第16卷 第5期1999年9月辽宁教育学院学报
Jour nal of L iaoning Educatio nal Institute V ol. 16 N o. 5Sep 1999
柯西不等式的推广
李 萍 杨洪成
内容提要 本文推广了柯西不等式, 并给出严格证明
关键词 柯西不等式 平均不等式 数学归纳法 推广
把柯西不等式:设函数f 1(x ) , f 2(x ) 和它们的平方在区间〔a , b 〕上可积分, 则
b
b
2
b
2
a
f 1(x ) õf 2(x ) dx }≤f 1(x ) dx õf 2(x ) dx
a
a
∫∫
2b
推广如下:定理一 设f 1, f 2, …f n 是区间〔a , b 〕上的n 幂可积函数, 则
∫
b
n
ûf 1f 2…f n ûdx ≤a
1n
∫
=
b
n
n
n
n
ûf 1ûdx õa
2n
∫
n
ûf 2ûdx …a
=…=
n
∫
b
b
ûf n ûd x a
时成立
n
n
(1)
等号只在
n ∫
证明 注意到
n
b
ûf 1ûdx a
n
∫
b
ûf 2û
d x a
∫
ûf n ûdx a
12n
n
其中a j ≥0, j =1, 2, …n
a 1õa 2…a n ≤
b
(2)
∫ûf õf b a
1
n
n
令a ûf
n ûdx =I
k k =1, 2, …n , 则有
2
n
…f n ûdx
n
=
I 1õI
2…I n
n
ûf 2ûn ûf n ûn b ûf 1û≤n a [I 1+I 2+…+I n ]dx =n =1
n 个1
∫
a n
b
n
12…ûf n û
dx
I 1õI 2…I n
n n n
1
∴a ûf õf …f ûdx ≤
2
n
∫∫
n i =1b
b
∫
n
b
n
1
n
ûf ûdx õa
∫
n
b
n
2
n
ûf ûdx …a
∫
b
ûf n
ûdx a
n
由(2) 式知等号成立之充要条件是, a 1=a 2=…=a
n , 所以(1) 式等号成立之充要条件是
ûf 1û
n
=
ûf 2û
n
ûf 1ûdx a
n
b
∫
2
b
=…=
ûf n û
ûf 2ûd x a
n
b
n
b
∫
i =b
n
ûf n ûdx a
定理二 设f i , g i (i =1, 2, …n ) 以及它们的平方在〔a , b 〕上可积, 则:i i 2)
a
i =a
2
16
证明 用数学归纳法
辽宁教育学院学报1999年第5期
当n =1时, 这是柯西不等式, 命题成立。假设n =k 命题成立, 去证n =k +1成立。由假设
n
b
n
(∑2
a f i g i d x ) ≤(∑∫
b
n
a f i
2
dx ) (∑∫
b
2i =1
∫
i =1
i =1
a g i dx )
由柯西不等式
b
(∫
b
k +1k +1∫2k +1
∫
2k +1a
f
g dx ) 2
b
≤
a
f
dx õa g dx 得
k
∫b
4(∑f g dx ) 2
b
(∫f 1g k +1dx ) 2
i i
i =1
a a
k +k
b
k
≤4(∑∫f 2
b
i
dx ) õ(∑∫g 2b
i
dx ) õ∫f 2b
dx õ∫g 2dx i =1a i =1a a k +1
a k +1
k
b
k
b
b
b
≤2(∑∫f 2i
dx ) õ(∑∫g 2i
dx ) õ∫f 2k +1dx õ∫g 2i =1a i =1
a
a
a
k +1dx k
b
k
+[(∑∫f 2b
b
i
dx ) õ∫g 2k +1
dx ) ]2
+[(∑g 2i
dx ) õ∫f 2k +1
dx ]2
i =1a a
i =1
a
k
b
b
k
b
b
=[(∑∫f 2i
dx ) ∫g 2dx +(∑∫g 2d x ) ∫f 2d x ]2
i =1a
a
k +1i =1
a
i
a
k +1
k
b
b
k
b
∴2(∑∫f g dx ) õ∫f g dx ≤(∑∫f 2i i
k +1k +11
i =1
a
a
i =1
a
d x ) õ∫b
k
g 2b
b
a
k +1
dx +(∑∫g i
2dx ) õ∫f 2dx i =1a
a
k +1
k +1k
∴(∑f g i
dx ) 2
b b
i =(∑∫f i g i
dx +∫f k +1g k +1
dx ) 2
i =1i =1
a
a
k
b
k
b b
=(∑i =1∫a
f i g i
dx ) 2
+2(∑∫f i g i
i =1a dx ) ∫a
f k +1g k +1
dx b
k
+(∫f g dx ) 2
b
k
≤(∑∫f 2b
dx ) õ(∑∫g 2a
k +1k +1
1
i =1
a
i =1
a
i
dx ) k
b
k
+(∑∫f 2b
b
1
dx ) õ∫g 2k +1
dx +(∑∫g 2b
i
dx ) õ∫f 2dx i =1
a
a
i =1
a
a
k +1
b
+∫f 2b
a
k +1
dx õ∫g 2a
k +1
dx k +1b
k +1=(∑∫f 2b
i
dx ) õ(∑∫
g 2i
i =1
a
i =1
a
d x ) 由此推得, 对一切自然数n
n
(∑∫
b
n
2
a f i g i d x ) ≤(∑∫
b
n
22
a f i
i =1
i =1
dx ) (∑i =1
∫
b
a g i dx )
第16卷 第5期1999年9月辽宁教育学院学报
Jour nal of L iaoning Educatio nal Institute V ol. 16 N o. 5Sep 1999
柯西不等式的推广
李 萍 杨洪成
内容提要 本文推广了柯西不等式, 并给出严格证明
关键词 柯西不等式 平均不等式 数学归纳法 推广
把柯西不等式:设函数f 1(x ) , f 2(x ) 和它们的平方在区间〔a , b 〕上可积分, 则
b
b
2
b
2
a
f 1(x ) õf 2(x ) dx }≤f 1(x ) dx õf 2(x ) dx
a
a
∫∫
2b
推广如下:定理一 设f 1, f 2, …f n 是区间〔a , b 〕上的n 幂可积函数, 则
∫
b
n
ûf 1f 2…f n ûdx ≤a
1n
∫
=
b
n
n
n
n
ûf 1ûdx õa
2n
∫
n
ûf 2ûdx …a
=…=
n
∫
b
b
ûf n ûd x a
时成立
n
n
(1)
等号只在
n ∫
证明 注意到
n
b
ûf 1ûdx a
n
∫
b
ûf 2û
d x a
∫
ûf n ûdx a
12n
n
其中a j ≥0, j =1, 2, …n
a 1õa 2…a n ≤
b
(2)
∫ûf õf b a
1
n
n
令a ûf
n ûdx =I
k k =1, 2, …n , 则有
2
n
…f n ûdx
n
=
I 1õI
2…I n
n
ûf 2ûn ûf n ûn b ûf 1û≤n a [I 1+I 2+…+I n ]dx =n =1
n 个1
∫
a n
b
n
12…ûf n û
dx
I 1õI 2…I n
n n n
1
∴a ûf õf …f ûdx ≤
2
n
∫∫
n i =1b
b
∫
n
b
n
1
n
ûf ûdx õa
∫
n
b
n
2
n
ûf ûdx …a
∫
b
ûf n
ûdx a
n
由(2) 式知等号成立之充要条件是, a 1=a 2=…=a
n , 所以(1) 式等号成立之充要条件是
ûf 1û
n
=
ûf 2û
n
ûf 1ûdx a
n
b
∫
2
b
=…=
ûf n û
ûf 2ûd x a
n
b
n
b
∫
i =b
n
ûf n ûdx a
定理二 设f i , g i (i =1, 2, …n ) 以及它们的平方在〔a , b 〕上可积, 则:i i 2)
a
i =a
2
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证明 用数学归纳法
辽宁教育学院学报1999年第5期
当n =1时, 这是柯西不等式, 命题成立。假设n =k 命题成立, 去证n =k +1成立。由假设
n
b
n
(∑2
a f i g i d x ) ≤(∑∫
b
n
a f i
2
dx ) (∑∫
b
2i =1
∫
i =1
i =1
a g i dx )
由柯西不等式
b
(∫
b
k +1k +1∫2k +1
∫
2k +1a
f
g dx ) 2
b
≤
a
f
dx õa g dx 得
k
∫b
4(∑f g dx ) 2
b
(∫f 1g k +1dx ) 2
i i
i =1
a a
k +k
b
k
≤4(∑∫f 2
b
i
dx ) õ(∑∫g 2b
i
dx ) õ∫f 2b
dx õ∫g 2dx i =1a i =1a a k +1
a k +1
k
b
k
b
b
b
≤2(∑∫f 2i
dx ) õ(∑∫g 2i
dx ) õ∫f 2k +1dx õ∫g 2i =1a i =1
a
a
a
k +1dx k
b
k
+[(∑∫f 2b
b
i
dx ) õ∫g 2k +1
dx ) ]2
+[(∑g 2i
dx ) õ∫f 2k +1
dx ]2
i =1a a
i =1
a
k
b
b
k
b
b
=[(∑∫f 2i
dx ) ∫g 2dx +(∑∫g 2d x ) ∫f 2d x ]2
i =1a
a
k +1i =1
a
i
a
k +1
k
b
b
k
b
∴2(∑∫f g dx ) õ∫f g dx ≤(∑∫f 2i i
k +1k +11
i =1
a
a
i =1
a
d x ) õ∫b
k
g 2b
b
a
k +1
dx +(∑∫g i
2dx ) õ∫f 2dx i =1a
a
k +1
k +1k
∴(∑f g i
dx ) 2
b b
i =(∑∫f i g i
dx +∫f k +1g k +1
dx ) 2
i =1i =1
a
a
k
b
k
b b
=(∑i =1∫a
f i g i
dx ) 2
+2(∑∫f i g i
i =1a dx ) ∫a
f k +1g k +1
dx b
k
+(∫f g dx ) 2
b
k
≤(∑∫f 2b
dx ) õ(∑∫g 2a
k +1k +1
1
i =1
a
i =1
a
i
dx ) k
b
k
+(∑∫f 2b
b
1
dx ) õ∫g 2k +1
dx +(∑∫g 2b
i
dx ) õ∫f 2dx i =1
a
a
i =1
a
a
k +1
b
+∫f 2b
a
k +1
dx õ∫g 2a
k +1
dx k +1b
k +1=(∑∫f 2b
i
dx ) õ(∑∫
g 2i
i =1
a
i =1
a
d x ) 由此推得, 对一切自然数n
n
(∑∫
b
n
2
a f i g i d x ) ≤(∑∫
b
n
22
a f i
i =1
i =1
dx ) (∑i =1
∫
b
a g i dx )