二重极限与二次极限与一次极限的比较
如果二重极限是lim x →a f (x , y ) , 二次极限分别为lim x →a lim y →b f (x , y ) =
y →b
lim x →a g (x ) , 和lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) . 其中，g x =lim y →b f (x , y ) ,h y =lim x →a f (x , y ) , a, b是常数。则二重极限lim x →a f (x , y ) 存在，意味着，当2元变量(x,y)
y →b
以任何可能的方式趋近于(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限lim x →a f (x , y ) 存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)
y →b
的极限都存在。
二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) =lim x →a g (x ) 存在, 表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) =lim x →a g (x ) 存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于x 轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x 轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。
二次极限lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) 存在, 表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限 lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) 存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y 轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y 轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，
1), 若二重极限 lim x →a f (x , y ) 存在且等于A, 则二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和
y →b
lim y →b lim x →a f (x , y ) 一定都存在且都等于A. 比如，lim x →0xy =0, 而且，显然
y →0
lim x →0lim y →0(xy ) 和 lim y →0lim x →0(xy ) 也都存在，且都等于0。
2), 若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 或者lim y →b lim x →a f (x , y ) 中至少有1个不存在，则，若二重极限 lim x →a f (x , y ) 一定不存在。
y →b
比如，lim x →0lim y →0 x =0, 但lim y →0lim x →0 x 不存在。则lim x →0x
y →0
y y y
3), 若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和lim y →b lim x →a f (x , y ) 都存在但不等于，则，若二重极限 lim x →a f (x , y ) 一定不存在。再如，lim x →0lim y →0
y →b
y (x +1) x +y
=0,
lim y →0lim x →0
y (x +1) x +y
=1。则 lim x →0
y →0
y (x +1) x +y
=0 一定不存在。
4), 即使二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和lim y →b lim x →a f (x , y ) 都存在且等于，也不能保证，二重极限lim x →a f (x , y ) 一定存在。
y →b
比如，lim x →0lim y →0
y →0
xy
x 2+y
2 =0, lim y →0lim x →0
xy
x 2+y
2=0。但lim x →0
xy
22
y →0x +y
不存在。
因为，如果lim x →0 x 2+y 2 存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，于1/2,不等于0。所以，lim x →0 x 2+y 2 一定不存在。
y →0
xy
xy x 2+y 2
xy
恒等
其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。 比较一：
二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。
一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。 比较二：
二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。
一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。
本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.
首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时, 该函数是无穷小与有界函数的乘积, 结果为0.
但是若先求y 的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在, 先求x 的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.
比较三：
二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。
一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。 比较四：
二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一定存在。
一元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左右极限。
只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近[左极限]和从右边逼近[右极限]。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。
但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式（只要判断左右极限）来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。 反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。
最后，以上讨论当 a,b,A 中包含有无穷大时，也有类似的结论。
二重极限与二次极限与一次极限的比较
如果二重极限是lim x →a f (x , y ) , 二次极限分别为lim x →a lim y →b f (x , y ) =
y →b
lim x →a g (x ) , 和lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) . 其中，g x =lim y →b f (x , y ) ,h y =lim x →a f (x , y ) , a, b是常数。则二重极限lim x →a f (x , y ) 存在，意味着，当2元变量(x,y)
y →b
以任何可能的方式趋近于(a,b)时，f(x,y)的极限都存在。换句话说，若二重极限lim x →a f (x , y ) 存在，则，2维动点(x,y)沿任何可能的路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)
y →b
的极限都存在。
二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) =lim x →a g (x ) 存在, 表示当2元变量(x,y)先沿直线x=X 逼近(X,b)[也就是(x,y)->(x,b)],然后再沿直线y=b逼近(a,b)时[也就是(x,b)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) =lim x →a g (x ) 存在，则2维动点(x,y)先沿垂直于x 轴的直线路径逼近2维点(x,b),然后再沿平行于x 轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。
二次极限lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) 存在, 表示当2元变量(x,y)先沿直线y=Y 逼近(a,Y)[也就是(x,y)->(a,y)],然后再沿直线x=a逼近(a,b)时[也就是(a,y)->(a,b)]，f(x,y)的极限存在。
换句话说，若二次极限 lim y →b lim x →a f (x , y ) =lim x →a h (y ) 存在，则，2维动点(x,y)先沿垂直于y 轴的直线路径逼近2维点(a,y),然后再沿平行于y 轴的直线路径逼近2维定点(a,b)时，f(x,y)的极限存在。这样，
1), 若二重极限 lim x →a f (x , y ) 存在且等于A, 则二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和
y →b
lim y →b lim x →a f (x , y ) 一定都存在且都等于A. 比如，lim x →0xy =0, 而且，显然
y →0
lim x →0lim y →0(xy ) 和 lim y →0lim x →0(xy ) 也都存在，且都等于0。
2), 若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 或者lim y →b lim x →a f (x , y ) 中至少有1个不存在，则，若二重极限 lim x →a f (x , y ) 一定不存在。
y →b
比如，lim x →0lim y →0 x =0, 但lim y →0lim x →0 x 不存在。则lim x →0x
y →0
y y y
3), 若二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和lim y →b lim x →a f (x , y ) 都存在但不等于，则，若二重极限 lim x →a f (x , y ) 一定不存在。再如，lim x →0lim y →0
y →b
y (x +1) x +y
=0,
lim y →0lim x →0
y (x +1) x +y
=1。则 lim x →0
y →0
y (x +1) x +y
=0 一定不存在。
4), 即使二次极限lim x →a lim y →b f (x , y ) 和lim y →b lim x →a f (x , y ) 都存在且等于，也不能保证，二重极限lim x →a f (x , y ) 一定存在。
y →b
比如，lim x →0lim y →0
y →0
xy
x 2+y
2 =0, lim y →0lim x →0
xy
x 2+y
2=0。但lim x →0
xy
22
y →0x +y
不存在。
因为，如果lim x →0 x 2+y 2 存在的话，那么(x,y)沿任何可能的路径逼近(0,0)时，极限都应该存在而且极限都应该等于0。而(x,y)沿直线x=y逼近(0,0)时，于1/2,不等于0。所以，lim x →0 x 2+y 2 一定不存在。
y →0
xy
xy x 2+y 2
xy
恒等
其实，2元函数的二重极限和二次极限之间的关系有点像1元函数的极限和左右极限的关系。 比较一：
二元函数：2元函数的二重极限存在，则2个二次极限都存在且都等于二重极限。
一元函数：1元函数的极限存在，则左右极限都存在且都等于极限。 比较二：
二元函数：若2元函数的二次极限中至少有1个不存在，则二重极限一定不存在。
一元函数：若1元函数的左右极限中至少有1个不存在，则，极限一定不存在。
本题反例：z=xsin(1/xy),考虑(0,0)处的二重极限与累次极限.
首先二重极限显然是存在的,(x,y)--->(0,0)时, 该函数是无穷小与有界函数的乘积, 结果为0.
但是若先求y 的累次极限lim[y--->0] xsin(1/xy)极限不存在, 先求x 的累次极限lim[x--->0] xsin(1/xy)是存在的.
比较三：
二元函数：若2元函数的二次极限都存在但不相等，则，二重极限一定不存在。
一元函数：若1元函数的左右极限都存在但不相等，则，极限一定不存在。 比较四：
二元函数：即使2元函数的二次极限都存在且相等，也不能保证二重极限一定存在。
一元函数：若1元函数的左右极限都存在且相等，则极限一定存在且等于左右极限。
只有最后一条不同，因为在1维的时候，1维动点的所有可能的逼近路径只有2个，从左边逼近[左极限]和从右边逼近[右极限]。所以只要左右极限都存在且相等了，就保证了所有可能的逼近的路径的极限都存在且相等了。因此，在这种情况下，极限就存在且等于左右极限了。
但在2维的时候，2维动点的所有可能的逼近路径都非常多了，可以从上面逼近，可以从下面逼近，可以从左边，从右边，从左下，右上等等不同的方向逼近，而且逼近的路径也有很多变化，可以沿直线逼近，还可以沿曲线逼近。所以，在讨论2元函数的极限时，就不能像1元函数那样用穷举的方式（只要判断左右极限）来进行了。因为2维动点的所有可能的逼近路径有无穷多个，无法穷举。 反过来看，这也有好处。当要肯定一个结论非常困难的时候，可能否定它就相对容易一些。2元函数的极限的这种特点，用来判断二重极限不存在就很方便了。只要找到1条可能的逼近路径，极限不存在，就可以认定二重极限不存在。或者只要找到2条可能的逼近路径，他们的极限不相等，也可以认定二重极限不存在。
最后，以上讨论当 a,b,A 中包含有无穷大时，也有类似的结论。