函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象及
三角函数模型的简单应用
【案例1】（2002全国—文17）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b
(Ⅰ) 求这段时间的最大温差；
(Ⅱ) 写出这段曲线的函数解析式． 命题意图 本题以应用题的形式考查备考中的热点题
型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分
析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则
知识依托 依据图象正确写出解析式． 错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的
各个特定系数和字母，忽视自变量的变化范围
技巧与方法 数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式 【解】 (Ⅰ) 由图可知，这段时间的最大温差是30－10=20(℃) ；
(Ⅱ) 图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +ϕ) +b 的半个周期的
图象，由图可知
T =2(14-6) =16，
∴ω=
又A =
2ππ=, T 8
11
(30-10) =10，b =(30+10) =20，这时 22
y =10sin(x +ϕ) +20,
8
π
又(6,10)在函数y =10sin(
π
8
x +ϕ) +20的图像上，所以
10sin(⨯6+ϕ) +20=10，即sin(⨯6+ϕ) =-1，
883ππ5π+φ=-+2k π(k ∈Z ) ，即φ=-+2k π(k ∈Z ) ， ∴4243π
于是取φ=．
4
π3π
) +20，x ∈[6,14]． 综上所求的解析式为y =10sin(x +
84
【案例2】函数f (x ) =sin x 的周期是 ．
ππ
【解析】 将函数f (x ) =sin x 的图象在x 轴上方的图像保留，并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，这两部分图像共同构成了函数f (x ) =sin x 的图象（如下图所示），由图可知函数的周期是π.
（图Ⅱ）
3． (2009陕西—理) 已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R （其中A >0, ω>0,
0
π
2
）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
π
，且图象上一个2
最低点为M (
2π
, -2) . 3
(Ⅰ) 求f (x ) 的解析式；
, ]，求f (x ) 的值域． 122
2π
, -2) 得A=2. 【解析】 （Ⅰ）由最低点为M (3
πT π2π2π
==2 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T =π，ω=
222T π
2π2π4π, -2) 在图像上的2sin(2⨯+ϕ) =-2, 即sin(+ϕ) =-1 由点M (333
4ππ11π+ϕ=2k π-, k ∈Z ∴ϕ=2k π-故 326
, 故f (x ) =2sin(2x +)
266ππππ7π
∴2x +∈[, ] （Ⅱ）x ∈[, ],
122636
当2x +当2x +
又ϕ∈(0,
（Ⅱ）当x ∈[
ππ
π
), ∴ϕ=
ππ
πππ
=，即x =时，f (x ) 取得最大值2； 626
π
6
=
π7π
即x =时，f (x ) 取得最小值-1，
26，
故f (x ) 的值域为[-1,2]
课堂练习：
1．你能利用函数y =sin x 的奇偶性画出图象吗？它与函数y =sin x 的图象有什么联系？
1⎛ππ⎫
2．已知：sin α=-，若(1)α∈ -, ⎪； (2)α∈(0,2π) ；
2⎝22⎭
(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
2
3．已知θ∈[0,2π], sin θ, cos θ分别是方程x -kx +k +1=0的两个根，求角θ．
4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；
（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?
课堂检测：
一、选择题
ππ
1．将函数y ＝sin(6x ＋) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，
48
得到的函数的一个对称中心是
( )
ππA ．0) B ．(，0)
24ππC ．(0) D ．(0)
916
π
2．如图1为函数y ＝2sin(ωx＋φ)(|φ|
2
(
)
图1
10π10π
A ．ω＝，φ＝ B ．ω＝φ＝－116116
ππ
C ．ω＝2，φ＝ D ．ω＝2，φ＝－66
3．(2009·浙江高考) 已知a 是实数，则函数f (x ) ＝1＋a sin ax 的图象不可能是
(
)
π24．(2009·辽宁高考) 已知函数f (x ) ＝A cos(ωx＋φ) 的图像如图2所示，f () f (0)
23＝
(
)
图2
2
A ．－
32
3
1B 21D. 2
π
5．(2009·天津高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )
4
的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的一个值是
( )
π3π B. 28ππ D. 486．(2009·安徽高考) 已知函数f (x ) 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y ＝f (x ) 的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是
( )
π5π5π11π
A ．[kπ－，kπ，k ∈Z B ．[kπ＋，kπ＋，k ∈Z
12121212πππ2π
C ．[kπ－kπ＋，k ∈Z D ．[kπ＋，kπ＋]，k ∈Z
3663
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．(2009·江苏高考) 函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图3所示，则ω＝
______.
图3 π
8．将函数y ＝f (x )·sin x (x ∈R ) 的图象向右平移个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到
4
2
函数y ＝1－2sin x 的图象，则f (x ) 可以是________．
9．设函数f (x ) ＝sin2x ，若f (x ＋t ) 是偶函数，则t 的一个可能值是__________．
三、解答题(共55分)
ππ
10．(2010·合肥质检) 已知函数f (x ) ＝2sin x x ) －π＋x )cos x ＋x )cos x .
22
(1)求函数y ＝f (x ) 的最小正周期和最值；
(2)指出y ＝f (x ) 的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．
π
11．(2010·山东临沂模拟) 函数f 1(x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0，|φ|
2
图4所示．
图4
(1)求函数f 1(x ) 的表达式；
π
(2)将函数y ＝f 1(x ) 的图象向右平移个单位，得函数y ＝f 2(x ) 的图象，求y ＝f 2(x ) 的最大值，
4
并求出此时自变量x 的集合．
——思维拓展——
π
12．(2009·福建高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) ，其中ω>0，|φ|
π3π
(Ⅰ) 若cos cos φ－sin sin φ＝0，求φ 的值；
44
π
(Ⅱ) 在(Ⅰ) 的条件下，若函数f (x ) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于求函数f (x )
3
的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．
函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象及
三角函数模型的简单应用
【案例1】（2002全国—文17）如图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +ϕ) +b
(Ⅰ) 求这段时间的最大温差；
(Ⅱ) 写出这段曲线的函数解析式． 命题意图 本题以应用题的形式考查备考中的热点题
型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分
析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则
知识依托 依据图象正确写出解析式． 错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的
各个特定系数和字母，忽视自变量的变化范围
技巧与方法 数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式 【解】 (Ⅰ) 由图可知，这段时间的最大温差是30－10=20(℃) ；
(Ⅱ) 图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +ϕ) +b 的半个周期的
图象，由图可知
T =2(14-6) =16，
∴ω=
又A =
2ππ=, T 8
11
(30-10) =10，b =(30+10) =20，这时 22
y =10sin(x +ϕ) +20,
8
π
又(6,10)在函数y =10sin(
π
8
x +ϕ) +20的图像上，所以
10sin(⨯6+ϕ) +20=10，即sin(⨯6+ϕ) =-1，
883ππ5π+φ=-+2k π(k ∈Z ) ，即φ=-+2k π(k ∈Z ) ， ∴4243π
于是取φ=．
4
π3π
) +20，x ∈[6,14]． 综上所求的解析式为y =10sin(x +
84
【案例2】函数f (x ) =sin x 的周期是 ．
ππ
【解析】 将函数f (x ) =sin x 的图象在x 轴上方的图像保留，并将x 轴下方的图像翻折到x 轴上方，这两部分图像共同构成了函数f (x ) =sin x 的图象（如下图所示），由图可知函数的周期是π.
（图Ⅱ）
3． (2009陕西—理) 已知函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ), x ∈R （其中A >0, ω>0,
0
π
2
）的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为
π
，且图象上一个2
最低点为M (
2π
, -2) . 3
(Ⅰ) 求f (x ) 的解析式；
, ]，求f (x ) 的值域． 122
2π
, -2) 得A=2. 【解析】 （Ⅰ）由最低点为M (3
πT π2π2π
==2 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即T =π，ω=
222T π
2π2π4π, -2) 在图像上的2sin(2⨯+ϕ) =-2, 即sin(+ϕ) =-1 由点M (333
4ππ11π+ϕ=2k π-, k ∈Z ∴ϕ=2k π-故 326
, 故f (x ) =2sin(2x +)
266ππππ7π
∴2x +∈[, ] （Ⅱ）x ∈[, ],
122636
当2x +当2x +
又ϕ∈(0,
（Ⅱ）当x ∈[
ππ
π
), ∴ϕ=
ππ
πππ
=，即x =时，f (x ) 取得最大值2； 626
π
6
=
π7π
即x =时，f (x ) 取得最小值-1，
26，
故f (x ) 的值域为[-1,2]
课堂练习：
1．你能利用函数y =sin x 的奇偶性画出图象吗？它与函数y =sin x 的图象有什么联系？
1⎛ππ⎫
2．已知：sin α=-，若(1)α∈ -, ⎪； (2)α∈(0,2π) ；
2⎝22⎭
(3)α是第三象限角；(4)α∈R ．分别求角α。
2
3．已知θ∈[0,2π], sin θ, cos θ分别是方程x -kx +k +1=0的两个根，求角θ．
4．设A 、B 、C 、D 是圆内接四边形ABCD 的四个内角，求证： （1）sin A ＝sin C ；
（2）cos （A ＋B ）＝cos （C ＋D ）； （3）tan （A ＋B ＋C ）＝－tan D ．
5．某商品一年内出厂价格在6元的基础上按月份随正弦曲线波动，已知3月份达到最高价格8元，7月份价格最低为4元，该商品在商店内的销售价格在8元基础上按月份随正弦曲线波动，5月份销售价格最高为10元，9月份销售价最低为6元，假设商店每月购进这种商品m 件，且当月销完，你估计哪个月份盈利最大?
课堂检测：
一、选择题
ππ
1．将函数y ＝sin(6x ＋) 的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，
48
得到的函数的一个对称中心是
( )
ππA ．0) B ．(，0)
24ππC ．(0) D ．(0)
916
π
2．如图1为函数y ＝2sin(ωx＋φ)(|φ|
2
(
)
图1
10π10π
A ．ω＝，φ＝ B ．ω＝φ＝－116116
ππ
C ．ω＝2，φ＝ D ．ω＝2，φ＝－66
3．(2009·浙江高考) 已知a 是实数，则函数f (x ) ＝1＋a sin ax 的图象不可能是
(
)
π24．(2009·辽宁高考) 已知函数f (x ) ＝A cos(ωx＋φ) 的图像如图2所示，f () f (0)
23＝
(
)
图2
2
A ．－
32
3
1B 21D. 2
π
5．(2009·天津高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋)(x ∈R ，ω>0)的最小正周期为π，将y ＝f (x )
4
的图像向左平移|φ|个单位长度，所得图像关于y 轴对称，则φ的一个值是
( )
π3π B. 28ππ D. 486．(2009·安徽高考) 已知函数f (x ) 3sin ωx＋cos ωx(ω>0)，y ＝f (x ) 的图像与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x ) 的单调递增区间是
( )
π5π5π11π
A ．[kπ－，kπ，k ∈Z B ．[kπ＋，kπ＋，k ∈Z
12121212πππ2π
C ．[kπ－kπ＋，k ∈Z D ．[kπ＋，kπ＋]，k ∈Z
3663
二、填空题(每小题5分，共15分) 7．(2009·江苏高考) 函数y ＝A sin(ωx＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图象如图3所示，则ω＝
______.
图3 π
8．将函数y ＝f (x )·sin x (x ∈R ) 的图象向右平移个单位后，再作关于x 轴对称变换，得到
4
2
函数y ＝1－2sin x 的图象，则f (x ) 可以是________．
9．设函数f (x ) ＝sin2x ，若f (x ＋t ) 是偶函数，则t 的一个可能值是__________．
三、解答题(共55分)
ππ
10．(2010·合肥质检) 已知函数f (x ) ＝2sin x x ) －π＋x )cos x ＋x )cos x .
22
(1)求函数y ＝f (x ) 的最小正周期和最值；
(2)指出y ＝f (x ) 的图象经过怎样的平移变换后得到的图象关于坐标原点对称．
π
11．(2010·山东临沂模拟) 函数f 1(x ) ＝A sin(ωx＋φ)(A >0，ω>0，|φ|
2
图4所示．
图4
(1)求函数f 1(x ) 的表达式；
π
(2)将函数y ＝f 1(x ) 的图象向右平移个单位，得函数y ＝f 2(x ) 的图象，求y ＝f 2(x ) 的最大值，
4
并求出此时自变量x 的集合．
——思维拓展——
π
12．(2009·福建高考) 已知函数f (x ) ＝sin(ωx＋φ) ，其中ω>0，|φ|
π3π
(Ⅰ) 若cos cos φ－sin sin φ＝0，求φ 的值；
44
π
(Ⅱ) 在(Ⅰ) 的条件下，若函数f (x ) 的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于求函数f (x )
3
的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x ) 的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数．