第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。
a
房屋建筑中的大梁b
简易挡水结构中的斜梁
c 小跨度公路桥地纵梁d 机械传动装置中的蜗杆
图4-1 工程实际中的受弯杆
1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲。在工程实际中受．．弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴．．
线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。它是工程中最常见也最基本．．．．的弯曲问题。
1.3 梁的简化——计算简图的选取
工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图。 ．．．．选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
图4-2 梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座： （a ）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a ）所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用Y A 表示。
（b ）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b ）所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用X A 、Y A 表示。
（c ）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c ）所示。这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量X A 、Y A 及m A 来表示。 图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
梁
A
枢轴
辊轴
支承垫板
A
a
活动铰支座
梁
A
A
b
固定铰支座
m A
A
A
c
固定端支座
图4-3 三种典型支座
1.4 梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式： （1）简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a ））； （2）外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b ），（c ））； （3）悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d ））。
() 简支梁
2
(
) 两端外伸梁
() 一端外伸梁
() 悬臂梁
图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁。 ．．．
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a ）为例，梁在外力（荷载P 和反力Y A 、Y B ）作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x 处用一假想截面m-n 将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4－5（b ）可知，左脱离体A 端原作用有一向上的支座反力Y A ，要使它保持平衡，由∑Y =0和
∑M =0，在切开的截面m-n 上必然存在两个内力分量：内力Q 和内力偶矩M 。
内力分量Q 位于横截面上，称为剪力；内力偶矩M 位于纵向
．．
Y
B
图4-5 用截面法求梁的内力
对称平面内，称为弯矩。 ．．
对左脱离体列平衡方程：由∑Y =0, 有Y A －Q ＝0 则得
由∑M c =0，有Y A ⋅x -M =0 则得 M =Y A ⋅x
注意此处是对截面形心c 取矩，因剪力Q 通过截面形心c 点，故在力矩方程中为零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n 上的内力Q 和M ，其结果与左脱离体求得的Q 、M 大小相等，方向（或转向）相反，互为作用力与反作用力关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。若从梁m-n 处取一微段梁dx ，由于剪力Q 作用会使微段发生下错动的剪切变形。我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q 为正（如图4－6（a ）），反之为负（如图4－6（b ））；使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M 为正，反之为负（如图4－6（c ）、(d ) ）。
根据如上符号规定，图4－5中m-n 截面内力符号均为正。 下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4－1外伸梁如图4－7（a ），已知均布荷载q 和集中力偶m =qa 2, 求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
(d )
(c )
图4-6 剪力，弯矩的正负号规定之一
(d )
(c )
图4-7 例题4-1图
解（1）求支座反力
设支座反力Y A 、Y B 如图所示。
5
由平衡方程∑M A =0 Y B ⋅2a -m -qa ⋅a =0
2
7
得 Y B =qa
4
由∑Y =0 -Y A +Y B -qa =0 得 Y A =
3qa 4
由∑M B =0校核支座反力
a 3qa 22
Y A ⋅2a -m -qa ⋅=qa ⋅2a -qa -=0
242
所求反力无误。
（2）求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力Q 1和弯矩M 1均．为正，如图4-7（b ）所示。 ．．
由 ∑Y =0 -Y A -Q 1=0
3得 Q 1=-Y A =-qa
4
由∑M 1=0 Y A ⋅a +M 1-m =0
3q
得 M 1=m -Y A ⋅a =qa 2-qa 2=a 2
44
求得的Q 1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M 1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。 （3）求2-2截面（B 截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q 2和弯矩M 2均设为正，如图4-7（c ）。
由∑Y =0 Q 2-qa =0 得 Q 2=qa
由 ∑M 2=0 -M 2-qa ⋅
qa 2得 M 2=-
2
a
=0 2
（4）求3-3截面（D 截面左侧边一点）内力 取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D 点，线分布力q 的分布长度趋于0，则3-3截面上Q 3＝0，M 3＝0。
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件∑Y =0的含义为：脱离体上所有外力和内力在Y 轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q 为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则： （1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
Q =∑Y 左侧外力（或∑Y 右侧外力）
（4-2-1）
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力，如图4-8（a ）所示，截面上的剪力为正。
同样，脱离体平衡条件∑M c =0的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形心取力矩的代数和为零。其中只有弯矩M 为未知量，移到方程右边即得直接由外力求任一截面弯矩的法则：
P
Q (+)
外M (+)
(b ) (a )
左上右下 剪力为正
左顺右逆
弯矩为正
（2）某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即
图4-8 剪力，弯矩的正负号规定之二
M =∑M c 左侧外力（或∑M c 右侧外力）
（4-4-2）
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图4-8（b ）所示，截面上的弯矩为正。
这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式（4-2-1）和（4-2-2）直接由截面左侧（或右侧）外力计算任一截面剪力和弯矩。此两法则是由截面法推出的，但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。读者可用此方法验证例4-1的结果是否正确。
第三节 剪力图与弯矩图
在一般情况下，梁截面上的内力（剪力和弯矩）随截面位置x 的不同而变化，故横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置x 的函数，即
Q =Q (x ), M =M (x )
通常把它们分别叫做剪力方程和弯矩方程。在写这些方程时，一般是以梁左端为．．．．．．．．
x 坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。
由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。为了形象地表示剪力、
弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。 ．．．．．．根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁横截面沿轴线的位置为横坐标x ，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q ＝Q （x ）或M ＝M （x ）的曲线。绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x 轴上侧，负号剪力画在x 轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x 轴的下侧，负弯矩画在x 轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。弯矩图可以不注正负号。
由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。 例4-2 作图4-9（a ）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
()
ql ()
图
ql
()
图
ql
=276.9kN.m
2
图4-9 例题4-2图
解 （1）求支座反力 由∑Y =0和对称条件知
ql 2
（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A 为原点，并将x 表示在图上。
ql
Q (x ) =Y A -qx =-qx (0
2Y A =Y B =
x ql qx 2
M (x )=Y Ax -qa ⋅=x -(0≤x ≤l ) （b ）
222
注意，由于反力Y A =ql /2的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的剪力和弯矩，因此在式（a ）和式（b ）中它们的符号均为正；由于均布荷载q
的指向是朝下的，它将使左段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q
x
的合力为分布力图的面积qx , 且作用在分布力图的形心处，而分布力对截面形
2
x
心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的距离即qx ⋅，因此在式（a ）中
2
qx 2
的qx 项和式（b ）中的项都带负号。
2
（3）作剪力图和弯矩图
从式（a ）中可知，Q(x ) 是x 的一次函数，说明剪力图是一条直线。故以x ＝0和x =l 分别代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分别为
ql
Q A (x →0)=Y A =
2ql ql
Q B (x →l )=-ql =-=-Y B
22
由这两个控制数值可画出一条直线，即为梁的剪力图，如图4-9（b ）所示。 从式（b ）可知弯矩方程是x 的二次式，说明弯矩图是一条二次抛物线，至少需由三个控制点确定。故以x ＝0，x ＝l/2，x =l 分别代入式（b ）得
M x =0=0, M
x =
l 2
ql 2
， M x =l =0 =8
有了这三个控制数值，就可画出式（b ）表示的抛物线，即弯矩图，如图4-9（c ）所示。
对于初学者，为便于作图，可先将上面求得的各控制点的Q 、M 值排列如下表的示，然后根据表中数据及剪力方程和弯矩方程所示曲线的性质作出剪力图和弯矩图。
由作出的剪力图和弯矩图可以看出，最大剪力发生在梁的两端，并且其绝对值相
ql 2
等，数值为Q max
=；最大弯矩发生在跨中点处（Q ＝0），M =ql /8。 x a m
将已知的q =56.9kN /m 和l =6.24m分别代入可得
Q max =
ql 56.9⨯6.24==177.5kN 22
M max
ql 256.9⨯6.242===276.9kN ⋅m 88
例4-3作图4-10（a ）所示简支梁受集中力P 作用的剪力图及弯矩图。
(a )
(b )
pb 图
pa (c )
图
图4-10 例题4-3图
解 （1）求支座反力
Pb l Pa
由 ∑M A =0 求得Y B =
l
（2）分段列剪力方程和弯矩方程
由于C 处作用有集中力P ，AC 和CB 两段梁的剪力方程和弯矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和弯矩方程：
Pb
AC 段：Q (x )=Y A = （0l
Pb
M (x ) =Y A x =x (0≤x ≤a ) (b )
l
Pb (l -b ) -P =-P CB 段：Q (x ) =Y A -P = l l
Pa
=- （a
l
Pb
x -P (x -a ) M (x ) =Y A x -P (x -a ) =l
Pa
x (a ≤x ≤l ) (b′) =Pa -l
(3)根据Q 、M 方程作Q 、M 图 由式（a ）、（a′）知，两段梁的剪力均为常数，故剪力图为平等于 x 轴的水平线，由（b ）、(b′) 知，两段梁弯矩为x 的一次函数，故弯矩图图形为斜直线。计算各控制点处的剪力和弯矩见下页表。并作出剪力图和弯矩图，如4-10（b ）、(c ) 所示。
由 ∑M B =0 求得Y A =
由图可知，若a >b ，则最大剪力发生在BC 段，即Q max =Pa /l 。而最大弯矩发生在力P 作用截面处，M max =Pab /l ；若a =b , 即当梁中点受集中力时，最大弯矩发生在梁中点截面上，M max =Pl /4。
发生突变，形成尖角；同时剪力图上的数值也突然由+变为-。这种突变
l l
现象的发生是由于我们假设集中力P 是作用在梁的一“点”上。实际上，集中荷载不可能只作用在梁的一“点”上，而是作用在梁的一段微小的长度上，而剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。图4-11表示出梁在这种荷载作用下的剪力图和弯矩图的实际情况：剪力图是连续变化（如图4-11（b ））的，而弯矩图是一段光滑曲线（如图4-11（c ））。由于设计时需求的是最大剪力和弯矩，将这种微小长度上实际分布荷载简化为作用于一点的集中力会给内力计算带来方便，并且引起的误差很小。同时可知，由于集中力处剪力突变，故剪力方程式（a ）中x 的变化为开区间（即0(a ) B
(b )
(c )
图4-11 在集中力作用下图与图的实际形状
例4-4图4-12（a ）所示简支梁在C 截面上受集中力偶m 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解（1）求支座反力假设反力Y A 、Y B 方向如图所示。
图
(b )
mb m 图
ma (c )
图4-12 例题4-4图
m 。 l
m
由∑M A =0, -m -Y B l =0，得Y B =-。
l
求得的支座反力Y B 带有负号，说明它的实际方向与图中假设方向相反，由此可知Y A 与Y B 组成一个力偶与外力偶m 平衡。
（2）分别列Q 、M 方程以梁左端A 为坐标原点。由于全梁只有集中力偶m 作用，故只有一个剪力方程
m
Q (x ) = （0
l
弯矩方程则应分为两段：
m
AC 段 M (x ) =Y A x =x （0≤x a ） (b )
l
m
CB 段 M (x ) =Y A x 1-m =x 1-m （a x 1≤l
） (b ′)
l
（3）根据Q 、M 方程作Q 、M 图
计算各控制点处Q （x ）和M (x ) 的值（见附表），并作剪力图和弯矩图，如图4-12由∑M B =0, Y A l -m =0, 得Y A =
M max =-
mb
l
当集中力偶作用在梁的一端，例如左端（如图4-13（a ））时，其剪力图无变化（图4-13（b ）），但弯矩图将变为一倾斜直线（如图4-13（c ））。
图
(b )
m
图
(c )
图4-13 作用在梁的一端时的
图
由此例可看出，在集中力偶作用处剪力图不变，而弯矩图发生突变。
第四节 荷载、剪力和弯矩间的关系
如图4-14（a ）所示的梁、受向上分布荷载q （x ）作用，若用垂直于梁轴线且相距为dx 的两个假想截面m -m 和n -n 由梁x 处切出一微梁段。因dx 非常微小，在微段上作用的分布荷载q (x ) 可看做是均布的，设截面左边内力分别为Q （x ）、
M (x ) ，则右边内力相对左边有一增量，故为Q (x ) +dQ (x ) 、M (
x ) +dM (x ) ，且都
假设为正值，如图5-14（b ）所示，根据微
(a )
M (x)
(x)+dM (x )
(x )
图4-14 和间的微分关系
段平衡条件，由∑Y =0，有
Q (x ) +q (x ) dx -[Q (x ) +dQ (x ) ]=0
整理可得 （4-4-1） 由∑M o =0，有
M (x ) +Q (x ) dx +q (x ) dx ⋅
dx
-[M (x ) +dM (x ) ]=0 2
dQ (x )
=q (x ) dx
d 2x
忽略高阶微量q (x ) 一项，整理可得
2
dM (x )
=Q (x ) （4-4-2） dx
对式（4-4-2）再求一次导数并由式（4-4-1）可得
dM 2(x )
=q (x ) （4-4-3） 2
dx
此三式就是荷载集度q （x ），剪力Q （x ）和弯矩M （x ）间的微分关系。由以上分析可知，它们的力学意义是平衡方程。一阶导数的几何意义是图形的斜率。因此式（4-4-1）和（4-4-2）说明：剪力图上一点处的斜率等于梁上该点处的荷载．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．集度；弯矩图上一点处的斜率等于梁上该点处的剪力。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹向。因此式（4-4-3）说明：弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集度(x ) 符号来决定。注．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．q ．．．．．．．．．意，这里荷载的符号和坐标指向的规定为：分布荷载向上为正，x 轴向右为正，剪力图的Q 轴向上为正，弯矩图的M 轴则以向下为正。即M 互在梁受控一侧，这是与其它内力图不同之处
根据以上微分关系可将剪力图和弯矩图的规律归纳如表4-1所示。利用表4-1可以校核剪力图和弯矩图。
例题4-5梁的荷载及剪力图、弯矩图如图4-15所示，试用微分关系校核其正确性。
P 2=60kN
图4-15 例题4-5图
解（1）由平衡方程求反力得Y A =75k N，Y B =25K N。 （2）列表校核如下：
M E =4.5Y B -2q 2⨯3.5-P 2⨯2.5+2.5q 1⨯
2.5 2
2.52
=4.5⨯25-2⨯20⨯3.5-60⨯2.5+30⨯
2
=-83.8k N⋅m
q 2⨯1.25220
M G =1.25Y B -=1.25⨯25-⨯1.252
22
=15.6k N⋅m （看右脱离体）
各梁段或截面的内力变化均与表4-1相符，所作Q 、M 图正确。
由式（4-4-1）可得在x =a 和x =b 处两截面间的积分为⎰dQ (x ) =⎰q (x ) dx ，
a
a
b
b
也可写成
Q (b ) -Q (a ) =⎰q (x ) dx （4-4-4）
a
b
同理，由式（4-4-2）可得
M (b ) -M (a ) =⎰Q (x ) dx （4-4-5）
a
b
式（4-4-4）和（4-4-5）表示荷载集度q(x) 、剪力Q （x ）和弯矩 例题4-5的附表
表4-1 梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系
M （x ）间的积分关系。
式（4-4-4）和式（4-4-5）分别说明：
（1）剪力图上任意二截面的剪力差值（或改变）等于此二截面间的分布荷载图的面积。
（2）弯矩上任意二截面的弯矩差值（或改变）等于此二截面间剪力图的面积。
运用上述积分关系时需注意：a 、b 之间不能有集中力或集中力偶，此外图中面积有正负之分。
综合运用上面介绍的微分关系和积分关系，除了可校核剪力图和弯矩图的正确性之外，还可更简捷地绘制剪力图和弯矩图，并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其它的两个图。
必须指出，作梁的剪力图、弯矩图方法有多种，如：分段列出内力方程，根据方程作图；直接用微分关系作剪力图和弯矩图等。后一种方法是作梁的内力图
的简捷快速的方法。用微分关系作内力图的步骤是：第一步，求反力；第二步，分段求各段控制截面的内力值；第三步，按微分关系分析各段在荷载作用下内力图的形状，并将控制截面内力绘成曲线。
例4-6图4-16（a ）为梁剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。
50kN
图
A
a
B
50kN
E
b
A
50kN.m
图
c
A
D
B
E
50kN.m
图4-16 例题4-6图
解（1）求荷载图
由Q A =－50kN 知梁在A 处有一向下集中力为50kN ，B 截面两侧剪力由－50kN 突变到50kN ，故梁在B 截面必有一向上荷载100kN 。
AB 段、BC 段Q 图为水平线，故两段无分布荷载作用，q =0。CE 段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即
50q ==25kN /m
2
E 截面的剪力由－50kN 变到0，故梁上必有向上的集中力50kN 。根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图4-16（b ）。
（2）求弯矩图
AB 段：Q 为负值，且为水平线，故M 为一向上斜直线。M A ＝0，M B 的大小等于AB 间剪力图面积，即
M B ＝－50×1＝－50kN·m BC ：Q 为正值，且为水平线，故M 为一向下的斜直线。
M c =M B -⎰Q (x ) dx =-50+50⨯1=0。
b
a
CE 段：q
1
M D =M c +(50⨯2) =0+50=50kN ⋅m 。
2
E 端铰处无集中力偶，M A ＝0。
根据上述分析，画出梁的弯矩图，如图4-16（c ）所示。
第五节 按叠加原理作剪力图和弯矩图
从前面所列举的例题中，我们看到，截面上的剪力或弯矩都与荷载（如q 、
P 、m 等）保持线性关系。当梁在荷载作用下产生的变形很小时，即小变形条件下，梁上有多个荷载作用时，每个荷载引起的剪力、弯矩将不受其它荷载的影响。所以要计算当梁上某一截面处的内力，只要分别算出每项荷载单独作用时该截面上的内力，然后求其代数和，就得到该截面上的总内力值。这样由几个荷载引起的某一参量，（内力、反力、应力或位移等）等于每个荷载单独作用时所引起的该参量的代数和。这个结论称为叠加原理。只要所求参量与荷载是线性关系，这．．．．个原理就能成立。
用叠加原理作几个荷载作用下梁的剪力、弯矩图时，先分别作出梁在每个荷载单独作用下的剪力图和弯矩图，然后将各图的相应纵坐标叠加起来，就得到梁在几个荷载共同作用下的剪力图和弯矩图。当对梁在简单荷载作用下的剪力弯矩图较熟悉时，使用叠加原理就特别方便（如图4-17所示）。
ql P
P P P P ql P P 图
ql 2
图
a
图
b
ql 2c
例4-7用叠加法作图4-17（a ）所示简支梁在集中力P 和均布荷载q 共同作用下的剪力图和弯矩图。
解 先分别作出简支梁仅受集中力P 和仅受均布荷载q 作用时的剪力图和弯矩图，如图4-17（b ）、（c ）所示。然后分别将两个剪力图和弯矩图的相应纵坐标叠加起来，如图4-17（a ）所示，也就得到简支梁在集中力P 和均布荷载q 共同作用下的剪力图和弯矩图。
在进行图形叠加时，若各个图形有不同的正负号，如图4-18（注意q 的方向是向上，与P 方向相反，故内力正负号相反）中的f 和h ，，g 和i 可将它们画在底线的同一边，分别如图4-18（b ）（d ）所示，这样便可使两图的重叠部分相互抵消，而余下部分即为我们所要求的剪力图和弯矩图。但这时图中划分正负号部分的底线（如图4-18（b ）中的斜线ab 和图4-18（d ）中的曲线ac′de′b），已不一定是与轴线平行的直线了，若将其改成以水平线为底线的图，即得我们所需要的剪力图和弯矩图，如图4-18（c ）、(e ) 所示。
图4-17 例题4-7图
=+
a
d
c'
d' d d'
c'
e'
b e e' d'
b b
b
b
a
c
a
f M max =
ql h
ql 2
M max =d
a
c'
d
e a
d
g
i
图4-18 按叠加原理作梁的剪力图和弯矩图
思考题
4-1什么是“平面弯曲”？试就日常生活所见，列举几个平面弯曲梁的例子。
4-2用截面法求梁的内力后，怎样才能由左段梁和右段梁外荷载互接求得梁某一截面上的内力值？
4-3试判断下列各组中二梁的内力图是否相同，为什么？
a b
思考题4-3图
c
4-4图中所示的梁，集中荷载P 作用在固定于截面C 的倒L 刚臂上。在求梁的反力时，是否可将力P 沿其作用线直接作用于梁上？在求梁的剪力和弯矩时，是否也可这样作？为什么？试作出图示梁的剪力图和弯矩图。
思考题4-4图
4-5图中二梁上所受的荷载大小相同（都是20kN ），它们的剪力图和弯矩图是否相同？试加以比较、讨论。
4-6试用第4节中的方法，推导在下列二情况下荷载、剪力、弯矩之间的关系：（a ）在所截微段梁上作用有集中力P 时；（b ）在所截微段梁上作用有集中力偶m 时。
a b
思考题4-5图
M (x M (x (x )+dM (x )
(x )+dM (x )
dQ (x ) a
dQ (x )
b
4-7试判断图示各梁的弯矩图是否正确？如有错误，指出发生错误的原因并加以改正。
思考题4-6图
Pl
ql 2
Pa Pa
Pl
思考题4-7图
4-8什么是叠加原理，应用叠加原理的前提是什么？
习题
4-1试求图示各梁在点C 和D 处截面上的剪力和弯矩。
(a )
(b )
(c )
题4-1图
4-2列出图示各梁的剪力、弯矩方程，作出剪力图和弯矩图并求出Q max 与
M
max
o
a
b c
q
A
d
c
f
g
4-3根据q (x ) ，Q (x ) ，M (x ) 间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
题4-2图
4-4图示为起吊自重为q (N/m)的等截面梁，问起吊点的合理位置x 应为多少，才能使梁在吊点处和中点处的正、负弯矩绝对值相等。
题4-3图
题4-4图
4-5根据q 、Q 、M 间微分关系改正下列剪力、弯矩图错误。
ql 2
qa 32
2
Q
qa
qa
qa 2
qa qa
Q
ql M
3ql
232ql Q
qa 5
2M
2qa 2qa 23
7题4-5图
4-6试判断图示各梁的弯矩图是否正确。如有错误，指出产生错误的原因并加以改正。
Pl
ql 2Pa Pa
Pl
题4-6图
4-7图（a ）表示某混凝土大坝前的人行道支承梁，它承受的荷载为人群、盖板重和梁的自重等，其计算简图如图（b ）所示。试求此梁的剪力、弯矩图。
题4-7图
4-8试作图示斜梁的内力图。
题4-8图
图
C
题4-9图
10kN.m
A
40kN.m
题4-10图
题4-11图
4-9梁剪力图如图所示，已知梁上无集中力偶，作梁的荷载图与弯矩图。 4-10梁弯矩图如图示，试作梁的荷载图和剪力图。 4-11用叠加原理作下列梁的弯矩图。 4-12作图示（a ）、(b ) 、（c ）三组梁的弯矩图，并比较其最大弯矩值，从中可得出什么结论？
4-13一狭小座艇承载如图，画出所加荷载引起的剪力图和弯矩图。
题4-12图
4-14图示吊车梁，受吊车轮压P 如图示，问吊车在何位置时：（1）梁有最大弯矩，其值为多少？（2）梁有最大反力或最大剪力，其值各为多少？
答案 4-1 (a)Q C =0, M C =60kN m , Q D =-17.5kN , M D =45kN m
(b) Q c =-125.7kN , M c =-61.9kN m ， Q D =-262.9kN , M D =-255.2kN m (c) Q C 左＝34.5kN , Q C 右=16kN ,
M C =73.05kN m , M D =86kN m , Q D =0 4-2 (a)Q max =2P , M max =Pl (b)Q max =P , M
max
题4-13图
题4-14图
=
3
(c)Q max =ql , M max
8ql
(d)Q max =, M max =ql 2
2
Pl 29=ql 2 128
(e) Q max
ql =, M 2
max
ql 2= 8
(f) Q max =16kN , M max =52kN m
q ol
, M 3
4-4 x =0.207l
(g) Q max =
max
=0.064q o l 2
左右
4-8 （a ）M C =15kN ⋅m , Q C =8.66kN , Q C =-8.66kN
（a ）
P A =10kN (↑), q AB =5kN /m (↓), P C =10kN (↓), M C =10kN ⋅m
4-10 (a)
Q A =Q D =10kN , P A =10kN (↑), M D =10kN ⋅m , P D =10kN (↓)
(b)
Q A =0, Q B =Q C =20kN , M A =40kN m , P B =20kN (↑), P C =20kN (↓), P D =0
l d P d -, M max =(l -) 2 222l 2
Pd Pd , Q max =P - (2)x =0, R A =2P - l l
4-12 (1)x =
小结及学习指导
平面弯曲变形是杆件四种基本变形中最复杂的一种变形，其内力有两个——剪力和弯矩。剪力弯矩图的绘制在土木及建筑工程等专业是材料力学一项重要的基本功，且为后续课程“结构力学”的学习打下扎实的基础。
本章首先介绍平面弯曲受力与变形特点，然后在截面法基础上，介绍求指定截面上内力——剪力、弯矩的方法，再根据剪力、弯距的符号规定及截面法和平衡条件，介绍如何建立弯距，剪力方程；再介绍应用弯矩、剪力和荷载集度间微分关系绘制弯矩和剪力图的方法，最后介绍迭加原理求梁剪力，弯矩图方法。
1、弯矩，剪力的符号规定：使该处微段产生左边向上右边向下的错动变形的剪力为正，反之为负，弯矩符号规定是使该处+○－号。 微段产生下侧受拉的弯曲变形为正，弯矩图在受拉边可不注○
2、截面法求指定截面内力：在需求内力的截面将梁截为两段，取任一段为脱离体，将截面上的内力设为正，由平衡条件求得剪力，弯矩的大小和实际方向。必须把截面法熟练到可不画出脱离体程度，即熟练掌握由截面法总结出的直接由外力确定某一截面内力的法则：（1）某截面剪力等于截面以左（或以右）所有外力投影的代数和，左边梁上向上的外力（或右边向下的外力）产生正号的剪力，反之取负号。（2）某截面弯矩等于截面以左（或以右）所有外力对 截面形心取力矩的代数和，左边梁顺时针（或右边梁逆时针）转的力矩或力偶矩产生正号的弯矩，反之取负号。
3、剪力弯矩方程：表示剪力、弯矩沿梁长方向变化规律的数学方程称弯矩。剪力方程，建立剪力、弯矩方程方法与求指定截面内力方法相同，不同之处在于将指定截面的固定截面改成在梁段中的某一任意截面，其位置用变量x 表示。
取坐标x 的原点及指向并表示在图中，沿x 截面直接用一侧外力建立x 截面的剪力、弯矩方程，因此要特别注意分段，在梁上外力发生变化（即集中力、集中力偶）作用处和分布荷载变化处以及梁的支座处，即为分段的交界点。 4、荷载集度q (x ) 、剪力Q (x ) 和弯矩M (x ) 间微分关系为： 其力学意义是微段平衡条件
其几何意义是图形切线斜率及其变化率，因此可由荷载集度q (x ) 来确定剪力、弯矩图形特征。 1）图形特征：
①均布荷载梁段：q ＝常数，Q 图为斜直线，M 图为二次抛物线 ②无荷梁段，q ＝0，Q 图为水平线，M 图为斜直线。
③此外由截面法或平衡条件可确定集中力P 作用处，两侧截面上剪力发生突变，突变值等于P 的大小，而M 图在该处发生转折或尖点（不连续）。
④在集中力偶的作用处，两侧截面弯矩发生突变，突变值等于m 大小，剪力图则不变。 2）运用微分关系可直接作Q 、M 图——也称控制点法作Q 、M 图，基本分为三步。 ①分段：集中力，集中力偶作用点分布荷变化点及支座处均可作出分段的交界点。 ②用求指定截面内力归纳出的两个结构求各段起末两控制截面的内力（即Q 、M 值） ③应用微分关系。
5、迭加法求反力及梁内力：确定图形特征中的①、②两条规律，将各段起未控制截面的内力联以直线或曲线。 迭加原理是力学分析中一重要原理，迭加法求反力及内力，方便快捷，使用时不作硬性要求。
第四章 梁的内力
第一节 工程实际中的受弯杆
受弯杆件是工程实际中最常见的一种变形杆，通常把以弯曲为主的杆件称为梁。图4－1中列举了例子并画出了它们的计算简图。如图（a ）表示的是房屋建筑中的板、梁、柱结构，其中支撑楼板的大梁AB 受到由楼板传递来的均布荷载q ；图（b ）表示的是一种简易挡水结构，其支持面板的斜梁AC 受到由面板传递来的不均匀分布水压力；图（c ）表示的是一小型公路桥，桥面荷载通过横梁以集中荷载的形式作用到纵梁上；图（d ）表示的是机械中的一种蜗轮杆传动装置，蜗杆受到蜗轮传递来的集中力偶矩m 的作用。
a
房屋建筑中的大梁b
简易挡水结构中的斜梁
c 小跨度公路桥地纵梁d 机械传动装置中的蜗杆
图4-1 工程实际中的受弯杆
1.1 梁的受力与变形特点 综合上述杆件受力可以看出：当杆件受到垂直于其轴线的外力即横向力或受到位于轴线平面内的外力偶作用时，杆的轴线将由直线变为曲线，这种变形形式称为弯曲。在工程实际中受．．弯杆件的弯曲变形较为复杂，其中最简单的弯曲为平面弯曲。 1.2 平面弯曲的概念
工程中常见梁的横截面往往至少有一根纵向对称轴，该对称轴与梁轴线组成一全梁的纵向对．．．称面（如图4－2），当梁上所有外力（包括荷载和反力）均作用在此纵向对称面内时，梁轴．．
线变形后的曲线也在此纵向对称面内，这种弯曲称为平面弯曲。它是工程中最常见也最基本．．．．的弯曲问题。
1.3 梁的简化——计算简图的选取
工程实际中梁的截面、支座与荷载形式多种多样，较为复杂。为计算方便，必须对实际梁进行简化，抽象出代表梁几何与受力特征的力学模型，即梁的计算简图。 ．．．．选取梁的计算简图时，应注意遵循下列两个原则：（1）尽可能地反映梁的真实受力情况；（2）尽可能使力学计算简便。
图4-2 梁的平面弯曲
一般从梁本身、支座及荷载等三方面进行简化：
（1）梁本身简化——以轴线代替梁，梁的长度称为跨度； （2）荷载简化——将荷载简化为集中力、线分布力或力偶等； （3）支座简化——主要简化为以下三种典型支座： （a ）活动铰支座（或辊轴支座），其构造图及支座简图如图4－3（a ）所示。这种支座只限制梁在沿垂直于支承平面方向的位移，其支座反力过铰心且垂直于支承面，用Y A 表示。
（b ）固定铰支座，其构造与支座简图如图4－3（b ）所示。这种支座限制梁在支承处沿任何方向的线位移，但不限制角位移，其支座反力过铰心两互相垂直分力，用X A 、Y A 表示。
（c ）固定端支座，其构造与支座简图如图4－3（c ）所示。这种支座限制梁端的线位移（移动）及角位移（转动），其反力可用三个分量X A 、Y A 及m A 来表示。 图4－1中所示几种工程实际中梁的计算简图就是采用上述简化方法得出来的。
梁
A
枢轴
辊轴
支承垫板
A
a
活动铰支座
梁
A
A
b
固定铰支座
m A
A
A
c
固定端支座
图4-3 三种典型支座
1.4 梁的基本形式
根椐梁的支座形式和支承位置不同，简单形式的梁有如下三种形式： （1）简支梁。梁的支座为一端固定铰，一端活动铰（如图4－4（a ））； （2）外伸梁。简支梁两端或一端伸出支座之外（如图4－4（b ），（c ））； （3）悬臂梁。梁的支座为一端固定，一端自由（如图4－4（d ））。
() 简支梁
2
(
) 两端外伸梁
() 一端外伸梁
() 悬臂梁
图4-4 梁的类型
这三种梁的共同特点是支座反力仅有三个，可由静力平衡条件全部求得，故也称为静定梁。 ．．．
第二节 梁的内力——剪力和弯矩
2.1 截面法求梁的内力
为进行梁的设计，需求梁的内力，求梁任一截面内力仍采用截面法，以图4－5（a ）为例，梁在外力（荷载P 和反力Y A 、Y B ）作用下处于平衡状态。在需求梁的内力x 处用一假想截面m-n 将梁截开分为两段。取任意一段，如左段为脱离体。由于梁原来处于平衡状态，取出的任一部分也应保持平衡。从图4－5（b ）可知，左脱离体A 端原作用有一向上的支座反力Y A ，要使它保持平衡，由∑Y =0和
∑M =0，在切开的截面m-n 上必然存在两个内力分量：内力Q 和内力偶矩M 。
内力分量Q 位于横截面上，称为剪力；内力偶矩M 位于纵向
．．
Y
B
图4-5 用截面法求梁的内力
对称平面内，称为弯矩。 ．．
对左脱离体列平衡方程：由∑Y =0, 有Y A －Q ＝0 则得
由∑M c =0，有Y A ⋅x -M =0 则得 M =Y A ⋅x
注意此处是对截面形心c 取矩，因剪力Q 通过截面形心c 点，故在力矩方程中为零。同样可取右脱离体，由平衡方程求出梁截面m-n 上的内力Q 和M ，其结果与左脱离体求得的Q 、M 大小相等，方向（或转向）相反，互为作用力与反作用力关系。
为使梁同一截面内力符号一致，必须联系到变形状态规定它们的正负号。若从梁m-n 处取一微段梁dx ，由于剪力Q 作用会使微段发生下错动的剪切变形。我们规定：使微段梁发生左端向上而右端向下相对错动的剪力Q 为正（如图4－6（a ）），反之为负（如图4－6（b ））；使微段梁弯曲为向下凸时的弯矩M 为正，反之为负（如图4－6（c ）、(d ) ）。
根据如上符号规定，图4－5中m-n 截面内力符号均为正。 下面举例说明怎样用截面法求梁任一截面的内力。
例4－1外伸梁如图4－7（a ），已知均布荷载q 和集中力偶m =qa 2, 求指定1-1、2-2、3-3截面内力。
(d )
(c )
图4-6 剪力，弯矩的正负号规定之一
(d )
(c )
图4-7 例题4-1图
解（1）求支座反力
设支座反力Y A 、Y B 如图所示。
5
由平衡方程∑M A =0 Y B ⋅2a -m -qa ⋅a =0
2
7
得 Y B =qa
4
由∑Y =0 -Y A +Y B -qa =0 得 Y A =
3qa 4
由∑M B =0校核支座反力
a 3qa 22
Y A ⋅2a -m -qa ⋅=qa ⋅2a -qa -=0
242
所求反力无误。
（2）求1-1截面内力
由1-1截面将梁分为两段，取左段梁为脱离体，并假设截面剪力Q 1和弯矩M 1均．为正，如图4-7（b ）所示。 ．．
由 ∑Y =0 -Y A -Q 1=0
3得 Q 1=-Y A =-qa
4
由∑M 1=0 Y A ⋅a +M 1-m =0
3q
得 M 1=m -Y A ⋅a =qa 2-qa 2=a 2
44
求得的Q 1结果为负值，说明剪力实际方向与假设相反，且为负剪力；M 1结果为正值，说明弯矩实际转向与假设相同，且为正弯矩。 （3）求2-2截面（B 截面右侧一点）内力
由2-2截面将梁分为两段，取右段梁为脱离体，截面上剪力Q 2和弯矩M 2均设为正，如图4-7（c ）。
由∑Y =0 Q 2-qa =0 得 Q 2=qa
由 ∑M 2=0 -M 2-qa ⋅
qa 2得 M 2=-
2
a
=0 2
（4）求3-3截面（D 截面左侧边一点）内力 取右端为脱离体，3-3截面无限靠近D 点，线分布力q 的分布长度趋于0，则3-3截面上Q 3＝0，M 3＝0。
2.2截面法直接由外力求截面内力的法则
上例说明了运用截面法求任一截面内力的方法。因脱离体的平衡条件∑Y =0的含义为：脱离体上所有外力和内力在Y 轴方向投影的代数和为零。其中只有剪力Q 为未知量，移到方程式右边即得直接由外力求任一截面剪力的法则： （1）某截面的剪力等于该截面一侧所有外力在截面上投影的代数和，即
Q =∑Y 左侧外力（或∑Y 右侧外力）
（4-2-1）
代数和中的符号为截面左侧向上的外力（或右侧向下的外力）使截面产生正的剪力，反之产生负剪力，如图4-8（a ）所示，截面上的剪力为正。
同样，脱离体平衡条件∑M c =0的含义为：脱离体上所有外力和内力对截面形心取力矩的代数和为零。其中只有弯矩M 为未知量，移到方程右边即得直接由外力求任一截面弯矩的法则：
P
Q (+)
外M (+)
(b ) (a )
左上右下 剪力为正
左顺右逆
弯矩为正
（2）某截面的弯矩等于该截面一侧所有外力对截面形心力矩的代数和，即
图4-8 剪力，弯矩的正负号规定之二
M =∑M c 左侧外力（或∑M c 右侧外力）
（4-4-2）
代数和中的符号为截面的左边绕截面顺时针转的力矩或力偶矩（或右边绕截面逆时针转的力矩或力偶矩）使截面产生正的弯矩，反之产生负弯矩。如图4-8（b ）所示，截面上的弯矩为正。
这样，运用上述两法则就不必取脱离体，可用式（4-2-1）和（4-2-2）直接由截面左侧（或右侧）外力计算任一截面剪力和弯矩。此两法则是由截面法推出的，但比截面法用起来更方便快捷，对于求梁的内力极为有用，必须熟练掌握。读者可用此方法验证例4-1的结果是否正确。
第三节 剪力图与弯矩图
在一般情况下，梁截面上的内力（剪力和弯矩）随截面位置x 的不同而变化，故横截面的剪力和弯矩都可表示为截面位置x 的函数，即
Q =Q (x ), M =M (x )
通常把它们分别叫做剪力方程和弯矩方程。在写这些方程时，一般是以梁左端为．．．．．．．．
x 坐标原点，但为计算方便，有时也可将原点取在梁右端或梁上任意点。
由剪力方程和弯矩方程，我们可以了解剪力和弯矩沿全梁各截面上的变化情况，从而找出最大内力截面即危险截面作为将来设计的依据。为了形象地表示剪力、
弯矩沿梁长的变化情况，可根据剪力方程和弯矩方程分别绘制剪力图和弯矩图。 ．．．．．．根据剪力方程和弯矩方程作剪力图和弯矩图的方法与前面轴力图及扭矩图作法类似，即以梁横截面沿轴线的位置为横坐标x ，以横截面上的剪力或弯矩为纵坐标，按照适当的比例绘出Q ＝Q （x ）或M ＝M （x ）的曲线。绘制剪力图时，一般规定正号剪力画在x 轴上侧，负号剪力画在x 轴下侧，并注上正负号；绘制弯矩图时则规定正弯矩画在x 轴的下侧，负弯矩画在x 轴的上侧，这也就是把弯矩图画在梁受拉的一侧，以便钢筋混凝土梁根据弯矩图配置钢筋。弯矩图可以不注正负号。
由剪力图和弯矩图可直观确定梁剪力、弯矩的最大值及其所在截面位置。 例4-2 作图4-9（a ）所示简支梁受均布荷载的剪力图和弯矩图。
()
ql ()
图
ql
()
图
ql
=276.9kN.m
2
图4-9 例题4-2图
解 （1）求支座反力 由∑Y =0和对称条件知
ql 2
（2）列出剪力方程和弯矩方程：以左端A 为原点，并将x 表示在图上。
ql
Q (x ) =Y A -qx =-qx (0
2Y A =Y B =
x ql qx 2
M (x )=Y Ax -qa ⋅=x -(0≤x ≤l ) （b ）
222
注意，由于反力Y A =ql /2的指向是朝上的，它将使梁的任一截面上产生正号的剪力和弯矩，因此在式（a ）和式（b ）中它们的符号均为正；由于均布荷载q
的指向是朝下的，它将使左段梁的任一截面上产生负号的剪力和弯矩，分布力q
x
的合力为分布力图的面积qx , 且作用在分布力图的形心处，而分布力对截面形
2
x
心的力矩的大小为其合力乘以合力到截面形心的距离即qx ⋅，因此在式（a ）中
2
qx 2
的qx 项和式（b ）中的项都带负号。
2
（3）作剪力图和弯矩图
从式（a ）中可知，Q(x ) 是x 的一次函数，说明剪力图是一条直线。故以x ＝0和x =l 分别代人，就可得到梁的左端和右端截面上的剪力分别为
ql
Q A (x →0)=Y A =
2ql ql
Q B (x →l )=-ql =-=-Y B
22
由这两个控制数值可画出一条直线，即为梁的剪力图，如图4-9（b ）所示。 从式（b ）可知弯矩方程是x 的二次式，说明弯矩图是一条二次抛物线，至少需由三个控制点确定。故以x ＝0，x ＝l/2，x =l 分别代入式（b ）得
M x =0=0, M
x =
l 2
ql 2
， M x =l =0 =8
有了这三个控制数值，就可画出式（b ）表示的抛物线，即弯矩图，如图4-9（c ）所示。
对于初学者，为便于作图，可先将上面求得的各控制点的Q 、M 值排列如下表的示，然后根据表中数据及剪力方程和弯矩方程所示曲线的性质作出剪力图和弯矩图。
由作出的剪力图和弯矩图可以看出，最大剪力发生在梁的两端，并且其绝对值相
ql 2
等，数值为Q max
=；最大弯矩发生在跨中点处（Q ＝0），M =ql /8。 x a m
将已知的q =56.9kN /m 和l =6.24m分别代入可得
Q max =
ql 56.9⨯6.24==177.5kN 22
M max
ql 256.9⨯6.242===276.9kN ⋅m 88
例4-3作图4-10（a ）所示简支梁受集中力P 作用的剪力图及弯矩图。
(a )
(b )
pb 图
pa (c )
图
图4-10 例题4-3图
解 （1）求支座反力
Pb l Pa
由 ∑M A =0 求得Y B =
l
（2）分段列剪力方程和弯矩方程
由于C 处作用有集中力P ，AC 和CB 两段梁的剪力方程和弯矩方程并不相同。因此，必须分别列出各段的剪力方程和弯矩方程：
Pb
AC 段：Q (x )=Y A = （0l
Pb
M (x ) =Y A x =x (0≤x ≤a ) (b )
l
Pb (l -b ) -P =-P CB 段：Q (x ) =Y A -P = l l
Pa
=- （a
l
Pb
x -P (x -a ) M (x ) =Y A x -P (x -a ) =l
Pa
x (a ≤x ≤l ) (b′) =Pa -l
(3)根据Q 、M 方程作Q 、M 图 由式（a ）、（a′）知，两段梁的剪力均为常数，故剪力图为平等于 x 轴的水平线，由（b ）、(b′) 知，两段梁弯矩为x 的一次函数，故弯矩图图形为斜直线。计算各控制点处的剪力和弯矩见下页表。并作出剪力图和弯矩图，如4-10（b ）、(c ) 所示。
由 ∑M B =0 求得Y A =
由图可知，若a >b ，则最大剪力发生在BC 段，即Q max =Pa /l 。而最大弯矩发生在力P 作用截面处，M max =Pab /l ；若a =b , 即当梁中点受集中力时，最大弯矩发生在梁中点截面上，M max =Pl /4。
发生突变，形成尖角；同时剪力图上的数值也突然由+变为-。这种突变
l l
现象的发生是由于我们假设集中力P 是作用在梁的一“点”上。实际上，集中荷载不可能只作用在梁的一“点”上，而是作用在梁的一段微小的长度上，而剪力、弯矩在这段微小的梁段上还是逐渐地连续变化的。图4-11表示出梁在这种荷载作用下的剪力图和弯矩图的实际情况：剪力图是连续变化（如图4-11（b ））的，而弯矩图是一段光滑曲线（如图4-11（c ））。由于设计时需求的是最大剪力和弯矩，将这种微小长度上实际分布荷载简化为作用于一点的集中力会给内力计算带来方便，并且引起的误差很小。同时可知，由于集中力处剪力突变，故剪力方程式（a ）中x 的变化为开区间（即0(a ) B
(b )
(c )
图4-11 在集中力作用下图与图的实际形状
例4-4图4-12（a ）所示简支梁在C 截面上受集中力偶m 作用。试作梁的剪力图和弯矩图。
解（1）求支座反力假设反力Y A 、Y B 方向如图所示。
图
(b )
mb m 图
ma (c )
图4-12 例题4-4图
m 。 l
m
由∑M A =0, -m -Y B l =0，得Y B =-。
l
求得的支座反力Y B 带有负号，说明它的实际方向与图中假设方向相反，由此可知Y A 与Y B 组成一个力偶与外力偶m 平衡。
（2）分别列Q 、M 方程以梁左端A 为坐标原点。由于全梁只有集中力偶m 作用，故只有一个剪力方程
m
Q (x ) = （0
l
弯矩方程则应分为两段：
m
AC 段 M (x ) =Y A x =x （0≤x a ） (b )
l
m
CB 段 M (x ) =Y A x 1-m =x 1-m （a x 1≤l
） (b ′)
l
（3）根据Q 、M 方程作Q 、M 图
计算各控制点处Q （x ）和M (x ) 的值（见附表），并作剪力图和弯矩图，如图4-12由∑M B =0, Y A l -m =0, 得Y A =
M max =-
mb
l
当集中力偶作用在梁的一端，例如左端（如图4-13（a ））时，其剪力图无变化（图4-13（b ）），但弯矩图将变为一倾斜直线（如图4-13（c ））。
图
(b )
m
图
(c )
图4-13 作用在梁的一端时的
图
由此例可看出，在集中力偶作用处剪力图不变，而弯矩图发生突变。
第四节 荷载、剪力和弯矩间的关系
如图4-14（a ）所示的梁、受向上分布荷载q （x ）作用，若用垂直于梁轴线且相距为dx 的两个假想截面m -m 和n -n 由梁x 处切出一微梁段。因dx 非常微小，在微段上作用的分布荷载q (x ) 可看做是均布的，设截面左边内力分别为Q （x ）、
M (x ) ，则右边内力相对左边有一增量，故为Q (x ) +dQ (x ) 、M (
x ) +dM (x ) ，且都
假设为正值，如图5-14（b ）所示，根据微
(a )
M (x)
(x)+dM (x )
(x )
图4-14 和间的微分关系
段平衡条件，由∑Y =0，有
Q (x ) +q (x ) dx -[Q (x ) +dQ (x ) ]=0
整理可得 （4-4-1） 由∑M o =0，有
M (x ) +Q (x ) dx +q (x ) dx ⋅
dx
-[M (x ) +dM (x ) ]=0 2
dQ (x )
=q (x ) dx
d 2x
忽略高阶微量q (x ) 一项，整理可得
2
dM (x )
=Q (x ) （4-4-2） dx
对式（4-4-2）再求一次导数并由式（4-4-1）可得
dM 2(x )
=q (x ) （4-4-3） 2
dx
此三式就是荷载集度q （x ），剪力Q （x ）和弯矩M （x ）间的微分关系。由以上分析可知，它们的力学意义是平衡方程。一阶导数的几何意义是图形的斜率。因此式（4-4-1）和（4-4-2）说明：剪力图上一点处的斜率等于梁上该点处的荷载．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．集度；弯矩图上一点处的斜率等于梁上该点处的剪力。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
二阶导数的几何意义是图形斜率的变化率即图形的凸凹向。因此式（4-4-3）说明：弯矩图上一点处的凸凹方向可由梁上该点处荷载集度(x ) 符号来决定。注．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．q ．．．．．．．．．意，这里荷载的符号和坐标指向的规定为：分布荷载向上为正，x 轴向右为正，剪力图的Q 轴向上为正，弯矩图的M 轴则以向下为正。即M 互在梁受控一侧，这是与其它内力图不同之处
根据以上微分关系可将剪力图和弯矩图的规律归纳如表4-1所示。利用表4-1可以校核剪力图和弯矩图。
例题4-5梁的荷载及剪力图、弯矩图如图4-15所示，试用微分关系校核其正确性。
P 2=60kN
图4-15 例题4-5图
解（1）由平衡方程求反力得Y A =75k N，Y B =25K N。 （2）列表校核如下：
M E =4.5Y B -2q 2⨯3.5-P 2⨯2.5+2.5q 1⨯
2.5 2
2.52
=4.5⨯25-2⨯20⨯3.5-60⨯2.5+30⨯
2
=-83.8k N⋅m
q 2⨯1.25220
M G =1.25Y B -=1.25⨯25-⨯1.252
22
=15.6k N⋅m （看右脱离体）
各梁段或截面的内力变化均与表4-1相符，所作Q 、M 图正确。
由式（4-4-1）可得在x =a 和x =b 处两截面间的积分为⎰dQ (x ) =⎰q (x ) dx ，
a
a
b
b
也可写成
Q (b ) -Q (a ) =⎰q (x ) dx （4-4-4）
a
b
同理，由式（4-4-2）可得
M (b ) -M (a ) =⎰Q (x ) dx （4-4-5）
a
b
式（4-4-4）和（4-4-5）表示荷载集度q(x) 、剪力Q （x ）和弯矩 例题4-5的附表
表4-1 梁的荷载，剪力图，弯矩图相互关系
M （x ）间的积分关系。
式（4-4-4）和式（4-4-5）分别说明：
（1）剪力图上任意二截面的剪力差值（或改变）等于此二截面间的分布荷载图的面积。
（2）弯矩上任意二截面的弯矩差值（或改变）等于此二截面间剪力图的面积。
运用上述积分关系时需注意：a 、b 之间不能有集中力或集中力偶，此外图中面积有正负之分。
综合运用上面介绍的微分关系和积分关系，除了可校核剪力图和弯矩图的正确性之外，还可更简捷地绘制剪力图和弯矩图，并可从荷载图、剪力图、弯矩图中的任一个图直接画出其它的两个图。
必须指出，作梁的剪力图、弯矩图方法有多种，如：分段列出内力方程，根据方程作图；直接用微分关系作剪力图和弯矩图等。后一种方法是作梁的内力图
的简捷快速的方法。用微分关系作内力图的步骤是：第一步，求反力；第二步，分段求各段控制截面的内力值；第三步，按微分关系分析各段在荷载作用下内力图的形状，并将控制截面内力绘成曲线。
例4-6图4-16（a ）为梁剪力图，试求此梁的荷载图与弯矩图（已知梁上无集中力偶）。
50kN
图
A
a
B
50kN
E
b
A
50kN.m
图
c
A
D
B
E
50kN.m
图4-16 例题4-6图
解（1）求荷载图
由Q A =－50kN 知梁在A 处有一向下集中力为50kN ，B 截面两侧剪力由－50kN 突变到50kN ，故梁在B 截面必有一向上荷载100kN 。
AB 段、BC 段Q 图为水平线，故两段无分布荷载作用，q =0。CE 段为右下斜直线，斜率为常量，故梁上必有向下的均布荷载，荷载集度大小等于剪力图的斜率，即
50q ==25kN /m
2
E 截面的剪力由－50kN 变到0，故梁上必有向上的集中力50kN 。根据以上分析结果，可画出梁的荷载图如图4-16（b ）。
（2）求弯矩图
AB 段：Q 为负值，且为水平线，故M 为一向上斜直线。M A ＝0，M B 的大小等于AB 间剪力图面积，即
M B ＝－50×1＝－50kN·m BC ：Q 为正值，且为水平线，故M 为一向下的斜直线。
M c =M B -⎰Q (x ) dx =-50+50⨯1=0。
b
a
CE 段：q
1
M D =M c +(50⨯2) =0+50=50kN ⋅m 。
2
E 端铰处无集中力偶，M A ＝0。
根据上述分析，画出梁的弯矩图，如图4-16（c ）所示。
第五节 按叠加原理作剪力图和弯矩图
从前面所列举的例题中，我们看到，截面上的剪力或弯矩都与荷载（如q 、
P 、m 等）保持线性关系。当梁在荷载作用下产生的变形很小时，即小变形条件下，梁上有多个荷载作用时，每个荷载引起的剪力、弯矩将不受其它荷载的影响。所以要计算当梁上某一截面处的内力，只要分别算出每项荷载单独作用时该截面上的内力，然后求其代数和，就得到该截面上的总内力值。这样由几个荷载引起的某一参量，（内力、反力、应力或位移等）等于每个荷载单独作用时所引起的该参量的代数和。这个结论称为叠加原理。只要所求参量与荷载是线性关系，这．．．．个原理就能成立。
用叠加原理作几个荷载作用下梁的剪力、弯矩图时，先分别作出梁在每个荷载单独作用下的剪力图和弯矩图，然后将各图的相应纵坐标叠加起来，就得到梁在几个荷载共同作用下的剪力图和弯矩图。当对梁在简单荷载作用下的剪力弯矩图较熟悉时，使用叠加原理就特别方便（如图4-17所示）。
ql P
P P P P ql P P 图
ql 2
图
a
图
b
ql 2c
例4-7用叠加法作图4-17（a ）所示简支梁在集中力P 和均布荷载q 共同作用下的剪力图和弯矩图。
解 先分别作出简支梁仅受集中力P 和仅受均布荷载q 作用时的剪力图和弯矩图，如图4-17（b ）、（c ）所示。然后分别将两个剪力图和弯矩图的相应纵坐标叠加起来，如图4-17（a ）所示，也就得到简支梁在集中力P 和均布荷载q 共同作用下的剪力图和弯矩图。
在进行图形叠加时，若各个图形有不同的正负号，如图4-18（注意q 的方向是向上，与P 方向相反，故内力正负号相反）中的f 和h ，，g 和i 可将它们画在底线的同一边，分别如图4-18（b ）（d ）所示，这样便可使两图的重叠部分相互抵消，而余下部分即为我们所要求的剪力图和弯矩图。但这时图中划分正负号部分的底线（如图4-18（b ）中的斜线ab 和图4-18（d ）中的曲线ac′de′b），已不一定是与轴线平行的直线了，若将其改成以水平线为底线的图，即得我们所需要的剪力图和弯矩图，如图4-18（c ）、(e ) 所示。
图4-17 例题4-7图
=+
a
d
c'
d' d d'
c'
e'
b e e' d'
b b
b
b
a
c
a
f M max =
ql h
ql 2
M max =d
a
c'
d
e a
d
g
i
图4-18 按叠加原理作梁的剪力图和弯矩图
思考题
4-1什么是“平面弯曲”？试就日常生活所见，列举几个平面弯曲梁的例子。
4-2用截面法求梁的内力后，怎样才能由左段梁和右段梁外荷载互接求得梁某一截面上的内力值？
4-3试判断下列各组中二梁的内力图是否相同，为什么？
a b
思考题4-3图
c
4-4图中所示的梁，集中荷载P 作用在固定于截面C 的倒L 刚臂上。在求梁的反力时，是否可将力P 沿其作用线直接作用于梁上？在求梁的剪力和弯矩时，是否也可这样作？为什么？试作出图示梁的剪力图和弯矩图。
思考题4-4图
4-5图中二梁上所受的荷载大小相同（都是20kN ），它们的剪力图和弯矩图是否相同？试加以比较、讨论。
4-6试用第4节中的方法，推导在下列二情况下荷载、剪力、弯矩之间的关系：（a ）在所截微段梁上作用有集中力P 时；（b ）在所截微段梁上作用有集中力偶m 时。
a b
思考题4-5图
M (x M (x (x )+dM (x )
(x )+dM (x )
dQ (x ) a
dQ (x )
b
4-7试判断图示各梁的弯矩图是否正确？如有错误，指出发生错误的原因并加以改正。
思考题4-6图
Pl
ql 2
Pa Pa
Pl
思考题4-7图
4-8什么是叠加原理，应用叠加原理的前提是什么？
习题
4-1试求图示各梁在点C 和D 处截面上的剪力和弯矩。
(a )
(b )
(c )
题4-1图
4-2列出图示各梁的剪力、弯矩方程，作出剪力图和弯矩图并求出Q max 与
M
max
o
a
b c
q
A
d
c
f
g
4-3根据q (x ) ，Q (x ) ，M (x ) 间的微分关系作下列各梁的剪力图和弯矩图。
题4-2图
4-4图示为起吊自重为q (N/m)的等截面梁，问起吊点的合理位置x 应为多少，才能使梁在吊点处和中点处的正、负弯矩绝对值相等。
题4-3图
题4-4图
4-5根据q 、Q 、M 间微分关系改正下列剪力、弯矩图错误。
ql 2
qa 32
2
Q
qa
qa
qa 2
qa qa
Q
ql M
3ql
232ql Q
qa 5
2M
2qa 2qa 23
7题4-5图
4-6试判断图示各梁的弯矩图是否正确。如有错误，指出产生错误的原因并加以改正。
Pl
ql 2Pa Pa
Pl
题4-6图
4-7图（a ）表示某混凝土大坝前的人行道支承梁，它承受的荷载为人群、盖板重和梁的自重等，其计算简图如图（b ）所示。试求此梁的剪力、弯矩图。
题4-7图
4-8试作图示斜梁的内力图。
题4-8图
图
C
题4-9图
10kN.m
A
40kN.m
题4-10图
题4-11图
4-9梁剪力图如图所示，已知梁上无集中力偶，作梁的荷载图与弯矩图。 4-10梁弯矩图如图示，试作梁的荷载图和剪力图。 4-11用叠加原理作下列梁的弯矩图。 4-12作图示（a ）、(b ) 、（c ）三组梁的弯矩图，并比较其最大弯矩值，从中可得出什么结论？
4-13一狭小座艇承载如图，画出所加荷载引起的剪力图和弯矩图。
题4-12图
4-14图示吊车梁，受吊车轮压P 如图示，问吊车在何位置时：（1）梁有最大弯矩，其值为多少？（2）梁有最大反力或最大剪力，其值各为多少？
答案 4-1 (a)Q C =0, M C =60kN m , Q D =-17.5kN , M D =45kN m
(b) Q c =-125.7kN , M c =-61.9kN m ， Q D =-262.9kN , M D =-255.2kN m (c) Q C 左＝34.5kN , Q C 右=16kN ,
M C =73.05kN m , M D =86kN m , Q D =0 4-2 (a)Q max =2P , M max =Pl (b)Q max =P , M
max
题4-13图
题4-14图
=
3
(c)Q max =ql , M max
8ql
(d)Q max =, M max =ql 2
2
Pl 29=ql 2 128
(e) Q max
ql =, M 2
max
ql 2= 8
(f) Q max =16kN , M max =52kN m
q ol
, M 3
4-4 x =0.207l
(g) Q max =
max
=0.064q o l 2
左右
4-8 （a ）M C =15kN ⋅m , Q C =8.66kN , Q C =-8.66kN
（a ）
P A =10kN (↑), q AB =5kN /m (↓), P C =10kN (↓), M C =10kN ⋅m
4-10 (a)
Q A =Q D =10kN , P A =10kN (↑), M D =10kN ⋅m , P D =10kN (↓)
(b)
Q A =0, Q B =Q C =20kN , M A =40kN m , P B =20kN (↑), P C =20kN (↓), P D =0
l d P d -, M max =(l -) 2 222l 2
Pd Pd , Q max =P - (2)x =0, R A =2P - l l
4-12 (1)x =
小结及学习指导
平面弯曲变形是杆件四种基本变形中最复杂的一种变形，其内力有两个——剪力和弯矩。剪力弯矩图的绘制在土木及建筑工程等专业是材料力学一项重要的基本功，且为后续课程“结构力学”的学习打下扎实的基础。
本章首先介绍平面弯曲受力与变形特点，然后在截面法基础上，介绍求指定截面上内力——剪力、弯矩的方法，再根据剪力、弯距的符号规定及截面法和平衡条件，介绍如何建立弯距，剪力方程；再介绍应用弯矩、剪力和荷载集度间微分关系绘制弯矩和剪力图的方法，最后介绍迭加原理求梁剪力，弯矩图方法。
1、弯矩，剪力的符号规定：使该处微段产生左边向上右边向下的错动变形的剪力为正，反之为负，弯矩符号规定是使该处+○－号。 微段产生下侧受拉的弯曲变形为正，弯矩图在受拉边可不注○
2、截面法求指定截面内力：在需求内力的截面将梁截为两段，取任一段为脱离体，将截面上的内力设为正，由平衡条件求得剪力，弯矩的大小和实际方向。必须把截面法熟练到可不画出脱离体程度，即熟练掌握由截面法总结出的直接由外力确定某一截面内力的法则：（1）某截面剪力等于截面以左（或以右）所有外力投影的代数和，左边梁上向上的外力（或右边向下的外力）产生正号的剪力，反之取负号。（2）某截面弯矩等于截面以左（或以右）所有外力对 截面形心取力矩的代数和，左边梁顺时针（或右边梁逆时针）转的力矩或力偶矩产生正号的弯矩，反之取负号。
3、剪力弯矩方程：表示剪力、弯矩沿梁长方向变化规律的数学方程称弯矩。剪力方程，建立剪力、弯矩方程方法与求指定截面内力方法相同，不同之处在于将指定截面的固定截面改成在梁段中的某一任意截面，其位置用变量x 表示。
取坐标x 的原点及指向并表示在图中，沿x 截面直接用一侧外力建立x 截面的剪力、弯矩方程，因此要特别注意分段，在梁上外力发生变化（即集中力、集中力偶）作用处和分布荷载变化处以及梁的支座处，即为分段的交界点。 4、荷载集度q (x ) 、剪力Q (x ) 和弯矩M (x ) 间微分关系为： 其力学意义是微段平衡条件
其几何意义是图形切线斜率及其变化率，因此可由荷载集度q (x ) 来确定剪力、弯矩图形特征。 1）图形特征：
①均布荷载梁段：q ＝常数，Q 图为斜直线，M 图为二次抛物线 ②无荷梁段，q ＝0，Q 图为水平线，M 图为斜直线。
③此外由截面法或平衡条件可确定集中力P 作用处，两侧截面上剪力发生突变，突变值等于P 的大小，而M 图在该处发生转折或尖点（不连续）。
④在集中力偶的作用处，两侧截面弯矩发生突变，突变值等于m 大小，剪力图则不变。 2）运用微分关系可直接作Q 、M 图——也称控制点法作Q 、M 图，基本分为三步。 ①分段：集中力，集中力偶作用点分布荷变化点及支座处均可作出分段的交界点。 ②用求指定截面内力归纳出的两个结构求各段起末两控制截面的内力（即Q 、M 值） ③应用微分关系。
5、迭加法求反力及梁内力：确定图形特征中的①、②两条规律，将各段起未控制截面的内力联以直线或曲线。 迭加原理是力学分析中一重要原理，迭加法求反力及内力，方便快捷，使用时不作硬性要求。