1bn,即an1,bn1an,bn；⑵limbnan0，则R

n

使得limbnliman，且是一切闭区间的唯一公共点

n

n

a

i1



n

,bn：满足上述2

个条件的闭区间列称为区间套. 证明：不妨

an,bn

设是一列闭区间，满足如下两个条件：⑴

;

⑵

an1,bn1an,bn,n1,2.....

limbnan0

n

.设

mn

，则

0amanbnan0n，所以数列an是一基本数列.从而由柯西收敛准则得：limanlimbnlimbnananlimbnanliman.由于数列an单

n

n

n

n

n

调增加，数列bn单调减少，可知是属于所有闭区间an,bn,n1,2......的唯一实数，从而区间套定理得证。下面证明区间套的公共点是唯一的。 若也属于所有的闭区间an,bn,n1,2......，则0时，limbnan

n

bnan，当n

0,这与条件⑵矛盾,即区间套的公共点是惟一的.

即区间套定理得证.

例4.3.2 用柯西收敛准则论证海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

证明：假设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，欲证可以从H中选出有限个开区间来覆盖a,b

a反证：假设不能从H中选出有限个开区间来覆盖a,b，记a,b＝1,b1

a现将1,b1等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个不能被H中

a,ba,ba有限个开区间覆盖，记此子区间为，则且 11222,b2

11

babaMN 221122

a 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能被H中有限个开区间覆2,b2

aa,ba,b盖，取出这样的一个子区间，记为，且 3,b3，则2233

1MN

baba 33 22222

，它满足 ab 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列n,n

1,2,, a,ba,b,nnnn1n1

(MN)

 nba0 nnn1

2

ab 即是区间套，且其中每一个闭区间不能被H中有限个开区间覆盖，并且，构成n,n

区间套的闭区间列的各闭区间的端点满足如下不等式：

aaabbb （1） 12nn21.

ba nN，b由于，对任给的0,存在正整数N0,使得对一切nanN1N

,nN时有 所以，数列an：对任给的0,存在正整数N0,当mamanba N1N

由柯西收敛准则可知：数列an收敛．

同理：数列bn：对任给的0,存在正整数N0,使得对一切nN有bnbm

ba N1N

由柯西收敛准可知：数列{an}，bn都收敛．

{N,N}故，对任意0，存在N，当任意nN，有12

ab；

n

n

a,bU(,),n1,2,...即， nn

S中无穷多个点，因此，U(,)含有S中无穷多个点． a由于n,bn中包含

)可a,bU(,1),n1,2,...若取1，显然，这表明用H中一个开区间U(,1nn





a以覆盖n,bn这与假相矛盾．

故假设不成立，有限覆盖定理得证

4.4 区间套定理的应用

例4.4.1 用区间套定理证明确界原理.

区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,即

anbn,n1,2....

确界原理:设S为非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 证明:在此只证明有上界的数集S必有上确界. 设b是S的一个上界,a不是S的上界,则ab. 令c1

1

ab.若c1是的上界,则记a1a,b1c1；若c1不是的上界,则记2

a1c1,b1b.

令c2

1

a1b1.若c2是的上界,则记a2b1,b2c2；若c1不是的上界,则记2

a2c2,b2b1.

......

上述步骤无限地进行下去,得到闭区间列an,bn,显然它是区间套(即满足区间套定理中的条件(i)与(ii）,且满足:

an不是S的上界, bn是S的上界，n1,2,....有区间套定理,

an,bn,n1,2,...下证supS:

(i) xS,xbnnN





,而limb

n

2

x，即是S的一个上界;

(ii），因liman，故当n充分大时有an，而an不是S的上界不是

n

S的上界

所以supS.故确界定理得证.

例4.4.2 用区间套定理证明海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理:设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

证明:反证法.假设定理的结论不成立,即不能用H中的有限个开区间来覆盖a,b.将a,b等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为a1,b1,则a1,b1a,b,且b1a1

1

ba.再将a1,b1等分为两个子区间,2

同样,其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为a2,b2,则a2,b2a1,b1,且b2a2闭区间列an,bn,它满足

1

ba.重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个22

1,2,, a,ba,b,nnnn1n1

bnan

1

 nba n

2

即an,bn是区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中的有限个开区间来覆盖.有区间套定理知,存在唯一的一点an,bn,n1,2,...,由于H是a,b的一个开覆盖,故存在开区间,H,使,.于是,当n充分大时有an,bna,b

这表明an,bn只需用H中的一个开区间,就能覆盖,矛盾.从而证得必存在属于H中

的有限个开区间能覆盖a,b.

4.5 聚点定理的应用

例4.5.1 用聚点定理证明单调有界定理 单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

证明：设数列xn单调增加有界，由致密性定理，存在收敛子列xnk

，设

xnkA,k,0,K0,当kK时AxnkAxnxnkA,取Nnk,当nN时，AxnkxnAxnA当nN时

故xn收敛.

例4.5．2 聚点定理证明确界定理。即：凡有上（下）界必有上（下）确界．



1，令证明 设E是有上界的非空数集，取E的一个上界b，设b0b

Ax是E的上界，且xbE，则b,b，从而A是无穷数集．任取a0，则因[0]A

A是有界集合，由聚点定理，集A存在最小聚点. 对任意aA，有axb0，从而



E 下面证明sup

设存在u0E，使u0，取0

u0

E的一个，则u00，从而0不是

2

,)A,)A(,)A上界，即(，而(，从而在区0000



A的聚点矛盾，因此，对任意,)没有集A的点，这与u间(0000是集

u。 u00，有

E，0，设存在00，使任意u有u则0是E的一个上界，任取00，

,)A(,)则(，这与是最小聚点矛盾，于是，对于任意0，0

存在t0E，使t0因此是E的上确界. 同理可证，与下界的非空数集必有下确界.



4.6 致密性定理的应用

例4.6 运用致密定理证明区间套定理 证明：［证存在性］

a设闭区间列是一个区间套，这里由区间套的性质（¡）表明，构成区间套的闭区间n,bn

列的各闭区间的端点满足如下不等式：

aaabbb 12nn21.

,2,,． ，n1a,b欲证区间套定理：存在唯一的一点nn

由致密定理，数列an单调递增有界，则必有收敛子列．假设其一个收敛子列为ank，并



a且limn1． k

k

同理，数列bn单调递减有界，则必有收敛子列．设其一个收敛子列为bnk

，并且

limbn． kk

(ba)0又 lim nn

n

a  对任给的 0,存在正整数 N0,使得对一切 n bnnknN有

b;aa,ba,b由于b，则a． nnnnnnnkkknk

故，对任给的0,存在正整数N0,对任意的n,k,nk，当n时有bnkankknN



bab nnnklim(ba)0 nnkk

n

ab 即limn1＝limn2kkkk

b,n1,2,显然数列ank单调递增，bnk单调递减；则有a nnkk



b,n1,2,因此，a nn

［证唯一性］

nb假设存在也满足a＝1,2,3） （２＇） nn （ bnan 由（１＇）（２＇）式可得：

 对任给的0,存在正整数N0,当nN时有

bnan



 bnan＝ba0(当n时) nn

即，证毕．

4.7 海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理的应用

例4.7 有限覆盖定理证明区间套定理。

区间套定理： 若an,bn是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得∈

an,bn.n1,2..... ，即anbn,n1,2,.....

证明：设区间套为an,bn.下面用反证法来构造a1,b1的无限覆盖:倘若an,bn不存在公共点,则

a1,b1

中任一一点都不是区间套的公共点.于是,

xa1,b1,an,bn,使得xan,bn,即存在Ux;x与某个an,bn不相交(注:这里用

到了an,bn为一闭区间,当x取遍时,这无限多个邻域构成a1,b1的一个无限制开覆盖).

HUx;x|xa1,b1

.根据有限覆盖定理,存在a1,b1的一个有限覆盖:

HUiUxi;i|i1,2,...NH

其中每个邻域Ui与ani,bni(i1,2,...N)不相交,若令





kmaxn1,n2.....,nN,则ak,bkani,bnii1,2,....N.

从而ak,bkUi,i1,2,...N 但是



U

i1

N

i

覆盖了a1,b1,也就覆盖了ak,bk,这与式矛盾,所以必定

an,bn,n1,2......

故区间套定理得证.

第五章 结论

前面谈到的七个定理从不同的角度实数的连续性或完备性，它们之间是相互等价的.很多教材从确界原理出发,展开整个极限理论.确界原理也被称为实数的连续性定理. 我们知道,收敛数列必定有界,但反之则不然.单调有界原理和致密性定理,进一步说明了收敛数列与有界之间的关系.有界有界数列不一定收敛,但一定有收敛子列.有界数列若单调则必收敛.而数列收敛的冲要条件,或者说,其本质属性是改数列称为Cauchy数列，即

0,N,当m,nNxnxm

，故本文采取从Cauchy收敛准则出发.

区间套定理和有限覆盖定理刻划了整体性质与局部性质之间的关系,区间套定理通过构造满足某种性质得区间套序列,从而推至某点的局部性质.而有限覆盖定理则恰恰相反,通过否定局部性质而获得整体全局性质.

这七个定理中除了有限覆盖定理外的其余六个属于同一类型，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在，这种点分别是：定理l中的确界(点)，定理2、定理7中的极限点，定理3中的公共点．定理5中的聚点，定理6中的子列的收敛点，有限覆盖定理不与某种“点”有关，属于另一种形式，它是其余六个定理的逆否形式．因此，不论是从其它定理出发证有限覆盖定理，还是从有限覆盖定理出发证其它定理，都运用反证法完成，而其余六个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那一点即可，方法是先从已知出发构造某一个点．然后证明这个点就是要求的点。

参考文献

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[11] 孙书荣.实数完备性基本定理的相互证明. 济南大学学报(综合版)[J], 1995,4.

实数的完备性

致 谢

论文基本完成了，我紧张的心情终于可以放松放松一下了，在此，我衷心的感谢我的指导教师某某老师，他渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我受益匪浅，以及他给予我的热心帮助，让我可以顺利并且及时的完成我的毕业论文写作。感谢他引导着我对实数完备性有了更进一步的了解，从大一初学时对其的朦胧知晓，到如今的深刻见解，使得我具有了一定的独立科研能力。都离不开某老师对我的帮助，他耐心的教导，热心的帮忙找资料，再次向导师某老师致以我最崇高的敬意和衷心的感谢。

同时我也很感谢我的同学给予我的帮助，当我有不懂的地方时，他们给予了我最及时并热心的帮助，还有就是热心的借电脑给我。

再者，感谢四川文理学院的老师和领导，感谢他们在我读书期间给予的关心和帮助。

- 21 -

分类号 UDC 单位代码 10644 密 级 公 开 学 号

2007040xxx

四川文理学院

学士学位论文

论文题目 （小二号宋体加粗，一般不超过20字）

论文作者： （仿宋GB2312小三加粗） 指导教师： （仿宋GB2312小三加粗） 学科专业： 数学与应用数学 提交论文日期：2011 年5 月 20 日 论文答辩日期：2011 年 5 月 28 日 学位授予单位： 四川文理学院

中 国  达 州 2011 年5 月

四川文理学院数学与财经系 学士学位毕业论文指导记录（2007级）

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四川文理学院数学与财经系 学士学位毕业论文答辩评分意见

目录

摘要 ..................................................................... - 1 - 第一章 绪论 ................................................................................................................ - 1 -

1.1引言 ............................................................................................................... - 1 - 第二章 实数完备性的基本命题 .................................................................................... - 1 -

2.1 确界原理........................................................................................................ - 1 - 2.2 单调有界定理................................................................................................. - 1 -

2.3区间套定理 ..................................................................................................... - 1 - 2.4海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理 .................................................... - 2 - 2.5魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理............................................................. - 2 - 2.6致密性定理 ..................................................................................................... - 2 - 2.7柯西(Cauchy)收敛准则 ................................................................................... - 2 - 第三章 定理的等价性证明 ........................................................................................... - 2 -

3.1用柯西收敛准则证明单调有界性:.................................................................... - 3 - 3.2 单调有界定理证明确界原理: .......................................................................... - 3 - 3.3 用确界原理证明区间套定理: .......................................................................... - 4 - 3.4 用区间套定理来证明聚点定理: ...................................................................... - 5 - 3.5 用聚点定理证明有限覆盖定理: ...................................................................... - 6 - 3.6 有限覆盖定理证明致密性定理：..................................................................... - 7 - 3.7 致密性定理证明柯西收敛准则:..................................................................... - 7 - 第四章 基本定理的应用 ............................................................................................... - 8 -

4.1 确界原理的应用 ............................................................................................. - 8 - 4.2 单调有界定理的应用 .....................................................................................- 10 - 4.3 柯西收敛准则的应用 .....................................................................................- 12 - 4.4 区间套定理的应用.........................................................................................- 14 - 4.5 聚点定理的应用 ............................................................................................- 16 - 4.6 致密性定理的应用.........................................................................................- 17 - 4.7 海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理的应用 ......................................- 18 - 第五章 结论 ...............................................................................................................- 19 - 参考文献.....................................................................................................................- 20 - 致谢............................................................................................................................- 21 -

R的完备性研究

学生：maths02 指导教师：maths01

摘要 实数完备性的七个基本定理:确界原理,单点有界定理,区间套定理,海涅-博雷

尔(Heine-Borel)有限覆盖定理，聚点定理，致密性定理，柯西（Cauchy)收敛准则.这七个定理中除了有限覆盖定理外的其余六个属于同一类型，它们是等价的，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在，这种点分别是：确界原理中的确界(点)，单点有界定理、柯西（Cauchy)收敛准则中的极限点，区间套定理中的公共点，聚点定理中的聚点，致密性定理中的子列的收敛点，有限覆盖定理不与某种“点”有关，属于另一种形式，它是其余六个定理的逆否形式．因此，不论是从其它定理出发证有限覆盖定理，还是从有限覆盖定理出发证其它定理，都运用反证法完成，而其余六个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那些点即可，方法是先从已知出发构造某一个点．然后证明这个点就是要求的点。本文采取循环证明的方式来说明它们之间的等价性。

关键词：实数完备性；基本定理；点；等价性；循环证明

REAL NUMBER COMPLETE RESEARCH

Student:maths02 Supervisor:maths01

ABSTRACT

real number complete seven fundamental theorems: The true

principle, the simple point has the theorem, the nested interval theorem, Heine - Borell the (Heine-Borel) finite covering theorem, the limiting point theorem, the compact theorem, west the tan oak (Cauchy) restrains the criterion. In these seven theorems belongs to the identical type besides finite covering theorem's other six, they are equal, they pointed out that under some condition, then has some kind “the spot” the existence, this kind of spot respectively is: In the true principle indeed (spot), the simple point has west the theorem, the tan oak (Cauchy) to restrain in the criterion the limiting point, in the nested interval theorem common point, in the limiting point theorem limiting point, in compact theorem sub-row convergence point, finite covering theorem not with some kind “spot” related, belongs to another form, it is the other six theorem counter otherwise form. Therefore, no matter embarks from other theorems the card finite covering theorem, embarks card other theorems from the finite covering theorem, utilizes the reduction to absurdity to complete, but other six theorems may push mutually directly, so long as holds these spots which above mentioned then, the method is from known embarks first constructs some spot. Then proved that this spot is the request spot. This article adopts the circulationproof the way to show between them the equivalence.

Key words: Real number completeness， Fundamental theorem， Spot， Equivalence， The circulation proved .

第一章 绪论

1.1引言

实数系的连续性和完备性是实数的一个重要特征，与之相关的若干基本定理，即：单调收敛定理、上(下)确界定理、戴德金分割定理、聚点原理、有限覆盖定理、致密性定理、柯西收敛准则，它们是彼此等价的。这些定理从不同的角度刻划了实数系的完备性或连续性，并且他们是论证其它一些重要定理和规则的依据，如连续函数的介值定理、一致连续性定理等，因此在理论上具有重要价值。

实数系的连续性和完备性传统的论证方法一般是假定某一定理成立，例如将上(下)确界定理作为公理(参见文献[1])，然后在此基础论证其他的定理，这种论证本身失于严谨性和可靠性。另一论证方法是从戴德金分割理论人手，构造实数，然后论证其他定理的等价性(参见文献[3])，但戴德金分割理论相当繁琐难懂。近些年，一些文献(如文献[1]，以十进制小数作为实数定义，证明上(下)确界定理，进而给出一些常见的实数系连续性和完备性定理。本文从柯西(Cauchy)收敛准则出发,按单调有界原理、确界原理、区间套定理、聚点定理、致密性定理、有限覆盖定理，最后再回到柯西（Cauchy)收敛准则的顺序进行一一证明，从中，可以发现它们之间如此美妙的等价性。

第二章 实数完备性的基本命题

2.1 确界原理

设S为非空数集.若S有上界,则S必有上确界;若S有下界,则必有下确界.

2.2 单调有界定理

在实数系中,有界的单调数列必有极限.

2.3区间套定理

若an,bn是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得∈an,bn ，n=1,2,....，即n=1,2,3,......

2.4海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

2.5魏尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理

实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

2.6致密性定理

有界数列必含有收敛子列. 2.7柯西(Cauchy)收敛准则

数列an收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anbn.

第三章 定理的等价性证明

以上七大基本定理以不同方式从各个角度分别刻划了实数系的一种特性，通常称为完备性或连续性。这七个基本定理是等价的，即从其中任何一个可以推出另外六个，但必须首先证其中一个命题是正确的，因此即使完成了上述七个命题是互相等价的证明，但这并不意味着它们就是正确的，若其中一个假命题，则全部均为假命题。因此．对于这七个命题中的起点是极其重要的．本质上，问题就归结为实数的如何引入。常用的引入实数的方法有三种：第一是用十进位小数定义，这样可证明确界定理,可参阅文献[1]；第二种是用有理数的Cauchy数列定义．从该定义出发可证明数列的Cauchy收敛准则(充分性)；第三种是用戴德金分划定义，由此定义可证明确界定理，可参阅文献[3]。在这里,我们从柯西定理出发,按以下的顺序加以证明它们之间的等价关系。 柯西收敛准则

聚点定理

3.1用柯西收敛准则证明单调有界性

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anbn.

单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

证明:设an为一递增且有上界M的数列.用反证法(借助柯西收敛准则)可以证明:倘若

an无极限,则可找到一个子列an以+为其广义极限,从而与an有上界相矛盾.现在

来构造这样的an.

首先,对于单调数列an而言,柯西条件可改述为:“0,NN，当nN时，满足”.这是因为它同时保证了对一切nmN,恒有

anamanaN

由于假设an不收敛,故由上述柯西条件的否定陈述,必存在某个00,对无论多大的N,均有某个nN,使anaNanaN0 依次取

N11,n1N1,使an1a10

N2n1,n2N2,使anka10

.................................

Nknk1,nkNk使ankank10

把这k个式子相加，得到

anka1k0.

由此易知，当k

Ma1时，可使

ankM，矛盾.所以单调有界数列必有极限.

0

3.2 单调有界定理证明确界原理

单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

确界原理:设为S非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 证明:只证“在实数系R内，非空有下界的数集必有下确界存在。”对于上确界定理可类似证明。设数集S非空，且有下界。故存在a1,b1R，使得a1是S的下界，b1不是S的下界。如果a1b12不是S的下界，则取a2a1,b2a1b12,如果a1b12是S的下界，则取a2a1b12,b2b1.如果

a2b22

不是S的下界，则取

a3a2,b3a2b22；如果a2b22是的S下界，则取a3a2b22,b3b2。

,bn。如此继续下去，可得到两个数列an其中an都是S的下界且an单调递增有上界(例

如b1)，bn都不是S的下界且bn单调递减有下界(例如a1)。并且

bnanb1a12n0(当n时)。由bn单调递减有下界知数列bn存在极限，设

limbn。以下证infS。

n

n

先证明是S的下界。假设存在x0S，使得x0，则有anbnbnb1a12，

n

“知limanlimbnlimb1a12。故存在某个an0，使得x0an0.这与“an都是S

n

n

n

的下界”矛盾。再证明是S的最大下界。事实上，因为limbn，所以对任意的0，

n

存在N0，当nN时有bn，即有bn成立。又因为bn都不是S的下界，所以对每一个N，存在xS，使得bNx。故对任意的0，存在xS，使得

bNx。综上即有infS。

3.3 用确界原理证明区间套定理

确界原理:设为S非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得

an,bn,n1,2,...,即anbn,n1,2....

证明: an,bn为区间套. 根据区间套的定义知,

a1a2...an...bn...b2b1.

故每个am为数列bn的下界, 而每个bm为数列an的上界. 由确界原理 , 数列an有上确界, 数列bn有下确界 . 设 infbn, supan.易见有

anbn 和anbn.

故有bnan

. 由b，a0 , ( n )nn

且有an,bn,n1,2,... 下证满足上式的是唯一的. 设

也满足上式,即有anbn,假设,则有anbn

ba0 , ( n ). nn,故

即区间套定理得证.

3.4 用区间套定理来证明聚点定理

区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得

an,bn,n1,2,...,即anbn,n1,2...

聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

证明:因为S=x是有界点集，故存在a,b,使得对任意xS有axb，即Sa,b.将

a,b等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间“含有S中的无限多个点”，记这个子区

间为a1,b1；再将a1,b1等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间“含有S中的无限多

an,bnn1,2,3....... ，个点”，记这个子区间为a2,b2；如此继续下去，得到一区间列

它的每一个区间都含有S中的无限多个点，而且满足： (1)an,bnan1,bn1n1,2,......； (2)limbnanlim

n

ba

0

n2n

于是，由区间套定理，存在唯一的一点an,bn,n1,2,.....。今作的邻域U,。 因为(2)，故当n充分大时，必有an,bnU,,由an,bn的作法可知，U,中含

有S的无限多个点，依聚点的定义知为S的一个聚点. 故命题得证.

3.5 用聚点定理证明有限覆盖定理

聚点定理:实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点.

有限覆盖定理：设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

证明:反证法.假设有限覆盖定理的结论不成立,即不能用H中有限个开区间来覆盖a,b.将a,b等分成两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖，记这个子区间为a1,b1，则a1,b1a,b，且b1a1

1

ba再将a1,b1等分成两个2

子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为

a2,b2,则a2,ba1,b1,且b2a2

2

1

ba.重复上述步骤并不断地进行下去,则22

得到一个闭区间列an,bn,它满足

an,bnan1,bn1,n1,2,....

bnan

1

ba0n n2

且每一个闭区间an,bn都不能用H中的有限个开区间来覆盖,由于an是内有界数列,所以由聚点定理知存在an的收敛子列ank,即limank,从而也有limbnk.由于H

k

k



为闭区间a,b的一个开覆盖,故存在开区间,H,使,.于是当k充分大时有

a





nk

,bnk,.



这表明ank,bnk只需用H中的一个开区间就能覆盖,,与挑选ank,bnk时的假设“不能用H中的有限个开区间来覆盖”相矛盾,从而得证必存在属于H的有限个开区间能覆盖



a,b.

即有限覆盖定理得证.

3.6 有限覆盖定理证明致密性定理

有限覆盖定理：设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b

致密性定理：有界必含有收敛子列.

证明：反证法.设数列xn,xnan,bnn1,2,......若xn中无收敛子列,则对任意的

xna,b,x不是xn中任意一子列的极限.由此可知,存在x0,在xx,xx中

至多只含有

xn

中的有限项.于是得一满足上述条件的开区间族

G*xx,xx|xa,b,显然G*为的一个开覆盖.由有限覆盖定理,G*中存在有

限个开区间Gkxkxk,xkxkk1,2,...n,

n



G

k1

n

k

a,b.根据Gk的构造性质可知,

G

k1

k

中也只含有xn中的有限项,从而a,b中也只含有中的有限项,矛盾,所以结论得证.

3.7 致密性定理证明柯西收敛准则

致密性定理:单调数列必含有收敛子列.

柯西收敛准则：数列收敛的充要条件是：对任给的0，存在正整数N,使得当n,m0时有

anam.

证明：充分性.设数列an满足柯西条件.先证明an是有界的.为此,取1,则存在正整数N,当mN1及nN时有

anaN11

由此得ananaN1aN1anaN1aN1aN11. 令Mmaxa1,a2,....,aN,aN11, 则对一切正整数n均有anM.



于是,由致密性定理,有界数列an必有收敛子列ank,设.对任给的0,存在K0,当



m,n,kK时,同时有limankA

n

anamankA

因而当取makkK时,得到



22

（柯西条件），



（limankA).

n

anAanankankA

这就证明了limanA.

n



2





 2

必要性.若an收敛,limana则由极限定义,0,N0,当nN时,有

n

ana

于是,对任何n,mN,有



2

.

anamanaama.

所以柯西条件成立.所以柯西定理得证.

第四章 基本定理的应用

实数完备性中的这七大基本定理,在数学分析中占有至关重要的地位,使极限理论乃至整个数学分析建立在了一个坚实的基础之上,下面就简单谈一下这七大基本定理的应用。

4.1 确界原理的应用

确界原理的表述虽然简单,但是一方面由于本身的不易理解,另一方面在实数中处于的重要地位,以下就简单介绍以下确界原理的应用. 例4.1.1 用确界原理证明最大值、最小值定理。

最大值、最小值定理：若函数f在闭区间a,b上连续，则f在a,b上有最大值与最小值. 证明:由闭区间上连续函数有上界,故由确界原理知,f的值域fa,b有上确界,记为M.以

下证明:存在a,b,使fM.倘若不然,对一切xa,b都有fxM令

gx

1

，xa,b

Mfx易见函数g在a,b上连续，故g在a,b上有上界.设G是g的一个上界，则

0gx

从而推得

1

G,xa,b.

MfxfxM

1

,xa,b G

但这与M为fa,b的上确界（最小上界）相矛盾.所以必存在a,b,使fM,即f在a,b上有最大值.

同理,由闭区间上连续函数有下界,故由确界原理知,f的值域fa,b有下确界，记为g,以下证明存在a,b使fm.倘若不然,对一切xa,b都有fxm.令

hx

1

,xa,b

fxm

易见函数h在a,b上连续，故h在上有下界.设h是hx的一个下界，则

hx

从而推得

1

h,xa,b fxm

fxm

1

,但这与m为f的下确界（最大下界）相矛盾.所以必存在,使fm,即fh

在上有最小值.

例4.2.2 用确界原理证明介值性定理。

设函数f在闭区间a,b上连续,且fafb.若为介于fa与fb)之间的任何数(fafb或fafb,则存在x0a,b,使得fx0

证明:不妨设fafb.令gxfx-,则g也是a,b上的连续函数,且

ga0,gb0.于是定理的结论转化为:存在x0a,b,使得gx00.

记Ex|gx0.xa,b.显然E为非空有界数集(Ea,b,且bE),故由确界原理,

E有下确界,记x0infE.因ga0,gb0,由连续函数的局部保号性，存在0，使

得在a,a内gx0，在b,b内gx0，由此易见x0a,x0b即x0a,b.

下证gx00.倘若gx00.不妨设gx00,则由局部保号性,存在

Ux0;a,b,使在其内gx0,特别有gx00x0E.但这与

22x0infE相矛盾,故必有gx00

例4.3.3 证明有界闭区间a,b上的连续函数fx一定有界.

证明:令Ex|fx在a,x上有界，xa,b.因为fx在a点连续,所以存在



0,ba,使fx在a,a上有界,即aE,由此可知E,又因为E显然有上

界b,于是存在supEa,b.下证b且E.

若b,即a,b,,则由fx在点的连续性知,存在00,mina,b,有f在0,0有上界M10;又由为E的上确界知,存在x00,E，即f在a,x0有上界M20.于是M1M2为f在a,0的一个上界,即

0E,这与的定义矛盾.这即说明b

类似地,由fx在b点的连续性知,存在10,ba,使fx在b1,b上有上界;又由b知,存在x1b1,bE，使fx在a,x1上有界，从而fx在a,b上有界。 故有界闭区间上的连续函数一定有界.

4.2 单调有界定理的应用

单调有界原理主要运用于求极限，通常可以从正面（反面）展开论述.解题的具体思路:寻找有界无限点集,着眼于该点集构造与题目相关的单调有界数列,运用单调有界原理确定数列的极限存在,联系实际问题最终解决问题.

例4.2.1 运用单调有界定理论证有限覆盖定理。

证明：假设一区间a,b的一个开覆盖无有限个子覆盖，将a,b二等分，则至少有一半区间，它不能用的有限子集盖住，将此半区间记为a1,b1（如果两个半区间都如此，可任选其中一个），然后将a1,b1再二等分，重复上述步骤，无限的进行下去，便得一个区间套an,bn，an单调递增，bn单调递减，且anbn，由单调有界定理知an,bn有极限，当n时，所以存在一开区间1,，使得，limanlimbn,a,b，

n

n

但limanlimbn所以n充分大时有ab，这表明an,bn已被nnnn

1,所覆盖，与假设矛盾，得证．

例4.2.2 设f、g满足：①f、g在0,1上连续，在0,1上可导；②

f0g00,g11；③对任意的x0,1，有0f(x)g(x).证明：⑴对任意的x,

存在y0,1，使得gyfx；⑵任取x00,1，由下述的递推公式确定数列xn,

gxnfxn1,(n1,2,....)，那么limxn0.

n

证明：⑴依题意，有f0g00,,因为0f(x)g(x)，所以gxfx,x0,1.若对任意的x0,1，f00,fxcf1g11则gxc，即cg0,g1.因为gx在0,1上连续，且gx单调递减，所以由介值性定理，存在y0,1使得

gycfx且yx.若yx,则gygxfx矛盾.

⑵对任意的x00,1,存在x10,1,使得fx0gx1;对x1,存在x20,1,使得

fx1gx2;,…,依次类推,gxnfxn1,且0xnxn11,所以xn单调有界.由单

调有界原理知,limxn存在,设为A,则fx、gx连续,对fxn1gxn;两边取极限,得

n

fAgA;,所以A0

例4.3.3 设x1

a和xn1

axn

.证明xn收敛,并求limxn

1xnn

证明:令fx

ax1a

0,所以fx在0,a上严格单调递减.从而由数,则f(x)2

1x1x

学归纳法x1a及xn1

axn

可知

1xn

1x2nax2n1a,n1,2.....

故由x1

a和xn1

axn

可得

1xn

ax2n12aa1x2n2ax22nx2nx2n0 x2n2x2n

1x2n11a2x2n1a2x2n

所以x2n是单调有界数列,故存在极限，即为.同理可知x2n1单调递减有界数列,故存在极限,即为.令n,则有



解此方程组可得

aa

,

11

a

所以数列xn收敛,且limxn=a.

n

4.3 柯西收敛准则的应用

例4.3.1 用柯西收敛准则来证明区间套定理。 区间套定理：设

an,bn,n1,2......

是一列有界闭区间,满足⑴

nN,有anan1bn1bn,即an1,bn1an,bn；⑵limbnan0，则R

n

使得limbnliman，且是一切闭区间的唯一公共点

n

n

a

i1



n

,bn：满足上述2

个条件的闭区间列称为区间套. 证明：不妨

an,bn

设是一列闭区间，满足如下两个条件：⑴

;

⑵

an1,bn1an,bn,n1,2.....

limbnan0

n

.设

mn

，则

0amanbnan0n，所以数列an是一基本数列.从而由柯西收敛准则得：limanlimbnlimbnananlimbnanliman.由于数列an单

n

n

n

n

n

调增加，数列bn单调减少，可知是属于所有闭区间an,bn,n1,2......的唯一实数，从而区间套定理得证。下面证明区间套的公共点是唯一的。 若也属于所有的闭区间an,bn,n1,2......，则0时，limbnan

n

bnan，当n

0,这与条件⑵矛盾,即区间套的公共点是惟一的.

即区间套定理得证.

例4.3.2 用柯西收敛准则论证海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

证明：假设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，欲证可以从H中选出有限个开区间来覆盖a,b

a反证：假设不能从H中选出有限个开区间来覆盖a,b，记a,b＝1,b1

a现将1,b1等分为两个子区间．因S为无限点集，故两个子区间中至少有一个不能被H中

a,ba,ba有限个开区间覆盖，记此子区间为，则且 11222,b2

11

babaMN 221122

a 再将等分为两个子区间，则其中至少有一个子区间不能被H中有限个开区间覆2,b2

aa,ba,b盖，取出这样的一个子区间，记为，且 3,b3，则2233

1MN

baba 33 22222

，它满足 ab 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列n,n

1,2,, a,ba,b,nnnn1n1

(MN)

 nba0 nnn1

2

ab 即是区间套，且其中每一个闭区间不能被H中有限个开区间覆盖，并且，构成n,n

区间套的闭区间列的各闭区间的端点满足如下不等式：

aaabbb （1） 12nn21.

ba nN，b由于，对任给的0,存在正整数N0,使得对一切nanN1N

,nN时有 所以，数列an：对任给的0,存在正整数N0,当mamanba N1N

由柯西收敛准则可知：数列an收敛．

同理：数列bn：对任给的0,存在正整数N0,使得对一切nN有bnbm

ba N1N

由柯西收敛准可知：数列{an}，bn都收敛．

{N,N}故，对任意0，存在N，当任意nN，有12

ab；

n

n

a,bU(,),n1,2,...即， nn

S中无穷多个点，因此，U(,)含有S中无穷多个点． a由于n,bn中包含

)可a,bU(,1),n1,2,...若取1，显然，这表明用H中一个开区间U(,1nn





a以覆盖n,bn这与假相矛盾．

故假设不成立，有限覆盖定理得证

4.4 区间套定理的应用

例4.4.1 用区间套定理证明确界原理.

区间套定理:若是an,bn一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,即

anbn,n1,2....

确界原理:设S为非空数集,若有上界,则S必有上确界.若S有下界,则S必有下确界. 证明:在此只证明有上界的数集S必有上确界. 设b是S的一个上界,a不是S的上界,则ab. 令c1

1

ab.若c1是的上界,则记a1a,b1c1；若c1不是的上界,则记2

a1c1,b1b.

令c2

1

a1b1.若c2是的上界,则记a2b1,b2c2；若c1不是的上界,则记2

a2c2,b2b1.

......

上述步骤无限地进行下去,得到闭区间列an,bn,显然它是区间套(即满足区间套定理中的条件(i)与(ii）,且满足:

an不是S的上界, bn是S的上界，n1,2,....有区间套定理,

an,bn,n1,2,...下证supS:

(i) xS,xbnnN





,而limb

n

2

x，即是S的一个上界;

(ii），因liman，故当n充分大时有an，而an不是S的上界不是

n

S的上界

所以supS.故确界定理得证.

例4.4.2 用区间套定理证明海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理

海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理:设H为闭区间a,b的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖a,b.

证明:反证法.假设定理的结论不成立,即不能用H中的有限个开区间来覆盖a,b.将a,b等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为a1,b1,则a1,b1a,b,且b1a1

1

ba.再将a1,b1等分为两个子区间,2

同样,其中至少有一个子区间不能用H中的有限个开区间来覆盖,记这个子区间为a2,b2,则a2,b2a1,b1,且b2a2闭区间列an,bn,它满足

1

ba.重复上述步骤并不断地进行下去,则得到一个22

1,2,, a,ba,b,nnnn1n1

bnan

1

 nba n

2

即an,bn是区间套,且其中每一个闭区间都不能用H中的有限个开区间来覆盖.有区间套定理知,存在唯一的一点an,bn,n1,2,...,由于H是a,b的一个开覆盖,故存在开区间,H,使,.于是,当n充分大时有an,bna,b

这表明an,bn只需用H中的一个开区间,就能覆盖,矛盾.从而证得必存在属于H中

的有限个开区间能覆盖a,b.

4.5 聚点定理的应用

例4.5.1 用聚点定理证明单调有界定理 单调有界定理:实数系中,单调有界数列必有极限.

证明：设数列xn单调增加有界，由致密性定理，存在收敛子列xnk

，设

xnkA,k,0,K0,当kK时AxnkAxnxnkA,取Nnk,当nN时，AxnkxnAxnA当nN时

故xn收敛.

例4.5．2 聚点定理证明确界定理。即：凡有上（下）界必有上（下）确界．



1，令证明 设E是有上界的非空数集，取E的一个上界b，设b0b

Ax是E的上界，且xbE，则b,b，从而A是无穷数集．任取a0，则因[0]A

A是有界集合，由聚点定理，集A存在最小聚点. 对任意aA，有axb0，从而



E 下面证明sup

设存在u0E，使u0，取0

u0

E的一个，则u00，从而0不是

2

,)A,)A(,)A上界，即(，而(，从而在区0000



A的聚点矛盾，因此，对任意,)没有集A的点，这与u间(0000是集

u。 u00，有

E，0，设存在00，使任意u有u则0是E的一个上界，任取00，

,)A(,)则(，这与是最小聚点矛盾，于是，对于任意0，0

存在t0E，使t0因此是E的上确界. 同理可证，与下界的非空数集必有下确界.



4.6 致密性定理的应用

例4.6 运用致密定理证明区间套定理 证明：［证存在性］

a设闭区间列是一个区间套，这里由区间套的性质（¡）表明，构成区间套的闭区间n,bn

列的各闭区间的端点满足如下不等式：

aaabbb 12nn21.

,2,,． ，n1a,b欲证区间套定理：存在唯一的一点nn

由致密定理，数列an单调递增有界，则必有收敛子列．假设其一个收敛子列为ank，并



a且limn1． k

k

同理，数列bn单调递减有界，则必有收敛子列．设其一个收敛子列为bnk

，并且

limbn． kk

(ba)0又 lim nn

n

a  对任给的 0,存在正整数 N0,使得对一切 n bnnknN有

b;aa,ba,b由于b，则a． nnnnnnnkkknk

故，对任给的0,存在正整数N0,对任意的n,k,nk，当n时有bnkankknN



bab nnnklim(ba)0 nnkk

n

ab 即limn1＝limn2kkkk

b,n1,2,显然数列ank单调递增，bnk单调递减；则有a nnkk



b,n1,2,因此，a nn

［证唯一性］

nb假设存在也满足a＝1,2,3） （２＇） nn （ bnan 由（１＇）（２＇）式可得：

 对任给的0,存在正整数N0,当nN时有

bnan



 bnan＝ba0(当n时) nn

即，证毕．

4.7 海涅一博雷尔(Heine—Borel)有限覆盖定理的应用

例4.7 有限覆盖定理证明区间套定理。

区间套定理： 若an,bn是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点，使得∈

an,bn.n1,2..... ，即anbn,n1,2,.....

证明：设区间套为an,bn.下面用反证法来构造a1,b1的无限覆盖:倘若an,bn不存在公共点,则

a1,b1

中任一一点都不是区间套的公共点.于是,

xa1,b1,an,bn,使得xan,bn,即存在Ux;x与某个an,bn不相交(注:这里用

到了an,bn为一闭区间,当x取遍时,这无限多个邻域构成a1,b1的一个无限制开覆盖).

HUx;x|xa1,b1

.根据有限覆盖定理,存在a1,b1的一个有限覆盖:

HUiUxi;i|i1,2,...NH

其中每个邻域Ui与ani,bni(i1,2,...N)不相交,若令





kmaxn1,n2.....,nN,则ak,bkani,bnii1,2,....N.

从而ak,bkUi,i1,2,...N 但是



U

i1

N

i

覆盖了a1,b1,也就覆盖了ak,bk,这与式矛盾,所以必定

an,bn,n1,2......

故区间套定理得证.

第五章 结论

前面谈到的七个定理从不同的角度实数的连续性或完备性，它们之间是相互等价的.很多教材从确界原理出发,展开整个极限理论.确界原理也被称为实数的连续性定理. 我们知道,收敛数列必定有界,但反之则不然.单调有界原理和致密性定理,进一步说明了收敛数列与有界之间的关系.有界有界数列不一定收敛,但一定有收敛子列.有界数列若单调则必收敛.而数列收敛的冲要条件,或者说,其本质属性是改数列称为Cauchy数列，即

0,N,当m,nNxnxm

，故本文采取从Cauchy收敛准则出发.

区间套定理和有限覆盖定理刻划了整体性质与局部性质之间的关系,区间套定理通过构造满足某种性质得区间套序列,从而推至某点的局部性质.而有限覆盖定理则恰恰相反,通过否定局部性质而获得整体全局性质.

这七个定理中除了有限覆盖定理外的其余六个属于同一类型，它们都指出，在某一条件下，便有某种“点”存在，这种点分别是：定理l中的确界(点)，定理2、定理7中的极限点，定理3中的公共点．定理5中的聚点，定理6中的子列的收敛点，有限覆盖定理不与某种“点”有关，属于另一种形式，它是其余六个定理的逆否形式．因此，不论是从其它定理出发证有限覆盖定理，还是从有限覆盖定理出发证其它定理，都运用反证法完成，而其余六个定理可以直接互推，只要抓住上述提到的那一点即可，方法是先从已知出发构造某一个点．然后证明这个点就是要求的点。

参考文献

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[11] 孙书荣.实数完备性基本定理的相互证明. 济南大学学报(综合版)[J], 1995,4.

实数的完备性

致 谢

论文基本完成了，我紧张的心情终于可以放松放松一下了，在此，我衷心的感谢我的指导教师某某老师，他渊博的专业知识，严谨科学的治学态度，精益求精的工作作风，一丝不苟、锲而不舍的精神，和对数学研究的独到见解，对我产生了深远的影响，使我受益匪浅，以及他给予我的热心帮助，让我可以顺利并且及时的完成我的毕业论文写作。感谢他引导着我对实数完备性有了更进一步的了解，从大一初学时对其的朦胧知晓，到如今的深刻见解，使得我具有了一定的独立科研能力。都离不开某老师对我的帮助，他耐心的教导，热心的帮忙找资料，再次向导师某老师致以我最崇高的敬意和衷心的感谢。

同时我也很感谢我的同学给予我的帮助，当我有不懂的地方时，他们给予了我最及时并热心的帮助，还有就是热心的借电脑给我。

再者，感谢四川文理学院的老师和领导，感谢他们在我读书期间给予的关心和帮助。

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