已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象,求ω和φ值,是高考数学的一个热点,也是学生的一个难点、易错点.本文就如何利用“五点法”来求ω和φ值作一些探析,供大家参考. 课本中,把“五点法”中的横坐标为0,πD2,π,3πD2,2π的五点分别叫做第一点、第二点、第三点、第四点、第五点. 由“五点法”知(从左到右): 第一点是图象继续上升且与x轴相交的点; 第二点是图象开始下降且与x轴不相交的点; 第三点是图象继续下降且与x轴相交的点; 第四点是图象开始上升且与x轴不相交的点; 第五点是图象继续上升且与x轴相交的点. 当我们要画出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图时,我们会把ωx+φ看成一个整体,分别令ωx+φ=0,πD2,π,3πD2,2π,求出相应x的值,通过列表,确定顺序的五个点,然后作出函数的简图.根据这种做法,有下列结论: 若(x0,0)是第一点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=0; 若(x0,1)是第二点,且sin(ωx0+φ)=1,则ωx0+φ=πD2; 若(x0,0)是第三点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=π; 若(x0,―1)是第四点,且sin(ωx0+φ)=―1,则ωx0+φ=3πD2; 若(x0,0)是第五点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=2π. 由上述可知,只要知道函数f(x)的一个最小正周期内的五点中的任意两点,就可以求ω和φ值. 例1(2011年高考江苏卷・文9理9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图1所示,则f(0)的值是. 解析易知A=2, 由周期T=2πDω=4(7πD12―πD3)得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ). 下面我们来求φ值. 思路1(“五点法”) 把点(πD3,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin(2πD3+φ)=0. 因为点(πD3,0)是“五点法”中的第三点,所以由sin(2πD3+φ)=0,得 2πD3+φ=π�φ=πD3. 故而f(0)=2sinπD3=6D2. 思路2(“五点法”)把点(7πD12,―2)代入 f(x)=2sin(2x+φ), 得sin(7πD6+φ)=―1. 因为点(7πD12,―2)是“五点法”中的第四点,所以由sin(7πD6+φ)=―1,得 7πD6+φ=3πD2�φ=πD3. 故而f(0)=2sinπD3=6D2. 思路3(常规方法) sin(2πD3+φ)=0�2πD3+φ=kπ �φ=kπ―2πD3(k∈Z). 所以f(0)=2sin(kπ―2πD3)=±6D2. 由图知,f(0)>0, 于是f(0)=6D2. 思路4(常规方法) sin(7πD6+φ)=―1 �7πD6+φ=―πD2+2kπ �φ=―5πD3+2kπ(k∈Z). 所以f(0)=2sin(2kπ―5πD3)=6D2. 点评(1)在此题中,没有限制φ的取值范围,所以φ值有无穷个,如φ=kπ―2πD3(φ=―5πD3+2kπ)(k∈Z). 但是,在做选择题或填空题时,用“五点法”求φ值,简便、速度快、正确率高. (2)若此题对φ没有限制,而用思路1、思路2求出φ,可分别改写为 2πD3+φ=π+2kπ、 7πD6+φ=3πD2+2kπ(k∈Z). 例2(1990年高考)已知图2是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ| A.ω=10D11,φ=πD6B.ω=10D11,φ=―πD6 C.ω=2,φ=πD6D.ω=2,φ=―πD6 解析把点(0,1)代入y=2sin(ωx+φ),得sinφ=πD2. 因为点(0,1)介于“五点法”中的第一点和第二点之间, 所以φ=πD6,y=2sin(ωx+πD6). 再把点(11πD12,0)代入y=2sin(ωx+πD6), 得sin(11πD12・ω+πD6)=0. 因为点(11πD12,0)是“五点法”中的第五点, 所以11πD12・ω+πD6=2π, 解得ω=2,故选C. 点评(1)小小的一道选择题,当年难倒了许多考生(笔者当年所教的学生恰好参加高考).时过二十一个春秋,现在回过头来看看此问题,难,谈不上;易错,是真.是一道经典的好题!很有代表性,到现在也没有过时.
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象,求ω和φ值,是高考数学的一个热点,也是学生的一个难点、易错点.本文就如何利用“五点法”来求ω和φ值作一些探析,供大家参考. 课本中,把“五点法”中的横坐标为0,πD2,π,3πD2,2π的五点分别叫做第一点、第二点、第三点、第四点、第五点. 由“五点法”知(从左到右): 第一点是图象继续上升且与x轴相交的点; 第二点是图象开始下降且与x轴不相交的点; 第三点是图象继续下降且与x轴相交的点; 第四点是图象开始上升且与x轴不相交的点; 第五点是图象继续上升且与x轴相交的点. 当我们要画出函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的简图时,我们会把ωx+φ看成一个整体,分别令ωx+φ=0,πD2,π,3πD2,2π,求出相应x的值,通过列表,确定顺序的五个点,然后作出函数的简图.根据这种做法,有下列结论: 若(x0,0)是第一点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=0; 若(x0,1)是第二点,且sin(ωx0+φ)=1,则ωx0+φ=πD2; 若(x0,0)是第三点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=π; 若(x0,―1)是第四点,且sin(ωx0+φ)=―1,则ωx0+φ=3πD2; 若(x0,0)是第五点,且sin(ωx0+φ)=0,则ωx0+φ=2π. 由上述可知,只要知道函数f(x)的一个最小正周期内的五点中的任意两点,就可以求ω和φ值. 例1(2011年高考江苏卷・文9理9)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)的部分图象如图1所示,则f(0)的值是. 解析易知A=2, 由周期T=2πDω=4(7πD12―πD3)得ω=2, 所以f(x)=2sin(2x+φ). 下面我们来求φ值. 思路1(“五点法”) 把点(πD3,0)代入f(x)=2sin(2x+φ),得sin(2πD3+φ)=0. 因为点(πD3,0)是“五点法”中的第三点,所以由sin(2πD3+φ)=0,得 2πD3+φ=π�φ=πD3. 故而f(0)=2sinπD3=6D2. 思路2(“五点法”)把点(7πD12,―2)代入 f(x)=2sin(2x+φ), 得sin(7πD6+φ)=―1. 因为点(7πD12,―2)是“五点法”中的第四点,所以由sin(7πD6+φ)=―1,得 7πD6+φ=3πD2�φ=πD3. 故而f(0)=2sinπD3=6D2. 思路3(常规方法) sin(2πD3+φ)=0�2πD3+φ=kπ �φ=kπ―2πD3(k∈Z). 所以f(0)=2sin(kπ―2πD3)=±6D2. 由图知,f(0)>0, 于是f(0)=6D2. 思路4(常规方法) sin(7πD6+φ)=―1 �7πD6+φ=―πD2+2kπ �φ=―5πD3+2kπ(k∈Z). 所以f(0)=2sin(2kπ―5πD3)=6D2. 点评(1)在此题中,没有限制φ的取值范围,所以φ值有无穷个,如φ=kπ―2πD3(φ=―5πD3+2kπ)(k∈Z). 但是,在做选择题或填空题时,用“五点法”求φ值,简便、速度快、正确率高. (2)若此题对φ没有限制,而用思路1、思路2求出φ,可分别改写为 2πD3+φ=π+2kπ、 7πD6+φ=3πD2+2kπ(k∈Z). 例2(1990年高考)已知图2是函数y=2sin(ωx+φ)(|φ| A.ω=10D11,φ=πD6B.ω=10D11,φ=―πD6 C.ω=2,φ=πD6D.ω=2,φ=―πD6 解析把点(0,1)代入y=2sin(ωx+φ),得sinφ=πD2. 因为点(0,1)介于“五点法”中的第一点和第二点之间, 所以φ=πD6,y=2sin(ωx+πD6). 再把点(11πD12,0)代入y=2sin(ωx+πD6), 得sin(11πD12・ω+πD6)=0. 因为点(11πD12,0)是“五点法”中的第五点, 所以11πD12・ω+πD6=2π, 解得ω=2,故选C. 点评(1)小小的一道选择题,当年难倒了许多考生(笔者当年所教的学生恰好参加高考).时过二十一个春秋,现在回过头来看看此问题,难,谈不上;易错,是真.是一道经典的好题!很有代表性,到现在也没有过时.