树立大问题意识，提高课堂实效性
黄爱华，1966年生，本科学历，现任中国教育学会数学教育研究发展中心多媒体教学研究部副主任、深圳市福田区教育局教育研究中心副主任。全国优秀教师、深圳市“十大杰出青年”、深圳市“鹏城青年功勋奖章”获得者。中国教育学会小学数学教学专业委员会理事长李润泉评价他的课“设计巧，效率高，气氛活”；全国尝试教学法理论研究部主任、中日小学数学教学研究部理事长邱学华评价他的课“趣、实、活”；全国引探教学法研究部主任陈永林评价他的课“匠心独运，颇有特色”。 1998年，出版专著《黄爱华小学数学课堂教学艺术》。
黄爱华认为，智力活动的核心是思维，引起学生的积极思维是“以学生为主体”的具体体现。他在教学实践中，善于交给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情境中积极思考，享受数学思维成功的乐趣。
问题是数学的心脏！发现一个问题比解决一个问题更重要！2011年，课程标准修改版明确把课标实验版中的“双基”（基本知识、基本技能）扩展为“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），把培养学生“分析和解决问题的能力”扩展为“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。
要适应这一转变，数学学习就必须“是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“学生必须有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”然而，从数学教学的现状来看，情况不容乐观，《优质提问教学法》（作者：美国教育专家杰基•阿里克•沃尔什博士）的相关研究表明：
⑴教师提很多问题，某项研究表明教师们在30分钟内平均提50.6个问题。
一节课时间是有限的，问题不宜过多，尤其是一次不能数量太多.有位教师教学“商的变化规律”，出示算式（如下）后提问：“观察算式有什么发现？被除数不变，除数和商是怎样变化的？从上往下看：除数扩大多少倍？商怎样变的？商缩小多少倍？从下往上看：除数缩小多少倍？商反而怎样？商扩大多少倍？除数反而缩小多少倍”？ 这里，老师分3个层次一次提出了10个问题，学生能记住这么多吗？问得过细，不利于发现规律，缺少思维含量
⑵大部分教师所提的问题是有关事实、回忆或者知识的，处在比较低的认知水平上。
例如，四年级数学“年、月、日的认识”的教学，由于教学观念的不同，甲、乙两位教师的教学设计和教学效果明显存在差异，比较
如下： 教学环节 教学过程（甲） 导 入 师：我们已经学习过哪些时间单位？1时=（ ）分 1分=（ ）秒 今天我们来学习年、月、日（板书课题）
教师出示几张不同年份的年历表。 师：一年有几个月？每个月各有多少天？ 生：一年有12个月，一月有31天，二月有28天或29天，„„ 教师讲大月、小月、平年、闰年。 师：怎样记住大月、小月呢？ 老师教你们一种方法。教师介绍左拳记忆法。 师：你们会背吗。 生背诵：一月大，二月平，三月大，四月小„.. 师：怎样判断平年闰年呢？我 们可以用年份数除以4，商如果没有余数就是闰年，有余数就是平年。评析：教师按部就班按照教材 顺序将所有新概念教了一遍，学生更多的是听，是死记，课堂气氛非常沉闷。 ⑶并不是所有的学生都能参与到所有问题的回答中来。
⑷教师提出问题之后等待时间不足一秒。
⑸教师经常在没有继续探究的情况下接受学生不正确的答案，他们经常回答自己的问题。
(6)学生几乎不提与教学内容有关的问题。
有的数学课堂教学把传统的"满堂灌"变成"满堂问"。“知不知”、“是不是”、“对不对”、“怎么样”、“好不好”、“还有吗？”„„之类的毫无启发性的问题充斥课堂，
案例：满堂尽是“还有吗？” 笔者曾经听过这样一节“9加几”的公开课：导入时．多媒体展示操场上学生正在开运动会的场景图，生动地描绘了学生参加各项比赛的情景，画面上有赛跑、跳绳、踢毽、跳远等项目，还有观战的同学。教师提问：“从图上，你看到了什么？能提出什么数学问题？生1：我看到有很多小朋友在操场上开运动会。我想问：一共有多少人？教师面带微笑地请他坐下，接着问：“还有吗？”第二个，第三个，第四个学生相继说了他们看到的东西和提出的问题，可就是没有问到与本节课相关的“9加几”的问题。老师在连续问了几个“还有吗”之后急了，表情僵硬，头冒冷汗。学生被逼着“思考”，与其说思考，还不如说学生在揣摩：“老师，到底还有什么？我们怎么说，你才满意？”最后教师只好自己提出“还有多少盒饮料”这个问题。而此时已经上课10分钟。 探究算法时，教师问：“9＋5可以怎么算？”生1：9加1等于10，再加4加等于14。师：“还有不同算法吗？”生2：可以先5加5等于10，再加4等于
14。师又问：“还有吗？”生3：可以数上去：10、11、12、13、14。师接着问：“还有吗？”学生表情茫然，终于又有一个学生说：“还可以从5开始数，6、7、8、9、10、11、12、13、14。”„„ 还有吗？还有吗？还有吗？满堂尽是“还有吗？”让人情不自禁地想问：除了“还有吗”还有吗？到底还有什么？
目前，我们的课堂提问含金量不高，问题细小琐碎繁杂，满堂问，满堂灌的现象屡见不鲜。但何谓“大问题”呢？是否是我们所理解的问题的多元化与开放性呢？
所谓“大问题”，是指根据特定学生的心理特点、学习经验以及学习困惑点，采用一定的教学策略，对课程关系、问题引导、学习方式等多方面进行系统处理，提出质量高、外延大、问域宽、数量精和挑战性强的问题，以求能够最大程度解决教学中的主要矛盾。
“大问题”是课堂教学的“课眼”，是课堂教学的主线。它一般是学生的学习疑点，是教材的省略点，是知识的连接点，是数学思想的聚焦点，也是钻研教材的着为点。“大问题”强调的是问题的“质”，有一定的开放性或自由度，能够给学生的独立思考与主动探究留下充分的探究空间。“大问题”关注学生的差异发展，指向学生的问题意识，便于全面落实“四基”，能够改变传统课堂单一的线形逻辑结构，生成一种多线交融，分层并进的新的教学结构，具有思维的自由度和开放性，有利于培养学生的数学思维和数学语言。
本课题主持人、特级教师黄爱华老师的《认识百分数》一课多教的对比尝试给我们启示：问题在精不在多！两到三个覆盖全局、直指本质、涵盖重、难点的大问题，不仅能帮助学生建立学习支架，同时也能让学生在40分钟的时间内充分解放自己的头脑，独立思考；充分解放自己的双手，主动操作；充分解放自己的嘴巴，表述观点；充分解放自己的眼睛，勤于观察。亮点一:百分数的引入很巧，很实。（播放视频）
从三杯不同容积的糖水入手，让学生猜测那杯更甜。（很多学生选择了容积最少的，老师质疑反问：如果这杯水根本没有加糖呢，还会最甜吗？）
从而出示三杯糖水的糖的总量，再次猜测。（数据设计的很好，让学生不好判断。第一杯容积最少，糖是7克，第二杯容积最多，糖是13克，第三杯容积第二，糖9克。容积少，糖也少，容积多，糖不是最多，所以学生很难判断。）
最后学生提出还需知道具体的容积，才能知道那杯更甜，于是老师出示糖水的重量,分别是20,50,25。然后重点分析三杯水的含糖率，从而揭开百分数神秘的面纱。
亮点二：百分数的用途，好处的教学，例题选取的很符合实际的民情。
从三种酒的酒精含量入手：青岛啤酒的酒精度是3.4%，绍兴黄酒的酒精度是15%，酒鬼酒的酒精度是52%。哪种酒容易醉，你是
怎么知道的？如果你在家看到52%的酒，你又会对自己的爸爸怎么说？
这个环节从酒精度入手，贴近学生的生活实际，理解容易，更清楚了掌握了百分数的用途。
亮点三：百分数的读法。
一般的教学读法，也许只要学生会读了，教学目的就完成了，但是黄老师对这个环节，提出了更高的要求，他准备很多个百分数：1%，23%，125%，50%，100%，300%，78%，9.2%。要求学生选择自己喜欢的那一个读一读，亮点是指名读，读125%时，分析了这个百分数的含义是超过了25%，300%的含义则是原来的3倍，重点讲解的是100%含义，黄老师先说，他在这个班级里看到了一个100%，指的是什么呢？有学生回答是全部到齐，但是被否定了，因为老师并不知道全班的人数，那100%指的又是什么呢？学生开始思考，穿校服的人数是100%，再让学生举几个100%的例子。这样不仅教学了读，更是渗透了百分数的意义，某个角度还拓展了学生思维中百分数的意义。
亮点四：百分数的写法。
一节课上到这个环节，应该是主要内容差不多了，而且黄老师已经展示了多个亮点，总让听课的老师柳暗花明一村又一村，心里暗想，百分数的写法总是老套路了吧，难道还会有亮点，结果还真又是一个。
先让学生迅速地写10个百分数，指名回答时，有个要求，不能说出自己写了几个，或读出写的百分数，要用一句话表示出自己写的个数，老师来猜。于是学生开始回答：我完成了任务的100%，80%，110%等，再让学生猜这位学生写的百分数的个数。
这个环节把枯燥的写百分数的环节与意义相结合，使学生对百分数又有了进一步的认识。
亮点五：十分数，千分数的拓展教学
这是这节课的尾声，老师在教学完百分数的知识后，质疑：有没有十分数，千分数呢？引出打折，利率等概念，为之后的教学内容奠定了伏笔。
总之，第一次聆听黄爱华老师的讲课，风趣中带着内涵，实在而扎实，心得体会，记录一番。
“大问题”有以下特点：第一，抓本质。它强调的是问题的“质”，问题必须触及数学的本质，这个本质，不仅仅是知识和技能，更指基本思想与基本活动经验，有“意义之水”在流淌。第二，外延大。它具有一定的开放性或自由度，能够给学生的独立思考与主动探究留下充分的探究空间。第三，问域宽。它能照顾到不同层面的学生，关注不同学生的差异发展。第四，少而精。它一般是学生学习的疑点，是
教材的省略点，是知识的连接点，是数学思想的聚焦点，也是钻研教材的着力点。找准了“大问题”，就意味着教者抓住了课堂的“课眼”。第五，挑战性强。它有一定难度，但也在学生的最近发展区，学生跳一跳就能摘到“果实”。最后也是最重要的是，它必须是有“繁殖力”的。它可供迁移，可供生长，一般以问题开始，但不一定以问题结束；它能够催坐出大量的新问题，它就像一棵小苗，可以长成参天大树，还能结出累累硕果。
一、“大问题”教学需要问题意识——教师对问题的精准把握
“学有千千万，起点一个问。” 问题，是学习的开端，是思考的基础，是数学的心脏。这，毋庸置疑。
纵观黄老师的课，基本上每课都有三四个问题导入学习。《垂直》一课预设问题为：何为垂直？垂线？垂足？《圆》一课以“为什么圆形的井盖不容易掉下去”引出圆的三个概念：圆心、半径、直径。《百分数》一课研究的是它的“好处”“意义”“异同”。
问题在精，不在多。这在任何学科都是一样的，带着思考含量的，能够引导学生进行深度思考、举一反三的问题才有其存在的价值，这是不是就是“大问题”教学呢？看黄老师带领学生质疑的那些问题，无不是围绕着知识点铺陈开来，引导学生积极展开思维，主动学习探究的。
二、“大问题”教学需要适切的土壤——学生已有认知与能力
【大问题的“导”需要关注差异】黄爱华老师说：“大问题”教学的核心词是“大”和“导”。“大”的本质要指向活动经验和思想方法。“导”在新旧知识的联结点上，并要建立问题之间的联系。我觉得“导”的不仅是知识，还有学生的学情，学生的状态。
我们的“大问题”是不是需要有层次性的差异？
带着这个思考，我们又设计了一节《分数的基本性质》。本课的设计是由如下几个大问题贯穿始终的：
（1）你能否利用已学的知识来猜一猜分数的基本性质是什么？
（2）分数和除法是什么关系？
（3）4除以2你能否写成分数形式？
（4）除法中被除数、除数、商不变的性质是什么？
这4个问题中第一个问题最具开放性，给学生提供的思维空间和难度系数都位居四个之首，是一个最大的“大问题”。把这个大问题放于首位，目的是让更多的学生参与到学习过程当中来，尽可能将不同水平层次、不同学习风格孩子的潜能挖掘出来。但在学生探究的过程中就需要充分关注到学生的差异，教师处理时适当提示孩子们：“同学们，这4个问题，如果第一个问题你已经回答的很好了，后面的问题你就不用做了；如果你回答第一个问题有困难，你就看看第二个问
题„„” 这样的处理，实际上是从知识上寻找了学生可能出现的四个联结点，拆分开来让学生自主选择，这样能给到不同层次的学生都能看到解决问题的希望。何时何处选择联结点由学生自己决定的。学习能力强、有挑战意识的学生他只需思考第一个问题，学习能力弱、依赖心较重的学生，他就可以选择接受帮助。教师安排的联结点是客观的、生硬的，而学生根据自己的智力水平和非智力要素选择的联结点则是主动的、适合的，适合的就是最好的。
三、“大问题”教学需要适度的阳光——教师的点燃与点拨引导
“大问题”教学更考验教师的素质与能力。在黄老师的课堂上，他那么淋漓尽致地展示着他的风格，让我们感受着他的大气而又幽默，沉稳而又激情，夸张而又睿智。无论是课堂语言的渲染，还是体态语言的助阵，都在传情达意，引领着学生以及我们深入课堂尝试、体验、实践与探索。
观特级教师的课，我们总情不自禁赞叹，为他们独特先进的教学理念，平等互动的教学风格，匠心独具的教学结构，行云流水的教学艺术„„在《垂直》这堂课，率先让我折服的是黄老师的导入：
“拿出文具，打开本子，可记得上课老师的名字？请写下我的名字，然后在我的名字旁边写下自己的名字。如果在这两个名字之间画条线，在上面写个词语，写什么好呢？”在学生说是师生关系后，又引导出朋友关系。
开课伊始，黄老师创设这样平等、尊重的对话氛围，引导学生积极互动，建立良好的对话关系。这样的对话不是故作姿态的尊重，而是对学生的一种积极暗示、激励与唤醒；不是随心所欲的天马行空式的交流，而是匠心独运的巧妙构思。
在这个环节，黄老师耐心地引领学生用完整的语言，清晰地表达甲和乙之间的朋友关系：甲是乙的朋友，乙是甲的朋友，甲和乙互相成为朋友。为即将进行的新授架设桥梁，为理解“相互”作铺垫。
书空“垂”字，再三表述关系，直至完整，这不是我们语文课惯用的手法吗？恍惚间，我都有种错觉，觉得即将开始的是语文课程之旅。
第二天《百分比》的同课异构，更让我耳目一新，赞叹不已。他随时渲染，点燃学生持续的学习热情。在学生板演对百分数的理解后，他如此评价：“这哪里是学数学啊，分明是在做研究呀，写的都是研究的结论，是思考，是见解啊！太厉害了！太厉害了！”
隆重表彰这三个孩子之后，更多的孩子希望上台板演。“这么多，这么能写哇！我们还没有学，写了这么多啊！你也想写啊？由衷地想写啊！写！你看看，多厉害！你看看，多厉害！我们写完就下课，好吗？” 他不停地夸张地赞叹着。
“大问题”教学改变了“一问到底”的传统课堂，更好地诠释了“以学定教”的教学理念，让课堂教学走向了丰富与厚重。走进“大问题”教学，有激动，有思考，有沉淀。
树立“大问题意识”，提高课堂实效性 ——2014年新学期教材辅导材料
振兴区教师进修学校
胡玲
2014.2
五年级下册主要问题与解答
一、上学期知识点回顾：
“因数与倍数”单元中，在第12页中指出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）”，而在17页又指出“0也是偶数”，质数与合数中，对0的问题又没有加以说明。这是为什么？究竟在这一单元的研究中，到底包括0还是不包括0？
（1）本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质。就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数（0是整数），而且其主要概念都是在整除（见与本册教材相配套的教师教学用书的说明）的基础上定义的，具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内（如0×5＝0，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的， 数论里的因数不能为0）。 （2）虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数是0的因数；这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。（如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”）。因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数 范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明。 （3）奇数、
偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。为此，教材对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定 义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。
（4）与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。相 应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数。 综上所述，由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同，为此教材对于0 依据不同情况进行特殊处理。
二、本学期答疑解惑：
1、整数乘分数与分数乘整数的意义是否相同？
有老师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘以整数，一个数的几分之几则用整数乘以分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个 是多少，是用整数乘以分数来列式，这样是不是表明整数乘以分数与分数乘以整数的意义相同呢？
在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。
教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生
在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。
在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。
需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。
在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：
“每袋有6只桔子，4袋一共有几只桔子？”
学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6只桔子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高„„以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。
2、如何把握“展开与折叠”的教学要求？
教材第16页安排这一内容的主要目的是通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
这部分内容对学生的空间观念要求比高，有些学生会感到困难，建议教师充分利用教材附页中的材料，帮助学生操作、思考、判断，逐步发展学生的空间观念。教师还可以让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状，由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。虽然不要求学生掌握多种剪开的方法，但教师应借助这些展开图引导学生进行交流，发展学生的空间观念。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，这时教师可以适当地进行指导。教学过程中，在实物操作的基础上，教师要引导学生“闭上眼睛想象实物展开或折叠的过
程”，促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。
需要注意的是，在教学中有的教师给出了十一种展开图，并让学生总结、记忆十一种图形的特点，用以判断什么样的图形能折叠后围成正方体，什么样的图形不能围成正方体。对此我们认为要求过高，因为这里展开图只是用于发展学生空间观念的载体。在学生交流时，可以通过展示多种展开图让学生观察，但不宜让学生作为知识点来记忆。因为形式化地记忆、识别并不能真正起到发展学生空间观念的作用。
3、为什么把体积和容积的内容放在一起学习？
教材第41页，将体积和容积放在一起来学习，这样安排主要基于以下理由：
首先，容积是容器所能容纳物体的体积，从本质上说，容积和体积是一样的，只是应用的地方不一样。我们在学习概念时，要把握概念的本质特征。
其次，学生根据生活经验能够意识到，我们周围的物体是有大小的，同时也是占有一定空间的。例如，学生在生活中可能会判断一个食品袋能否装得下五个苹果，在这个判断的过程中自然就有朴素的对苹果体积和食品袋容积的体会。所以，学生借助生活经验会很容易地把体积和容积联系在一起。
因此，两个内容一起学习有助于学生体会容积和体积的本质，我们希望教师在二者的共同点上下功夫，不要让学生在二者的区别上耗费精力。
4、平均数、中位数和众数的区别和联系是什么？
平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。
当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。
需要指出的是，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数
据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。
只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。
树立大问题意识，提高课堂实效性
黄爱华，1966年生，本科学历，现任中国教育学会数学教育研究发展中心多媒体教学研究部副主任、深圳市福田区教育局教育研究中心副主任。全国优秀教师、深圳市“十大杰出青年”、深圳市“鹏城青年功勋奖章”获得者。中国教育学会小学数学教学专业委员会理事长李润泉评价他的课“设计巧，效率高，气氛活”；全国尝试教学法理论研究部主任、中日小学数学教学研究部理事长邱学华评价他的课“趣、实、活”；全国引探教学法研究部主任陈永林评价他的课“匠心独运，颇有特色”。 1998年，出版专著《黄爱华小学数学课堂教学艺术》。
黄爱华认为，智力活动的核心是思维，引起学生的积极思维是“以学生为主体”的具体体现。他在教学实践中，善于交给学生思维的主动权，让学生在教师精心设计的问题情境中积极思考，享受数学思维成功的乐趣。
问题是数学的心脏！发现一个问题比解决一个问题更重要！2011年，课程标准修改版明确把课标实验版中的“双基”（基本知识、基本技能）扩展为“四基”（基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验），把培养学生“分析和解决问题的能力”扩展为“增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”。
要适应这一转变，数学学习就必须“是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。”“学生必须有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”然而，从数学教学的现状来看，情况不容乐观，《优质提问教学法》（作者：美国教育专家杰基•阿里克•沃尔什博士）的相关研究表明：
⑴教师提很多问题，某项研究表明教师们在30分钟内平均提50.6个问题。
一节课时间是有限的，问题不宜过多，尤其是一次不能数量太多.有位教师教学“商的变化规律”，出示算式（如下）后提问：“观察算式有什么发现？被除数不变，除数和商是怎样变化的？从上往下看：除数扩大多少倍？商怎样变的？商缩小多少倍？从下往上看：除数缩小多少倍？商反而怎样？商扩大多少倍？除数反而缩小多少倍”？ 这里，老师分3个层次一次提出了10个问题，学生能记住这么多吗？问得过细，不利于发现规律，缺少思维含量
⑵大部分教师所提的问题是有关事实、回忆或者知识的，处在比较低的认知水平上。
例如，四年级数学“年、月、日的认识”的教学，由于教学观念的不同，甲、乙两位教师的教学设计和教学效果明显存在差异，比较
如下： 教学环节 教学过程（甲） 导 入 师：我们已经学习过哪些时间单位？1时=（ ）分 1分=（ ）秒 今天我们来学习年、月、日（板书课题）
教师出示几张不同年份的年历表。 师：一年有几个月？每个月各有多少天？ 生：一年有12个月，一月有31天，二月有28天或29天，„„ 教师讲大月、小月、平年、闰年。 师：怎样记住大月、小月呢？ 老师教你们一种方法。教师介绍左拳记忆法。 师：你们会背吗。 生背诵：一月大，二月平，三月大，四月小„.. 师：怎样判断平年闰年呢？我 们可以用年份数除以4，商如果没有余数就是闰年，有余数就是平年。评析：教师按部就班按照教材 顺序将所有新概念教了一遍，学生更多的是听，是死记，课堂气氛非常沉闷。 ⑶并不是所有的学生都能参与到所有问题的回答中来。
⑷教师提出问题之后等待时间不足一秒。
⑸教师经常在没有继续探究的情况下接受学生不正确的答案，他们经常回答自己的问题。
(6)学生几乎不提与教学内容有关的问题。
有的数学课堂教学把传统的"满堂灌"变成"满堂问"。“知不知”、“是不是”、“对不对”、“怎么样”、“好不好”、“还有吗？”„„之类的毫无启发性的问题充斥课堂，
案例：满堂尽是“还有吗？” 笔者曾经听过这样一节“9加几”的公开课：导入时．多媒体展示操场上学生正在开运动会的场景图，生动地描绘了学生参加各项比赛的情景，画面上有赛跑、跳绳、踢毽、跳远等项目，还有观战的同学。教师提问：“从图上，你看到了什么？能提出什么数学问题？生1：我看到有很多小朋友在操场上开运动会。我想问：一共有多少人？教师面带微笑地请他坐下，接着问：“还有吗？”第二个，第三个，第四个学生相继说了他们看到的东西和提出的问题，可就是没有问到与本节课相关的“9加几”的问题。老师在连续问了几个“还有吗”之后急了，表情僵硬，头冒冷汗。学生被逼着“思考”，与其说思考，还不如说学生在揣摩：“老师，到底还有什么？我们怎么说，你才满意？”最后教师只好自己提出“还有多少盒饮料”这个问题。而此时已经上课10分钟。 探究算法时，教师问：“9＋5可以怎么算？”生1：9加1等于10，再加4加等于14。师：“还有不同算法吗？”生2：可以先5加5等于10，再加4等于
14。师又问：“还有吗？”生3：可以数上去：10、11、12、13、14。师接着问：“还有吗？”学生表情茫然，终于又有一个学生说：“还可以从5开始数，6、7、8、9、10、11、12、13、14。”„„ 还有吗？还有吗？还有吗？满堂尽是“还有吗？”让人情不自禁地想问：除了“还有吗”还有吗？到底还有什么？
目前，我们的课堂提问含金量不高，问题细小琐碎繁杂，满堂问，满堂灌的现象屡见不鲜。但何谓“大问题”呢？是否是我们所理解的问题的多元化与开放性呢？
所谓“大问题”，是指根据特定学生的心理特点、学习经验以及学习困惑点，采用一定的教学策略，对课程关系、问题引导、学习方式等多方面进行系统处理，提出质量高、外延大、问域宽、数量精和挑战性强的问题，以求能够最大程度解决教学中的主要矛盾。
“大问题”是课堂教学的“课眼”，是课堂教学的主线。它一般是学生的学习疑点，是教材的省略点，是知识的连接点，是数学思想的聚焦点，也是钻研教材的着为点。“大问题”强调的是问题的“质”，有一定的开放性或自由度，能够给学生的独立思考与主动探究留下充分的探究空间。“大问题”关注学生的差异发展，指向学生的问题意识，便于全面落实“四基”，能够改变传统课堂单一的线形逻辑结构，生成一种多线交融，分层并进的新的教学结构，具有思维的自由度和开放性，有利于培养学生的数学思维和数学语言。
本课题主持人、特级教师黄爱华老师的《认识百分数》一课多教的对比尝试给我们启示：问题在精不在多！两到三个覆盖全局、直指本质、涵盖重、难点的大问题，不仅能帮助学生建立学习支架，同时也能让学生在40分钟的时间内充分解放自己的头脑，独立思考；充分解放自己的双手，主动操作；充分解放自己的嘴巴，表述观点；充分解放自己的眼睛，勤于观察。亮点一:百分数的引入很巧，很实。（播放视频）
从三杯不同容积的糖水入手，让学生猜测那杯更甜。（很多学生选择了容积最少的，老师质疑反问：如果这杯水根本没有加糖呢，还会最甜吗？）
从而出示三杯糖水的糖的总量，再次猜测。（数据设计的很好，让学生不好判断。第一杯容积最少，糖是7克，第二杯容积最多，糖是13克，第三杯容积第二，糖9克。容积少，糖也少，容积多，糖不是最多，所以学生很难判断。）
最后学生提出还需知道具体的容积，才能知道那杯更甜，于是老师出示糖水的重量,分别是20,50,25。然后重点分析三杯水的含糖率，从而揭开百分数神秘的面纱。
亮点二：百分数的用途，好处的教学，例题选取的很符合实际的民情。
从三种酒的酒精含量入手：青岛啤酒的酒精度是3.4%，绍兴黄酒的酒精度是15%，酒鬼酒的酒精度是52%。哪种酒容易醉，你是
怎么知道的？如果你在家看到52%的酒，你又会对自己的爸爸怎么说？
这个环节从酒精度入手，贴近学生的生活实际，理解容易，更清楚了掌握了百分数的用途。
亮点三：百分数的读法。
一般的教学读法，也许只要学生会读了，教学目的就完成了，但是黄老师对这个环节，提出了更高的要求，他准备很多个百分数：1%，23%，125%，50%，100%，300%，78%，9.2%。要求学生选择自己喜欢的那一个读一读，亮点是指名读，读125%时，分析了这个百分数的含义是超过了25%，300%的含义则是原来的3倍，重点讲解的是100%含义，黄老师先说，他在这个班级里看到了一个100%，指的是什么呢？有学生回答是全部到齐，但是被否定了，因为老师并不知道全班的人数，那100%指的又是什么呢？学生开始思考，穿校服的人数是100%，再让学生举几个100%的例子。这样不仅教学了读，更是渗透了百分数的意义，某个角度还拓展了学生思维中百分数的意义。
亮点四：百分数的写法。
一节课上到这个环节，应该是主要内容差不多了，而且黄老师已经展示了多个亮点，总让听课的老师柳暗花明一村又一村，心里暗想，百分数的写法总是老套路了吧，难道还会有亮点，结果还真又是一个。
先让学生迅速地写10个百分数，指名回答时，有个要求，不能说出自己写了几个，或读出写的百分数，要用一句话表示出自己写的个数，老师来猜。于是学生开始回答：我完成了任务的100%，80%，110%等，再让学生猜这位学生写的百分数的个数。
这个环节把枯燥的写百分数的环节与意义相结合，使学生对百分数又有了进一步的认识。
亮点五：十分数，千分数的拓展教学
这是这节课的尾声，老师在教学完百分数的知识后，质疑：有没有十分数，千分数呢？引出打折，利率等概念，为之后的教学内容奠定了伏笔。
总之，第一次聆听黄爱华老师的讲课，风趣中带着内涵，实在而扎实，心得体会，记录一番。
“大问题”有以下特点：第一，抓本质。它强调的是问题的“质”，问题必须触及数学的本质，这个本质，不仅仅是知识和技能，更指基本思想与基本活动经验，有“意义之水”在流淌。第二，外延大。它具有一定的开放性或自由度，能够给学生的独立思考与主动探究留下充分的探究空间。第三，问域宽。它能照顾到不同层面的学生，关注不同学生的差异发展。第四，少而精。它一般是学生学习的疑点，是
教材的省略点，是知识的连接点，是数学思想的聚焦点，也是钻研教材的着力点。找准了“大问题”，就意味着教者抓住了课堂的“课眼”。第五，挑战性强。它有一定难度，但也在学生的最近发展区，学生跳一跳就能摘到“果实”。最后也是最重要的是，它必须是有“繁殖力”的。它可供迁移，可供生长，一般以问题开始，但不一定以问题结束；它能够催坐出大量的新问题，它就像一棵小苗，可以长成参天大树，还能结出累累硕果。
一、“大问题”教学需要问题意识——教师对问题的精准把握
“学有千千万，起点一个问。” 问题，是学习的开端，是思考的基础，是数学的心脏。这，毋庸置疑。
纵观黄老师的课，基本上每课都有三四个问题导入学习。《垂直》一课预设问题为：何为垂直？垂线？垂足？《圆》一课以“为什么圆形的井盖不容易掉下去”引出圆的三个概念：圆心、半径、直径。《百分数》一课研究的是它的“好处”“意义”“异同”。
问题在精，不在多。这在任何学科都是一样的，带着思考含量的，能够引导学生进行深度思考、举一反三的问题才有其存在的价值，这是不是就是“大问题”教学呢？看黄老师带领学生质疑的那些问题，无不是围绕着知识点铺陈开来，引导学生积极展开思维，主动学习探究的。
二、“大问题”教学需要适切的土壤——学生已有认知与能力
【大问题的“导”需要关注差异】黄爱华老师说：“大问题”教学的核心词是“大”和“导”。“大”的本质要指向活动经验和思想方法。“导”在新旧知识的联结点上，并要建立问题之间的联系。我觉得“导”的不仅是知识，还有学生的学情，学生的状态。
我们的“大问题”是不是需要有层次性的差异？
带着这个思考，我们又设计了一节《分数的基本性质》。本课的设计是由如下几个大问题贯穿始终的：
（1）你能否利用已学的知识来猜一猜分数的基本性质是什么？
（2）分数和除法是什么关系？
（3）4除以2你能否写成分数形式？
（4）除法中被除数、除数、商不变的性质是什么？
这4个问题中第一个问题最具开放性，给学生提供的思维空间和难度系数都位居四个之首，是一个最大的“大问题”。把这个大问题放于首位，目的是让更多的学生参与到学习过程当中来，尽可能将不同水平层次、不同学习风格孩子的潜能挖掘出来。但在学生探究的过程中就需要充分关注到学生的差异，教师处理时适当提示孩子们：“同学们，这4个问题，如果第一个问题你已经回答的很好了，后面的问题你就不用做了；如果你回答第一个问题有困难，你就看看第二个问
题„„” 这样的处理，实际上是从知识上寻找了学生可能出现的四个联结点，拆分开来让学生自主选择，这样能给到不同层次的学生都能看到解决问题的希望。何时何处选择联结点由学生自己决定的。学习能力强、有挑战意识的学生他只需思考第一个问题，学习能力弱、依赖心较重的学生，他就可以选择接受帮助。教师安排的联结点是客观的、生硬的，而学生根据自己的智力水平和非智力要素选择的联结点则是主动的、适合的，适合的就是最好的。
三、“大问题”教学需要适度的阳光——教师的点燃与点拨引导
“大问题”教学更考验教师的素质与能力。在黄老师的课堂上，他那么淋漓尽致地展示着他的风格，让我们感受着他的大气而又幽默，沉稳而又激情，夸张而又睿智。无论是课堂语言的渲染，还是体态语言的助阵，都在传情达意，引领着学生以及我们深入课堂尝试、体验、实践与探索。
观特级教师的课，我们总情不自禁赞叹，为他们独特先进的教学理念，平等互动的教学风格，匠心独具的教学结构，行云流水的教学艺术„„在《垂直》这堂课，率先让我折服的是黄老师的导入：
“拿出文具，打开本子，可记得上课老师的名字？请写下我的名字，然后在我的名字旁边写下自己的名字。如果在这两个名字之间画条线，在上面写个词语，写什么好呢？”在学生说是师生关系后，又引导出朋友关系。
开课伊始，黄老师创设这样平等、尊重的对话氛围，引导学生积极互动，建立良好的对话关系。这样的对话不是故作姿态的尊重，而是对学生的一种积极暗示、激励与唤醒；不是随心所欲的天马行空式的交流，而是匠心独运的巧妙构思。
在这个环节，黄老师耐心地引领学生用完整的语言，清晰地表达甲和乙之间的朋友关系：甲是乙的朋友，乙是甲的朋友，甲和乙互相成为朋友。为即将进行的新授架设桥梁，为理解“相互”作铺垫。
书空“垂”字，再三表述关系，直至完整，这不是我们语文课惯用的手法吗？恍惚间，我都有种错觉，觉得即将开始的是语文课程之旅。
第二天《百分比》的同课异构，更让我耳目一新，赞叹不已。他随时渲染，点燃学生持续的学习热情。在学生板演对百分数的理解后，他如此评价：“这哪里是学数学啊，分明是在做研究呀，写的都是研究的结论，是思考，是见解啊！太厉害了！太厉害了！”
隆重表彰这三个孩子之后，更多的孩子希望上台板演。“这么多，这么能写哇！我们还没有学，写了这么多啊！你也想写啊？由衷地想写啊！写！你看看，多厉害！你看看，多厉害！我们写完就下课，好吗？” 他不停地夸张地赞叹着。
“大问题”教学改变了“一问到底”的传统课堂，更好地诠释了“以学定教”的教学理念，让课堂教学走向了丰富与厚重。走进“大问题”教学，有激动，有思考，有沉淀。
树立“大问题意识”，提高课堂实效性 ——2014年新学期教材辅导材料
振兴区教师进修学校
胡玲
2014.2
五年级下册主要问题与解答
一、上学期知识点回顾：
“因数与倍数”单元中，在第12页中指出“注意：为了方便，在研究因数和倍数的时候，我们所说的数指的是整数（一般不包括0）”，而在17页又指出“0也是偶数”，质数与合数中，对0的问题又没有加以说明。这是为什么？究竟在这一单元的研究中，到底包括0还是不包括0？
（1）本单元是有关数论的内容，主要研究整数的性质。就数论这门学科而言，研究的数的范围是整数（0是整数），而且其主要概念都是在整除（见与本册教材相配套的教师教学用书的说明）的基础上定义的，具体的某个概念又会限定在特定的数的范围内（如0×5＝0，可以说5是0的因数，0是5的倍数；但不能说0是0的因数，在数论里讨论的因数与一般乘法算式中的因数的概念是不同的， 数论里的因数不能为0）。 （2）虽然本单元的内容应该在整数范围内研究，但是，由于0是任何非0自然数的倍数，任何非0自然数是0的因数；这种由于0的特殊性导致在研究具体问题时经常要注意说明0是否包含在内，给研究问题带来很多麻烦。（如虽然0是任何非0自然数的倍数，但最小公倍数指的是一切公倍数中的最小正数”）。因此，限于小学生的认知水平，在小学阶段进行特殊约定，一般只在非0的自然数 范围内加以研究，教材对此在第12页进行了说明。 （3）奇数、
偶数的概念是在整除的基础上定义的，研究的范围是整数，因为0能被2整除(或者说0是2的倍数),因此,0也是偶数。为此，教材对“0也是偶数”进行了补充说明，概念是科学的定 义，这与前面对本单元数的范围的特殊约定并不矛盾。
（4）与因数和倍数不同，质数和合数在正整数范围内研究，因此讨论质数与合数时不包括0。相 应地，如果把正整数分类，应分为：1、质数和合数。 综上所述，由于质数与合数、因数与倍数、奇数与偶数等概念的研究范围不同，为此教材对于0 依据不同情况进行特殊处理。
二、本学期答疑解惑：
1、整数乘分数与分数乘整数的意义是否相同？
有老师问，在以往的教学中，分数的意义很明确，几个几分之几就用分数乘以整数，一个数的几分之几则用整数乘以分数，但在教材第2页分数乘法（一）中，3个 是多少，是用整数乘以分数来列式，这样是不是表明整数乘以分数与分数乘以整数的意义相同呢？
在解决实际问题教学过程时，教师要注意让学生理解各数的意义，鼓励他们用自己的语言表达算式的具体含义，但列成算式不要区分“被乘数”和“乘数”，即不要强调“被乘数”和“乘数”书写位置上的人为规定。同样，在分数乘法的内容中，教材也不区分乘数的位置，处理方法和整数一样，也就是说分数乘整数不但可以表示几个相同分数的和，还可以表示一个数的几分之几是多少。
教材进行这样的处理在数学中是没有问题的，同时也减少了学生
在学习中的“人为”障碍。学生在学习乘法时最重要的是体会乘法的意义，如果过分强调“被乘数”和“乘数”的区别，一是使学生将主要精力放在了这种区分上，而可能造成对乘法的意义学习的忽略；二是区分二者对学生来说一直是难点，这加重了学生不必要的负担，很多学生能够在具体情境中运用乘法正确地解决问题，却因为“被乘数”和“乘数”的顺序问题而导致“出错”。
在运算教学中，教师要让学生经历从实际情境中抽象出运算的过程，要关注学生对运算意义的理解过程。教师要帮助学生建立实际问题与数学运算的内在联系，使学生通过解决实际问题，产生直觉经验，找到数的运算的现实背景，促进学生理解运算的含义及其性质，并能自觉地运用于解决应用问题之中。在教材中，无论是对“分数乘法”的学习还是其他运算的学习，都十分重视加强学生对运算意义的理解。
需要指出的是，目前市场上有一些练习册，由于不了解我们的编写理念，会出现类似“3×1/5和1/5×3的意义、算法、结果是否相同”这样的题目，这不是一个好题目，建议教师给予学生正确的引导，不要让学生在这些问题上浪费太多的时间。
在回答这个问题的同时，笔者看到了上海市浦东新区教育学院曹培英老师的一篇文章《关于乘法运算意义与乘法交换律的教学处理》，很受启发。文章在最后谈到的一段文字非常有道理，特摘录部分内容与大家分享：
“每袋有6只桔子，4袋一共有几只桔子？”
学生一般都能分清6×4或4×6中的6表示每袋6只桔子，4表示有4袋。但再进一步要求学生概括：“这是求4个6，而不是求6个4”，就会有学生感到困难。于是，为了帮助这些学生，引进了各种各样的练习（包括所谓的“文字题”），越练越“玄”，越练要求越高„„以往教学中，教学要求把握失当，也是造成或者说扩大“人为教学障碍”的重要因素之一。因此，正确定位“乘法初步认识”的教学目标，是解决问题的一条配套措施。否则，即使从一开始就让学生认识乘法的可交换性，并取消书写位置的限制，仍会存在“人为的教学障碍”。
2、如何把握“展开与折叠”的教学要求？
教材第16页安排这一内容的主要目的是通过动手操作，知道长方体、正方体的展开图，加深对长方体、正方体的认识；在想象、操作等活动中，发展空间观念，激发学习数学的兴趣。
这部分内容对学生的空间观念要求比高，有些学生会感到困难，建议教师充分利用教材附页中的材料，帮助学生操作、思考、判断，逐步发展学生的空间观念。教师还可以让每个学生带长方体或正方体的纸盒，每个学生都剪一剪，并展示所剪图形的形状，由于剪的方法不同，展开的形状也可能是不同的。虽然不要求学生掌握多种剪开的方法，但教师应借助这些展开图引导学生进行交流，发展学生的空间观念。学生在剪、拆盒子过程中，很容易把盒子拆散了，无法形成完整的展开图，这时教师可以适当地进行指导。教学过程中，在实物操作的基础上，教师要引导学生“闭上眼睛想象实物展开或折叠的过
程”，促进学生建立表象，帮助学生理解并发展空间观念。
需要注意的是，在教学中有的教师给出了十一种展开图，并让学生总结、记忆十一种图形的特点，用以判断什么样的图形能折叠后围成正方体，什么样的图形不能围成正方体。对此我们认为要求过高，因为这里展开图只是用于发展学生空间观念的载体。在学生交流时，可以通过展示多种展开图让学生观察，但不宜让学生作为知识点来记忆。因为形式化地记忆、识别并不能真正起到发展学生空间观念的作用。
3、为什么把体积和容积的内容放在一起学习？
教材第41页，将体积和容积放在一起来学习，这样安排主要基于以下理由：
首先，容积是容器所能容纳物体的体积，从本质上说，容积和体积是一样的，只是应用的地方不一样。我们在学习概念时，要把握概念的本质特征。
其次，学生根据生活经验能够意识到，我们周围的物体是有大小的，同时也是占有一定空间的。例如，学生在生活中可能会判断一个食品袋能否装得下五个苹果，在这个判断的过程中自然就有朴素的对苹果体积和食品袋容积的体会。所以，学生借助生活经验会很容易地把体积和容积联系在一起。
因此，两个内容一起学习有助于学生体会容积和体积的本质，我们希望教师在二者的共同点上下功夫，不要让学生在二者的区别上耗费精力。
4、平均数、中位数和众数的区别和联系是什么？
平均数、中位数和众数都是来刻画数据平均水平的统计量，它们各有特点。对于平均数大家比较熟悉，中位数刻画了一组数据的中等水平，众数刻画了一组数据中出现次数最多的情况。
平均数非常明显的优点之一是，它能够利用所有数据的特征，而且比较好算。另外，在数学上，平均数是使误差平方和达到最小的统计量，也就是说利用平均数代表数据，可以使二次损失最小。因此，平均数在数学中是一个常用的统计量。但是平均数也有不足之处，正是因为它利用了所有数据的信息，平均数容易受极端数据的影响。例如，在一个单位里，如果经理和副经理工资特别高，就会使得这个单位所有成员工资的平均水平也表现得很高，但事实上，除去经理和副经理之外，剩余所有人的平均工资并不是很高。这时，中位数和众数可能是刻画这个单位所有人员工资平均水平更合理的统计量。中位数和众数这两个统计量的特点都是能够避免极端数据，但缺点是没有完全利用数据所反映出来的信息。由于各个统计量有各自的特征，所以需要我们根据实际问题来选择合适的统计量。
当然，出现极端数据不一定用中位数，一般，统计上有一个方法，就要认为这个数据不是来源于这个总体的，因而把这个数据去掉。比如大家熟悉的跳水比赛评分，为什么要去掉一个最高分、一个最低分呢，就认为这两个分不是来源于这个总体，不能代表裁判的鉴赏力。于是去掉以后再求剩下数据的平均数。
需要指出的是，我们现在处理的数据，大部分是对称的数据，数
据符合或者近似符合正态分布。这时候，均值（平均数）、中位数和众数是一样的。
只有在数据分布偏态（不对称）的情况下，才会出现均值、中位数和众数的区别。所以说，如果是正态的话，用哪个统计量都行。如果偏态的情况特别严重的话，可以用中位数。